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___________________________________________________________________Capítulo 01 – Métodos da Energia 
Capítulo 1 MÉTODOS DE ENERGIA 
1.1. INTRODUÇÃO 
Em geral, o estudo da mecânica dos sólidos (corpos rígidos e 
deformáveis) baseia-se no Método Newtoniano, apoiando-se nas análises 
vetoriais, sob diversas condições de carregamentos. Em outras palavras, 
empregam-se os conceitos fundamentais de Tensão e Deformação. 
De forma alternativa, tal estudo, também pode ser realizado através do 
Método Lagrangeano, a partir de análises escalares. Estes conceitos, permitem 
uma solução matemática mais agradável para problemas relativos à 
deformações e, além disso, extremamente úteis no estudo de peças 
submetidas a cargas de choque ou impacto. Vale registrar que este trabalho 
dará ênfase no cálculo de deslocamentos (deflexões) a partir dos Métodos de 
Energia. 
Inicialmente, este capítulo abordará os conceitos primários de trabalho 
externo (força e momento) e de energia interna de deformação, priorizando a 
fase elasto-linear dos materiais, quando submetidos às tensões normais 
(esforço normal e momento fletor) e de cisalhamento (esforço cortante e 
momento torçor). Também serão apresentados outros conceitos relativos à 
reologia do material, tais como, Tenacidade e Resiliência. Em seguida, será 
apresentado o Princípio da Conservação da Energia, igualando o trabalho 
oriundo de ações externas com a energia interna provocada pelos esforços 
internos. Vale ressaltar que tal princípio é de grande utilidade no cálculo de 
deslocamento, apenas em casos que se tem a ação de apenas uma força 
aplicada na estrutura. Por fim, apresentam-se o Teorema de Castigliano e o 
Princípio do Trabalhos Virtuais para cálculo de deslocamentos lineares e 
angulares, considerando um número qualquer de cargas externas, bem como 
de quaisquer naturezas. 
1.2. TRABALHO EXTERNO E ENERGIA DE DEFORMAÇÃO 
Neste item, será apresentada a definição de trabalho (externo) oriundo de 
uma força e de um momento (binário; conjugado), bem como sua relação com 
a energia de deformação (trabalho interno) de um corpo. 
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1.2.1. Trabalho de uma Força 
Considerando uma barra com comprimento “L”, submetida a uma força 
axial “P”, provoca um alongamento “x”. 
 
Figura 1 - Barra submetido a ação de uma força "P" 
 
Figura 2 - Curva força-deslocamento 
Por definição, tem-se que o trabalho elementar “dT” realizado pela ação 
de uma força “P” é dado da seguinte maneira: 
 ∫ 
 
 
 (1) 
Vale ressaltar que o trabalho externo total (trabalho de deformação) “T” 
realizado pela força “P” é numericamente igual a área sob a curva força-
deslocamento, apresentada na Figura 2. Esta grandeza, no Sistema 
Internacional de Unidades (S.I.), é representada por “N (Newton) x m (metro)” 
ou “J (Joule)”. 
Particularizando a análise somente à fase elasto-linear do material (ver 
Figura 2) e, considerando que o elemento estrutural esteja submetido 
gradualmente a uma ação externa “P”, cujo valor varia de “zero” até um 
máximo, igual a “P*”, afirmar-se que, a força “P” é proporcional ao alongamento 
“x”. Desta forma, escreve-se: 
 
 
 
 (2) 
Portanto, substituindo a eq. (2) na eq. (1), adequando o limite de 
integração e, integrando, tem-se: 
 ∫
 
 
 
 
 
 
 
 
 (3) 
P* 
x* 
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Com base na forma gradual de aplicação da força “P” e, de acordo com 
a eq. (3), entende-se que o trabalho (T) realizado é igual ao valor médio da 
força “P*” multiplicado pelo alongamento “x*”. Isto pode ser representado 
pela hachura sólida (escura), no gráfico da Figura 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Considerando um acréscimo de força axial de tração (P´), provoca no 
elemento, um acréscimo de alongamento, igual a (x`) e, desta forma, tem-se 
um trabalho (T´) realizado igual a (ver hachura sólida (clara) do gráfico da 
Figura 3): 
 
 
 
