Questão resolvida - As integrais de linha são semelhantes à integral unidimensional mas, em vez de integrar sobre um intervalo [a, b], integramos sobre uma curva C. Em um campo escalar, as integrais d

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• As integrais de linha são semelhantes à integral unidimensional mas, em vez de 
integrar sobre um intervalo [a, b], integramos sobre uma curva C. Em um campo 
escalar, as integrais de linha são determinadas por:
 
f x, y ds = f r t ∣ r' t ∣ dt
C
∫ ( )
b
a
∫ ( ( )) ( )
 
Com base nesta informações, calcule a integral de linha ao longo da 2xz + xy + z ds
C
∫ ( )
curva com . r t = 2ti + 4t + 1 j + 1 - 4t k( ) ( ) ( ) 0 ≤ t ≤ 1
 
Resolução:
 
Primeiro, passamos a equação de para a notação vista na sequência;r t( )
 
 r t : , 0 ⩽ t ⩽ 1( )
x t = 2t( )
y t = 4t + 1( )
z t = 1 - 4t( )
 
Agora, derivamos em relação a t; 
= 2, = 4 e = - 4
dx
dt
dy
dt
dz
dt
 
Uma expressão mais direta para solucionar a integral de linha é dada por;
 
f x, y, z ds = f x t , y t , z t dt
C
∫ ( )
b
a
∫ ( ( ) ( ) ( )) + +𝜕x
𝜕t
2
𝜕y
𝜕t
2
𝜕z
𝜕t
2
Substituindo;
 
xz + xy + z ds = 2t ⋅ 1 - 4t + 2t ⋅ 4t + 1 + 1 – 4t dt
C
∫ ( )
1
0
∫ ( ( ) ( ) ( )) 2 + 4 + -4( )2 ( )2 ( )2
 
Perceba que o limite de integração em t é o mesmo onde a curva está definida, ou seja; r t( )
. Resolvendo a integral, fica;0 ⩽ t ⩽ 1
 
 
 
xy + y + z ds = 2t - 8t + 8t + 2t + 1 - 4t dt = 1 dt
C
∫ ( )
1
0
∫ 2 2 4 + 16 + 16
1
0
∫ ( ) 36
 
= 6dt = 6 1dt = 6 t = 6 ⋅ 1 - 0 = 6 ⋅ 1
1
0
∫
1
0
∫ ( )
1
0
( )
 
= 6
 
 
(Resposta )