Solon_3 1a3

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3.1 Na montagem da fig. 3.1 são dados: 
a) Sequência das fases: �̂�𝟏𝟎, �̂�𝟐𝟎 𝒆 �̂�𝟑𝟎. 
b) Tensões simples equilibradas e iguais a 𝟐𝟐𝟎 𝑽. 
Pede-se calcular: 
1°) As correntes �̂�𝟏, �̂�𝟐 𝒆 �̂�𝟑, em módulo e argumento, referidas á �̂�𝟏𝟎. 
2°) As leituras dos respectivos wattímetros 𝑾𝟏,𝑾𝟐 𝒆 𝑾𝟑. 
3°) As potências ativas 𝑷𝟏, 𝑷𝟐 𝒆 𝑷𝟑, respectivamente das cargas ligadas ás fases 1, 2 e 3, e 
verificar se: 𝑾𝟏 + 𝑾𝟐 + 𝑾𝟑 = 𝑷𝟏 + 𝑷𝟐 + 𝑷𝟑. 
4°) A potência ativa total 𝑷 da carga. 
5°) O fator de potência da carga. 
 
Diagrama fasorial: 
 
�̂�1 = 12 = 12∡0° Ω �̂�2 = 10 + 𝑗6 = 11,66∡30,96° Ω �̂�3 = 8 + 𝑗12 = 14,42∡56,31° Ω 
 
Cálculo das correntes: 
 
No circuito em 𝑌 a corrente de linha é igual a corrente de fase, portanto basta identificar a 
tensão que está sendo aplicada na carga e fazer: 
 
𝐼1 =
�̂�10
�̂�1
=
220∡0°
12∡0°
= 𝟏𝟖, 𝟑𝟑∡𝟎° 𝑨 
𝐼2 =
�̂�20
�̂�2
=
220∡ − 120°
11,66∡30,96°
= 𝟏𝟖, 𝟖𝟔∡ − 𝟏𝟓𝟎, 𝟗𝟔° 𝑨 
𝐼3 =
�̂�30
�̂�3
=
220∡120°
14,42∡56,31°
= 𝟏𝟓, 𝟐𝟓∡𝟔𝟑, 𝟔𝟗° 𝑨 
 
Leitura dos wattímetros: 
𝑊1 = 𝑉10. 𝐼1. cos (�⃗� 10, 𝐼 1) 
𝑊1 = 220.18,33. cos (0° − 0°) 
𝑊1 = 𝟒𝟎𝟑𝟐, 𝟔 𝑾 
 
𝑊2 = 𝑉20. 𝐼2. cos (�⃗� 20, 𝐼 2) 
𝑊2 = 220.18,86. cos (−120° − (−150,96°)) 
𝑊2 = 𝟑𝟓𝟓𝟖, 𝟎𝟓 𝑾 
 
𝑊3 = 𝑉30. 𝐼3. cos (�⃗� 30, 𝐼 3) 
𝑊3 = 220.15,25. cos (120° − (63,69°)) 
𝑊3 = 𝟏𝟖𝟔𝟏, 𝟎𝟏𝟔 𝑾 
 
Cálculo das potências ativas: 
𝑃1 = 𝑉10. 𝐼1. cos (𝜃1) 
𝑃1 = 220.18,33. cos (0°) 
𝑃1 = 𝟒𝟎𝟑𝟐, 𝟔 𝑾 
 
𝑃2 = 𝑉20. 𝐼2. cos (𝜃2) 
𝑃2 = 220.18,86. cos(30,96°) 
𝑃2 = 𝟑𝟓𝟓𝟖, 𝟎𝟓 𝑾 
 
𝑃3 = 𝑉30. 𝐼3. cos (𝜃3) 
𝑃3 = 220.15,25. cos (56,31° ) 
𝑃3 = 𝟏𝟖𝟔𝟏, 𝟎𝟏𝟔 𝑾 
 
Potência ativa total: 
𝑃𝑇 = 𝑃1 + 𝑃2 + 𝑃3 
𝑃𝑇 = 4032,6 𝑊 + 3558,05 𝑊 + 1861,016 𝑊 = 𝟗𝟒𝟓𝟏, 𝟔𝟔 𝑾 
 
 
Cálculo do fator de potência: 
 
Como já temos o valor do P total basta calcular o Q total para encontrar o ângulo e calcular o 
seu 𝑓. 𝑝 = cos (𝜃): 
 
𝑄1 = 𝑉10. 𝐼1. sen(𝜃1) 
𝑄1 = 220.18,33. sen (0°) 
𝑄1 = 𝟎 𝑽𝑨𝒓 
 
𝑄2 = 𝑉20. 𝐼2. sen (𝜃2) 
𝑄2 = 220.18,86. sen(30,96°) 
𝑄2 = 𝟐𝟏𝟑𝟒, 𝟓𝟏 𝑽𝑨𝒓 
 
𝑄3 = 𝑉30. 𝐼3. sen (𝜃3) 
𝑄3 = 220.15,25. sen (56,31° ) 
𝑄3 = 𝟐𝟕𝟗𝟏, 𝟓𝟑 𝑽𝑨𝒓 
 
𝑄𝑇 = 𝑄1 + 𝑄2 + 𝑄3 
𝑄𝑇 = 0 + 2134,51 𝑉𝐴𝑟 + 2791,53 𝑉𝐴𝑟 = 4926,04 𝑉𝐴𝑟 
 
Agora pelo triângulo de potências calcula-se o ângulo da impedância representativa do circuito 
por : 
 
𝜃 = arctan (
𝑄𝑇
𝑃𝑇
) = arctan (
4926,04
9451,66
) = 27,53° 
𝑓. 𝑝 = cos(𝜃) = cos(27,53°) = 𝟎, 𝟖𝟖𝟔𝟕 (𝒊𝒏𝒅𝒖𝒕𝒊𝒗𝒐) 
 
Obs: o f.p é indutivo pois o ângulo da impedância representativa do circuito é positivo. 
3.2 Na montagem da fig. 3.2 são dados: 
a) Sequência das fases: �̂�𝟏𝟎, �̂�𝟐𝟎 𝒆 �̂�𝟑𝟎. 
b) Tensões simples equilibradas e iguais a 𝟑𝟖𝟎 𝑽. 
Pede-se calcular: 
1°) As correntes �̂�𝟏, �̂�𝟐 𝒆 �̂�𝟑, em módulo e argumento, referidas á �̂�𝟏𝟎. 
2°) As leituras dos respectivos wattímetros 𝑾𝟏,𝑾𝟐 𝒆 𝑾𝟑. 
3°) As potências ativas 𝑷𝟏, 𝑷𝟐 𝒆 𝑷𝟑, respectivamente das cargas ligadas ás fases 1, 2 e 3, e 
verificar se: 𝑾𝟏 + 𝑾𝟐 + 𝑾𝟑 = 𝑷𝟏 + 𝑷𝟐 + 𝑷𝟑. 
4°) A potência ativa total 𝑷 da carga. 
5°) O fator de potência da carga. 
 
Diagrama fasorial: 
 
�̂�1 = 10 + 𝑗20 = 22,36∡63,43° Ω �̂�2 = 12 − 𝑗10 = 15,62∡ − 39,8° Ω �̂�3 = 15 = 15∡0° Ω 
 
Cálculo das correntes: 
 
No circuito em 𝑌 a corrente de linha é igual a corrente de fase, portanto basta identificar a tensão 
que está sendo aplicada na carga e fazer: 
 
𝐼1 =
�̂�10
�̂�1
=
380
√3
∡0°
22,36∡63,43°
= 𝟗, 𝟖𝟏∡ − 𝟔𝟑, 𝟒𝟑° 𝑨 
𝐼2 =
�̂�20
�̂�2
=
380
√3
∡ − 120°
15,62∡ − 39,8°
= 𝟏𝟒, 𝟎𝟓∡ − 𝟖𝟎, 𝟐° 𝑨 
𝐼3 =
�̂�30
�̂�3
=
380
√3
∡120°
15∡0°
= 𝟏𝟒, 𝟔𝟐∡𝟏𝟐𝟎° 𝑨 
 
Leitura dos wattímetros: 
Obs: nos exercícios da lista, o sinal " ± " marca o lado de maior potencial da bobina de potencial 
do wattímetro, no caso do wattímetro 𝑊1 sua bobina de potencial está ligada entre as fases 1 e 3 
com o sinal " ± " indica a fase 1 como sendo a de maior potencial, portanto utilizamos a tensão de 
linha 𝑈13 no cálculo da leitura do wattímetro. 
 
𝑊1 = 𝑈13. 𝐼1. cos (�⃗⃗� 13, 𝐼 1) 
𝑊1 = 380.9,81. cos (−30° − (−63,43°)) 
𝑊1 = 𝟑𝟏𝟏𝟏, 𝟎𝟕 𝑾 
 
𝑊2 = 𝑈23. 𝐼2. cos (�⃗⃗� 23, 𝐼 2) 
𝑊2 = 380.14,05. cos (−90° − (−80,2°)) 
𝑊2 = 𝟓𝟐𝟔𝟏, 𝟎𝟏 𝑾 
 
A bobina de potencial do 𝑊3 está ligada entre as fases 0 e 3 com o sinal " ± " marcando a fase 0 
como sendo a de maior potencial, senso assim usa-se a tensão de fase-neutro �̂�03 = −�̂�30 (como 
não se pode ter módulo de fasor negativo, adiciona-se ou subtrai-se 180° do ângulo da tensão 
�̂�03 =
380
√3
∡(120° − 180°) → �̂�03 =
380
√3
∡ − 60° 𝑉, observe o diagrama fasorial), a sua bobina de 
corrente está na fase 0 logo, pela LCK têm-se: 
 
𝐼0 = −(𝐼1 + 𝐼2 + 𝐼3) = −(9,81∡ − 63,43° + 14,05∡ − 80,2° + 14,62∡120°) = −(9,97∡ − 93,05°) 
(Adicionando 180° ao ângulo) 
𝐼0 = −(9,97∡ − 93,05°) = 9,97∡(−93,05° + 180°) = 9,97∡86,95° 𝐴 
 
𝑊3 = 𝑉03. 𝐼0. cos (�⃗� 20, 𝐼 0) 
𝑊3 =
380
√3
. 9,97. cos (−60° − (86,95°)) 
𝑊3 = −𝟏𝟖𝟑𝟑, 𝟒𝟐 𝑾 
Cálculo das potências ativas: 
𝑃1 = 𝑉10. 𝐼1. cos (𝜃1) 
𝑃1 =
380
√3
. 9,81. cos (63,43°) 
𝑃1 = 𝟗𝟔𝟐, 𝟔𝟖 𝑾 
 
𝑃2 = 𝑉20. 𝐼2. cos (𝜃2) 
𝑃2 =
380
√3
. 14,05. cos(−39,8°) 
𝑃2 = 𝟐𝟑𝟔𝟖, 𝟐𝟏 𝑾 
 
𝑃3 = 𝑉30. 𝐼3. cos (𝜃3) 
𝑃3 =
380
√3
. 14,62. cos (0° ) 
𝑃3 = 𝟑𝟐𝟎𝟕, 𝟓𝟐 𝑾 
 
Potência ativa total: 
𝑃𝑇 = 𝑃1 + 𝑃2 + 𝑃3 
𝑃𝑇 = 962,68 𝑊 + 3207,52 𝑊 + 2368,21 𝑊 = 𝟔𝟓𝟑𝟖, 𝟒𝟏 𝑾 
 
Cálculo do fator de potência: 
Como já temos o valor do P total basta calcular o Q total para encontrar o ângulo e calcular o seu 
𝑓. 𝑝 = cos (𝜃): 
 
𝑄1 = 𝑉10. 𝐼1. sen(𝜃1) 
𝑄1 =
380
√3
. 9,81. sen (63,43°) 
𝑄1 = 𝟏𝟗𝟐𝟒, 𝟗𝟒 𝑽𝑨𝒓 
 
𝑄2 = 𝑉20. 𝐼2. sen (𝜃2) 
𝑄2 =
380
√3
. 14,05. sen(−39,8°) 
𝑄2 = −𝟏𝟗𝟕𝟑, 𝟏𝟐 𝑽𝑨𝒓 
 
𝑄3 = 𝑉30. 𝐼3. sen (𝜃3) 
𝑄3 =
380
√3
. 14,62. sen (0°) 
𝑄3 = 𝟎 𝑽𝑨𝒓 
 
𝑄𝑇 = 𝑄1 + 𝑄2 + 𝑄3 
𝑄𝑇 = 1924,94 + −1973,12 𝑉𝐴𝑟 + 0 = −48,18 𝑉𝐴𝑟 
 
 
 
 
Agora pelo triângulo de potências calcula-se o ângulo da impedância representativa do circuito 
por : 
 
𝜃 = arctan (
𝑄𝑇
𝑃𝑇
) = arctan (
= −48,18 
6538,41
) = −0,42° ≅ 0° 
𝑓. 𝑝 = cos(𝜃) = cos(0°) = 𝟏 
 
 
3.3 Para medir a potência de uma carga trifásica equilibrada, alimentada através de um 
circuito trifásico a 3 fios, emprega-se o método dos 2 wattímetros. O 𝟏°indica 𝟑 𝒌𝑾 e o 𝟐° 
indica 𝟏 𝒌𝑾 depois de se inverter a sua bobina de potencial. 
 Pede-se determinar: 
 1°) A potência ativa da carga 
Quando um dos wattímetros ler um valor negativo, significa que o fator de potência da carga é 
menor que 0,5. Neste caso usa-se um artifício: inverte-se a bobina do wattímetro que estiver a 
leitura negativa. Pelo enunciado, a bobina do segundo wattímetro foi invertida, o que indica 
que sua real leitura foi de −1 𝑘𝑊. 
Como neste caso foi utilizado o método dos dois wattímetros temos que 𝑃𝑇 = 𝑊1 + 𝑊2. 
 
𝑃𝑇 = 𝑊1 + 𝑊2 = 3 + (−1) = 2 𝑘𝑊 
 
 2°) O fator de potência da carga 
Pelo método dos dois wattímetros temos: 
-Ponto comum fase 1: 
tan(𝜃) =
(𝑊1 − 𝑊2). √3
𝑊1 + 𝑊2
=
(3 − (−1)). √3
3 + (−1)
=
4
2
. √3 = 2. √3 
𝑓. 𝑝 = cos(arctan(2. √3)) = cos(73,9°) = 𝟎, 𝟐𝟕𝟕𝟑 
 
-Ponto comum fase 2: 
tan(𝜃) =
(𝑊2 − 𝑊1). √3
𝑊1 + 𝑊2
=
(−1 − (3)). √3
3 + (−1)
=
−4
2
. √3 = −2. √3 
𝑓. 𝑝 = cos(arctan(−2. √3)) = cos(−73,9°) = 𝟎, 𝟐𝟕𝟕𝟑 
 
-Ponto comum fase 3: 
tan(𝜃) =
(𝑊1 − 𝑊2). √3
𝑊1 + 𝑊2
(𝑐á𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑙ℎ𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑜 𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑢𝑛 𝑓𝑎𝑠𝑒 1) 
 
Como não foi definido o ponto comum no enunciado, escolhemos qualquer uma das fórmulas. 
 
