pg CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III02

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
Questão 1
Uma função y = f(x) é denominada solução de uma equação diferencial se a equação é satisfeita quando y = f(x) e suas derivadas são substituídas na equação. Considere a equação diferencial 
y’ – 5y = 0. 
Assinale a alternativa que contém a função que é solução da equação diferencial dada.
A)
 
y = C1e5x.
B)
 
y = C15x.
C)
 
y = C15.
D)
 
y = C1sen(5x).
E)
 
y = C1x5 .
Questão 2
Um aluno do curso de engenharia precisa determinar o volume do sólido S limitado superiormente pela superfície de equação z = x² + xy + 2, pelos três planos coordenados e também pelos planos de equações x = 3 e y = 4.
Assinale a alternativa que indica uma integral tripla que, ao ser calculada, fornece corretamente o volume do sólido S descrito anteriormente:
A)
 
O volume do sólido S descrito por
B)
 
O volume do sólido S descrito por
C)
 
O volume do sólido S descrito por
D)
 
O volume do sólido S descrito por
E)
 
O volume do sólido S descrito por
Questão 3
A função custo marginal é definida como a taxa de variação de C em relação à x. Um fabricante constata que o custo marginal (em reais) da produção de x unidades de um componente eletrônico é dado por 50 - 0,02x. Se o custo da produção de uma unidade é R$ 35,00, determine o custo para x = 2. Lembre-se que o custo marginal é a taxa de variação de C (função custo) em relação à x.
Assinale a alternativa que contém a resposta correta.
A)
 
R$ 70,00.
B)
 
R$ 54,64.
C)
 
R$ 84,97.
D)
 
R$ 105,45.
E)
 
R$ 125,68.
Questão 4
As integrais triplas podem ser empregadas para o estudo de problemas envolvendo centros de massa, volume. Considere que uma placa descrita pela região D = [0,1] x [0,1] x [0,1] e densidade  . 
Observação:
Assinale a alternativa que contém a massa dessa placa.
A)
 
2,5.
B)
 
1.
C)
 
2.
D)
 
1,5.
E)
 
0,5.
Questão 5
Determinado problema pode ser modelado pela seguinte equação diferencial ordinária:
y’’ + 2y’ – 3y = 0
Para resolver essa equação é necessário determinar qual a solução geral da equação diferencial, por meio da avaliação da equação característica associada.
Assinale a alternativa que contém as raízes da equação diferencial apresentada.
A)
 
r1 = 1 e r2 = -3.
B)
 
r1 = 0 e r2 = 0.
C)
 
r1 = -1 e r2 = 3.
D)
 
r1 = -3 e r2 = 2.
E)
 
r1 = -1 e r2 = -3.
Questão 6
Ao descrever uma região no espaço por meio de coordenadas cartesianas podemos enfrentar algumas dificuldades em função do tipo de região em estudo. Para evitar estes problemas, podemos utilizar outros tipos de sistemas de coordenadas como, por exemplo, coordenadas cilíndricas.
Considere a superfície definida por:
cuja representação no espaço é dada por
Anexo - Consulte a imagem em melhor resolução no final do cadernos de questões.
Assinale a alternativa que apresenta a descrição correta da superfície S em coordenadas cilíndricas.
A)
 
Conjunto formado por todos os pontos com coordenadas (r, Φ, θ) do R3 onde 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ Φ ≤ π/4,  0 ≤ θ ≤ π.
B)
 
Conjunto formado por todos os pontos com coordenadas (r, θ, z) do R3 onde  0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ 2π,  0 ≤ z ≤ 4 – r2.
C)
 
Conjunto formado por todos os pontos com coordenadas (r, Φ, θ) do R3 onde 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ Φ ≤ π,  0 ≤ θ ≤ 2π.
D)
 
Conjunto formado por todos os pontos com coordenadas (r, θ, z) do R3 onde  0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ 2π,  r ≤ z ≤ 4 – r.
E)
 
Conjunto formado por todos os pontos com coordenadas (r, θ, z) do R3 onde -2 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ π,  0 ≤ z ≤ 4.
Questão 7
Para a determinação da equação geral do plano é necessário um ponto pertencente ao plano e um vetor normal a ele. Considere a superfície de equação
f(x, y, z) = 3x³ – y + z - 3
Deseja-se determinar a equação do plano tangente à superfície indicada anteriormente no ponto A(1, 0, 2). Sabe-se que
Com base nas informações apresentadas, assinale a alternativa que indica um vetor que pode ser adotado como o vetor normal ao plano tangente considerado no ponto A.
A)
 
n = (-9, 0, 1).
B)
 
n = (3, 0, 1).
C)
 
n = (9, 0, 2).
D)
 
n = (3,-1 ,1).
E)
 
n = (9, -1, 1).
Questão 8
Suponha que, na resolução de um problema, seja necessário determinar a equação de um plano π contendo o ponto P(2, 1, -1) e com vetor normal dado por n = (1, -2,3). Sabe-se que
Com base nessas informações, assinale a alternativa que indica corretamente a equação do plano em questão.
A)
 
2x – 2y + z + 3 = 0.
B)
 
x + y + 3z + 3 = 0.
C)
 
x – y + z + 3 = 0
D)
 
x – 2y + 3z - 3 = 0.
E)
 
x – 2y + 3z + 3 = 0.
Questão 9
Classificar as equações diferenciais é essencial no estudo de problemas que envolvem esse tipo de equação, pois cada tipo de equação possui métodos diferentes de resolução. Com base em informações sobre esse assunto analise os itens que seguem.
I- As equações diferenciais podem ser classificadas quanto ao tipo em equações diferenciais ordinárias ou equações diferenciais parciais.
II- A equação y’ + y = sen(x) é uma equação diferencial parcial não linear de primeira ordem.
III- As equações diferenciais podem ser classificadas quanto a linearidade em equações diferenciais lineares, equações diferenciais semi lineares ou equações diferenciais não lineares.
Assinale a alternativa correta.
A)
 
Apenas os itens I e II estão corretos.
B)
 
Apenas o item I está correto.
C)
 
Apenas os itens II e III estão corretos.
D)
 
Apenas o item II está correto.
E)
 
Apenas o item III está correto.
Questão 10
O estudo das integrais triplas exige a identificação correta da região de integração, bem como a identificação dos limites de integração. Considerando a região R = [0,1] x [-1,1] x [2,3] e a função f(x,y,z) = xyz, assinale a alternativa que contém a representação correta da integral em questão.
A)
 
A representação da integral é dada por
B)
 
A representação da integral é dada por
C)
 
A representação da integral é dada por
D)
 
A representação da integral é dada por
E)
 
A representação da integral é dada por
Questão 11
Encontrar as transformadas de Laplace pode ser útil pra resolver problemas de Matemática, Computação, Engenharias, Física e outras ciências aplicadas. Considere a função
determine a transformada de Laplace da função f(t).
Observação:
Assinale a alternativa correta.
A)
 
A transformada é dada por
.
B)
 
A transformada é dada por
.
C)
 
A transformada é dada por
.
D)
 
A transformada é dada por
.
E)
 
A transformada é dada por
.
Questão 12
A função custo marginal é definida como a taxa de variação de C em relação à x. Sabe-se que o custo marginal (em reais) da produção de x unidades de um eletrodoméstico é dado por 60 + 3x². Se o custo da produção de uma unidade é R$ 100,00, determine a função custo para x = 3.
Assinale a alternativa que contém a resposta correta.
A)
 
R$ 70,00.
B)
 
R$ 125,00.
C)
 
R$ 87,00.
D)
 
R$ 97,00.
E)
 
R$ 246,00.