CALCULO II - ESTACIO - AULA 8 INTEGRAL DE LINHA

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Disciplina: Análise Matemática para
Engenharia II
Aula 08: Integral de Linha
Apresentação
Olá, na aula passada terminamos da apresentar o conceito de integral múltiplas, onde falamos das integrais triplas na forma
cilíndrica e esféricas. Nesta aula, continuaremos trabalhando o conceito da integral de linha. 
Estudaremos dois tipos de integrais de linhas, um quando considerado nos campos escalares e outra em campos vetoriais. 
Ao �nal da aula mostraremos como os dois campos, nos quais as integrais de linhas foram apresentadas, interagem entre si.
Objetivos
Reconhecer as integrais de linha;
Reconhecer as integrais de linha em campos escalares;
Reconhecer as integrais de linha em campos vetorial.
Premissa
Ao fazermos uso da integral de linha, observamos que sua abordagem se assemelha a uma integral unidimensional tendo a sua
diferença no fato de que ,em uma integral unidimensional, integramos em um intervalo [a, b], já em uma integral de linha tal
integração se dá sobre uma curva C.
As integrais de linha, segundo estudos, foram utilizadas pela primeira vez no �nal do século
XIX, com o objetivo de resolver problemas envolvendo escoamentos de �uidos, força,
eletricidade e magnetismo.
A respeito da integração de uma curva C, estamos falando de uma integral na qual as curvas são dadas em formas de funções
paramétricas.
𝑥 = 𝑥(𝑡)𝑦 = 𝑦(𝑡)𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏
Uma integral de linha sobre a curva C é de�nida da seguinte maneira:
∫cf(x, y)ds
Onde
ds =
dx
dt
2
+
dy
dt
2
dt√( ) ( ) As funções em x e y representadas emformas de funções paramétricas.
Com isso, efetuando as devidas substituições na integral de linha sobre uma curva C, obtemos uma das funções da integral de
linha, que é:
∫cf(x, y)ds ∫
b
af((x(t), y(t))) =
dx
dt
2
+
dy
dt
2
dt√( ) ( )
Vejamos alguns exemplos de aplicação dessa forma de integral.
Exemplo
Calcule a integral de linha ∫ 𝑥 𝑑𝑠 onde C e a curva dada é: 𝐶:𝑥=𝑡, 𝑦= 𝑡 + 1 , 0 ≤ 𝑡 ≤ 2
Resolução
As funções x e y estão parametrizadas e os limites já foram dados, logo basta aplicarmos na integral de linha.
𝑐
3
ds =
dx
dt
2
+
dy
dt
2
dtds = √(1)2 + (1)2dtds = √2dt∫20t3√2dt√( ) ( )
Integrando a função em t e substituindo os limites, temos:
t4
4 √2
2
0
24
3 √2 -
04
3 √2 =
16√2
4 = 4√2
Assim como podemos trabalhar a integral de linha no plano R , também podemos trabalhar no espaço R , de maneira que a sua
resolução se dê igualmente como trabalhamos no R .
2
3
2
∫baf x, y, z ds = ∫
b
af x t , y t , z t .
dx
dt
2
+
dy
dt
2
+
dz
dt
2
 dt( ) ( ( ) ( ) ( )) √( ) ( ) ( )
Exemplo
Antes de continuar seus estudos, veja mais alguns exemplos <./galeria/aula8/anexo/Exemplos 1.pdf> .
http://estacio.webaula.com.br/cursos/GO0024/galeria/aula8/anexo/Exemplos%201.pdf
Integral de Linha em Campos Vetoriais
Outro modo existente é a integral de linha de Campo Vetoriais, na qual se relaciona o campo vetorial, sendo de�nida da seguinte
maneira: seja F um campo vetorial contínuo de�nido sobre uma curva suave C dada pela função vetorial
𝑟(𝑡)=𝑥(𝑡)𝑖+𝑦(𝑡)𝑗+𝑧(𝑡)𝑘,𝑎≤𝑡≤𝑏. Então, a integral de linha F, ao longo de C, é dada por:
∫cF. dr - ∫
b
aF r t . r' t dt = ∫cF. Tds( ( )) ( )
Exemplo
Calcule ∫cF. dr, onde F(x, y, z) = xyi + yzj + zxk onde C é a cúbica retorcida dada por:
x = ty = t2z = t30 ≤ t ≤ 1
Resolução
As funções já estão parametrizadas, então devemos derivar 𝑟’(𝑡) e transformar 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧) em funções paramétricas.