𝒇. 𝒑 = 𝟎, 𝟐𝟕𝟕𝟑 
3.4 A potência ativa de uma carga trifásica, equilibrada, é medida pelo método dos 2 
wattímetros. O 1º indica 5 KW e o 2º, -1 KW. 
Pede-se determinar: 
1º) O fator de potência da carga. 
 
tan 𝜃 =
𝑄
𝑃
=
√3. (𝑊1− 𝑊2)
𝑊1 + 𝑊2
=
√3. (5 − (−1))
5 + (−1)
=
√3. 6
4
=
3√3
2
= 2,598 
𝜃 = tan−1 2,598 = 68,947° 
𝐹. 𝑃 = cos 68,947° = 0,3592 indutivo (ângulo no 1º quadrante) 
 
2º) Sabendo que a tensão entre fases é 380 V, calcular o valor da reatância capacitiva 
que se deve introduzir em cada fase (isto é, ligada entre fase e neutro) para que o 1º 
wattímetro indique toda a potência ativa da carga. 
 
𝐸𝑚 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎𝑠 𝑡𝑟𝑖𝑓á𝑠𝑖𝑐𝑜𝑠 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑊1 = 𝑈 × 𝐼 × cos(30 − 𝜃) 𝑒 𝑊2 = 𝑈 ×
𝐼 × cos(30 + 𝜃), para o 𝑊1 medir toda a potência ativa da carga devemos fazer 𝑊2 = 0, 
para o 𝑊2 = 0 o 𝜃 deve ser um valor que torne cos(30 + 𝜃) = 0, como o cos(90) = 0 
concluímos que: 
30° + 𝜃 = 90° 
𝜃 = 90° − 30° 
𝜃 = 60° 
 
Analisando os resultados 𝜃1 = 68,947°, 𝜃2 = 60° e o triângulo de potências abaixo 
concluímos então que para 𝑊2 = 0 devemos retirar uma quantidade 𝑄𝑐 de energia 
reativa 𝑄𝑐. 
 
𝑄𝑐3∅ = 𝑄 − 𝑄
′ = 𝑃 × tan 𝜃1 − 𝑃 × tan 𝜃2 
𝑄𝑐3∅ = 𝑃3∅ × (tan 𝜃1 − tan 𝜃2) 
𝑄𝑐3∅ = 4000 × (tan 68,947 − tan 60°) 
𝑄𝑐3∅ = 3463,41 𝑉𝑎𝑟 
 
Com essa informação podemos calcular a reatância capacitiva que será colocada em cada 
fase, mas para isso como o circuito é trifásico e equilibrado, a potência reativa capacitiva 
por fase é 
𝑄𝑐3∅
3
 , sendo assim temos que utilizar tensão de fase, logo: 
𝑄𝑐 =
𝑉²
𝑋𝑐
 
𝑋𝑐 =
𝑉²
𝑄𝑐
=
(
380
√3
)
2
3463,41
3
= 41,69 𝑜ℎ𝑚𝑠/𝑓𝑎𝑠𝑒 
 
3.5 Na montagem da figura 3.2 são dados: 
a) Sequência das fases: �̂�𝟏𝟐, �̂�𝟐𝟑, e �̂�𝟑𝟏. 
b) Tensões compostas equilibradas e iguais a 380 V. 
Pede-se calcular: 
1º) As correntes �̂�𝟏, �̂�𝟐, �̂�𝟑, em módulo e argumento, referidas á �̂�𝟏𝟐. 
2º) As leituras dos respectivos wattímetros 𝑾𝟏e 𝑾𝟐. 
3º) As potências ativas e 𝑷𝟏, 𝑷𝟐 e 𝑷𝟑, respectivamente das cargas ligadas entre 1 e 2, 2 
e 3 e 3 e 1, e verificar se: 𝑾𝟏+𝑾𝟐 = 𝑷𝟏+𝑷𝟐 + 𝑷𝟑. 
4º) A potência ativa total 𝑷 da carga. 
5º) O fator de potência da carga. 
 
Diagrama fasorial: 
 
 
 
 
 
 
 
-Cálculo das correntes: 
 
𝐼𝑍1 =
𝑈12
𝑍1
=
380∡0°
−𝑗50
=
380∡0°
50∡ − 90°
= 7,6∡90° 𝐴 
𝐼𝑍2 =
𝑈23
𝑍2
=
380∡ − 120°
20 − 𝑗40
=
380∡ − 120°
44,72∡ − 63,43°
= 8,5∡ − 56,57° 𝐴 
𝐼𝑍3 =
𝑈31
𝑍1
=
380∡120°
10 + 𝑗15
=
380∡120°
18,03∡56,31°
= 21,08∡63,69° 𝐴 
𝐼1 = 𝐼𝑍1 − 𝐼𝑍3 = 14,66∡ − 129,59° 𝐴 
𝐼2 = 𝐼𝑍2 − 𝐼𝑍1 = 15,42∡ − 72,32° 𝐴 
𝐼3 = 𝐼𝑍3 − 𝐼𝑍2 = 26,40∡79,83° 𝐴 
 
-Leitura dos wattímetros: 
 
𝑊1 = 𝑈12 × 𝐼1 × cos(�⃗⃗� 12, 𝐼 1) 
𝑊1 = 380 × 14,66 × cos(0° − (−129,59°)) 
𝑾𝟏 = −𝟑𝟓𝟓𝟎, 𝟐𝟏 𝑾 
𝑊2 = 𝑈32 × 𝐼3 × cos(�⃗⃗� 32, 𝐼 3) 
 
Usamos U32 pois a bobina de corrente está na fase 3, e pelo sinal ± a corrente flui no 
wattímetro da fase 3 para a fase 2 
𝑊2 = 380 × 26,40 × cos(60° − 79,83°) 
𝑾𝟐 = 𝟗𝟒𝟑𝟕, 𝟏𝟒 𝑾 
 
-Potências ativas: 
 
𝑃1 = 𝑈12 × 𝐼𝑍1 × cos(𝜃1) 
𝑃1 = 380 × 7,6 × cos(−90°) 
𝑷𝟏 = 𝟎 𝑾 
𝑃2 = 𝑈23 × 𝐼𝑍2 × cos(𝜃2) 
𝑃2 = 380 × 8,5 × cos(−63,43°) 
𝑷𝟐 = 𝟏𝟒𝟒𝟒, 𝟕𝟓 𝑾 
𝑃3 = 𝑈31 × 𝐼𝑍3 × cos(𝜃3) 
𝑃3 = 380 × 21,08 × cos(56,31°) 
𝑷𝟑 = 𝟒𝟒𝟒𝟑, 𝟑𝟔 𝑾 
𝑊1+𝑊2 = 𝑃1+𝑃2 + 𝑃3 (𝑆𝑒𝑛𝑡𝑒𝑛ç𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑎!) 
5886,93 ≅ 5888,11 
 
- Potência ativa total: 
 
𝑃1+𝑃2 + 𝑃3 = 5888,11 𝑊 
- Fator de potência da carga: 
𝑄1 = 𝑈12 × 𝐼𝑍1 × sin(𝜃1) 
𝑄1 = 380 × 7,6 × sin(−90°) 
𝑸𝟏 = −𝟐𝟖𝟖𝟖 𝑽𝒂𝒓 
𝑄2 = 𝑈23 × 𝐼𝑍2 × sin(𝜃2) 
𝑄2 = 380 × 8,5 × sin(−63,43°) 
𝑸𝟐 = −𝟐𝟖𝟖𝟖, 𝟖𝟖 𝑽𝒂𝒓 
𝑄3 = 𝑈31 × 𝐼𝑍3 × sin(𝜃3) 
𝑄3 = 380 × 21,08 × sin(56,31°) 
𝑸𝟑 = 𝟔𝟔𝟔𝟓, 𝟎𝟔 𝑽𝒂𝒓 
𝑄 = 𝑄1 + 𝑄2 + 𝑄3 
𝑄 = −2888 − 2888,88 + 6665,06 
𝑄 = 888,18 𝑉𝑎𝑟 
 
 
 
Descobrindo o valor de 𝜽: 
 
tan 𝜃 =
𝑄
𝑃
=
888,18
5888,11 
= 0,15 
 
tan−1 𝜃 = 0,15 = 8,53° 
 
𝐹. 𝑃 = cos 8,53° = 0,9889 
3.6 Na montagem da figura 3.4 são dados: 
a) Sequência das fases: 𝑼𝟏𝟐, 𝑼𝟐𝟑, e 𝑼𝟑𝟏. 
b) Tensões compostas equilibradas e iguais a 380 V. 
Pede-se calcular: 
1º) As correntes �̂�𝟏, �̂�𝟐, �̂�𝟑, em módulo e argumento, referidas á 𝑼𝟏𝟐. 
2º) As leituras dos respectivos wattímetros 𝑾𝟏 e 𝑾𝟐. 
3º) As potências ativas e 𝑷𝟏, 𝑷𝟐 e 𝑷𝟑, respectivamente das cargas 1, 2 e 3, e verificar se: 
𝑾𝟏+𝑾𝟐 = 𝑷𝟏+𝑷𝟐 + 𝑷𝟑. 
4º) A potência ativa total 𝑷 da carga. 
5º) O fator de potência da carga. 
 
Diagrama fasorial: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-Cálculo das correntes: 
Devido a ausência do neutro no circuito com cargas em Y, primeiramente devemos 
encontrar as tensões de fase nas cargas, de acordo com a montagem abaixo temos: 
 
Para encontrar as tensões nas cargas usaremos o método do deslocamento do neutro 
para encontrar a tensão 𝑉0, e depois fazer: 
 
𝑉𝑍1 = 𝑉10 − 𝑉0 
𝑉𝑍2 = 𝑉20 − 𝑉0 
𝑉𝑍3 = 𝑉30 − 𝑉0 
 
Pelo método do deslocamento do neutro temos: 
 
𝑍1 = 22,36∡63,43° 𝑒 𝑌𝑍1 = 0,0447∡ − 63.43° 
𝑍2 = 15,62∡ − 39,81° 𝑒 𝑌𝑍2 = 0,064∡39,81° 
𝑍3 = 15∡0° 𝑒 𝑌𝑍3 = 0,066∡0° 
𝑉0 =
𝑌𝑍1. 𝑉10 + 𝑌𝑍2. 𝑉20 + 𝑌𝑍3. 𝑉30
𝑌𝑍1 + 𝑌𝑍2 + 𝑌𝑍3
 
𝑉0 =
9,8∡ − 93,43° + 14,04∡ − 110,2° + 14,48∡0°
0,0447∡ − 63.43° + 0,064∡39,81° + 0,066∡0°
 
𝑉0 =
10,07∡ − 122,66°
0,135∡0,422°
 
𝑉0 = 74,59∡ − 123,08° 
 
 
 
Calculando as tensões nas cargas: 
 
𝑉𝑍1 = 𝑉10 − 𝑉0 = (
380
√3
∡ − 30°) − (74,59∡ − 123,08°) = 235,49∡ − 11,56° 𝑉 
𝑉𝑍2 = 𝑉20 − 𝑉0 = (
380
√3
∡ − 150°) − (74,59∡ − 123,08°) = 156,57∡ − 162,46° 𝑉 
𝑉𝑍3 = 𝑉30 − 𝑉0 = (
380
√3
∡90°) − (74,59∡ − 123,08°) = 284,82∡81,78° 𝑉 
 
Encontrando o valor das correntes: 
 
𝐼1 =
𝑉𝑍1
𝑍1
=
235,49∡ − 11,56°
22,36∡63,43°
= 𝟏𝟎, 𝟓𝟑∡ − 𝟕𝟓, 𝟎° 𝑨 
𝐼2 =
𝑉𝑍2
𝑍2
=
156,57∡ − 162,46° 
15,62∡ − 39,81°
= 𝟏𝟎, 𝟎𝟑∡ − 𝟏𝟐𝟐, 𝟔𝟓° 𝑨 
𝐼3 =
𝑉𝑍3
𝑍3
=
284,82∡81,78°
15∡0°
= 𝟏𝟖. 𝟏∡𝟖𝟏, 𝟕𝟖° 𝑨 
 
 
 
 
 
-Leitura dos wattímetros: 
 
𝑊1 = 𝑈13 × 𝐼1 × cos(�⃗⃗� 13, 𝐼 1) 
𝑊1 = 380 × 10,53 × cos(−60° − (−75,0°)) 
𝑾𝟏 = 𝟑𝟖𝟔𝟓, 𝟎𝟔 𝑾 
𝑊2 = 𝑈23 × 𝐼2 × cos(�⃗⃗� 23, 𝐼 2) 
𝑊2 = 380 × 10,02 × cos(−120° − (−122,65°)) 
𝑾𝟐 = 𝟑𝟖𝟎𝟕, 𝟑𝟐 𝑾 
 
-Potências ativas: 
 
𝑃1 = 𝑉𝑍1 × 𝐼1 × cos(𝜃1) 
𝑃1 = 235,49 × 10,53 × cos(63,43°) 
𝑷𝟏 = 𝟏𝟏𝟎𝟗, 𝟏𝟓𝑾 
𝑃2 = 𝑉𝑍2 × 𝐼2 × cos(𝜃2) 
𝑃2 = 156,57 × 10,03 × cos(−39,81°) 
𝑷𝟐 = 𝟏𝟐𝟎𝟔, 𝟑𝟑 𝑾 
𝑃3 = 𝑉𝑍3 × 𝐼3 × cos(𝜃3) 
𝑃3 = 284,82 × 18.1 × cos(0°) 
𝑷𝟑 = 𝟓𝟏𝟓𝟓, 𝟐𝟒 𝑾 
𝑊1+𝑊2 + 𝑊3 = 𝑃1+𝑃2 + 𝑃3 (𝑆𝑒𝑛𝑡𝑒𝑛ç𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑎!) 
7626,03 ≅ 7470,72 
 
- Potência ativa total: 
 
𝑃1+𝑃2 + 𝑃3 = 7470,72 𝑊 
 
- Fator de potência da carga: 
 