 (4) 
 Portanto, vale observar que para esta nova situação, ou seja, com um 
acréscimo de alongamento (x´) e uma força (P*) já aplicada, o trabalho (T) 
realizado, torna-se: 
 (5) 
Em resumo, o trabalho total realizado pela ação conjunta das forças (P*) 
e (P´) é igual a soma das áreas sob o gráfico da Figura 3, ou seja, a soma dos 
valores apresentados pelas equações (3), (4) e (5), dado por: 
 
 
 
( ) (6) 
 
A partir da equação (6), estabelece o Teorema de Clapeyron: “O 
trabalho realizado pelas forças externas, variáveis desde zero, em corpo 
de material elástico linear e que sofre pequenos deslocamentos, é igual a 
P* 
x* x´ 
x* 
P´ 
P 
Figura 3 - Fase elasto-linear 
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metade do trabalho que resultaria se as forças externas agissem de modo 
instantâneo”. 
1.2.2. Trabalho de um Momento (conjugado) 
De forma análoga, o trabalho devido a ação de um momento externo é 
dado da seguinte maneira: 
 ∫ 
 
 
 (7) 
Considerando que o elemento estrutural, na fase elásto-linear, esteja 
submetido gradualmente a uma ação externa “M”, cujo valor varia de “zero” até 
um máximo, o trabalho realizado será: 
 
 
 
 (8) 
 Entretanto, se o momento já estiver aplicado e ocorrer um acréscimo de 
momento devido a outros carregamentos, gerando uma rotação adicional “θ*”, 
o trabalho realizado será igual a, 
 
 (9) 
 Em resumo, quando as cargas externas são aplicadas gradualmente 
(zero a um valor máximo) em um corpo qualquer e, desde que não haja perda 
de calor sob forma de energia (fase elástica), diz-se que ocorre conservação de 
energia no sistema. Em outras palavras, pode afirmar que o trabalho externo 
realizado pelas ações externas converte-se em trabalho interno, agora 
denominado por Energia de Deformação. Tal energia, sempre positiva 
(força/momento e deslocamento com o mesmo sentido), é armazenada no 
corpo pela atuação das tensões normais e de cisalhamento. 
1.2.3. Tensão Normal 
De acordo com a Figura 4 e, considerando o material na fase elasto-
linear, é possível representar a Energia de Deformação em função das tensões 
normais. 
 
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Figura 4 - Sólido infinitesimal submetido a tensão uniaxial 
 Considerando um tensão axial atuante na direção “z” (faces superior e 
inferior), conforme Figura 4, representa-se a força e, consequentemente, o 
trabalho externo, da seguinte maneira: 
 (10) 
 Sabendo-se que “dFz” é aplicada gradualmente e crescente, tem-se, 
 
 
 
 (11) 
Substituindo a eq. (10) na eq. (11) e integrando, obtem-se: 
 ∫
 
 
 
 
 
 (12a) 
 Rearranjando, 
 ∫
 
 
 
 
 
 (12b) 
 Portanto, considerando um sistema conservativo de energia, sob a ação 
de uma tensão uniaxial, pode-se escrever a Energia de Deformação (interna), 
da seguinte maneira: 
 ∫
 
 
 
 
 
 (13) 
Desta expressão, também define-se Densidade de Energia de Deformação 
“u”, como sendo: 
 
 
 
 (14) 
 Comparando as eqs. (13) e (14), observa-se que, em relação à tensão 
normal, tem-se:(15) 
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 A eq. (15), considerando “σz” como a tensão normal última (ruptura), 
define-se o Módulo de Tenacidade, representando a Energia de Deformação 
(interna) por unidade de volume, como sendo o valor necessário para provocar 
a ruptura no material. O gráfico abaixo (Figura 5) representa tal valor, ou seja, é 
numericamente igual a área sob a curva, considerando o par coordenado 
“tensão e deformação de ruptura”. 
 
Figura 5 - Módulo de Tenacidade 
A eq. (15), considerando “σz” como a tensão normal de 
proporcionalidade, define-se o Módulo de Resiliência, representando a 
Energia de Deformação (interna) por unidade de volume, como sendo aquela 
que o material pode absorver sem provocar o escoamento no mesmo. O 
gráfico abaixo (Figura 6) representa tal valor, ou seja, é numericamente igual a 
área sob a curva, considerando o par coordenado “tensão e deformação no 
limite superior da fase elasto-linear”. 
 
