Método dos Deslocamentos em Estruturas

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Universidade Federal do Ceará
Centro de Tecnologia
Departamento de Engenharia Estrutural e Construção Civil
Disciplina: Análise Matricial de Estruturas
Professor: Antônio Macário Cartaxo de Melo
Aula 05
Assunto: Método dos Deslocamentos. Introdução; Grau de indeterminação Cin-
emática; Formulação Matricial Básica: Introdução; Exemplo pórtico plano; Equações
do método dos deslocamentos; Signi…cado físico dos coe…cientes da matriz de rigidez
Objetivo: Apresentar conceitos básicos relativos ao método dos deslocamentos e
os seus fundamentos.
Aula anterior: Método das Forças.
Conteúdo
1. Introdução
1.1 Grau de indeterminação cinemática:
² Exemplo:
² Existem deslocamentos de nós que não são conhecidos a prióri, e que são
obtidos somente fazendo-se uma análise completa da estrutura. Estes desloca-
mentos incógnitos são as grandezas cinematicamente indeterminadas e são às
vezes chamadas de reduntantes cinemáticas. O seu número representa o grau
de indeterminação cinemática da estrutura, ou o número de graus de liberdade
para os deslocamentos dos nós (G&W).
² Os graus de liberdade podem ser entendidos como os deslocamentos nodais
necessários para descrição da deformada da estrutura.
² Comparação entre os graus de indeterminação estática e cinemática:
Figura 1 Indeterminação cinemática em pórticos.
1
3
2
1
Nó
Y
X
d1 
d2 
d3 d4 
d7 
d8 
d9 
d6 
d5 
d10 
d11 
d12 
Deslocamento
Nodal
Elemento
2
3 4
1
Figura 2 Modelo de um pórtico.
² Pode ser visto que a remoção de restrições nos suportes (apoios) de uma estru-
tura serve para diminuir o grau de indeterminação estática, enquanto aumenta
o grau de indeterminação cinemática (G&W).
2. Formulação Matricial Básica
2.1 Introdução:
² Incógnitas: deslocamentos (generalizados) dos nós do modelo estrutural;
² Sistema de equações: equações que traduzem as condições de equilíbrio se-
gundo cada uma das direções dos deslocamentos dos nós;
² Não há necessidade de escolha de um sistema principal (isostática): método
ideal para o propósito de automatização;
2.2 Exemplo pórtico plano (Fig. 3.1):
² XYZ: sistema de referência global;
² Numeração dos elementos;
² Numeração dos pontos nodais;
² Numeração do deslocamentos globais d:
– Segundo a ordem crescente da numeração dos pontos nodais;
2
– Em dada ponto nodal numeram-se os deslocamentos na seguinte ordem:
¤ Deslocamento linear na direção X;
¤ Deslocamento linear na direação Y;
¤ Rotação em torno do eixo Z.
² Deslocamentos d1 a d6: deslocamentos nodais livres, não-restringidos ou graus
de liberdade do modelo;
² Grau de indeterminação cinemática: número total de graus de liberdade;
² Deslocamentos d7 a d12: deslocamentos nodais restringidos ou prescritos do
modelo;
² Simpli…cação: numeraram-se primeiro os deslocamentos livres e depois os
deslocamentos prescritos;
2.3 Equações do método dos deslocamentos
² Sistema força-mola: equação de equilíbrio
kx = f:
sendo k a rigidez da mola. Para x = 1, k é a força que deve ser aplicada para
produzir este deslocamento unitário;
² relações entre deslocamentos e forças nodais podem ser estabelecidas na forma
K¤d¤ = f ¤ (1)
² K¤ = matriz de rigidez global: tem coe…cientes constantes na análise linear;
² f ¤ = vetor das forças nodais. Inclui:
– Forças aplicadas externamente segundo as direções livres ou gdl (grandezas
conhecidas) = forças nodais combinadas:
¤ Forças externas diretamente aplicadas nos pontos nodais;
¤ Cargas nodais equivalentes.
– Reações de apoio (desconhecidas).
² d¤ = vetor dos deslocamentos nodais:
– Composto por:
¤ deslocamentos livres (incógnitas) - graus de liberdade;
¤ deslocamentos restringidos ou prescritos (direções das reações de apoio):
grandezas conhecidas.
– Representa uma con…guração da estrutura que pode corresponder a:
¤ uma mudança de forma (deformação);
3
3
2
1
d3 = 1,0
d3 = 1,0
d4 = d = d = 05 6 
d7 = d = d = 08 9 
d1 = d = 02 
d10 = d = d = 011 12 3
2
1
4
Figura 3 Pórtico restringido e somente com d3 = 1; 0.
¤ e/ou um deslocamentos de corpo rígido do modelo estrutural como
um todo.
– O termo grau de liberdade (dgl) é às vezes utilizado mesmo para desloca-
mentos que são restritos enquanto esta restrição não é introduzida. Por
exemplo, como será visto, na determinação da matriz de rigidez de uma
barra de um pórtico plano, supõe-se que o elemento tem 6 gdl (3 em cada
nó).
2.4 Signi…cado físico dos coe…cientes da matriz de rigidez:
² Considere o pórtico plano mostrado na Fig. ??
