pg CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
Questão 1
Ao descrever uma região no espaço por meio de coordenadas cartesianas podemos enfrentar algumas dificuldades em função do tipo de região em estudo. Para evitar estes problemas, podemos utilizar outros tipos de sistemas de coordenadas como, por exemplo, coordenadas cilíndricas.
Considere a superfície definida por:
cuja representação no espaço é dada por
Anexo - Consulte a imagem em melhor resolução no final do cadernos de questões.
Assinale a alternativa que apresenta a descrição correta da superfície S em coordenadas cilíndricas.
A)
 
Conjunto formado por todos os pontos com coordenadas (r, θ, z) do R3 onde  0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ 2π,  0 ≤ z ≤ 4 – r2.
B)
 
Conjunto formado por todos os pontos com coordenadas (r, Φ, θ) do R3 onde 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ Φ ≤ π,  0 ≤ θ ≤ 2π.
C)
 
Conjunto formado por todos os pontos com coordenadas (r, Φ, θ) do R3 onde 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ Φ ≤ π/4,  0 ≤ θ ≤ π.
D)
 
Conjunto formado por todos os pontos com coordenadas (r, θ, z) do R3 onde -2 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ π,  0 ≤ z ≤ 4.
E)
 
Conjunto formado por todos os pontos com coordenadas (r, θ, z) do R3 onde  0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ 2π,  r ≤ z ≤ 4 – r.
Questão 2
Para a determinação da equação geral do plano é necessário um ponto pertencente ao plano e um vetor normal a ele. Considere a superfície de equação
f(x, y, z) = 3x³ – y + z - 3
Deseja-se determinar a equação do plano tangente à superfície indicada anteriormente no ponto A(1, 0, 2). Sabe-se que
Com base nas informações apresentadas, assinale a alternativa que indica um vetor que pode ser adotado como o vetor normal ao plano tangente considerado no ponto A.
A)
 
n = (3, 0, 1).
B)
 
n = (9, 0, 2).
C)
 
n = (9, -1, 1).
D)
 
n = (-9, 0, 1).
E)
 
n = (3,-1 ,1).
Questão 3
Supondo que para resolver um problema envolvendo o cálculo de uma integral tripla, foi adotada a mudança de variáveis considerando as seguintes relações
x = u² , y = v , z = w²
de modo a converter o sistema de coordenadas cartesianas em um novo sistema. Sabe-se que o jacobiano associado a mudança de variável é dado por:
Considerando as relações apresentadas, assinale a alternativa que contém o jacobiano associado à essa mudança de coordenadas.
A)
 
J = 2w.
B)
 
J = 4uvw.
C)
 
J = 2u.
D)
 
J = 2uw.
E)
 
J = 4uw.
Questão 4
Encontrar as transformadas de Laplace pode ser útil pra resolver problemas de Matemática, Computação, Engenharias, Física e outras ciências aplicadas. Considere a função
determine a transformada de Laplace da função f(t).
Observação:
Assinale a alternativa correta.
A)
 
A transformada é dada por
.
B)
 
A transformada é dada por
.
C)
 
A transformada é dada por
.
D)
 
A transformada é dada por
.
E)
 
A transformada é dada por
.
Questão 5
Analise os itens que seguem com base nas propriedades sobre transformada de Laplace.
I- A transformada de Laplace da função y(t) = t4 é 
.
II- A transformada de Laplace da função              y(t) = cos(2t) é
.
III- A transformada de Laplace da função               y(t) = e2t é 
.
Considere
Anexo - Consulte a imagem em melhor resolução no final do cadernos de questões.
Assinale a alternativa correta.
A)
 
Apenas o item I está correto.
B)
 
Apenas os itens I e II estão corretos.
C)
 
Apenas os itens I e III estão corretos.
D)
 
Apenas o item III está correto.
E)
 
Apenas o item II está correto.
Questão 6
Na resolução de um problema envolvendo massa e centro de massa, um aluno precisa calcular a integral tripla dada por
Para determinar a integral tripla em questão, inicialmente, foi necessário identificar corretamente a região de integração, com as variações correspondentes para x, y e z.
Assinale a alternativa que descreve corretamente a região de integração S, cujos limites de integração foram indicados em M.
A)
 