𝑄1 = 𝑉𝑍1 × 𝐼1 × sin(𝜃1) 
𝑄1 = 235,49 × 10,53 × sin(63,43°) 
𝑸𝟏 = 𝟐𝟐𝟏𝟕, 𝟖𝟐 𝑽𝒂𝒓 
𝑄2 = 𝑉𝑍2 × 𝐼2 × sin(𝜃2) 
𝑄2 = 156,57 × 10,03 × sin(−39,81°) 
𝑸𝟐 = −𝟏𝟎𝟎𝟓, 𝟒𝟑 𝑽𝒂𝒓 
𝑄3 = 𝑉𝑍3 × 𝐼3 × sin(𝜃3) 
𝑄3 = 284,82 × 18.1 × sin(0°) 
𝑸𝟑 = 𝟎 𝑽𝒂𝒓 
𝑄 = 𝑄1 + 𝑄2 + 𝑄3 
𝑄 = 2217,82 − 1005,43 + 0 
𝑄 = 1212,39 𝑉𝑎𝑟 
 
Descobrindo o valor de 𝜽: 
 
tan 𝜃 =
𝑄
𝑃
=
1212,39
7470,72
= 0,1622 
tan−1 𝜃 = 0,1622 = 9,212° 
𝐹. 𝑃 = cos 9,212° = 0,987 𝑖𝑛𝑑𝑢𝑡𝑖𝑣𝑜 (â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑛𝑜 1º 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒) 
 
3.7 A figura 3.5 representa uma fábrica em que são dados: 
a) Sequência das fases: 𝑼𝟏𝟐, 𝑼𝟐𝟑, e 𝑼𝟑𝟏. 
b) Tensões compostas equilibradas e iguais a 380 V. 
c) Frequência 𝟔𝟎 𝑯𝒛. 
d) 𝑳 = 𝟓 𝒍â𝒎𝒑𝒂𝒅𝒂𝒔 𝒅𝒆 𝟏𝟎𝟎 𝑾 𝒆𝒎 𝒄𝒂𝒅𝒂 𝒓𝒂𝒎𝒐 
e) 𝑴𝟏 = 𝒎𝒐𝒕𝒐𝒓 𝒕𝒓𝒊𝒇á𝒔𝒊𝒄𝒐 𝒅𝒆 𝟐 𝒄𝒗, 𝒇. 𝒑 = 𝟎, 𝟖𝟓 𝒆 𝒓𝒆𝒏𝒅𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 = 𝟎, 𝟖𝟎. 
f) 𝑴𝟐 = 𝒎𝒐𝒕𝒐𝒓 𝒕𝒓𝒊𝒇á𝒔𝒊𝒄𝒐 𝒅𝒆 𝟏𝟎 𝒄𝒗, 𝒇. 𝒑 = 𝟎, 𝟕𝟓 𝒆 𝒓𝒆𝒏𝒅𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 = 𝟎, 𝟖𝟑 
Pede-se calcular: 
1º) As correntes �̂�𝟏, �̂�𝟐, �̂�𝟑, em módulo e argumento, referidas á �⃗⃗� 𝟏𝟎. 
2º) As leituras dos respectivos wattímetros 𝑾𝟏 e 𝑾𝟐. 
3º) As potências totais 𝑷 e reativa 𝑸. 
4º) O fator de potência do conjunto. 
5º) Antes das lâmpadas 𝑳, são ligados em estrela 3 capacitores (cada um ligado entre fase e 
neutro) de 𝟏𝟑𝟓 microfarads cada um. Calcular o s novos valores de �̂�𝟏, �̂�𝟐e �̂�𝟑, em módulo e 
argumento, referidas á �⃗⃗� 𝟏𝟎, e o novo fator de potência. 
 
Diagrama fasorial: 
 
 
Cálculo das correntes:5 lâmpadas de 100 W em cada ramo: 
𝑃1∅ = 5.100 = 500 𝑊 
𝑃3∅ = 3.5.100 = 1500 𝑊 
𝑓. 𝑝 = cos(𝜃𝐿) = 1(o f.p é unitário pois 
lâmpadas são cargas puramente resistivas) 
𝜃𝐿 = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠(1) = 0° 
 
Para o cálculo da corrente podemos 
encontrar de duas maneiras no caso das 
lâmpadas neste circuito: 
 
-Por potência monofásica, utilizando 
somente a fase 1 do circuito fazemos: 
 
𝑃 = 𝑈. 𝐼. cos (𝜃𝐿) 
𝑃1∅ = 𝑉10. 𝐼1𝐿. cos (𝜃𝐿) 
500 =
220
√3
. 𝐼1𝐿. 1 
𝐼1𝐿 = 2,28 
 
A fase da corrente pode ser obtida pelo 
conceito: 
 
𝜃𝐿 = ∡𝑉10 − ∡𝐼 
 
Pelo diagrama fasorial temos: 
 
0° − ∡𝐼 = 0° 
∡𝐼 = 0° 
 
Logo, 𝐼1𝐿 = 2,28∡0° 𝐴, como o circuito é 
equilibrado, para obter o valor das outras 
correntes que circulam pelo conjunto de 
lâmpadas basta defasar a corrente 𝐼1𝐿 em 
−120° para obter a corrente da fase 2 e 
+120° para obter o valor da fase 3: 
 
𝐼1𝐿 = 2,28∡0° 𝐴 
𝐼2𝐿 = 2,28∡(0° − 120°) 
𝐼2𝐿 == 2,28∡ − 120° 𝐴 
𝐼3𝐿 = 2,28∡(0° + 120°) = 2,28∡120° 𝐴 
 
 
 
 
 
 
 
 
-Por potência trifásica, para um circuito 
equilibrado temos a fórmula: 
 
𝑃3∅ = √3.𝑈. 𝐼1𝐿. cos (𝜃) 
1500 = √3. 380. 𝐼1𝐿. 1 
𝐼1𝐿 = 2,28 𝐴, mesmo valor obtido pelo 
cálculo por potência monofásica. Utiliza-se 
o mesmo método para encontrar a fase da 
corrente. 
 
Motor 𝑴𝟏: 
Dados: 
 
𝑃𝑠𝑎í𝑑𝑎 = 2𝑐𝑣 = 2.736 = 1472 𝑊 
𝑓. 𝑝 = cos(𝜃𝑀1) = 0,65 (𝑖𝑛𝑑𝑢𝑡𝑖𝑣𝑜) 
𝜃𝑀1 = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠(0,65) = 49,458° ≅ 49,46° 
 
Pelo conceito de rendimento: 
 
𝜂 =
𝑃𝑠𝑎í𝑑𝑎
𝑃𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎
 
 
Neste caso a potência de entrada será a 
potência fornecida pela fonte, e como um 
motor é uma carga naturalmente 
equilibrada e também é trifásico: 
 
𝑃𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 = √3.𝑈. 𝐼1𝑀1. cos (𝜃𝑀1) 
 
Logo temos que: 
 
𝑃𝑠𝑎í𝑑𝑎
𝜂
= 𝑃𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 
1472
0,80
= √3. 380. 𝐼1𝑀1. 0,65 
𝐼1𝑀1 = 4,3 𝐴 
 
A fase da corrente pode ser obtida pelo 
conceito: 
 
𝜃𝑀1 = ∡𝑉10 − ∡𝐼 
 
Pelo diagrama fasorial temos: 
 
∡𝑉10 − ∡𝐼1𝑀1 = 𝜃𝑀1 
0° − ∡𝐼1𝑀1 = 49,46° 
∡𝐼1𝑀1 = −49,46° 
 
 
 
 
 
As demais correntes 𝐼2𝑀1 e 𝐼3𝑀1 podem ser 
encontradas da mesma forma que 
encontramos 𝐼2𝐿 e 𝐼3𝐿, sendo assim temos: 
 
𝐼1𝑀1 = 4,3∡ − 49,46° 𝐴 
𝐼2𝑀1 = 4,3∡(−49,46° − 120°) 
𝐼2𝑀1 = 4,3∡ − 169,46° 𝐴 
𝐼3𝑀1 = 4,3∡(−49,46° + 120°) 
𝐼3𝑀1 = 4,3∡70,54° 𝐴 
 
Motor 𝑴𝟐: 
Dados: 
 
𝑃𝑠𝑎í𝑑𝑎 = 10𝑐𝑣 = 10.736 = 7360 𝑊 
𝑓. 𝑝 = cos(𝜃𝑀2) = 0,75 (𝑖𝑛𝑑𝑢𝑡𝑖𝑣𝑜) 
𝜃𝑀2 = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠(0,75) = 41,096° ≅ 41,41° 
 
Como já sabemos, temos que: 
 
𝑃𝑠𝑎í𝑑𝑎
𝜂
= 𝑃𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 
7360
0,83
= √3. 380. 𝐼1𝑀2. 0,75 
𝐼1𝑀2 = 17,96 𝐴 
 
Como já sabemos, para encontrar o 
argumento (ângulo), temos que: 
 
𝜃𝑀2 = ∡𝑉10 − ∡𝐼1𝑀2 
∡𝑉10 − ∡𝐼1𝑀2 = 𝜃𝑀2 
0° − ∡𝐼1𝑀2 = 41,41° 
∡𝐼1𝑀2 = −41,41° 
 
As demais correntes 𝐼2𝑀2 e 𝐼3𝑀2 podem ser 
encontradas da mesma forma que 
encontramos 𝐼2𝐿 e 𝐼3𝐿, sendo assim temos: 
 
𝐼1𝑀2 = 17,96 ∡ − 41,41° 𝐴 
𝐼2𝑀2 = 17,96 ∡(−41,41° − 120°) 
𝐼2𝑀2 = 17,96 ∡ − 169,46° 𝐴 
𝐼3𝑀2 = 17,96 ∡(−41,41° + 120°) 
𝐼3𝑀2 = 17,96 ∡70,54° 𝐴 
 
As correntes 𝐼1, 𝐼2 e 𝐼3 podem ser 
encontradas utilizando LCK na primeira 
fase: 
𝐼1 = 𝐼1𝐿 + 𝐼1𝑀1 + 𝐼1𝑀2 
 
𝐼1 = 2,28∡0° + 4,3∡ − 49,46° 
+17,96 ∡ − 41,41° 
 
𝐼1 = 𝟐𝟑, 𝟗𝟒∡ − 𝟑𝟗, 𝟐𝟒° 𝑨 
Da mesma forma, como o circuito é 
equilibrado, basta defasar ±120° da 
corrente da fase 1 para obter a corrente 
que passa pelas fases 2 e 3. 
 
𝐼2 = 23,94∡(−39,24° − 120°) 
𝐼2 = 𝟐𝟑, 𝟗𝟒∡ − 𝟏𝟓𝟗, 𝟐𝟒° 𝑨 
𝐼3 = 23,94∡(−39,24° + 120°) 
𝐼3 = 𝟐𝟑, 𝟗𝟒∡𝟖𝟎, 𝟕𝟔° 𝑨 
 
Leitura dos Wattímetros: 
 
𝑊1 = 𝑈13. 𝐼1. cos (�⃗⃗� 13, 𝐼 1) 
𝑊1 = 380.23,94. cos (−30° − (−39,24°)) 
𝑊1 = 𝟖𝟗𝟕𝟗, 𝟏𝟓 𝑾 
 
𝑊2 = 𝑈23. 𝐼2. cos (�⃗⃗� 23, 𝐼 2) 
𝑊2 = 380.23,94. cos (−90°
− (−159,24°)) 
𝑊2 = 𝟑𝟐𝟐𝟒, 𝟓𝟒 𝑾 
 
Cálculo da potência ativa total: 
 
𝜃 = 𝜃1 = 𝜃2 = 𝜃3 = ∡𝑉10 − ∡𝐼1 
𝜃 = 0° − (−39,24°) = 39,24° 
 
Para circuitos trifásicos equilibrados a 
potência ativa total pode ser calculada 
multiplicando por 3 a potência ativa da 
fase 1, ou pela fórmula: 
 
𝑃3∅ = √3.𝑈. 𝐼. cos (𝜃) 
𝑃3∅ = √3. 380.23,94. cos (39,24°) 
𝑃3∅ = 𝟏𝟐𝟐𝟎𝟑, 𝟕 𝑾 
 
Cálculo da potência reativa total: 
 
Da mesma forma, para a potência reativa 
total temos: 
 
𝑄3∅ = √3.𝑈. 𝐼. sen (𝜃) 
𝑄3∅ = √3. 380.23,94. sen (39,24°) 
𝑄3∅ = 𝟗𝟗𝟔𝟕, 𝟐𝟗 𝑽𝑨𝒓 
 
 
Cálculo do fator de potência: 
 
𝑓. 𝑝 = cos(𝜃) = cos(39,24°) 
𝑓. 𝑝 = 𝟎, 𝟕𝟕𝟒𝟓 (𝒊𝒏𝒅𝒖𝒕𝒊𝒗𝒐) 
 
Cálculo das correntes e do f.p após inserir 
os capacitores: 
 
Primeiramente encontramos a impedância 
gerada pela capacitância dada de 135 
microfarads: 
𝑋𝐶 = −
1
𝜔. 𝐶
= −
1
377. 135.10−6
 
𝑋𝐶 = −19,65 → 𝑍𝐶 = 𝑗𝑥𝐶 = −𝑗19,65 
𝑍𝐶 = 19,65∡ − 90° Ω 
 
Utilizando a lei de ohm na fase um dos 
capacitores temos: 
 
𝐼1𝐶 =
𝑉10
𝑍𝐶
=
380
√3
∡0°
19,65∡ − 90°
= 11,16∡90° 𝐴 
 
Aplicando LCK novamente na fase 1 
encontramos a nova corrente: 
 
𝐼1 = 𝐼1𝐿 + 𝐼1𝑀1 + 𝐼1𝑀2 
 
𝐼1 = 2,28∡0° + 4,3∡ − 49,46° + 
17,96 ∡ − 41,41° + 11,16∡90° 
 
𝐼1 = 𝟏𝟖, 𝟗𝟔∡ − 𝟏𝟐, 𝟏𝟑° 𝑨 
 
Como já sabemos: 
 
𝐼2 = 18,96∡(−12,13° − 120°) 
𝐼2 = 18,96∡ − 𝟏𝟑𝟐, 𝟏𝟑° 𝑨 
𝐼3 = 18,96∡(−12,13° + 120°) 
𝐼3 = 18,96∡𝟏𝟎𝟕, 𝟖𝟕° 𝑨 
 
O novo f.p será: 
 
𝜃 = 𝜃1 = 𝜃2 = 𝜃3 = ∡𝑉10 − ∡𝐼1 
𝜃 = 0° − (−12,13°) = 12,13° 
𝑓. 𝑝 = cos(𝜃) = cos(12,13°) 
𝑓. 𝑝 = 𝟎, 𝟗𝟕𝟕𝟔 (𝒊𝒏𝒅𝒖𝒕𝒊𝒗𝒐) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.8 A figura 3.6 representa uma fábrica em que são dados: 
a) Sequência das fases: 𝑼𝟏𝟐, 𝑼𝟐𝟑, e 𝑼𝟑𝟏. 
b) Tensões compostas equilibradas e iguais a 220 V. 
c) 𝑳 = 𝟓 𝒍â𝒎𝒑𝒂𝒅𝒂𝒔 𝒅𝒆 𝟐𝟎𝟎 𝑾 𝒆𝒎 𝒄𝒂𝒅𝒂 𝒓𝒂𝒎𝒐 
d) 𝑴 = 𝒎𝒐𝒕𝒐𝒓 𝒕𝒓𝒊𝒇á𝒔𝒊𝒄𝒐 𝒅𝒆 𝟐 𝒄𝒗, 𝒇. 𝒑 = 𝟎, 𝟔𝟖 𝒆 𝒓𝒆𝒏𝒅𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 = 𝟎, 𝟕𝟖. 
e) 𝑴𝟏 = 𝒎𝒐𝒕𝒐𝒓 𝒕𝒓𝒊𝒇á𝒔𝒊𝒄𝒐 𝒅𝒆 𝟓 𝒄𝒗, 𝒇. 𝒑 = 𝟎, 𝟕𝟐 𝒆 𝒓𝒆𝒏𝒅𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 = 𝟎, 𝟖𝟏. 
Pede-se calcular: 
1º) As correntes �̂�𝟏, �̂�𝟐, �̂�𝟑, em módulo e argumento, referidas á �⃗⃗� 𝟏𝟎. 
2º) As leituras dos respectivos wattímetros 𝑾𝟏, 𝑾𝟐 e 𝑾𝟑. 
3º) As potências totais: ativa 𝑷 e reativa 𝑸. 
4º) O fator de potência do conjunto. 
 
