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CONJUNTO DOS
NÚMEROS RACIONAIS 
Prof.: Msc. Vanessa da Luz
3.1 Conjuntos dos Números Racionais
O conjunto dos números racionais, representado pelo símbolo ℚ , é o
conjunto dos números que são representados por uma fração, sendo
𝒂
𝒃
, em
que 𝒂 ∈ ℤ 𝒆 𝒃 ∈ ℤ∗, no qual a é o numerador e b o denominador.
Exemplos: 2; -
𝟒
𝟑
; 𝟖, 𝟒𝟒𝟒
Considere 𝒂, 𝒃, 𝒄, 𝒅, 𝒆, 𝒇, 𝒈 ∈ ℤ e as seguintes propriedades.
•
𝒂
𝒃
+
𝒄
𝒅
+
𝒆
𝒇
=
𝒂
𝒃
+
𝒄
𝒅
+
𝒆
𝒇
•
𝒂
𝒃
+
𝒄
𝒅
=
𝒄
𝒅
+
𝒂
𝒃
•
𝒂
𝒃
+ 𝟎 =
𝒂
𝒃
•
𝒂
𝒃
+ −
𝒂
𝒃
= 𝟎
•
𝒂
𝒃
.
𝒄
𝒅
.
𝒆
𝒇
=
𝒂
𝒃
.
𝒄
𝒅
.
𝒆
𝒇
•
𝒂
𝒃
.
𝒄
𝒅
=
𝒄
𝒅
.
𝒂
𝒃
•
𝒂
𝒃
. 𝟏 =
𝒂
𝒃
•
𝒂
𝒃
.
𝒄
𝒅
+
𝒆
𝒇
=
𝒂
𝒃
.
𝒄
𝒅
+
𝒂
𝒃
.
𝒆
𝒇
Outra operação que podemos definir, é o simétrico ou inverso da
multiplicação. Assim, para todo
𝒂
𝒃
∈ ℚ∗, existe
𝒃
𝒂
∈ ℚ 𝒕𝒂𝒍 𝒒𝒖𝒆
𝒂
𝒃
.
𝒃
𝒂
= 𝟏.
Portanto podemos definir em ℚ∗ a operação de divisão, sendo
𝒂
𝒃
:
𝒄
𝒅
=
𝒂
𝒃
.
𝒅
𝒄
para
quaisquer
𝒂
𝒃
𝒆
𝒄
𝒅
∈ ℚ∗.
3.2 Fração e Decimais 
Fração
Uma fração representa quando um todo, é dividido em partes, e
indicamos uma parte ou a união delas em relação ao todo. A fração é
composta por dois números inteiros, sendo:
• o denominador representa as partes do todo que foram divididas.
• o numerador indica uma unidade ou união de algumas das partes
que foram divididas.
Assim, a fração
𝒂
𝒃
é representada por dois termos, 𝒂 𝒆 𝒃 ∈ ℤ, 𝒃 ≠ 𝟎 ,
sendo o numerador 𝒂 e o denominador 𝒃.
As nomeações das frações são feitas do seguinte modo, por exemplo,
𝟓
𝟖
se lê “cinco
oitavos”. Já a fração que possui denominador maior que 10, usamos avos após o
número do denominador. Exemplo,
𝟑
𝟏𝟒
será “três quatorze avos”.
• Exemplo:
Uma loja possui 50kg de laranja, e precisam vender
𝟐
𝟓
dessa fruta para não perder a
mercadoria. Quantos quilos a loja deverá vender?
• Resolução:
Para resolver, temos que multiplicar 50 por
𝟐
𝟓
, isto é,
𝟓𝟎.
𝟐
𝟓
=
𝟓𝟎. 𝟐
𝟓
=
𝟏𝟎𝟎
𝟓
= 𝟐𝟎
Portanto a loja precisará vender 20 kg de laranja.
