Segunda avaliação ED 2022.1

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UFCG/CCT/UAMat
Equações Diferenciais - 2022.1
Prof. Romildo Lima
2ª Avaliação - 24/11/2022
Discente: Matŕıcula:
1. (2,0) Se y1 e y2 são soluções da equação diferencial y
′′ + p(x)y′ + q(x)y = g(x), com y1 ̸= y2 e p, q e g
cont́ınuas num mesmo intervalo I, é posśıvel afirmar, com certeza, que:
(a) Combinações lineares de y1 e y2 são soluções da equação, se g(x) = 0 para todo x ∈ I;
(b) Combinações lineares de y1 e y2 são soluções da equação;
(c) {y1, y2} é uma base do espaço de soluções da equação;
(d) {y1, y2} é uma base do espaço de soluções da equação homogênea associada a equação;
(e) Nenhum dos itens anteriores pode ser afirmado com certeza;
2. (2,0) Dado um problema de valor inicial
 y′′ + p(x)y′ + q(x)y = g(x)y(x0) = y0, y′(x0) = y′0 , é posśıvel afirmar que:
(a) O problema sempre tem solução;
(b) O problema nunca tem solução;
(c) O problema sempre tem infinitas soluções;
(d) Com hipóteses adequadas para p, q e g, o problema pode ter uma única solução;
(e) Todos os itens anteriores estão corretos.
3. (2,0)Verifique que y1(x) = x
2 é uma solução de
x2y′′ − 4xy′ + 6y = 0, x > 0.
Em seguida, encontre um conjunto fundamental de soluções para tal equação diferencial.
4. (2,0) Resolva o problema de valor inicial y′′ − y′ − 2y = 0, y(0) = α, y′(0) =
√
37. Depois encontre α de
modo que a solução tende a zero quando x → ∞.
5. (4,0) Determine a solução geral das equações diferenciais
(a) 2y′′ + 3y′ + y = x2 + 3 senx
(b) y′′ − y′ = −3
(c) y′′ − 2y′ + 2y = ex secx
(d) y′′ + y = secx tg x
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UFCG/CCT/UAMat
Equações Diferenciais - 2022.1
Prof. Romildo Lima
2ª Avaliação - 24/11/2022
Discente: Matŕıcula:
1. (2,0) Se y1 e y2 são soluções da equação diferencial y
′′ + p(x)y′ + q(x)y = g(x), com p, q e g cont́ınuas
num mesmo intervalo I, é posśıvel afirmar, com certeza, que:
(a) Existe uma solução y3 para a mesma equação, tal que {y1, y2, y3} é uma base do espaço de soluções
da equação;
(b) Combinações lineares de y1 e y2 são soluções da equação;
(c) {y1, y2} é uma base do espaço de soluções da equação;
(d) {y1, y2} é uma base do espaço de soluções da equação homogênea associada a equação;
(e) Se g(x) = 0 para todo x ∈ I e W [y1, y2] ̸= 0, então {y1, y2} é uma base do espaço de soluções da
equação;
2. (2,0) Dado um problema de valor inicial
 (y′′)2 + |y′|+ y4 = −1y(x0) = y0, y′(x0) = y′0 , é posśıvel afirmar que:
(a) O problema sempre tem solução;
(b) O problema nunca tem solução;
(c) O problema sempre tem infinitas soluções;
(d) Com hipóteses adequadas para p, q e g, o problema pode ter uma única solução;
(e) Todos os itens anteriores estão corretos.
3. (2,0) Verifique que y1(x) = x é uma solução de
x2y′′ + 2xy′ − 2y = 0, x > 0.
Em seguida, encontre um conjunto fundamental de soluções para tal equação diferencial.
4. (2,0) Resolva o problema de valor inicial 4y′′ − y = 0, y(0) = 2, y′(0) = β. Depois encontre β de modo
que a solução tende a zero quando x → ∞.
5. (4,0) Determine a solução geral das equações diferenciais
(a) 2y′′ + 3y′ + y = x2 + 3 senx
(b) y′′ − y′ = −3
(c) y′′ − 2y′ + 2y = ex secx
(d) y′′ + y = secx tg x
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