Figura 6 - Módulo de Resiliência 
1.2.3.1. Força Normal 
Um corpo de seção transversal variável “Ax”, submetido a um esforço 
externo axial, gera, internamente uma tensão normal “σx”. Tal tensão pode ser 
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expressa através da relação entre o Esforço Normal “N” e a citada área. Desta 
forma, a eq. 13 pode ser escrita como: 
 ∫
 
 
 
 
 
 (16) 
 Conforme a Figura 5 e considerando seção transversal constante ao 
longo do comprimento “L”, tem-se: 
 
 
 
 (17) 
 
Figura 7 - Corpo submetido a força axial 
1.2.3.2. Momento Fletor 
Para um corpo de seção transversal prismática “A”, submetido a um 
momento fletor “M”, gera internamente, uma tensão normal “σx”. Portanto, a 
energia de deformação elástica, a partir da eq. 13, pode ser escrita como: 
 ∫
 
 
(
 
 
)
 
 
 
 (18a) 
 Readequando a equação anterior, 
 ∫
 
 
(
 
 
)
 
(∫ 
 
) ∫
 ( )
 
 
 
 
 
 
 
 (18b) 
 
Figura 8 - Corpo submetido a momento fletor 
1.2.4. Tensão de Cisalhamento 
De acordo com a Figura 9 e, considerando o material na fase elasto-
linear, é possível representar a Energia de Deformação em função das tensões 
de cisalhamento. 
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Figura 9 - Sólido infinitesimal submetido a tensão de cisalhamento 
Considerando um estado puro de cisalhamento atuante nas faces do 
elemento, representa-se a força correspondente e, consequentemente, o 
trabalho externo, da seguinte maneira: 
 (19) 
Sabendo-se que “dFz” é aplicada gradualmente e crescente, tem-se, 
 
 
 
 (20) 
Substituindo a eq. (19) na eq. (20) e integrando, obtêm-se: 
 ∫
 
 
 
 
 
 (21a) 
Rearranjando, 
 ∫
 
 
 
 
 (21b) 
Portanto, considerando um sistema conservativo de energia, sob a ação 
de uma tensão de cisalhamento, pode-se escrever a Energia de Deformação 
(interna), da seguinte maneira: 
 ∫
 
 
 
 
 (22) 
1.2.4.1. Esforço Cortante 
Um corpo de seção transversal “A”, submetido a uma ação externa 
perpendicular ao eixo “x”, gera internamente uma tensão de cisalhamento “”. 
 
Figura 10 - Corpo submetido a tensão de cisalhamento oriundo da flexão 
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Considerando um corpo cuja relação entre o comprimento da peça 
(trecho de momento fletor de mesmo sinal) e altura não for superior a unidade, 
define-se como sendo peça curta. Neste caso, a tensão de cisalhamento 
(média) devida ao efeito da flexão, é dada pela relação entre o esforço cortante 
“V” e a área da seção transversal, isto é: 
 
 
 
 (23a) 
Desta forma, considerando seção transversal prismática, a energia de 
deformação será dada por: 
 ∫
 ( )
 
 
 
 
 (23b) 
De outra forma, para um corpo cuja relação entre o comprimento da 
peça e altura seja superior a unidade, tem-se o efeito preponderante da flexão 
e, por isso, tal tensão pode ser expressa através da seguinte expressão: 
 
 
 
. Assim sendo, a eq. 22 pode ser escrita como: 
 ∫
 
 
(
 
 
)
 
 
 
 
 (24a) 
Rearranjando a equação acima, 
 ∫
 ( )
 
 
(∫ (
 
 
)
 
 
 )
 
 
 ∫
 ( )
 
 
(
 
 
∫
 
 
 
 
 
) 
 
 
 (24b) 
Para facilitar a resolução da integral interna da eq. (24b), define-a como 
sendo “fator de forma - fc”, para cisalhamento e, este parâmetro tem o objetivo 
de adequar a variação da tensão de cisalhamento ao longo da seção 
transversal. Em outras palavras, é um fator adimensional que adequa o valor 
máximo da tensão de cisalhamento (na flexão) em relação a tensão média de 
cisalhamento, considerando a forma da seção transversal. Seja: 
 
 
 
∫
 
 
 
 
 
 (24c) 
Resolvendo a equação acima para algumas seções transversais usuais, 
têm-se os seguintes valores: 
*Seção retangular: 
*Seção circular cheia: 
*Seção circular vazada com parede delgada: 
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Conforme a Figura 10 e considerando seção transversal constante ao 
longo do comprimento “L”, tem-se: 
 ∫
 ( )
 
 
 
 
 
 (25) 
1.2.4.2. Momento Torçor 
Para um corpo de seção transversal variável “Ax”, ligeiramente cônica, 
submetido a um momento torçor “T”, gera internamente, uma tensão de 
cisalhamento “”. 
 