Igualdade de Frações 
Dadas duas frações 
𝒂
𝒃
𝒆
𝒄
𝒅
𝒄𝒐𝒎 𝒃 ≠ 𝟎 𝒆 𝒅 ≠ 𝟎, são iguais se e somente 
se 𝒂. 𝒅 = 𝒃. 𝒄, ou seja, 𝒂. 𝒅 = 𝒃. 𝒄 ⟺
𝒂
𝒃
=
𝒄
𝒅
𝒄𝒐𝒎 𝒃 ≠ 𝟎 𝒆 𝒅 ≠ 𝟎. Quando 
acontece essa igualdade, dizemos que as frações são equivalentes. 
Exemplo: 
𝟐
𝟕
=
𝟔
𝟐𝟏
, 𝒑𝒐𝒊𝒔 𝟐. 𝟐𝟏 = 𝟕. 𝟔 = 𝟒𝟐, 𝒂𝒔𝒔𝒊𝒎 𝒆𝒍𝒂𝒔 𝒔ã𝒐 𝒆𝒒𝒖𝒊𝒗𝒂𝒍𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔
Fração Mista
As frações são classificadas como próprias e impróprias. A primeira, são
frações que possuem o numerador menor que o denominador, por
exemplo,
𝟓
𝟔
𝒆
𝟏
𝟕
. Já as frações impróprias possuem o numerador maior ou
igual ao denominador, exemplo,
𝟗
𝟓
.
As frações impróprias podem ser transformadas em frações mistas, isto é,
representam a parte inteira e fracionária. Por exemplo, a fração
𝟗
𝟓
= 𝟏 +
𝟒
𝟓
=
𝟏
𝟒
𝟓
, assim a fração imprópria
𝟗
𝟓
= 𝟏
𝟒
𝟓
.
3.3 Operações com Frações 
Soma e Diferença de Frações
Para calcular a soma e a diferença de duas ou mais frações, é preciso
verificar se os denominadores são iguais. Se for, basta repetir o
denominador e somar ou subtrair os numeradores. Observe os exemplos a
seguir:
•
𝟑
𝟖
+
𝟕
𝟖
=
𝟑+𝟕
𝟖
=
𝟏𝟎
𝟖
=
𝟓
𝟒
•
𝟏𝟎
𝟕
−
𝟓
𝟕
=
𝟏𝟎−𝟓
𝟕
=
𝟓
𝟕
No caso das frações possuírem denominadores diferentes, é preciso
encontrar frações equivalentes que tenham denominadores iguais. Para isso
calculamos o mínimo múltiplo comum (m.m.c).
• Exemplo 3.3
Encontre o resultado da seguinte operação
𝟏
𝟒
+
𝟑
𝟖
+
𝟓
𝟏𝟐
• Resolução: As frações possuem diferentes denominadores, assim, é
preciso calcular o m.m.c de (4, 8, 12), isto é, m.m.c (4, 8, 12) = 24
4 8 12 2
2 4 6 2
1 2 3 2
1 1 3 3
1 1 1 24
Agora, vamos encontrar as frações equivalentes com o
denominador 24, e resolver a operação.
𝟏
𝟒
+
𝟑
𝟖
+
𝟓
𝟏𝟐
=
𝟔
𝟐𝟒
+
𝟗
𝟐𝟒
+
𝟏𝟎
𝟐𝟒
=
𝟔 + 𝟗 + 𝟏𝟎
𝟐𝟒
=
𝟐𝟓
𝟐𝟒
Multiplicação e Divisão de Fração
A multiplicação de frações é realizada multiplicando o numerador pelo
numerador, e o denominador pelo denominador. Dados
𝒂
𝒃
𝒆
𝒄
𝒅
∈ ℚ, 𝒃 ≠
𝟎 𝒆 𝒅 ≠ 𝟎, o produto dessas duas frações é
𝒂
𝒃
.
𝒄
𝒅
=
𝒂.𝒄
𝒃.𝒅
. Por exemplo,
•
𝟒
𝟕
.
𝟑
𝟓
=
𝟏𝟐
𝟑𝟓
•
𝟐
𝟗
.