A região de integração S é dada por
B)
 
A região de integração S é dada por
C)
 
A região de integração S é dada por
D)
 
A região de integração S é dada por
E)
 
A região de integração S é dada por
Questão 7
As integrais triplas tem aplicações na engenharia, na física entre outras áreas. Uma das aplicações dessas integrais é o cálculo do volume de regiões tridimensionais. Considere a caixa retangular E = [0,2] x [-3,0] x [-1,1], assinale a alternativa que contém o volume dessa região.
A)
 
9 u.v.
B)
 
0 u.v.
C)
 
4 u.v.
D)
 
12 u.v.
E)
 
10 u.v.
Questão 8
Suponha que o problema de valor inicial dado por
será resolvido por meio do emprego das transformadas de Laplace, considerando suas principais propriedades.
Com base nas propriedades da transformada e conhecendo a expressão
qual das seguintes alternativas indica corretamente o termo
obtido a partir da equação diferencial ordinária presente no problema de valor inicial apresentado?
Considere
Anexo - Consulte a imagem em melhor resolução no final do cadernos de questões.
A)
 
A transformada de Laplace da função considerada é dada por
B)
 
A transformada de Laplace da função considerada é dada por
C)
 
A transformada de Laplace da função considerada é dada por
D)
 
A transformada de Laplace da função considerada é dada por
E)
 
A transformada de Laplace da função considerada é dada por
Questão 9
A mudança de coordenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas faz-se necessário em algumas situações envolvendo o cálculo de integrais triplas. Com base em informações sobre esse tipo de mudança de coordenadas, analise os itens que seguem.
I- A função f(x,y,z) = x+y em coordenadas cilíndricas é representada por
.
II- A função f(x,y,z) = y em coordenadas cilíndricas é representada por
III- A função f(x,y,z) = x² em coordenadas cilíndricas é representada por
.
Assinale a alternativa correta.
A)
 
Apenas o item II está correto.
B)
 
Apenas o item III está correto.
C)
 
Apenas os itens II e III estão corretos.
D)
 
Apenas o item I está correto.
E)
 
Apenas os itens I e II estão corretos.
Questão 10
Muitos problemas práticos de engenharia envolvem sistemas mecânicos ou elétricos sobre a ação de forças descontínuas ou de impulsos. Para resolver esses problemas que envolvem essa situação e equações diferenciais utilizamos a Transformada de Laplace. Seja a função de uma variável real definida da seguinte forma:
f(t) = t²- 3t + 4
Observação.
Anexo - Consulte a imagem em melhor resolução no final do cadernos de questões.
Com base na linearidade da transformada, qual das seguintes alternativas apresenta corretamente a transformada de Laplace da função f ?
A)
 
A transformada de Laplace da função f é dada por:
B)
 
A transformada de Laplace da função f é dada por:
C)
 
A transformada de Laplace da função f é dada por:
D)
 
A transformada de Laplace da função f é dada por:
E)
 
A transformada de Laplace da função f é dada por:
Questão 11
O emprego de mudanças de coordenadas em integrais triplas exige a identificação do jacobiano associado à transformação, relacionando as variáveis do sistema de coordenadas original, que em geral consiste em coordenadas cartesianas, com as variáveis do novo sistema.
Considere as mudanças, com base no sistema de coordenadas cartesianas, dadas por
x = v + w² , y = w + u² , z = u + v²
e que 
Assinale a alternativa que indica o jacobiano associado à transformação descrita:
A)
 
J = 1.
B)
 
J = 1+ 8uvw.
C)
 
J = 0.
D)
 
J = 1+ 2uvw.
E)
 
J = 8uvw.
Questão 12
Suponha que na resolução de um problema envolvendo momento de inércia, uma das etapas envolve o cálculo da integral tripla da função de três variáveis:
sobre a região E caracterizada pela seguinte expressão:
Assinale a alternativa que indica a representação correta da integral descrita:
A)
 
A integral tripla pode ser representada por
B)
 
A integral tripla pode ser representada por
C)
 
A integral tripla pode ser representada por
D)
 
A integral tripla pode ser representada por
E)
 
A integral tripla pode ser representada por