Diagrama fasorial: 
 
 
Cálculo das correntes: 
 
Lâmpadas: 
Dados: 
 
5 lâmpadas de 200 W em cada ramo: 
𝑃1∅ = 5.200 = 1000 𝑊 
𝑃3∅ = 3.5.200 = 3000 𝑊 
𝑓. 𝑝 = cos(𝜃𝐿) = 1 (o f.p é unitário, pois 
lâmpadas são cargas puramente resistivas) 
𝜃𝐿 = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠(1) = 0° 
 
Para o cálculo da corrente podemos 
encontrar de duas maneiras no caso das 
lâmpadas neste circuito: 
 
-Por potência monofásica, utilizando 
somente a fase 1 do circuito fazemos: 
 
𝑃 = 𝑈. 𝐼. cos (𝜃𝐿) 
𝑃1∅ = 𝑉10. 𝐼1𝐿. cos (𝜃𝐿) 
1000 =
220
√3
. 𝐼1𝐿. 1 
𝐼1𝐿 = 7,87 𝐴 
A fase da corrente pode ser obtida pelo 
conceito: 
 
𝜃𝐿 = ∡𝑉10 − ∡𝐼 
 
Pelo diagrama fasorial temos: 
 
0° − ∡𝐼 = 0° 
∡𝐼 = 0° 
 
Logo, 𝐼1𝐿 = 7,87∡0° 𝐴, como o circuito é 
equilibrado, para obter o valor das outras 
correntes que circulam pelo conjunto de 
lâmpadas basta defasar a corrente 𝐼1𝐿 em 
−120° para obter a corrente da fase 2 e 
+120° para obter o valor da fase 3: 
 
𝐼1𝐿 = 7,87∡0° 𝐴 
𝐼2𝐿 = 7,87∡(0° − 120°) 
𝐼2𝐿 = 7,87∡ − 120° 𝐴 
𝐼3𝐿 = 7,87∡(0° + 120°) = 7,87∡120° 𝐴 
 
 
 
 
 
 
-Por potência trifásica, para um circuito 
equilibrado temos a fórmula: 
 
𝑃3∅ = √3.𝑈. 𝐼1𝐿. cos (𝜃) 
3000 = √3. 220. 𝐼1𝐿. 1 
𝐼1𝐿 = 7,87𝐴, mesmo valor obtido pelo 
cálculo por potência monofásica. Utiliza-se 
o mesmo método para encontrar a fase da 
corrente. 
 
Motor 𝑴: 
Dados: 
 
𝑃𝑠𝑎í𝑑𝑎 = 2𝑐𝑣 = 2.736 = 1472 𝑊 
𝑓. 𝑝 = cos(𝜃𝑀1) = 0,68 (𝑖𝑛𝑑𝑢𝑡𝑖𝑣𝑜) 
𝜃𝑀 = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠(0,68) = 47,156° ≅ 47,16° 
 
Pelo conceito de rendimento: 
 
𝜂 =
𝑃𝑠𝑎í𝑑𝑎
𝑃𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎
 
 
Neste caso já sabemos que a potência de 
entrada será a potência fornecida pela 
fonte, e que o motor é uma carga 
equilibrada. 
Em especial neste circuito podemos 
calcular a corrente que passa pelos 
motores 𝑀 de duas maneiras: 
 
-Cálculo individual: 
Analisando sobre qual tensão o motor estásendo alimentado e fazendo o cálculo da 
corrente. Fazendo o cálculo com o terceiro 
motor 𝑀 temos: 
 
𝑃1∅ = 𝑃𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 = 𝑈12. 𝐼1𝑀. cos (𝜃𝑀) 
 
Logo temos que: 
 
𝑃𝑠𝑎í𝑑𝑎
𝜂
= 𝑃𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 
1472
0,78
= 220. 𝐼1𝑀. 0,68 
𝐼1𝑀 = 12,61 𝐴 
 
 
 
 
 
 
 
A fase da corrente pode ser obtida pelo 
conceito: 
 
𝜃𝑀 = ∡𝑈12 − ∡𝐼1𝑀 
 
Pelo diagrama fasorial temos: 
 
∡𝑈12 − ∡𝐼1𝑀 = 𝜃𝑀 
30° − ∡𝐼1𝑀 = 47,16° 
∡𝐼1𝑀 = −17,16° 
 
As demais correntes 𝐼2𝑀1 e 𝐼3𝑀1 podem ser 
encontradas da mesma forma que 
encontramos 𝐼2𝐿 e 𝐼3𝐿, sendo assim temos: 
 
𝐼1𝑀 = 12,61∡ − 17,16°𝐴 
𝐼2𝑀 = 12,61∡(−17,16° − 120°) 
𝐼2𝑀 = 12,61∡ − 137,16° 𝐴 
𝐼3𝑀 = 12,61∡(−17,16° + 120°) 
𝐼3𝑀 = 12,61∡102,84° 𝐴 
 
Obs: neste caso quando realizar LCK na 
fase 1, observar o sentido da corrente em 
cada motor! 
 
-Organizando em um único motor em 
delta: 
Observando a ligação dos 3 motores 𝑀 
percebe-se que, pela disposição de suas 
ligações entre as fases 𝑈12, 𝑈23, e 𝑈31, e 
por consumirem a mesma potência 
podemos realizar o cálculo utilizando a 
fórmula de potência ativa trifásica 
equilibrada: 
 
𝑃3∅ = 3.𝑃1∅ = 𝑃𝑠𝑎í𝑑𝑎 
𝑃𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 = √3.𝑈. 𝐼1𝑀. cos (𝜃𝑀) 
3.1472
0,78
= √3. 220. 𝐼1𝑀. 0,68 
𝐼1𝑀 = 21,85 𝐴 
 
A fase da corrente pode ser obtida pelo 
conceito: 
 
𝜃𝑀 = ∡𝑉10 − ∡𝐼1𝑀 
 
Pelo diagrama fasorial temos: 
 
∡𝑉10 − ∡𝐼1𝑀 = 𝜃𝑀 
0° − ∡𝐼1𝑀 = 47,16° 
∡𝐼1𝑀 = −47,16° 
 
Como o circuito é equilibrado temos: 
 
𝐼1𝑀 = 21,85∡ − 47,16°𝐴 
𝐼2𝑀 = 21,85∡(−47,16° − 120°) 
𝐼2𝑀 = 21,85∡ − 167,16° 𝐴 
𝐼3𝑀 = 21,85∡(−47,16° + 120°) 
𝐼3𝑀 = 21,85∡72,84° 𝐴 
 
Motor 𝑴𝟏: 
Dados: 
 
𝑃𝑠𝑎í𝑑𝑎 = 5𝑐𝑣 = 5.736 = 3680 𝑊 
𝑓. 𝑝 = cos(𝜃𝑀1) = 0,72 (𝑖𝑛𝑑𝑢𝑡𝑖𝑣𝑜) 
𝜃𝑀1 = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠(0,72) = 43,9455° ≅ 43,95° 
 
Como já sabemos, temos que: 
 
𝑃𝑠𝑎í𝑑𝑎
𝜂
= 𝑃𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 
3680
0,81
= √3. 220. 𝐼1𝑀1. 0,72 
𝐼1𝑀1 = 16,56 𝐴 
 
Como já sabemos, para encontrar o 
argumento (ângulo), temos que: 
 
𝜃𝑀1 = ∡𝑉10 − ∡𝐼1𝑀1 
∡𝑉10 − ∡𝐼1𝑀1 = 43,95° 
0° − ∡𝐼1𝑀1 = 43,95° 
∡𝐼1𝑀1 = −43,95° 
 
As demais correntes 𝐼2𝑀2 e 𝐼3𝑀2 podem ser 
encontradas da mesma forma que 
encontramos 𝐼2𝐿 e 𝐼3𝐿, sendo assim temos: 
 
𝐼1𝑀1 = 16,56∡ − 43,95° 𝐴 
𝐼2𝑀1 = 16,56∡(−43,95° − 120°) 
𝐼2𝑀1 = 16,56∡ − 163,95° 𝐴 
𝐼3𝑀1 = 16,56∡(−43,95° + 120°) 
𝐼3𝑀1 = 16,56∡76,05° 𝐴 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As correntes 𝐼1, 𝐼2 e 𝐼3 podem ser 
encontradas utilizando LCK na primeira 
fase: 
 
-Com corrente do motor 𝑀 calculada 
individualmente: 
 
𝐼1 = 𝐼1𝐿 + 𝐼1𝑀 − 𝐼3𝑀 + 𝐼1𝑀1 
 
𝐼1 = 7,87∡0° + 12,61∡ − 17,16° 
−(12,61∡102,84°) + 16,56∡ − 43,95° 
(subtrai-se 180° á fase de𝐼3𝑀) 
𝐼1 = 7,87∡0° + 12,61∡ − 17,16° 
+12,61∡ − 77,16° + 16,56∡ − 43,95° 
 
𝐼1 = 𝟒𝟒, 𝟐𝟒∡ − 𝟑𝟖, 𝟒𝟓° 𝑨 
 
-Com corrente do motor 𝑀 calculada como 
um motor trifásico: 
 
𝐼1 = 𝐼1𝐿 + 𝐼1𝑀 − 𝐼3𝑀 + 𝐼1𝑀1 
 
𝐼1 = 7,87∡0° + 21,85∡ − 47,16° 
+16,56∡ − 43,95° 
 
𝐼1 = 𝟒𝟒, 𝟐𝟒∡ − 𝟑𝟖, 𝟒𝟓° 𝑨 
 
Da mesma forma, como o circuito é 
equilibrado, basta defasar ±120° da 
corrente da fase 1 para obter a corrente 
que passa pelas fases 2 e 3. 
 
𝐼2 = 44,24∡(−38,45° − 120°) 
𝐼2 = 𝟒𝟒, 𝟐𝟒∡ − 𝟏𝟓𝟖, 𝟒𝟓° 𝑨 
𝐼3 = 44,24∡(−38,45° + 120°) 
𝐼3 = 𝟒𝟒, 𝟐𝟒∡𝟖𝟏, 𝟓𝟓° 𝑨 
 
Leitura dos Wattímetros: 
 
𝑊1 = 𝑈13. 𝐼1. cos (�⃗⃗� 13, 𝐼 1) 
𝑊1 = 220.44,24. cos (−30° − (−38,45°)) 
𝑊1 = 𝟗𝟔𝟐𝟕, 𝟏𝟒 𝑾 
 
𝑊2 = 𝑈23. 𝐼2. cos (�⃗⃗� 23, 𝐼 2) 
𝑊2 = 220.44,24. cos (−90° − (−158,45°)) 
𝑊2 = 𝟑𝟓𝟕𝟒, 𝟗𝟖 𝑾 
 
 
 
 
𝑊3 = 𝑈21. 𝐼3. cos (�⃗⃗� 21, 𝐼 3) 
𝑊3 = 220.44,24. cos (−150° − (81,55°)) 
𝑊3 = −𝟔𝟎𝟓𝟐, 𝟏𝟔 𝑽𝑨𝒓 (quando a tensão em 
que está ligada a bobina de potencial forma 
90° com a fase da bobina de corrente, este 
wattímetro estará medindo potência reativa) 
 
Cálculo da potência ativa total: 
 
𝜃 = 𝜃1 = 𝜃2 = 𝜃3 = ∡𝑉10 − ∡𝐼1 
𝜃 = 0° − (−38,45°) = 38,45° 
Para circuitos trifásicos equilibrados a 
potência ativa total pode ser calculada 
multiplicando por 3 a potência ativa da 
fase 1, ou pela fórmula: 
 
𝑃3∅ = √3.𝑈. 𝐼. cos (𝜃) 
𝑃3∅ = √3. 220.44,24. cos (38,45°) 
𝑃3∅ = 𝟏𝟑𝟐𝟎𝟐, 𝟏𝟐 𝑾 
 
Cálculo da potência reativa total: 
 
Da mesma forma, para a potência reativa 
total temos: 
 
𝑄3∅ = √3.𝑈. 𝐼. sen (𝜃) 
𝑄3∅ = √3. 220.44,24. sen (38,45°) 
𝑄3∅ = 𝟏𝟎𝟒𝟖𝟐, 𝟔𝟓 𝑽𝑨𝒓 
 
Cálculo do fator de potência: 
 
𝑓. 𝑝 = cos(𝜃) = cos(38,45°) 
𝑓. 𝑝 = 𝟎, 𝟕𝟖𝟑𝟏 (𝒊𝒏𝒅𝒖𝒕𝒊𝒗𝒐) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.9 A figura 3.7 representa uma fábrica em que são dados: 
a) Sequência das fases: 𝑼𝟏𝟐, 𝑼𝟐𝟑, e 𝑼𝟑𝟏. 
b) Tensões compostas equilibradas e iguais a 380 V. 
c) 𝑴𝟏 = 𝒎𝒐𝒕𝒐𝒓 𝒕𝒓𝒊𝒇á𝒔𝒊𝒄𝒐 𝒅𝒆 𝟏𝟎 𝒄𝒗, 𝒇. 𝒑 = 𝟎, 𝟖𝟏 𝒆 𝒓𝒆𝒏𝒅𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 = 𝟎, 𝟖𝟑. 
d) 𝑴 = 𝒎𝒐𝒕𝒐𝒓 𝒕𝒓𝒊𝒇á𝒔𝒊𝒄𝒐 𝒅𝒆 𝟐 𝒄𝒗, 𝒇. 𝒑 = 𝟎, 𝟕𝟎 𝒆 𝒓𝒆𝒏𝒅𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 = 𝟎, 𝟕𝟑. 
e) 𝑳 = 𝟓 𝒍â𝒎𝒑𝒂𝒅𝒂𝒔 𝒅𝒆 𝟐𝟎𝟎 𝑾 𝒆𝒎 𝒄𝒂𝒅𝒂 𝒓𝒂𝒎𝒐 
Pede-se calcular: 
1º) As correntes �̂�𝟏, �̂�𝟐, �̂�𝟑, em módulo e argumento, referidas á �⃗⃗� 𝟏𝟎. 
2º) As leituras dos respectivos wattímetros 𝑾𝟏, 𝑾𝟐, 𝑾𝟑, 𝑾𝟒 e 𝑾𝟓. 
 