𝟑
𝟏𝟏
=
𝟔
𝟗𝟗
=
𝟐
𝟑𝟑
Na divisão das frações, conservamos a primeira fração, mudamos o sinal
para multiplicação e invertemos a segunda fração. Dados
𝒂
𝒃
𝒆
𝒄
𝒅
∈ ℚ, 𝒃 ≠
𝟎 𝒆 𝒅 ≠ 𝟎, temos a divisão
𝒂
𝒃
:
𝒄
𝒅
=
𝒂
𝒃
.
𝒅
𝒄
𝒐𝒖
𝒂
𝒃
𝒄
𝒅
=
𝒂
𝒃
.
𝒅
𝒄
. Observe alguns exemplos:
•
𝟕
𝟏𝟎
𝟐
𝟓
=
𝟕
𝟏𝟎
.
𝟓
𝟐
=
𝟑𝟓
𝟐𝟎
=
𝟕
𝟒
•
𝟏
𝟔
:
𝟑
𝟖
=
𝟏
𝟔
.
𝟖
𝟑
=
𝟖
𝟏𝟖
=
𝟒
𝟗
• Exemplo 3.6
Simplifique a fração
𝟒𝒙𝟑𝒚𝟐
𝟔𝒙𝟐𝒚𝒛𝟑
, sendo 𝒙 ≠ 𝟎, 𝒚 ≠ 𝟎 𝒆 𝒛 ≠ 𝟎.
• Resolução:
Nesse exercício, os fatores são números e letras, assim vamos
escrevê-los em fatores.
𝟐. 𝟐. 𝒙. 𝒙. 𝒙. 𝒚. 𝒚
𝟐. 𝟑. 𝒙. 𝒙. 𝒚. 𝒛. 𝒛. 𝒛
=
𝟐𝒙𝒚
𝟑𝒛𝟑
Porcentagem 
A porcentagem é uma forma de representar uma fração
𝒂
𝒃
, 𝒔𝒆𝒏𝒅𝒐 𝒃 = 𝟏𝟎𝟎.
Nesse tipo de representação usamos o símbolo %, que se lê por cento e
significa por cem. Assim, por exemplo, 30% significa
𝟑𝟎
𝟏𝟎𝟎
.
Exemplo 3.7
• Supondo que uma fila de espera para um transplante de fígado tinha cerca
de 6200 pacientes, dos quais 61% não tiveram condições para receber o
transplante, quantos restaram na fila?
Resposta:
Vamos calcular 61% de 6200, isto é, 𝟔𝟏% 𝒅𝒆 𝟔𝟐𝟎𝟎 =
𝟔𝟏
𝟏𝟎𝟎
. 𝟔𝟐𝟎𝟎 =
𝟔𝟏
𝟏𝟎𝟎
.
𝟔𝟐𝟎𝟎
𝟏
=
𝟑𝟕𝟖𝟐𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟎
= 𝟑𝟕𝟖𝟐
Assim, restam na fila 3782 na fila.
Representação Decimal 
Todo número racional
𝒂
𝒃
pode ser representado por um número
decimal. Para isso dividimos a por b, isto é, o numerador pelo
denominador. Quando é realizada essa transformação, podemos
encontrar dois tipos de números decimais.
Quando possui uma quantidade finita de algarismos, diferentes de
zero.
•
𝟓
𝟏
= 𝟓
•
𝟏
𝟐
= 𝟎, 𝟓
Quando o número possui uma quantidade infinita de algarismos que
se repetem periodicamente, que é chamada de dízima periódica.
•
𝟏
𝟕
= 𝟎, 𝟕𝟕𝟕… = 𝟎, ഥ𝟕 𝒑𝒆𝒓í𝒐𝒅𝒐 𝟕
•
𝟖
𝟑𝟑
= 𝟎, 𝟐𝟒𝟐𝟒… = 𝟎, 𝟐𝟒 𝒑𝒆𝒓í𝒐𝒅𝒐 𝟐𝟒
Número decimal exato
O numerador da fração será o número decimal sem a vírgula, e o
denominador o algarismo 1 seguido de tantos zeros quanto forem as
casas decimais do número dado.
