calculo2_aula5 (1)

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Comprimento de uma curva C
Integral de linha
Cálculo Diferencial e Integral 2:
Integrais de linha
Jorge M. V. Capela
Instituto de Qúımica - UNESP
Araraquara, SP
capela@iq.unesp.br
Araraquara, SP - 2017
Jorge M. V. Capela Inst. Qúımica, Unesp - 2017
Comprimento de uma curva C
Integral de linha
1 Comprimento de uma curva C
2 Integral de linha
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Comprimento de uma curva C
Integral de linha
Comprimento de uma curva
O comprimento do traçado poligonal P0P1 · · ·Pn aproxima o com-
primento L da curva C dada pelo gráfico de y = f (x) de x = a até
x = b
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Comprimento de uma curva C
Integral de linha
Lk =
√
(∆xk)2 + (∆yk)2
Pelo teorema do valor médio po-
demos escrever ∆yk = f
′(ck)∆xk
sendo xk−1 < ck < xk . Portanto
Lk =
√
(∆xk)2 + [f ′(ck)∆xk ]2 =
√
1 + [f ′(ck)]2∆xk
Comprimento da curva C :
L =
∫ b
a
√
1 +
(
dy
dx
)2
dx
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Comprimento de uma curva C
Integral de linha
Comprimento de uma curva na forma paramétrica
Suponha C dada pelas equações x = f (t) e y = g(t), α ≤ t ≤ β.
Suponha dx/dt = f ′(t) > 0, isto é C é percorrida uma única vez
quando t aumenta de α até β, f (α) = a e f (β) = b. Então
L =
∫ b
a
√
1 +
(
dy
dx
)2
dx =
∫ β
α
√
1 +
(
dy/dt
dx/dt
)2 dx
dt
dt
L =
∫ β
α
√(
dx
dt
)2
+
(
dy
dt
)2
dt
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Comprimento de uma curva C
Integral de linha
Integral de linha
∫
C
f (x , y)ds = lim
n→∞
n∑
k=1
f (x∗k , y
∗
k )∆sk
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Comprimento de uma curva C
Integral de linha
Integral de linha
Seja C uma curva dada por x = x(t) e y = y(t), α ≤ t ≤ β. Se
s(t) representa o comprimento de C como função de t então
s(t) =
∫ t
α
√(
dx
dt
)2
+
(
dy
dt
)2
dt
Portanto,
ds
dt
=
√(
dx
dt
)2
+
(
dy
dt
)2
e o subarco infinitesimal pode ser definido por
ds =
√(
dx
dt
)2
+
(
dy
dt
)2
dt
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Comprimento de uma curva C
Integral de linha
Integral de linha
∫
C
f (x , y)ds =
∫ β
α
f (x(t), y(t))
√(
dx
dt
)2
+
(
dy
dt
)2
dt
A integral de linha de uma função
positiva pode ser interpretada como
sendo a área do lado da “cerca” da
figura
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Comprimento de uma curva C
Integral de linha
Exemplo 1
Calcule∫
C
(2 + x2y)ds,
onde C é
a metade
superior do
ćırculo unitário
x2 + y2 = 1
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Comprimento de uma curva C
Integral de linha
∫
C
f (x , y)ds =
∫
C1
f (x , y)ds +
∫
C2
f (x , y)ds + · · ·+
∫
Cn
f (x , y)ds
onde C é a união de um número finito de curvas C1, C2, ..., Cn.
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Comprimento de uma curva C
Integral de linha
Exemplo 2
Calcule a integral ∫
C
2xds,
onde C é a união do arco de parábola C1 dada por y = x
2 de (0, 0)
a (1, 1) seguido pelo segmento de reta vertical C2 de (1, 1) a (1, 2).
Observe as parametrizações:
C1 : x = t, y = t
2, 0 ≤ t ≤ 1
C2 : x = 1, y = t, 1 ≤ t ≤ 2
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Comprimento de uma curva C
Integral de linha
Integral de linha ao longo de C com relação a x e y
x = x(t), y = y(t), dx = x ′(t)dt, dy = y ′(t)dt∫
C
f (x , y)dx =
∫ b
a
f (x(t), y(t))x ′(t)dt∫
C
f (x , y)dy =
∫ b
a
f (x(t), y(t))y ′(t)dt
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Comprimento de uma curva C
Integral de linha
Exemplo 3
Calcule a integral∫
C
y2dx +
∫
C
xdy =
∫
C
y2dx + xdy ,
onde (a) C = C1 é o segmento de reta de (-5,-3) a (0,2) (b) C = C2
é o arco de parábola x = 4− y2 de (-5,-3) a (0,2).
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Comprimento de uma curva C
Integral de linha
Exemplo 3: Parametrizações
(a) Segmento de reta: Vetor direção ~v = (0, 2)− (−5,−3) = (5, 5)
Equações paramétricas: x = −5 + 5t e y = −3 + 5t, 0 ≤ t ≤ 1
(b) Arco de parábola: x = 4− t2 e y = t, −3 ≤ t ≤ 2
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Comprimento de uma curva C
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Exerćıcios
1) Calcule a integral
∫
C
(xy + ln x)dy onde C é o arco de parábola
y = x2 de (1,1) até (3,9)
2) Calcule a integral
∫
C
yds onde C é a curva definida por x = t2,
y = t, 0 ≤ t ≤ 2
3) Calcule a integral
∫
C
xy4ds onde C é a metade direita do circulo
definido por x2 + y2 = 16.
4) Calcule a integral
∫
C
x
√
ydx +2y
√
xdy onde C consiste no menor
arco de circulo x2 + y2 = 1 de (1,0) a (0,1) e o segmento de reta
de (0,1) a (4,3)
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