Diagrama fasorial: 
 
 
Cálculo das correntes: 
 
Motor 𝑴𝟏: 
Dados: 
 
𝑃𝑠𝑎í𝑑𝑎 = 10𝑐𝑣 = 10.736 = 7360 𝑊 
𝑓. 𝑝 = cos(𝜃𝑀1) = 0,81 (𝑖𝑛𝑑𝑢𝑡𝑖𝑣𝑜) 
𝜃𝑀1 = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠(0,81) = 35,904° ≅ 35,9° 
 
Como já sabemos, temos que: 
 
𝑃𝑠𝑎í𝑑𝑎
𝜂
= 𝑃𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 
7360
0,83
= √3. 380. 𝐼1𝑀1. 0,81 
𝐼1𝑀1 = 16,63 𝐴 
 
Como já sabemos, para encontrar o 
argumento (ângulo), temos que: 
 
𝜃𝑀1 = ∡𝑉10 − ∡𝐼1𝑀1 
∡𝑉10 − ∡𝐼1𝑀1 = 35,9° 
0° − ∡𝐼1𝑀1 = 35,9° 
∡𝐼1𝑀1 = −35,9° 
 
As demais correntes 𝐼2𝑀1 e 𝐼3𝑀1 podem ser 
encontradas defasando ±120° pois o motor 
trifásico é uma carga equilibrada, sendo 
assim temos: 
 
𝐼1𝑀1 = 16,63∡ − 35,9°𝐴 
𝐼2𝑀1 = 16,63∡(−35,9° − 120°) 
𝐼2𝑀1 = 16,63∡ − 155,9° 𝐴 
𝐼3𝑀1 = 16,63∡(−35,9° + 120°) 
𝐼3𝑀1 = 16,63∡84,1° 𝐴 
 
Motor 𝑴: 
Dados: 
 
𝑃𝑠𝑎í𝑑𝑎 = 2𝑐𝑣 = 2.736 = 1472 𝑊 
𝑓. 𝑝 = cos(𝜃𝑀1) = 0,70 (𝑖𝑛𝑑𝑢𝑡𝑖𝑣𝑜) 
𝜃𝑀 = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠(0,70) = 45,572° ≅ 45,57° 
 
Pelo conceito de rendimento: 
 
𝜂 =
𝑃𝑠𝑎í𝑑𝑎
𝑃𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎
 
 
Neste caso já sabemos que a potência de 
entrada será a potência fornecida pela 
fonte, e que o motor é uma carga 
equilibrada. 
Em especial neste circuito podemos calcular 
a corrente que passa pelos motores 𝑀 de 
duas maneiras: 
 
-Cálculo individual: 
Analisando sobre qual tensão o motor está 
sendo alimentado e fazendo o cálculo da 
corrente. Fazendo o cálculo com o terceiro 
motor 𝑀 temos: 
 
𝑃1∅ = 𝑃𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 = 𝑉10. 𝐼1𝑀. cos (𝜃𝑀) 
 
Logo temos que: 
 
𝑃𝑠𝑎í𝑑𝑎
𝜂
= 𝑃𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 
1472
0,73
=
380
√3
. 𝐼1𝑀1. 0,70 
𝐼1𝑀1 = 13,13 𝐴 
 
A fase da corrente pode ser obtida pelo 
conceito: 
 
𝜃𝑀 = ∡𝑉10 − ∡𝐼1𝑀 
 
Pelo diagrama fasorial temos: 
 
∡𝑉10 − ∡𝐼1𝑀 = 𝜃𝑀 
0° − ∡𝐼1𝑀 = 45,57° 
∡𝐼1𝑀 = −45,57° 
 
𝐼1𝑀 = 13,13∡ − 45,57°𝐴 
 
Para o quarto motor M, vamos definir: 
 
𝐼1𝑀
′ = 13,13∡ − 45,57°𝐴 
 
O cálculo para os demais motores M é 
análogo, como todos estão sendo 
alimentados por tensões de fase, e as 
tensões de fase são defasadas de 120° uma 
das outras, então basta fazer: 
 
𝐼2𝑀 = 13,13∡(−45,57° − 120°) 
𝐼2𝑀 = 13,13∡ − 165,57° 𝐴 
𝐼3𝑀 = 13,13∡(−45,57° + 120°) 
𝐼3𝑀 = 13,13∡74,43° 𝐴 
 
 
 
 
 
-Organizando em um único motor em delta: 
Observando a ligação dos 3 motores 𝑀 
percebe-se que, pela disposição de suas 
ligações entre as fases 𝑉10, 𝑉20, e 𝑉30, e por 
consumirem a mesma potência podemos 
realizar o cálculo utilizando a fórmula de 
potência ativa trifásica equilibrada: 
 
𝑃3∅ = 3.𝑃1∅ = 𝑃𝑠𝑎í𝑑𝑎 
𝑃𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 = √3.𝑈. 𝐼1𝑀. cos (𝜃𝑀) 
3.1472
0,73
= √3. 380. 𝐼1𝑀. 0,70 
𝐼1𝑀 = 13,13 𝐴 
 
Mesmo resultado numérico do cálculo 
anterior. 
 
Lâmpadas: 
Dados: 
 
5 lâmpadas de 200 W em cada ramo: 
𝑃1∅ = 5.200 = 1000 𝑊 
𝑃3∅ = 3.5.200 = 3000 𝑊 
𝑓. 𝑝 = cos(𝜃𝐿) = 1 (o f.p é unitário, pois 
lâmpadas são cargas puramente resistivas) 
𝜃𝐿 = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠(1) = 0° 
 
Para o cálculo da corrente podemos 
encontrarde duas maneiras no caso das 
lâmpadas neste circuito: 
 
-Por potência monofásica, utilizando 
somente a fase 1 do circuito fazemos: 
 
𝑃 = 𝑈. 𝐼. cos (𝜃𝐿) 
𝑃1∅ = 𝑉10. 𝐼1𝐿. cos (𝜃𝐿) 
1000 =
380
√3
. 𝐼1𝐿. 1 
𝐼1𝐿 = 4,56 𝐴 
 
A fase da corrente pode ser obtida pelo 
conceito: 
 
𝜃𝐿 = ∡𝑉10 − ∡𝐼 
 
Pelo diagrama fasorial temos: 
 
0° − ∡𝐼 = 0° 
∡𝐼 = 0° 
 
Logo, 𝐼1𝐿 = 4,56∡0° 𝐴, como o circuito é 
equilibrado, para obter o valor das outras 
correntes que circulam pelo conjunto de 
lâmpadas basta defasar a corrente 𝐼1𝐿 em 
−120° para obter a corrente da fase 2 e 
+120° para obter o valor da fase 3: 
 
𝐼1𝐿 = 4,56∡0° 𝐴 
𝐼2𝐿 = 4,56∡(0° − 120°) 
𝐼2𝐿 = 4,56∡ − 120° 𝐴 
𝐼3𝐿 = 4,56∡(0° + 120°) = 4,56∡120° 𝐴 
 
-Por potência trifásica, para um circuito 
equilibrado temos a fórmula: 
 
𝑃3∅ = √3.𝑈. 𝐼1𝐿. cos (𝜃) 
3000 = √3. 220. 𝐼1𝐿. 1 
𝐼1𝐿 = 4,56 𝐴, mesmo valor obtido pelo 
cálculo por potência monofásica. Utiliza-se 
o mesmo método para encontrar a fase da 
corrente. 
 
A corrente 𝐼1, pode ser encontrada 
utilizando LCK na primeira fase: 
 
-Com corrente do motor 𝑀 calculada 
individualmente: 
 
𝐼1 = 𝐼1𝑀 + 𝐼1𝑀
′ + 𝐼1𝐿 + 𝐼1𝑀1 
 
𝐼1 = 13,13∡ − 45,57° + 13,13∡ − 45,57° 
+4,56∡0° + 16,63∡ − 35,9° 
𝐼1 = 𝟒𝟔, 𝟐𝟒∡ − 𝟑𝟖, 𝟎𝟓° 𝑨 
 
Como há um quarto motor M na fase 1 do 
circuito, o sistema se torna desequilibrado, 
o que significa que não podemos encontrar 
as demais correntes 𝐼2 e 𝐼3 apenas 
defasando a corrente 𝐼1 de ±120°, 
portanto: 
𝐼2 = 𝐼2𝑀 + +𝐼2𝐿 + 𝐼2𝑀1 
𝐼2 = 13,13∡ − 165,57° + 4,56∡ − 120° 
+16,63∡ − 155,9° 
𝐼2 = 𝟑𝟑, 𝟐𝟕∡ − 𝟏𝟓𝟓, 𝟏° 𝑨 
 
 
𝐼3 = 𝐼3𝑀 + +𝐼3𝐿 + 𝐼3𝑀1 
𝐼3 = 13,13∡74,43° + 4,56∡120° 
+16,63∡84,1° 
𝐼3 = 𝟑𝟑, 𝟐𝟕∡𝟖𝟒, 𝟏° 𝑨 
Leitura dos Wattímetros: 
 
𝑊1 = 𝑉10. 𝐼1. cos (�⃗� 10, 𝐼 1) 
𝑊1 =
380
√3
. 46,24. cos (0° − (−38,05°)) 
𝑊1 = 𝟕𝟗𝟖𝟖, 𝟕 𝑾 
 
𝑊2 = 𝑉20. 𝐼2. cos (�⃗� 20, 𝐼 2) 
𝑊2 =
380
√3
. 33,27. cos (−120° − (−155,1° )) 
𝑊2 =
380
√3
. 33,27. cos (35,1°) 
𝑊2 = 𝟓𝟗𝟕𝟏, 𝟖𝟒 𝑾 
 
𝑊3 = 𝑉30. 𝐼3. cos (�⃗� 30, 𝐼 3) 
𝑊3 =
380
√3
. 33,27. cos (120° − (84,1°)) 
𝑊3 =
380
√3
. 33,27. cos (35,1°) 
𝑊3 = 𝟓𝟗𝟕𝟏, 𝟖𝟒 𝑾 
𝑊4 = 𝑈13. 𝐼1
" . cos (�⃗⃗� 13, 𝐼1
"⃗⃗ ) 
A corrente que passa pela bobina de corrente 
do 𝑊4 é diferente de 𝐼1 pois há apenas duas 
cargas após a bobina: 
𝐼1
" = 𝐼1𝐿 + 𝐼1𝑀1 
𝐼1
" = 4,56∡0° + 16,63∡ − 35,9° 
𝐼1
" = 20,5∡ − 28,4° 𝐴 
 
𝑊4 = 380.20,5. cos (−30° − (−28,4°)) 
𝑊4 = 𝟕𝟕𝟖𝟔, 𝟗𝟔 𝑾 
𝑊5 = 𝑈23. 𝐼2
" . cos (�⃗⃗� 23, 𝐼2
"⃗⃗⃗ ) 
Analogamente a bobina do 𝑊4 a bobina do 
𝑊5 tem somente duas cargas do circuito após 
ela: 
𝐼2
" = 𝐼2𝐿 + 𝐼2𝑀1 
𝐼2
" = 4,56∡ − 120° + 16,63∡ − 155,9° 
𝐼2
" = 20,5∡ − 148,4° 𝐴 
𝑊5 = 380.20,5. cos (−90° − (−148,4° )) 
𝑊5 = 𝟒𝟎𝟖𝟏, 𝟖𝟓 𝑾 
 
3.10 A figura 3.8 representa uma fábrica em que são dados: 
a) Sequência das fases: 𝑽𝟏𝟎, 𝑽𝟐𝟎, e 𝑽𝟑𝟎. 
b) Tensões compostas equilibradas e iguais a 380 V. 
c) Frequência: 𝟔𝟎 𝑯𝒛 
d) 𝑴𝟏 = 𝒎𝒐𝒕𝒐𝒓 𝒕𝒓𝒊𝒇á𝒔𝒊𝒄𝒐 𝒅𝒆 𝟏𝟎 𝒄𝒗, 𝒇. 𝒑 = 𝟎, 𝟖𝟏 𝒆 𝒓𝒆𝒏𝒅𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 = 𝟎, 𝟖𝟑. 
e) 𝑨 = 𝒄𝒂𝒓𝒈𝒂 𝒅𝒆 𝟕, 𝟔𝟖 𝒌𝑾, 𝒇. 𝒑 = 𝟎, 𝟖𝟔𝟔 𝒊𝒏𝒅𝒖𝒕𝒊𝒗𝒐. 
f) 𝑩 = 𝒄𝒂𝒓𝒈𝒂 𝒅𝒆 𝟏𝟐, 𝟓 𝒌𝑾, 𝒇. 𝒑 = 𝟎, 𝟖𝟔𝟔 𝒄𝒂𝒑𝒂𝒄𝒊𝒕𝒊𝒗𝒐 𝒆 𝒓𝒆𝒏𝒅𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 = 𝟎, 𝟖𝟑. 
g) 𝑨 = 𝒄𝒂𝒓𝒈𝒂 𝒅𝒆 𝟏𝟎, 𝟖 𝒌𝑾, 𝒇. 𝒑 = 𝟏. 
Pede-se calcular: 
1º) As correntes �̂�𝟏, �̂�𝟐, �̂�𝟑, em módulo e argumento, referidas á �⃗⃗� 𝟏𝟎. 
2º) As leituras dos respectivos wattímetros 𝑾𝟏, 𝑾𝟐 e 𝑾𝟑. 
 