• 𝟒, 𝟏𝟓 =
𝟒𝟏𝟓
𝟏𝟎𝟎
; 𝟖, 𝟗𝟐𝟓𝟔 =
𝟖𝟗𝟐𝟓𝟔
𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎
; 𝟎, 𝟔𝟒 =
𝟔𝟒
𝟏𝟎𝟎
Dízima Periódica 
Para transformar a dízima periódica em geratriz (fração), devemos analisar se
a dízima é simples ou composta. A dízima simples é composta apenas pelo
período, já a dízima composta possui o período e algarismos que não se
repetem.
Dízima periódica simples: para cada algarismo que se repete no período,
acrescenta o algarismo 9 no denominador, e escrevemos o período no
numerador.
𝟎, 𝟐𝟑𝟐𝟑𝟐𝟑… =
𝟐𝟑
𝟗𝟗
𝟏, 𝟕𝟔𝟕𝟔𝟕𝟔… = 𝟏 +
𝟕𝟔
𝟗𝟗
=
𝟏𝟕𝟓
𝟗𝟗
Dízima periódica composta: para cada algarismo que se repete no
período acrescenta o algarismo 9, e o 0 para cada número que não se
repete na parte decimal, no denominador. No numerador escrevemos o
número composto pela parte que não se repete com a que se repete e
subtraímos a parte que não se repete.
𝟎, 𝟒𝟓𝟔𝟓𝟔𝟓𝟔… =
𝟒𝟓𝟔 − 𝟒
𝟗𝟗𝟎
=
𝟒𝟓𝟐
𝟗𝟗𝟎
𝟐, 𝟎𝟗𝟏𝟑𝟗𝟏𝟑𝟗𝟏𝟑… = 𝟐 +
𝟗𝟏𝟑 − 𝟎
𝟗𝟗𝟗𝟎
= 𝟐 +
𝟗𝟏𝟑
𝟗𝟗𝟗𝟎
=
𝟐𝟎𝟖𝟗𝟑
𝟗𝟗𝟗𝟎
Operações dos Decimais 
Adição e Subtração 
A adição e subtração é definida, armando os números decimais um
embaixo do outro, sendo vírgula abaixo de vírgula, e posteriormente
realizando os cálculos. Como por exemplo:
3,45+8,93= 12,38
 
 3,45 
+ 8,93 
 12,38 
Multiplicação e Divisão 
A multiplicação de números decimais, é realizada multiplicando os
números normalmente e depois, a vírgula deve ser inserida de modo a
deixar o número de casas decimaisigual à soma da quantidade de
casas decimais dos fatores multiplicados. Por exemplo:
8,7 x 3,15 
Na divisão, armamos o divisor e dividendo, e devemos igualar as
casas decimais, preenchendo com zero, quando necessitar. Após isso,
ignoramos a vírgula, e realizamos a divisão. Por exemplo, dividir 31,15
por 3,5.
31,15 3,50
- 2800 8,9
- 3150
3150
0
3.4 Expressão numérica
As expressões numéricas, são conjuntos de operações definidas entre
parênteses, colchetes e chaves. Para resolver existe uma ordem a ser
seguida. Entre os símbolos, temos:
• Parênteses;
• Colchete;
• Chaves.
• Nas operações, a ordem é a seguir:
• Potenciação ou Radiciação;
• Divisão ou Multiplicação;
• Soma ou Subtração.
Exemplo 3.8
Resolva a expressão numérica 
𝟔𝟎 ÷ {𝟐 · [−𝟕 + 𝟏𝟖 ÷ (−𝟑 + 𝟏𝟐)]} – [𝟕 · (−𝟑) – 𝟏𝟖 ÷ (−𝟐) + 𝟏]
FIXANDO O CONTEÚDO
1) Calcule o valor da expressão 𝟎, 𝟗𝟗𝟗…+
𝟏
𝟓
+
𝟏
𝟑
𝟑
𝟓
−
𝟏
𝟏𝟓
e assinale a alternativa que
corresponda a solução.
A) 2
B)
𝟗
𝟓
C)
𝟖
𝟏𝟓
D)
𝟒𝟗
𝟓
E) 𝟏