Figura 11 - Barra não-prismática sob ação de momento torçor 
Sabe-se que esta tensão varia linearmente a partir do centro da seção e, 
particularmente, a uma distância “”, a tensão de cisalhamento é dada por 
 
 
 
 Portanto, a energia de deformação elástica, a partir da eq. 22, será: 
 ∫
 
 
(
 
 
)
 
 
 
 (25a) 
Readequando a equação anterior, 
 ∫
 
 
(
 
 
)
 
(∫ 
 
) ∫
 
 
 
 
 
 
 
 (25b) 
Conforme a Figura 12 e considerando seção transversal constante ao 
longo do comprimento “L”, tem-se: 
 
 
 
 (26) 
 
Figura 12 - Barra prismática sob ação de momento torçor 
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 Para o caso geral de Estado Uniaxial de Tensões, têm-se: 
 
 
 
∫ ( ) ∫ (
 
 
 
 
 
 
 
)
 
 (27) 
1.2.5. Tensão Multiaxial 
Para o Estado Multiaxial de Tensões (Figura 13) e considerando o corpo 
na fase elasto-linear, determina-se a Energia de Deformação Interna utilizando 
a superposição de efeitos. Isto é feito a partir das equações (12a) e (21a). Veja: 
 
 
 
∫ ( ) (28) 
 Lei de Hooke Generalizada, 
{
 
 
 
 
 
 
[ ( )]
 
 
 
[ ( )]
 
 
 
[ ( )]
. (29a) 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (29b) 
 Substituindo as eqs. (29a; 29b) na eq. (28), obtêm-se a equação da 
Energia de Deformação Elástica (interna) para o Estado Multiaxial de Tensões: 
 ∫ *
 
 
( 
 
 
 ) 
 
 
( ) 
 
 
( 
 
 
 )+ 
 
 (30) 
 O caso particular de Estado Multiaxial de TensõesPrincipais (Fig. 13b): 
 ∫ *
 
 
( 
 
 
 ) 
 
 
( )+ (31) 
 
Figura 13 - Estado multiaxial de tensões 
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1.3. TEOREMAS GERAIS DE DEFORMAÇÕES 
Para retomar os conceitos básicos, afirma-se que o Trabalho Externo 
“Text” realizado é igual variação da Energia Interna “Uint” de um corpo. 
Considerando que um corpo elástico, inicialmente descarregado, seja 
submetido ao efeito de forças externas e, desconsiderando troca de calor no 
sistema, pode afirmar que o Trabalho Externo é igual a variação da Energia 
Interna (cinética e de deformação). Além disso, se o corpo for gradualmente 
solicitado (cargas estáticas) e não sofrer deslocamentos de corpo rígido, a 
variação da Energia Cinética pode ser desconsiderada. Sendo assim, o 
Trabalho Total Externo realizado pelas forças externas é igual a Energia de 
deformação Interna armazenada no corpo. A seguir serão apresentados 
alguns teoremas importantes, que de alguma maneira se relacionam com o 
cálculo de deformações. 
1.3.1. Teorema de Maxwell ou da Reciprocidade de Deslocamentos 
O Teorema de Maxwell foi postulado por James Clerk Maxwell em 
1864. Para a demonstração, considera-se uma viga submetida a duas forças 
externas, conforme mostrado na Figura 14. 
 
Figura 14 - Esquema estático de viga - ação de duas forças externas 
 Inicialmente, considera-se somente a atuação de uma força externa, 
sendo aplicada no ponto “C1”, cujo valor varia gradualmente de “zero” a “P1”. 
 