Diagrama fasorial: 
 
Cálculo das correntes: 
 
Carga 𝑨: 
Dados: 
𝑓. 𝑝 = cos(𝜃𝐴) = 0,866 (𝑖𝑛𝑑𝑢𝑡𝑖𝑣𝑜) 
𝜃𝐴 = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠(0,866) = 30,0029° ≅ 30° 
 
A carga é monofásica, alimentada por uma 
tensão de fase 𝑉30. 
 
𝑃1∅ = 𝑉30. 𝐼𝐴. cos (𝜃𝐴) 
7680 =
380
√3
. 𝐼𝐴. 0,866 
𝐼𝐴 = 40,42 𝐴 
 
Como já sabemos: 
 
𝜃𝐴 = ∡𝑉30 − ∡𝐼𝐴 
∡𝑉30 − ∡𝐼𝐴 = 𝜃𝐴 
120° − ∡𝐼𝐴 = 30° 
∡𝐼𝐴 = −90° 
 
𝐼𝐴 = 40,42∡90° 𝐴 
 
Carga 𝑩: 
Dados: 
𝑓. 𝑝 = cos(𝜃𝐵) = 0,866 (𝑐𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜) 
𝜃𝐴 = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠(0,866) = −30,0029° ≅ −30° 
(ângulo negativo por ter característica 
capacitiva) 
 
A carga é monofásica, alimentada por uma 
tensão de fase 𝑉20. 
 
𝑃1∅ = 𝑉20. 𝐼𝐵. cos (𝜃𝐵) 
12500 =
380
√3
. 𝐼𝐵. 0,866 
𝐼𝐵 = 65,79 𝐴 
 
Como já sabemos: 
 
𝜃𝐵 = ∡𝑉20 − ∡𝐼𝐵 
∡𝑉20 − ∡𝐼𝐵 = 𝜃𝐵 
−120° − ∡𝐼𝐵 = −30° 
∡𝐼𝐵 = −90° 
 
𝐼𝐵 = 65,79∡ − 90° 𝐴 
 
 
 
Carga 𝑪: 
Dados: 
𝑓. 𝑝 = cos(𝜃𝐶) = 1 
𝜃𝐶 = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠(1) = 0° 
(ângulo 0° por ter característica puramente 
resistiva) 
 
A carga é monofásica, alimentada por uma 
tensão de fase 𝑉10. 
 
𝑃1∅ = 𝑉10. 𝐼𝐶 . cos (𝜃𝐵) 
10800 =
380
√3
. 𝐼𝐶 . 1 
𝐼𝐶 = 49,23 𝐴 
 
Como já sabemos: 
 
𝜃𝐶 = ∡𝑉10 − ∡𝐼𝐶 
∡𝑉10 − ∡𝐼𝐶 = 𝜃𝐶 
0° − ∡𝐼𝐶 = 0° 
∡𝐼𝐶 = 0° 
 
𝐼𝐶 = 49,23∡0° 𝐴 
 
Motor 𝑴𝟏: 
Dados: 
 
𝑃𝑠𝑎í𝑑𝑎 = 75 𝑐𝑣 = 75.736 = 55200 𝑊 
𝑓. 𝑝 = cos(𝜃𝑀1) = 0,85 (𝑖𝑛𝑑𝑢𝑡𝑖𝑣𝑜) 
𝜃𝑀1 = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠(0,85) = 31,788° ≅ 31,79° 
 
O motor é trifásico, temos que: 
 
𝑃𝑠𝑎í𝑑𝑎
𝜂
= 𝑃𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 
55200
0,83
= √3. 380. 𝐼1𝑀1. 0,85 
𝐼1𝑀1 = 118,87 𝐴 
 
Como já sabemos, para encontrar o 
argumento (ângulo), temos que: 
 
𝜃𝑀1 = ∡𝑉10 − ∡𝐼1𝑀1 
∡𝑉10 − ∡𝐼1𝑀1 = 31,79° 
0° − ∡𝐼1𝑀1 = 31,79° 
∡𝐼1𝑀1 = −31,79° 
 
𝐼1𝑀1 = 118,87∡ − 31,79°𝐴 
 
 
 
 
As demais correntes 𝐼2𝑀1 e 𝐼3𝑀1 podem ser 
encontradas defasando ±120°, pois o motor 
trifásico é uma carga equilibrada, sendo 
assim temos: 
 
𝐼1𝑀1 = 118,87∡ − 31,79°𝐴 
𝐼2𝑀1 = 118,87∡(−31,79° − 120°) 
𝐼2𝑀1 = 118,87∡ − 151,79° 𝐴 
𝐼3𝑀1 = 118,87∡(−31,79° + 120°) 
𝐼3𝑀1 = 118,87∡88,21° 𝐴 
 
A corrente 𝐼1, pode ser encontrada utilizando 
LCK na primeira fase: 
𝐼1 = 𝐼𝐶 + 𝐼𝑀1 
𝐼1 = 49,23∡0° + 118,87∡ − 31,79° 
𝐼1 = 𝟏𝟔𝟐, 𝟕𝟗∡ − 𝟐𝟐, 𝟔𝟐° 𝑨 
 
A corrente 𝐼2, pode ser encontrada utilizando 
LCK na segunda fase: 
𝐼2 = 𝐼𝐵 + 𝐼2𝑀1 
𝐼2 = 65,79∡ − 90° + 118,87∡ − 151,79° 
𝐼2 = 𝟏𝟔𝟎, 𝟕𝟖∡ − 𝟏𝟑𝟎, 𝟔𝟓° 𝑨 
 
A corrente 𝐼3, pode ser encontrada utilizando 
LCK na segunda fase: 
𝐼3 = 𝐼𝐴 + 𝐼3𝑀1 
𝐼3 = 40,42∡90° + 118,87∡88,21° 
𝐼3 = 𝟏𝟓𝟗, 𝟐𝟕∡𝟖𝟖, 𝟔𝟔° 𝑨 
 
Leitura dos Wattímetros: 
 
𝑊1 = 𝑈23. 𝐼1
" . cos (�⃗� 20, 𝐼1
"⃗⃗ ) 
A corrente que passa pela bobina de corrente 
do 𝑊1 é diferente de 𝐼1 pois há apenas uma 
carga após a bobina: 
𝐼1
" = 𝐼1𝑀1 = 118,87∡ − 31,79° 𝐴 
 
𝑊1 = 380.118,87. cos (−90° − (−31,79°)) 
𝑊1 = 𝟐𝟑𝟕𝟗𝟔, 𝟐 𝑽𝑨𝒓 (Quando a bobina de 
potencial está defasada de 90° da fase em que 
está ligada a bobina de corrente, este 
wattímetro mede potência reativa) 
 
𝑊2 = 𝑉20. 𝐼2. cos (�⃗� 20, 𝐼 1) 
𝑊2 =
380
√3
. 160,78. cos (−120° − (−130,65°)) 
𝑊2 = 𝟑𝟒𝟔𝟔𝟔, 𝟑𝟗 𝑾 
 
𝑊3 = 𝑉30. 𝐼3. cos (�⃗� 30, 𝐼 1) 
𝑊3 =
380
√3
. 159,27. cos (120° − (88,66°)) 
𝑊3 = 𝟐𝟗𝟖𝟒𝟒, 𝟒𝟒 𝑾 
 
3.11 Na montagem da Fig. 3.9 são dados: 
a) Sequência das fases: 𝑼𝟏𝟐, 𝑼𝟐𝟑, e 𝑼𝟑𝟏. 
b) Tensões compostas equilibradas e iguais a 380 V. 
c) 𝑹 = 𝟖𝟎 𝒐𝒉𝒎𝒔 e 𝒁 = 𝟏𝟎 + 𝒋𝟖 
Pede-se calcular: 
1º) As correntes �̂�𝟏, �̂�𝟐, �̂�𝟑, em módulo e argumento, referidas á 𝑼𝟏𝟐. 
2º) As leituras dos respectivos wattímetros 𝑾𝟏, 𝑾𝟐 e 𝑾𝟑. 
3º) As potências totais: ativa 𝑷 e reativa 𝑸. 
4º) O fator de potência do conjunto. 
 
 
Diagrama fasorial: 
 
Cálculo das correntes: 
 
Carga 𝒁: 
Dados: 
𝑍∆ = 10 + 𝑗8 = 12,8∡38,66° Ω 
 
Em uma carga equilibrada: 
𝑍𝑌 =
𝑍∆
3
 
𝑍𝑌 =
12,8∡38,66°
3
= 4,26∡38,66° Ω 
(transforma-se a carga delta em carga Y para 
facilitar o cálculo elétrico das correntes na carga Z) 
 
Dessa forma, a carga em Y estará sendo 
alimentada diretamente por uma tensão de fase: 
𝐼1𝑍𝑦 =
𝑉10
𝑍𝑌
=
380
√3
∡ − 30°
4,26∡38,66° 
 
𝐼1𝑍𝑦 = 51,5∡ − 68,66° 𝐴 
𝐼2𝑍𝑦 =
𝑉10
𝑍𝑌
=
380
√3
∡ − 150°
4,26∡38,66° 
 
𝐼2𝑍𝑦 = 51,5∡171,34° 𝐴 
 
𝐼3𝑍𝑦 =
𝑉10
𝑍𝑌
=
380
√3
∡90°
4,26∡38,66° 
 
𝐼3𝑍𝑦 = 51,5∡51,34° 𝐴 
 
Carga 𝑹: 
 
A carga está sendo alimentada diretamente por 
tensão de fase:𝐼1𝑅 =
𝑉10
𝑅
=
380
√3
∡ − 30°
80 
 
𝐼1𝑅 = 2,74∡ − 30° 𝐴 
 
𝐼2𝑅 =
𝑉10
𝑅
=
380
√3
∡ − 150°
80 
 
𝐼2𝑅 = 2,74∡ − 150° 𝐴 
 
𝐼3𝑅 =
𝑉10
𝑅
=
380
√3
∡90°
80 
 
𝐼3𝑅 = 2,74∡90° 𝐴 
 
A corrente 𝐼1, pode ser encontrada utilizando LCK 
na primeira fase: 
𝐼1 = 𝐼1𝑍𝑦 + 𝐼1𝑅 
𝐼1 = 51,5∡ − 68,66° + 2,74∡ − 30° 
𝐼1 = 𝟓𝟑, 𝟔𝟔∡ − 𝟔𝟔, 𝟖𝟑° 𝑨 
 
𝐼2 = 𝐼2𝑍𝑦 + 𝐼2𝑅 
𝐼2 = 51,5∡171,34° + 2,74∡ − 150° 
𝐼2 = 𝟓𝟑, 𝟔𝟔∡𝟏𝟕𝟑, 𝟏𝟕° 𝑨 
 
𝐼3 = 𝐼3𝑍𝑦 + 𝐼3𝑅 
𝐼3 = 51,5∡51,34° + 2,74∡90° 
𝐼3 = 𝟓𝟑, 𝟔𝟔∡𝟓𝟑, 𝟏𝟕° 𝑨 
 
Leitura dos Wattímetros: 
 
𝑊1 = 𝑈13. 𝐼1. cos (�⃗⃗� 13, 𝐼 1) 
𝑊1 = 380.53,66. cos (−60° − (−66,83°)) 
𝑊1 = 𝟐𝟎𝟐𝟒𝟔, 𝟎𝟗 𝑾 
 
𝑊2 = 𝑈23. 𝐼2. cos (�⃗⃗� 23, 𝐼 2) 
𝑊2 = 380.53,66. cos (−120° − (173,17°)) 
𝑊2 = 𝟖𝟎𝟐𝟐, 𝟗𝟕 𝑾 
 
𝑊3 = 𝑈23. 𝐼1. cos (�⃗⃗� 21, 𝐼 3) 
𝑊3 = 380.53,66. cos (−120° − (−66,83°)) 
𝑊3 = 𝟏𝟐𝟐𝟐𝟑, 𝟏𝟏 𝑽𝑨𝒓 
 
Para obtenção das potencias ativa e reativa totais, 
podemos calcular de duas formas: 
 
-Aproveitando a disposição dos wattímetros 1 e 2, 
podemos adotar o método dos dois wattímetros, 
pois o circuito possui 3 fios e as bobinas de 
potencial tem a uma ligação na fase 3 em comum: 
𝑃𝑇 = 𝑊1 + 𝑊2 = 20246,09 + 8022,97 
𝑃𝑇 = 𝟐𝟖𝟐𝟔𝟗. 𝟎𝟔 𝑾 
 
𝑄𝑇 = (𝑊1 − 𝑊2). √3 = (20246,09 + 8022,97). √3 
𝑄𝑇 = 𝟐𝟏𝟏𝟕𝟏. 𝟎𝟔 𝑽𝑨𝒓 
 
 
 
-Calculando a potência trifásica: 
𝜃 = ∡𝑉10 − ∡𝐼1 
𝜃 = −30° − (−66.83°) = 36,83° 
 
𝑃3∅ = √3.𝑈. 𝐼. cos (𝜃) 
𝑃3∅ = √3. 380.53,66. cos (36,83°) 
𝑃3∅ = 𝟐𝟖𝟐𝟔𝟗, 𝟎𝟕 𝑾 
 
𝑄3∅ = √3.𝑈. 𝐼. sen (𝜃) 
𝑄3∅ = √3. 380.53,66. sen (36,83°) 
𝑄3∅ = 𝟐𝟏𝟏𝟕𝟏, 𝟎𝟔 𝑽𝑨𝒓 
 
Cálculo do fator de potência: 
 
𝑓. 𝑝 = cos(𝜃) = cos(36,83°) 
𝑓. 𝑝 = 𝟎, 𝟖𝟎𝟎𝟒 ≅ 𝟎, 𝟖 (𝒊𝒏𝒅𝒖𝒕𝒊𝒗𝒐) 
 
3.12 A figura 3.10 representa uma pequena fábrica em que são dados: 
a) Sequência das fases: 𝑼𝟏𝟐, 𝑼𝟐𝟑, e 𝑼𝟑𝟏. 
b) Tensões compostas equilibradas e iguais a 380 V. 
c) Frequência: 𝟔𝟎 𝑯𝒛 
d) 𝑳 = 𝟓 𝒍â𝒎𝒑𝒂𝒅𝒂𝒔 𝒅𝒆 𝟏𝟎𝟎 𝑾 𝒆𝒎 𝒄𝒂𝒅𝒂 𝒓𝒂𝒎𝒐 
e) 𝑴 = 𝒎𝒐𝒕𝒐𝒓 𝒕𝒓𝒊𝒇á𝒔𝒊𝒄𝒐 𝒅𝒆 𝟏𝟎 𝒄𝒗, 𝒇. 𝒑 = 𝟎, 𝟖𝟑 𝒆 𝒓𝒆𝒏𝒅𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 = 𝟎, 𝟖𝟓. 
f) 𝑩 = 𝒃𝒐𝒃𝒊𝒏𝒂 𝒅𝒆 𝒓𝒆𝒔𝒊𝒔𝒕ê𝒏𝒄𝒊𝒂 𝑹 = 𝟏𝟎 𝛀 𝒆 𝒄𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆 𝒂𝒖𝒕𝒐 − 𝒊𝒏𝒅𝒖çã𝒐 𝑳 = 𝟎, 𝟎𝟐 𝑯 
Pede-se calcular: 
1º) As correntes �̂�𝟏, �̂�𝟐, �̂�𝟑, em módulo e argumento, referidas á �⃗⃗� 𝟏𝟎. 
2º) As leituras dos respectivos wattímetros 𝑾𝟏 e 𝑾𝟐. 
3º) O fator de potência do conjunto 
4º) As correntes que passam nos condutores a, b e c nos dois casos seguintes: 
 4.1) Havendo uma ruptura no ponto P. 
 4.2) Para as bobinas B ligadas em estrela. 
 
