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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas • As integrais de linha são semelhantes à integral unidimensional mas, em vez de integrar sobre um intervalo [a, b], integramos sobre uma curva C. Em um campo escalar, as integrais de linha são determinadas por: f x, y ds = f r t ∣ r' t ∣ dt C ∫ ( ) b a ∫ ( ( )) ( ) Com base nesta informações, calcule a integral de linha ao longo da xy + y + z ds C ∫ ( ) curva com . r t = 2ti + tj + 2 – 2t k( ) ( ) 0 ≤ t ≤ 1 Resolução: Primeiro, passamos a equação de para a notação vista na sequência;r t( ) r t : , 0 ⩽ t ⩽ 1( ) x t = 2t( ) y t = t( ) z t = 2 – 2t( ) Agora, derivamos em relação a t; = 2, = 1 e = - 2 dx dt dy dt dz dt Uma expressão mais direta para solucionar a integral de linha é dada por; f x, y, z ds = f x t , y t , z t dt C ∫ ( ) b a ∫ ( ( ) ( ) ( )) + +𝜕x 𝜕t 2 𝜕y 𝜕t 2 𝜕z 𝜕t 2 Substituindo; xy + y + z ds = 2t ⋅ t + t + 2 – 2t dt C ∫ ( ) 1 0 ∫ ( ( )) 2 + 1 + -2( )2 ( )2 ( )2 Perceba que o limite de integração em t é o mesmo onde está definida, ou seja; r t( ) . Resolvendo a integral, fica;0 ⩽ t ⩽ 1 xy + y + z ds = 2t + t + 2 – 2t dt = 2t - t + 2 dt C ∫ ( ) 1 0 ∫ 2 4 + 1 + 4 1 0 ∫ 2 9 = 2t - t + 2 3dt = 3 2t - t + 2 dt = 3 - + 2t 1 0 ∫ 2 1 0 ∫ 2 2t 3 3 t 2 2 1 0 = 3 - + 2 ⋅ 1 - - + 2 ⋅ 0 = 3 - + 2 = 3 = 3 ⋅ 2 1 3 ( )3 1 2 ( )2 2 0 3 ( )3 0 2 ( )2 2 3 1 2 4 - 3 + 12 6 13 6 = = 26 6 13 6 (Resposta )
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