Desigualdade Aritmética, Geométrica e Harmônica

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Rufino
Desigualdades Aritmética, Geométrica e Harmônica,
Proporção Áurea
1. Mostre que A > G > H, valendo a igualdade, se, e somente se, a = b.
Primeiramente vamos mostrar que A > G.
De fato!
A−G = a+ b
2
−
√
a · b
=
a+ b−
√
a · b
2
=
(
√
a−
√
b)2
2
> 0.
Perceba ainda que (
√
a−
√
b)2
2
= 0⇔ a = b. Portanto,
A−G > 0⇔ A > G, sendo que A = G⇔ a = b.
Agora vamos mostrar que G > H. Vamos aplicar a desigualdade que provamos anterio-
remente, isto é, A > G, para os inversos de a e b. Desse modo, temos
A > G⇒
1
a
+ 1
b
2
>
√
1
a
· 1
b
⇒ 21
a
+ 1
b
6
√
a · b⇒ H 6 G.
Além disso, perceba que para H = G, temos que ter A = G, e A = G se, e somente se,
a = b. Assim, H = G se, e somente se, a = b. Portanto,
A > G > H,
sendo que A = G = H ⇔ a = b.
2. Mostre que o valor da razão áurea/ número de ouro é igual a
√
5+1
2
≈ 1, 618
Seja a+ b = 1⇒ b = 1− a, sabemos que a razão áurea φ é dada por
φ =
a+ b
a
=
a
b
⇔ φ = 1
a
=
a
1− a
.
Logo,
1
a
=
a
1− a
⇔ a2 = 1− a⇔ a2 + a− 1 = 0⇔ a = ±
√
5− 1
2
Como φ > 0, temos que a > 0. Portanto,
φ =
1
√
5−1
2
=
2√
5− 1
=
√
5 + 1
2
1