Diagrama fasorial: 
 
Cálculo das correntes: 
 
Lâmpadas: 
Dados: 
 
5 lâmpadas de 200 W em cada ramo: 
𝑃1∅ = 5.100 = 500 𝑊 
𝑃3∅ = 3.5.100 = 1500 𝑊 
𝑓. 𝑝 = cos(𝜃𝐿) = 1 (o f.p é unitário, pois lâmpadas 
são cargas puramente resistivas) 
𝜃𝐿 = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠(1) = 0° 
 
Para o cálculo da corrente podemos encontrar de 
duas maneiras no caso das lâmpadas neste 
circuito: 
 
-Por potência monofásica, utilizando somente a 
fase 1 do circuito fazemos: 
 
𝑃 = 𝑈. 𝐼. cos (𝜃𝐿) 
𝑃1∅ = 𝑉10. 𝐼1𝐿. cos (𝜃𝐿) 
500 =
380
√3
. 𝐼1𝐿. 1 
𝐼1𝐿 = 2,28 𝐴 
 
A fase da corrente pode ser obtida pelo conceito: 
 
𝜃𝐿 = ∡𝑉10 − ∡𝐼 
 
Pelo diagrama fasorial temos: 
 
∡𝑉10 − ∡𝐼 = 𝜃𝐿 
0° − ∡𝐼 = 0° 
∡𝐼 = 0° 
 
Logo, 𝐼1𝐿 = 2,28 ∡0° 𝐴, como o circuito é 
equilibrado, para obter o valor das outras 
correntes que circulam pelo conjunto de lâmpadas 
basta defasar a corrente 𝐼1𝐿 em −120° para obter 
a corrente da fase 2 e +120° para obter o valor da 
fase 3: 
 
𝐼1𝐿 = 2,28∡0° 𝐴 
𝐼2𝐿 = 2,28∡(0° − 120°) 
𝐼2𝐿 = 2,28∡ − 120° 𝐴 
𝐼3𝐿 = 2,28∡(0° + 120°) 
𝐼3𝐿 = 2,28∡120° 𝐴 
 
-Por potência trifásica, para um circuito equilibrado 
temos a fórmula: 
 
𝑃3∅ = √3.𝑈. 𝐼1𝐿. cos (𝜃) 
1500 = √3. 380. 𝐼1𝐿. 1 
𝐼1𝐿 = 2,28 𝐴, mesmo valor obtido pelo cálculo por 
potência monofásica. Utiliza-se o mesmo método 
para encontrar a fase da corrente. 
 
Bobinas: 
Dados: 
 
𝑥𝐿𝐵 = 𝜔. 𝐿 = 377.0,02 = 7,54 
Z𝐵 = 𝑅 + 𝑗𝑥𝐿 = 10 + 𝑗7,54 Ω 
Z∆𝐵 = 12,52∡37,02° Ω 
 
Para facilitar o cálculo, transforma-se a ligação 
em delta das bobinas em uma ligação em Y, 
dessa forma, a impedância pode ser calculada 
como se estivesse sendo alimentada 
diretamente por uma tensão de fase: 
 
Z𝑌𝐵 =
Z∆𝐵
3
=
12,52∡37,02° 
3
 
Z𝑌𝐵 = 4,17∡37,02° Ω 
𝐼1𝐵 =
𝑉10
𝑍𝑌𝐵
=
380
√3
∡0°
4,17∡37,02°
 
𝐼1𝐵 = 52,61∡ − 37,02° 𝐴 
 
Como o circuito é equilibrado, para obter o valor 
das outras correntes que circulam pelo conjunto de 
lâmpadas basta defasar a corrente 𝐼1𝐵 em −120° 
para obter a corrente da fase 2 e +120° para obter 
o valor da fase 3: 
 
𝐼1𝐵 = 52,61∡ − 37,02° 𝐴 
𝐼2𝐵 = 52,61∡(−37,02° − 120°) 
𝐼2𝐵 = 52,61∡ − 157,02° 𝐴 
𝐼3𝐵 = 52,61∡(−37,02° + 120°) 
𝐼3𝐵 = 52,61∡182,98° 𝐴 
 
 
 
 
 
 
Motor 𝑴: 
Dados: 
 
𝑃𝑠𝑎í𝑑𝑎 = 10𝑐𝑣 = 10.736 = 7360 𝑊 
𝑓. 𝑝 = cos(𝜃𝑀) = 0,83 (𝑖𝑛𝑑𝑢𝑡𝑖𝑣𝑜) 
𝜃𝑀 = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠(0,83) = 33,901° ≅ 33,9° 
 
Como já sabemos, temos que: 
 
𝑃𝑠𝑎í𝑑𝑎
𝜂
= 𝑃𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 
7360
0,85
= √3. 380. 𝐼1𝑀. 0,83 
𝐼1𝑀 = 15,85 𝐴 
 
Como já sabemos, para encontrar o argumento 
(ângulo), temos que: 
 
𝜃𝑀 = ∡𝑉10 − ∡𝐼1𝑀 
∡𝑉10 − ∡𝐼1𝑀 = 33,9° 
0° − ∡𝐼1𝑀 = 33,9° 
∡𝐼1𝑀 = −33,9° 
 
As demais correntes 𝐼2𝑀 e 𝐼3𝑀 podem ser 
encontradas defasando ±120°, pois o motor 
trifásico é uma carga equilibrada, sendo assim 
temos: 
 
𝐼1𝑀 = 15,85∡ − 33,9°𝐴 
𝐼2𝑀 = 15,85∡(−33,9° − 120°) 
𝐼2𝑀 = 15,85∡ − 153,9° 𝐴 
𝐼3𝑀 = 15,85∡(−33,9° + 120°) 
𝐼3𝑀 = 15,85∡86,1° 𝐴 
 
As correntes 𝐼1, 𝐼2 e 𝐼3 podem ser encontradas 
utilizando LCK na primeira fase: 
𝐼1 = 𝐼1𝐵 + 𝐼1𝐿 + 𝐼1𝑀 
𝐼1 = 2,28∡0° + 52,61∡ − 37,02° 
+15,85∡ − 33,9° 
 
𝐼1 = 𝟕𝟎, 𝟐𝟗∡ − 𝟑𝟓, 𝟐° 𝑨 
 
Da mesma forma, como o circuito é equilibrado, 
basta defasar ±120° da corrente da fase 1 para 
obter a corrente que passa pelas fases 2 e 3. 
 
𝐼2 = 70,29∡(−35,2° − 120°) 
𝐼2 = 𝟕𝟎, 𝟐𝟗∡ − 𝟏𝟓𝟓, 𝟐° 𝑨 
𝐼3 = 70,29∡(−35,2° + 120°) 
𝐼3 = 𝟕𝟎, 𝟐𝟗∡𝟖𝟒, 𝟖° 𝑨 
 
Leitura dos Wattímetros: 
 
𝑊1 = 𝑈23. 𝐼1. cos (�⃗⃗� 23, 𝐼 1) 
𝑊1 = 380.70,29. cos (−90° − (−35,2° )) 
𝑊1 = 𝟏𝟓𝟑𝟗𝟔, 𝟔𝟐 𝑽𝑨𝒓 (quando a tensão em que 
está ligada a bobina de potencial forma 90° com a 
fase da bobina de corrente, este wattímetro estará 
medindo potência reativa) 
 
𝑊2 = 𝑈21. 𝐼3. cos (�⃗⃗� 21, 𝐼 3) 
𝑊2 = 380.70,29. cos (−150° − (84,8°)) 
𝑊2 = −𝟏𝟓𝟑𝟗𝟔, 𝟔𝟐 𝑽𝑨𝒓 (quando a tensão em que 
está ligada a bobina de potencial forma 90° com a 
fase da bobina de corrente, este wattímetro estará 
medindo potência reativa) 
 
Cálculo do fator de potência: 
 
Como o circuito é equilibrado podemos obter o 
valor do fator de potência da seguinte forma: 
𝜃 = 𝜃1 = 𝜃2 = 𝜃3 = ∡𝑉10 − ∡𝐼1 
𝜃 = 0° − (−35,2°) = 35,2° 
𝑓. 𝑝 = cos(𝜃) = cos(35,2°) 
𝑓. 𝑝 = 𝟎, 𝟖𝟏𝟕𝟏 (𝒊𝒏𝒅𝒖𝒕𝒊𝒗𝒐) 
As novas correntes �̂�𝒂, �̂�𝒃 e �̂�𝒄 havendo uma 
ruptura no ponto P: 
Caso aconteça essa ruptura, o circuito irá ficar da 
seguinte forma: 
 
𝑍𝐵𝑒𝑞 = (𝑍𝐵 + 𝑍𝐵)//𝑍𝐵 =
(2. 𝑍𝐵). (𝑍𝐵)
2. 𝑍𝐵 + 𝑍𝐵 
 
𝑍𝐵𝑒𝑞 =
(2. 𝑍𝐵). (𝑍𝐵)
3. 𝑍𝐵 
=
2
3
. 𝑍𝐵 
𝑍𝐵𝑒𝑞 =
2
3
. (12,52∡37,02°) = 8,34∡37,02° Ω 
 
 
 
Pelo novo esquema temos que: 
𝐼𝑎 = −𝐼𝑏 
E a nova impedância equivalente da bobina está 
sendo alimentada pela tensão de linha 𝑈23: 
𝐼𝑏 =
𝑈23
𝑍𝐵𝑒𝑞
=
380∡ − 90°
8,34∡37,02°
= 𝟒𝟓, 𝟓𝟔∡ − 𝟏𝟐𝟕,𝟎𝟐° 𝑨 
 
𝐼𝑎 = −𝐼𝑏 = −(45,56∡ − 127,02°) 
(subtrai-se ou soma-se 180° á fase de𝐼3𝑀) 
𝐼𝑎 = 𝟒𝟓, 𝟓𝟔∡𝟓𝟐,𝟗𝟖° 𝑨 
Por conta do rompimento: 
𝐼𝑐 = 0 𝐴 
As novas correntes �̂�𝒂, �̂�𝒃 e �̂�𝒄 para as bobinas 
ligadas em estrela: 
𝑥𝐿𝐵 = 𝜔. 𝐿 = 377.0,02 = 7,54 
Z𝐵 = 𝑅 + 𝑗𝑥𝐿 = 10 + 𝑗7,54 Ω 
Z𝑌𝐵 = 12,52∡37,02° Ω 
 
Como a impedância ligada em Y é alimentada 
diretamente por tensão de fase, temos: 
𝐼𝑎 =
𝑉10
𝑍𝑌𝐵
′
=
380
√3
∡0°
12,52∡37,02°
 
𝐼𝑎 =𝟏𝟕, 𝟓𝟐∡ − 𝟑𝟕, 𝟎𝟐° 𝑨 
Como a carga é equilibrada temos: 
𝐼𝑏 = 17,52∡(−37,02° − 120°) 
𝐼𝑏 = 𝟏𝟕, 𝟓𝟐∡ − 𝟏𝟓𝟕,𝟎𝟐° 𝑨 
𝐼𝑐 = 17,52∡(−37,02° + 120°) 
𝐼𝑐 = 𝟏𝟕, 𝟓𝟐∡𝟖𝟐,𝟗𝟖° 𝑨 
 
3.13 A figura 3.11 representa uma pequena fábrica em que são dados: 
a) Sequência das fases: 𝑽𝟏𝟎, 𝑽𝟐𝟎, e 𝑽𝟑𝟎. 
b) Tensões compostas equilibradas e iguais a 220 V. 
c) Frequência: 𝟔𝟎 𝑯𝒛 
d) 𝑴𝟏 = 𝒎𝒐𝒕𝒐𝒓 𝒕𝒓𝒊𝒇á𝒔𝒊𝒄𝒐 𝒅𝒆 𝟏𝟎 𝒄𝒗, 𝒇. 𝒑 = 𝟎, 𝟖𝟎 𝒆 𝒓𝒆𝒏𝒅𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 = 𝟎, 𝟖𝟓 
e) 𝑴 = 𝒎𝒐𝒕𝒐𝒓 𝒕𝒓𝒊𝒇á𝒔𝒊𝒄𝒐 𝒅𝒆 𝟏 𝒄𝒗, 𝒇. 𝒑 = 𝟎, 𝟕𝟎 𝒆 𝒓𝒆𝒏𝒅𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 = 𝟎, 𝟕𝟎. 
Pede-se: 
1º) Com os capacitores desligados: 
 1.1) Calcular as correntes �̂�𝟏, �̂�𝟐, �̂�𝟑 e �̂�𝟎 em módulo e argumento, referidas á �⃗⃗� 𝟏𝟎. 
 1.2) Calcular as leituras dos respectivos wattímetros 𝑾𝟏 e 𝑾𝟐. 
 1.3) Calcular o fator de potência do conjunto. 
2º) Calcular o valor da capacitância dos capacitores C para melhorar o fator de potência do 
conjunto para 0,90. 
3º) Com os capacitores ligados, levando em conta o seu valor encontrado no item anterior: 
calcular as leituras dos respectivos wattímetros 𝑾𝟏,𝑾𝟐 e 𝑾𝟑. 
 