² Sejam kij, dj e fi coe…cientes genéricos da matrizes K¤, d¤ e f¤, respectiva-
mente;
² Considerando m deslocamentos nodais, pode-se escrever (1) na forma
mX
j=1
kijdj = fi i = 1; : : : ;m (2)
ou, lembrando que m = 12,
2
6666666664
k11 k12 ¢ ¢ ¢ k16 k17 ¢ ¢ ¢ k1;12
k21 k22 ¢ ¢ ¢ k26 k27 ¢ ¢ ¢ k2;12
...
... . . .
...
... . . .
...
k61 k62 ¢ ¢ ¢ k66 k67 ¢ ¢ ¢ k6;12
k71 k71 ¢ ¢ ¢ k71 k71 ¢ ¢ ¢ k71
...
... . . .
...
... . . .
...
k12;1 k12;2 ¢ ¢ ¢ k12;6 k12;7 ¢ ¢ ¢ k12;12
3
7777777775
8
>>>>>>>>><
>>>>>>>>>:
d1
d2
...
d6
d7
...
d12
9
>>>>>>>>>=
>>>>>>>>>;
=
8
>>>>>>>>><
>>>>>>>>>:
f1
f2
...
f6
f7
...
f12
9
>>>>>>>>>=
>>>>>>>>>;
: (3)
4
k13 
k23 
k33 
k43 = 0
k63 
k53 
k10,3 = 0
k73 = 0
k83 k93 
k11,3 = 0
k12,3 = 0
3
2
1
d3 = 1,0
d3 = 1,0
21
43
Figura 4 Coe…cientes de rigidez para d3 = 1; 0.
² Considere o caso particular: d3 = 1; 0 e os demais gdl nulos (Figura 2a):
– Para i = 3 na equação (2)
k33d3 = f3 =) k33 = f3
¤ f3 é a força nodal (externa) na direção do gdl de ordem 3;
¤ O coe…ciente k33 é numericamente igual à força generalizada a ser
aplicada na direção 3 para provocar um deslocamento generalizado
unitário segundo essa direção, enquanto todos os demais deslocamen-
tos são nulos;
¤ Para que isto ocorra, é necessário a aplicação de forças nas direções
que se ligam ao nó 1, que contém o gdl 3, ie, k13, k23, k43, k53, k63,
k73, k83, k93;
¤ Dimensão física de k33: momento / rotação.
– Para i = 5 na equação (2)
k53d3 = f5 =) k53 = f5
¤ f5 é a força nodal na direção do gdl de ordem 5 provocada pelo
bloqueio do ponto nodal 2 para manter nulo o deslocamento d5;
¤ O coe…ciente k53 é numericamente igual à força restritiva na direção
do gdl 5, quando se impõe um deslocamento unitário na direção 3 e
se mantêm os demais deslocamentos nulos;
¤ Dimensão física de k53: força / rotação.
– Caso geral - elemento da i-ésima linha e da j-ésima coluna:
5
¤ O coe…ciente kij é numericamente igual à força generalizada que
aparece na direção i, quando se aplica um deslocamento unitário
generalizado na direção j e todos os demais deslocamento são nulos;
¤ Dimensão física de kij: dimensão da força generalizada na direção i,
dividida pela dimensão do deslocamento generalizado na direção j;
¤ Denominação de kij: coe…ciente de rigidez e representa a in‡uên-
cia (de rigidez) do deslocamento generalizado na direção j na força
generalizada segundo a direção i.
– Teoria de primeira ordem (linear) de pequenos deslocamentos: despreza-
se a interação entre momento ‡etor e esforço axial em elemento de eixo
reto =) k43 e k83 são nulos (Fig. 2b);
– Os coe…cientes k10;3 e k11;3 e k12;3 são nulos: o ponto nodal 2 foi impedido
de se deslocar e efeitos da rotação imposta não passam para o nó 4 =)
diz-se que as direções do ponto nodal 4 estão desacopladas das direções
do ponto nodal 1.
– O coe…ciente kii é sempre positivo, pois é numericamente igual à força
generalizada segundo a direção i para provocar o deslocamento unitário
segundo essa mesma direção (enquanto todos os demais deslocamentos
são nulos);
– Pelo princípio da reciprocidade,
kij = kji:
– Para um estado de deformação tal que d1 a d6 sejam diferentes de zero,
a terceira equação fornece
k31d1 + k32d2 + k33d3 + k34d4 + k35d5+ k36d6 = f3
¤ Esta equação representa o equilíbrio do ponto nodal 1 na direção da
rotação no plano XY ;
¤ f3 é a força nodal combinada (externa) aplicada na direção do gdl 3;
¤ Os coe…cientes k3j são as forças generalizadas restitutivas elásticas
que aparecem na direção 3, devido à deformaçãodos elementos es-
truturais ligados a esse ponto;
¢ Da mesma forma que os gdl do ponto nodal 4 estão desacoplados
do ponto 3, os gdl do ponto 3 estão desacoplados dos gdl do ponto
nodal 4. Assim, deslocamentos unitários em cada gdl do ponto
nodal 4, mantidos nulos os demais, não afetam o equilíbrio nas
direções dos gdl do nó 3.
² A Eq. (1) representa o sistema de equações de equilíbrio do conjunto de todos
os pontos nodais do modelo estrutural;
² A matriz de rigidez K¤ é relativa a um dado conjunto de m deslocamentos
nodais que resultam da escolha do modelo estrutural;
² Distintos conjuntos de deslocamentos nodais podem ser considerados;
² Será posteriormente mostrado que a matriz de rigidez K¤ é singular. Esta
singularidade será eliminada com a introdução das condições de contorno.
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