Geometria Analitica UERJ prova2 modelo

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Geometria Anaĺıtica - Prova 2
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Critério de avaliação: pontos serão descontados, sem possibilidade de reavaliação futura, devido a (1)
palavras e/ou frases estranhas à Matemática, (2) desenvolvimento de explicação e/ou cálculo numérico feitos
’na vertical’, escreva como está nos livros, e (3) qualquer rasura. Utilize, no máximo, duas folhas para escrever
suas respostas.
Questão 1. (2 pontos) Determine as equações vetorial e geral de cada reta tangente a
x2
81
+
y2
36
=
1 e que é paralela a 7x+ 6
√
2 y − 81 = 0.
Questão 2. (2 pontos) Sabe-se que (7,
27
√
5
2
) e (−4, 9
√
3) pertencem à uma hipérbole com
eixo focal sobre Ox. Calcule os focos, vértices e as asśıntotas.
Questão 3. (1 ponto) Sobre a curva definida por y2 = 40x existe um ponto, no qual o vetor
tangente forma 30◦ com a horizontal. Calcule o ponto.
Questão 4. (2 pontos) Há uma elipse (a = 6), uma hipérbole (a = 2) e uma parábola que
passam por (12, 9), todas com os focos sobre Ox. Quais são as equações reduzidas destas
cônicas?
Questão 5. (3 pontos) Determine o plano de corte e a equação de uma hipérbole (eixo trans-
verso 12), de uma parábola (vértice com cota 3) e de uma reta que se encontram sobre a
superf́ıcie definida por
z = 2 +
(x− 9)2
4
− (y − 16)
2
36
.
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13
,
IM
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3
33
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,
ou
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3
10
81
4,
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R E S P O S T A S
Questão 1. −→v = (7, 6
√
2) é um vetor normal à reta dada e à reta tangente. Para esta
elipse, tem-se vetor normal (36x1, 81y1) = k(7, 6
√
2) e, assim, y1 =
8
√
2 x1
21
. Por substituição,
x2
1
81
+
1
36
(
8
√
2 x1
21
)2 =
x2
1
81
+
32 x2
1
3969
=
49x2
1
+ 32x2
1
3969
=
x2
1
49
= 1 e x1 = ±7. Desta feita, y1 = ±
8
√
2
3
e tem-se os pontos de contato A = (7,
8
√
2
3
) e B = (−7,−8
√
2
3
).
A reta tangente em A tem equações X = (7,
8
√
2
3
) +m(6
√
2,−7) e 7x + 6
√
2 y − 81 = 0,
em B tem equações X = (−7,−8
√
2
3
) +m(6
√
2,−7) e 7x+ 6
√
2 y + 81 = 0.
Questão 2. Pela posição dos focos, tem-se
x2
a2
− y
2
b2
= 1. No 1o ponto sai 196b2− 3645a2 =
4a2b2. E no 2o, 16b2 − 243a2 = a2b2. Observe que 3645 = 243 × 15 motiva multiplicar a 2a
equação por 15 e subtrair a 1a. O resultado é 44b2 = 11a2b2 e, então, a2 = 4. Utilizando
qualquer uma das equações, segue que b2 = 81.
Os vértices são A1 = (−2, 0) e A2 = (2, 0). Visto que c =
√
a2 + b2 =
√
85, os focos são
F1 = (−
√
85, 0) e F2 = (
√
85, 0). As asśıntotas são definidas por y = −9
2
x e y =
9
2
x.
Questão 3. Sabe-se que −→n = (−2p, y1) = (−20, y1) e
−→
t = (y1, 20). A inclinação de
−→
t é
tal que tg 30◦ =
√
3
3
=
20
y1
, logo y1 = 20
√
3, x1 = 30 e o ponto é (30, 20
√
3).
Questão 4. Claro que a elipse é definida por
x2
a2
+
y2
b2
= 1, sendo que
122
36
+
92
b2
= 1 fornece
b2 = 27. Portanto,
x2
36
+
y2
27
= 1. A hipérbole é definida pela equação
x2
a2
− y
2
b2
= 1, com
122
4
− 9
2
b2
= 1, indicando b2 =
81
35
. Portanto,
x2
4
− y
2
81
35
= 1. E a parábola tem equação y2 = 4px,
sendo que 92 = 4p× 12 indica 4p = 27
4
. Portanto, y2 =
27
4
x.
Questão 5. Para a hipérbole (azul), considere a intersecção com o plano de corte [z = p]
(p 6= 2), que é (x− 9)
2
4(p− 2)−
(y − 16)2
36(p− 2) = 1. Ora, eixo transverso 12 significa 2a = 12 e a = 6, então
4(p−2) = a2 = 36 leva a p = 11. Portanto, a hipérbole é definida por (x− 9)
2
36
− (y − 16)
2
324
= 1
no plano de corte [z = 11].
Para a parábola (laranja), considere a intersecção com o plano [x = p], que é z = 2 +
(p− 9)2
4
− (y − 16)
2
36
, equivalente a (y − 16)2 = −36(z − 2 − (p− 9)
2
4
). O vértice é o ponto
(p, 16, 2 +
(p− 9)2
4
) como 3a coordenada igual a 3, então 2 +
(p− 9)2
4
= 3, (p − 9)2 = 4 e
2
p = 9 ± 2. Portanto, a parábola é definida por (y − 16)2 = −36(z − 3) nos planos de corte
[x = 7] e [x = 11].
Agora com [y = p]: tem-se
(x− 9)2
4
= z − 2 + (y − 16)
2
36
e (x− 9)2 = 4(z − 2 + (y − 16)
2
36
),
de modo que 2 − (y − 16)
2
36
= 3 e
(y − 16)2
36
= −1, sem solução. Não há parábola com vértice
(x0, y0, 3) nesta sela e em um plano [y = p].
Quanto à reta (vermelho), deve estar em [z = 2]. Então, 0 =
(x− 9)2
4
− (y − 16)
2
36
=
(
x− 9
2
− y − 16
6
).(
x− 9
2
+
y − 16
6
) admite soluções (x, y, 2) com 3x−y−11 = 0 e 3x+y−43 = 0,
que são pontos de duas retas.
3