Diagrama fasorial: 
 
Cálculo das correntes: 
 
Motor 𝑴𝟏: 
Dados: 
 
𝑃𝑠𝑎í𝑑𝑎 = 10 𝑐𝑣 = 10.736 = 7360 𝑊 
𝑓. 𝑝 = cos(𝜃𝑀1) = 0,80 (𝑖𝑛𝑑𝑢𝑡𝑖𝑣𝑜) 
𝜃𝑀1 = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠(0,80) = 36,869° ≅ 36,87° 
 
O motor é trifásico, temos que: 
 
𝑃𝑠𝑎í𝑑𝑎
𝜂
= 𝑃𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 
7360
0,85
= √3. 380. 𝐼1𝑀1. 0,80 
𝐼1𝑀1 = 16,4 𝐴 
 
Como já sabemos, para encontrar o argumento 
(ângulo), temos que: 
 
𝜃𝑀1 = ∡𝑉10 − ∡𝐼1𝑀1 
∡𝑉10 − ∡𝐼1𝑀1 = 36,87° 
0° − ∡𝐼1𝑀1 = 36,87° 
∡𝐼1𝑀1 = −36,87° 
 
𝐼1𝑀1 = 16,4∡ − 36,87° 𝐴 
 
As demais correntes 𝐼2𝑀1 e 𝐼3𝑀1 podem ser 
encontradas defasando ±120°, pois o motor 
trifásico é uma carga equilibrada, sendo assim 
temos: 
 
𝐼1𝑀1 = 16,4∡ − 36,87° 𝐴 
𝐼2𝑀1 = 16,4∡(−36,87° − 120°) 
𝐼2𝑀1 = 16,4∡ − 156,87° 𝐴 
𝐼3𝑀1 = 16,4∡(−36,87° + 120°) 
𝐼3𝑀1 = 16,4∡83,13° 𝐴 
 
Motor 𝑴: 
Dados: 
 
𝑃𝑠𝑎í𝑑𝑎 = 1𝑐𝑣 = 1.736 = 736 𝑊 
𝑓. 𝑝 = cos(𝜃𝑀) = 0,70 (𝑖𝑛𝑑𝑢𝑡𝑖𝑣𝑜) 
𝜃𝑀 = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠(0,70) = 45,572° ≅ 45,57° 
 
Os motores M são monofásicos e consomem a 
mesma potência, dessa forma podemos 
encontrar a corrente pela fase 1 fazendo: 
 
𝑃𝑠𝑎í𝑑𝑎
𝜂
= 𝑃𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 
736
0,70
= 220. 𝐼1𝑀. 0,70 
𝐼1𝑀 = 6,83 𝐴 
 
Como já sabemos, para encontrar o argumento 
(ângulo), temos que: 
 
𝜃𝑀 = ∡𝑉10 − ∡𝐼1𝑀 
∡𝑉10 − ∡𝐼1𝑀 = 45,57° 
0° − ∡𝐼1𝑀 = 45,57° 
∡𝐼1𝑀 = −45,57° 
 
As demais correntes 𝐼2𝑀 e 𝐼3𝑀 podem ser 
encontradas defasando ±120°, pois os motores 
M consomem a mesma potência e são 
alimentados por tensões igual mas defasadas de 
±120°, sendo assim temos: 
 
𝐼1𝑀 = 6,83∡ − 45,57° 𝐴 
𝐼2𝑀 = 6,83∡(−45,57° − 120°) 
𝐼2𝑀 = 6,83∡ − 165,57° 𝐴 
𝐼3𝑀 = 6,83∡(−45,57° + 120°) 
𝐼3𝑀 = 6,83∡74,43° 𝐴 
 
As correntes 𝐼1, 𝐼2 e 𝐼3 podem ser encontradas 
utilizando LCK na primeira fase: 
 
𝐼1 = 𝐼1𝑀1 + 𝐼1𝑀 
𝐼1 = 16,4∡ − 36,87° + 6,83∡ − 45,57° 
𝐼1 = 𝟐𝟑, 𝟏𝟕∡ − 𝟑𝟗, 𝟒𝟐° 𝑨 
 
Da mesma forma, como o circuito é equilibrado, 
basta defasar ±120° da corrente da fase 1 para 
obter a corrente que passa pelas fases 2 e 3. 
 
𝐼2 = 23,17∡(−39,42° − 120°) 
𝐼2 = 𝟐𝟑, 𝟏𝟕∡ − 𝟏𝟓𝟗, 𝟒𝟐° 𝑨 
𝐼3 = 23,17∡(−39,42° + 120°) 
𝐼3 = 𝟐𝟑, 𝟏𝟕∡𝟖𝟎, 𝟓𝟖° 𝑨 
Aplicando LCK na fase 0: 
 
𝐼0 = −(𝐼1 + 𝐼2 + 𝐼3) 
𝐼0 = −(23,17∡ − 39,42° + 23,17∡ − 159,42° 
+23,17∡80,58° ) 
𝐼0 = −(0) 
𝐼0 = 0 𝐴 
 
 
Leitura dos wattímetros: 
𝑊1 = 𝑉10. 𝐼1. cos (�⃗� 10, 𝐼 1) 
𝑊1 = 220.23,17. cos (0° − (−39,42°)) 
𝑊1 = 𝟑𝟗𝟑𝟕, 𝟖 𝑾 
 
A bobina de corrente do segundo wattímetro 
não corresponde a corrente total da fase 2, 
passa apenas a corrente do motor M da fase 2 
por esta bobina: 
𝑊2 = 𝑈31. 𝐼2𝑀. cos (�⃗⃗� 31, 𝐼 2𝑀) 
𝑊2 = 381,05.6,83. cos (150° − (−165,57°)) 
𝑊2 = 𝟏𝟖𝟓𝟖, 𝟓𝟏 𝑽𝑨𝒓 
 
Cálculo do fator de potência: 
 
Como o circuito é equilibrado podemos obter o 
valor do fator de potência da seguinte forma: 
𝜃 = 𝜃1 = 𝜃2 = 𝜃3 = ∡𝑉10 − ∡𝐼1 
𝜃 = 0° − ( −39,42°) = 39,42° 
𝑓. 𝑝 = cos(𝜃) = cos(39,42°) 
𝑓. 𝑝 = 𝟎, 𝟕𝟕𝟐𝟓 (𝒊𝒏𝒅𝒖𝒕𝒊𝒗𝒐) 
O valor da capacitância dos capacitores C para 
melhorar o fator de potência do conjunto para 
0,90. 
𝜃 = 𝜃1 = 𝜃2 = 𝜃3 = ∡𝑉10 − ∡𝐼1 
𝜃1 = 0° − ( −39,42°) = 39,42° 
𝜃2 = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠(0,9) = 25,84° 
𝜔 = 2. 𝜋. 𝑓 = 2.3,14.60 = 377 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
 
Como o circuito é equilibrado, a potência ativa 
total pode ser calculada com a fórmula: 
 
𝑃3∅ = √3.𝑈. 𝐼. cos (𝜃) 
𝑃3∅ = √3. 381,05.23,17. cos (39,42°) 
𝑃3∅ = 11813,4 𝑊 
𝑄𝑐 = 𝑃. [tan(𝜃1) − tan(𝜃2)] 
𝑄𝑐 = 11813,4. [tan(39,42°) − tan(25,84°)] 
𝑄𝑐 = 3989,54 𝑉𝑎𝑟 
 
Com os capacitores ligados em Y temos: 
𝐶𝑦 =
1000.𝑄𝐶3∅(𝑒𝑚 𝑘𝑉𝑎𝑟)
𝜔. 𝑈2(𝑒𝑚 𝑘𝑉)
 
𝐶𝑦 =
1000. (3,98954)
377. (0,38)2
 
𝐶𝑦 = 𝟕𝟑, 𝟐𝟖 𝝁𝑭 
 
Com os capacitores ligados, calcular as leituras 
dos wattímetros 𝑾𝟏, 𝑾𝟐 e 𝑾𝟑, para 
𝑪𝒚 = 𝟕𝟑, 𝟐𝟖 𝝁𝑭: 
 
𝑋𝐶 = −
1
𝜔. 𝐶
= −
1
377. 73,28.10−6
 
𝑋𝐶 = −36,19 → 𝑍𝐶 = 𝑗𝑥𝐶 = −𝑗36,19 
𝑍𝐶 = 36,19∡ − 90° Ω 
 
𝐼1𝐶 =
𝑉10
𝑍𝐶
=
220∡0°
36,19∡ − 90°
= 6,08∡90° 𝐴 
𝐼2𝐶 = 6,08∡(90° − 120°) 
𝐼2𝐶 = 6,08∡ − 30° 𝐴 
𝐼3𝐶 = 6,08∡(90° + 120°) 
𝐼3𝐶 = 6,08∡210° 𝐴 
 
As novas correntes ficam: 
 
𝐼1 = 𝐼1𝑀1 + 𝐼1𝑀 + 𝐼1𝐶 
𝐼1 = 16,4∡ − 36,87° + 6,83∡ − 45,57° 
+6,08∡90° 
𝐼1 = 𝟏𝟗, 𝟖𝟖∡ − 𝟐𝟓, 𝟕𝟔° 𝑨 
𝐼2 = 19,88∡(−25,76° − 120°) 
𝐼2 = 𝟏𝟗, 𝟖𝟖∡ − 𝟏𝟒𝟓, 𝟕𝟔° 𝑨 
𝐼3 = 19,88∡(−25,76° + 120°) 
𝐼3 = 𝟏𝟗, 𝟖𝟖∡𝟗𝟒, 𝟐𝟒° 𝑨 
 
𝑊1 = 𝑉10. 𝐼1. cos (�⃗� 10, 𝐼 1) 
𝑊1 = 220.19,88. cos (0° − (−25,76° )) 
𝑊1 = 𝟑𝟗𝟐𝟑, 𝟏𝟏 𝑾 
 
𝑊2 = 𝑈31. 𝐼2
′ . cos (�⃗⃗� 31, 𝐼 2𝑀) 
 
A bobina de corrente do segundo wattímetro 
não mede a corrente total da fase 2, portanto: 
𝐼2
′ = 𝐼2𝑀 + 𝐼2𝐶 
𝐼2
′ = 6,83∡ − 165,57° + 6,08∡ − 30° 
𝐼2
′ = 4,93∡ − 105,88° 𝐴 
𝑊2 = 381,05.4,93. cos (150° − (−105,88°)) 
𝑊2 = −𝟒𝟓𝟖, 𝟐𝟖 𝑽𝑨𝒓 
 
A bobina do terceiro wattímetro só mede a 
corrente que entra no capacitor da fase 3: 
𝑊3 = 𝑉30. 𝐼3𝐶 . cos (�⃗� 30, 𝐼 3) 
𝑊3 = 220.6,08. cos (120° − (210°)) 
𝑊3 = 𝟎 𝑾 
3.14 Na montagem da fig. 3.12 são dados: 
a) Sequência das fases: 𝑼𝟏𝟐, 𝑼𝟐𝟑, e 𝑼𝟑𝟏. 
b) Tensões compostas equilibradas e iguais a U volts. 
Pede-se: 
1º) Ligando-se um voltímetro, de resistência interna R, entre os pontos A e 0, determinar a 
expressão literal da sua leitura V. 
2º) Sendo 𝑼 = 𝟑𝟖𝟎 volts, calcular o valor numérico de V. 
 
A princípio, antes da medição, o circuito é equilibrado, mas ao inserir o voltímetro entre os 
pontos A e 0, a resistência interna do voltímetro R fica em paralelo com a resistência R da 
carga do circuito (ver a segunda imagem) desequilibrando as impedâncias, e 
consequentemente desequilibrando o circuito. Sendo assim, por conta da ausência do neutro 
em um circuito desequilibrado, surge uma tensão 𝑉𝑛𝑁 entre o neutro da fonte e o neutro da 
carga, chamada tensão de deslocamento do neutro, portanto para calcular o valor medido 
pelo voltímetro devemos considerar a influência da resistência interna do voltímetro e calcular 
a tensão de ruptura do neutro: 
 
Dados: 
𝑈12 = 𝑈∡30° 𝑉 
𝑉10 =
𝑈
√3
∡0° 𝑉 
𝑉20 =
𝑈
√3
∡ − 120° 𝑉 
𝑉30 =
𝑈
√3
∡120° 𝑉 
𝑍1 = 𝑅//𝑅 =
𝑅
2
 Ω → 𝑌𝑍1 =
1
𝑅
2⁄
=
2
𝑅
 Ω−1 
𝑍2 = 𝑅 Ω → 𝑌𝑍2 =
1
𝑅
 Ω−1 
𝑍3 = 𝑅 Ω → 𝑌𝑍3 =
1
𝑅
 Ω−1 
 
 
 
Pelo método do deslocamento do neutro (ponto 0) temos: 
 
𝑉𝑛𝑁 =
𝑌𝑍1. 𝑉10 + 𝑌𝑍2. 𝑉20 + 𝑌𝑍3. 𝑉30
𝑌𝑍1 + 𝑌𝑍2 + 𝑌𝑍3
 
𝑉𝑛𝑁 =
2
𝑅 . 𝑉10 +
1
𝑅 . 𝑉20 +
1
𝑅 . 𝑉30
2
𝑅
+
1
𝑅
+
1
𝑅
 
𝑉𝑛𝑁 =
2. 𝑉10 + 𝑉20 + 𝑉30
𝑅
4
𝑅
 
𝑉𝑛𝑁 =
2. 𝑉10 + 𝑉20 + 𝑉30
𝑅
.
𝑅
4
 
𝑉𝑛𝑁 =
2. 𝑉10 + 𝑉20 + 𝑉30
4
 
𝑉𝑛𝑁 =
𝑉10 + 𝑉10 + 𝑉20 + 𝑉30
4
 
𝑉𝑛𝑁 =
𝑉10 + (𝑉10 + 𝑉20 + 𝑉30)
4
 
𝑉𝑛𝑁 =
𝑉10 + (0)
4
 
𝑉𝑛𝑁 =
𝑉10
4
 
 
Para encontrar a tensão entre o ponto A e o ponto 0 (correspondente ao 𝑉𝑛𝑁) fazemos: 
 
𝑉𝑍1 = 𝑉10 − 𝑉𝑛𝑁 
𝑉𝑍1 = 𝑉10 −
𝑉10
4𝑉𝑍1 =
4. 𝑉10−𝑉10
4
 
𝑉𝑍1 =
3. 𝑉10
4
 
Como o voltímetro só lê o módulo da tensão, podemos retirar o valor da fase 0° no cálculo. 
𝑉𝑍1 =
3 
4
.
𝑈
√3
 
𝑉𝑍1 =
3. 𝑈
4. √3
 
Multiplicando por 
√3
√3
 para racionalizar: 
 
𝑉𝑍1 =
3. 𝑈
4. √3
.
√3
√3
 
𝑉𝑍1 =
3. 𝑈. √3
4.3
 
𝑽𝒁𝟏 =
𝑼. √𝟑
𝟒
 𝑽 
 
Para 𝑈 = 380 𝑉 temos: 
 
𝑉𝑍1 =
380. √3
4
 
𝑽𝒁𝟏 = 𝟏𝟔𝟒, 𝟓𝟒 𝑽