r t = x t i + y t j + z t kr t = ti + t2j + t3kr' t = i + 2tj + 3t2kf x, y, z = F r t F r t = t3i + t5j + t4k( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ( ))
Substituindo esses valores na integral de linha, temos:
∫cF. dr = ∫
1
0 t
3 + t5 + t4 . 1 + 2t + 3t2 dt
Multiplicando os valores, pois estamos tratando de uma produto escalar, encontramos:
( ) ( )
∫10 t
3 + 5t6 dt( )
Integrando a função, temos:
t4
4
1
0
+
5t7
7
1
0
1
4 +
5
7 =
7 + 20
28
27
28
Se observamos, podemos ver a relação existente entre as integrais de linha em campo vetoriais e integrais de linha em campo
escalares. Caso F esteja no R3, cuja representação da sua componente é 𝐹=𝑃𝑖+𝑄𝑗+𝑅𝐾, ao utilizarmos a integral de linha ao longo
da curva C, temos:
∫cF. dr = ∫
b
aF r t . r' t dt∫
b
a Pi + Qj + Rk . x' t i + y' t j + z' t k dt∫
b
a P x t + y t + z t x' t + Q x t + y t + z t y' t + R x t + y t + z t z' t dt( ( )) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) [ ( ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ( ) ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( ) ( )) ( )]
Onde podemos reescrever a integral de linha em campo vetorial da seguinte forma:
∫cF. dr = ∫cPdx + Qdx + Rdz Onde F = Pi + Qj + Rk
Atividades
1. Calcule a integral de linha ∫cx
2ds onde C : x = 2t, y = 3t + 1, 0 ≤ t ≤ 1.
a) 
4√13
3
b) 
3√13
4
c) 
√13
3
d) 
2√13
3
e) 
4√13
3
2. Calcule a integral de linha ∫c x
2 + y2 ds onde C e a curva dada C : x = sen2t, y = cos2t, 0 ≤ t ≤ π.( )
a) 2π
b) 3π
c) 4π
d) 5π
e) 6π
3. Calcule a integral de linha ∫c2zdx + ∫cx
2dy + ∫cydz, onde C e a curva parametrizada x = t
2, y = t - 1, z = t2 + 10 ≤ t ≤ 1.
a) 
11
15
b) 
12
15
c) 
13
15
d) 
14
15
e) 
16
15
4. Calcule a integral de linha ∫cydx + ∫cxdy, onde onde C consiste nos segmentos de retas de (1,2) a (1,1).
a) 
17
3
b) 
16
3
c) 
14
3
d) 
13
3
e) 
11
3
5. Calcule ∫cF. dr, onde 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑦𝑖 + 𝑦𝑥𝑗 + 3𝑧𝑘 e onde C é a cúbica retorcida dada por:
= 𝑡 𝑦 = 𝑡 𝑧 = 𝑡
0 ≤ 𝑡 ≤ 1
2 2 
a) 
17
30
b) 
77
30
c) 
72
30
d) 
15
30
e) 
75
30
NotasReferências
BROCHI, A. Cálculo diferencial e integral II (livro proprietário). Rio de Janeiro: SESES, 2015.
FINNEY, R. L.; WEIR, M. D.; GIORDANO, F. R. (Ed.). Cálculo George B. Thomas. São Paulo: Pearson, 2009. v. 1 e 2.
FLEMMING, D. M., GONÇALVES, M. B. Cálculo B. 2. ed. São Paulo: Pearson, 2007
MORETTIN, P. A.; HAZZAN, S.; BUSSAND, W. O. Cálculo: funções de uma e várias variáveis. São Paulo: Saraiva. 2013
STEWART, James. Cálculo Volume 2. São Paulo: Cegage Learning- 2013.
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Objetos de Aprendizagem:
Applet:
Integral de Linha; <https://www.geogebra.org/m/Sk5ahXRB>
Integrais de linha; <https://www.geogebra.org/m/ypbCyRyF>
Integral de linha 2. Integral de Linha de Campo Vetorial. <https://www.geogebra.org/m/pcqgpuku>
Vídeo aula:
Integral de linha de campo escalar independente da direção do caminho. <https://pt.khanacademy.org/math/multivariable-
calculus/integrating-multivariable-functions/line-integrals-vectors/v/scalar-�eld-line-integral-independent-of-path-direction>
https://www.geogebra.org/m/Sk5ahXRB
https://www.geogebra.org/m/ypbCyRyF
https://www.geogebra.org/m/pcqgpuku
https://pt.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/integrating-multivariable-functions/line-integrals-vectors/v/scalar-field-line-integral-independent-of-path-direction