Figura 15 - Esquema estático de viga - ação de "P1" 
 A aplicação desta força gera deformação na viga e, consequentemente, 
provoca os deslocamentos “x11” e “x21”. Tais deslocamentos são proporcionais 
entre si, podendo ser escritos da seguinte maneira: 
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{
 
 
 (32) 
 Assim sendo, conforme o Teorema de Clapeyron, tem-se: 
 
 
 
 
 (33) 
 Substituindo a eq. (32) na eq (33), 
 
 
 
 
 
 (34) 
 Mantendo a aplicação da carga “P1” e, considerando o sistema da Figura 
15 em equilíbrio na posição deformada (ver Figura 17 – linha tracejada), aplica-
se a força externa “P2”, gradualmente, no ponto “C2” (ver Figura 16). 
 
Figura 16 - Esquema estático de viga - ação de "P2" 
A aplicação da força “P2” deforma novamente a viga (ver Figura 17 – 
linha contínua), provocando os deslocamentos “x12” e “x22”. 
 
Figura 17 - Deformada da viga - sob ação das forças "P1"e "P2" 
Tais deslocamentos são proporcionais entre si, podendo ser escritos da 
seguinte maneira: 
{
 
 
 (35) 
 Conforme o Teorema de Clapeyron, tem-se: 
 
 
 
 
 (36) 
 Substituindo a eq. (35b) na eq (36), 
 
 
 
 
 
 (37) 
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 No ponto “C1”, devido o deslocamento “x12” causado pela aplicação da 
força “P2”, gera o seguinte valor de energia de deformação (Teorema de 
Clapeyron): 
 
 (38) 
 Substituindo a eq. (35a) na eq (38), 
 
 (39) 
 Portanto, a partir da superposição de efeitos, tem-se a energia de 
deformação total no elemento, a partir da soma das expressões apresentadas 
nas equações (34), (37) e (39): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (40) 
 Fazendo o inverso, ou seja, aplicando primeiramente a força “P2” e, em 
seguida, a Força “P1”, obtém-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (41) 
 Sabendo-se que a energia de deformação apresentada nas equações 
(40) e (41) são iguais, chega-se a seguinte conclusão: 
 (42) 
 Desta conclusão, definiu-se o Teorema de Maxwell: “O deslocamento 
do ponto “k”, provocado por uma força externa aplicada no ponto “i”, é igual ao 
deslocamento do ponto “i”, provocado por uma força externa aplicada no ponto 
“k”, desde que as direções das forças e deslocamentos coincidam nos 
respectivos pontos”. Do referido teorema, tem-se: 
 (43) 
 A figura abaixo ilustra a definição. 
 
Figura 18 - Ilustração da aplicação do Teorema de Maxwell 
 
 
___________________________________________________________________Capítulo 01 – Métodos da Energia 
1.3.2. Teorema de Castigliano 
O Teorema de Castigliano (2º Teorema), a seguir demonstrado, foi 
postulado pelo engenheiro civil (especializado em ferrovias) Carlo Alberto 
Castigliano, em 1873. 
Para a demonstração, considera-se uma viga submetida a duas forças 
externas, conforme mostrado anteriormente na Figura 14. A partir da equação 
(40) ou (41), realiza-se a derivada parcial da energia de deformação em 
relação às cargas “Pi”, ou seja, para o caso apresentado, em relação as cargas 
“P1” e “P2”. Veja: 
{
 
 
 
 
 
 
 (44a) 
 Substituindo as equações (32) e (35) na (44), 
{
 
 
 
 
 
 
 (44b) 
 Desta forma, tem-se o 2º Teorema de Castegliano: 
 
 
 (44c) 
 A expressão acima, apresentada em termos dos esforços solicitantes: 
 ∫ (
 
 
)
 
 
 ∫ (
 
 
)
 
 
 
 
 
∫ (
 
 
)
 
 
 
 
 
 
 
∫ (
 
 
)
 
 
 
 
 
 
(45) 
 Para o cálculo de deslocamento, empregando o Teorema de 
Castegliano, adotam-se dois procedimentos: 
a) No cálculo do deslocamento de um ponto do corpo, onde exista uma 
carga aplicada, cujo valor seja conhecido, considera-se, inicialmente, 
uma carga literal “Pj”. Após o cálculo do deslocamento, substitui-se a 
carga literal pelo seu valor numérico; 
b) No cálculo do deslocamento de um ponto do corpo, onde não exista 
uma carga aplicada, considera-se, inicialmente, uma carga literal “Pj” 
aplicada no ponto “j” e na direção do deslocamento a ser 
determinado. Após o cálculo do deslocamento, substitui-se a carga 
literal pelo valor “zero”.