AD1-A1-2013-2-prova

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Álgebra I
AD1 - Primeira Avaliação a Distância - Aulas 1 a 4
Conforme dissemos na Sala da Disciplinas, nesta matéria é fundamental que você aprenda a escrever
matemática e provar coisas. Daqui pra frente, esperamos que as suas soluções sejam textos bem
redigidos (contas podem e devem fazer parte do texto).
Questão 1: (2 pontos) Mostre que para quaisquer conjuntos A e B temos A ⊂ B se, e
somente se, para qualquer conjunto C vale (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) = A ∪ C.
Questão 2: (2 pontos) Considere os seguintes subconjuntos de Z:
Ao = {4k | k ∈ Z}, A1 = {4k+1 | k ∈ Z}, A2 = {4k+2 | k ∈ Z} e A3 = {4k+3 | k ∈ Z}
(a) (1 pt) Mostre que os conjuntos Ao, A1, A2 e A3 formam uma partição de Z.
(b) (1 pt) Defina uma relação de equivalência R em Z que tenha Z/R = {Ao, A1, A2, A3},
isto é, tal que {Ao, A1, A2, A3} seja o conjunto quociente.
Questão 3: (2 pontos) Considere a relação em Z dada por
R = {(a,−a) ∈ Z× Z} ∪ {(a, a) ∈ Z× Z}.
(a) (0,5 pt) Mostre que R é uma relação de equivalência em Z.
(b) (0,5 pt) Exiba a partição de Z determinada pela relação de equivalência R.
(c) (0,5 pt) Quantos elementos há em cada uma das classes de equivalência?
(d) (0,5 pt) Determine o conjunto quociente Z/R.
Questão 4: (2 pontos) Considere a relação em Z dada por
R = {(a, b) ∈ Z× Z | ab > 0} ∪ {(0, 0)}.
(a) (0,5 pt) Mostre que R é uma relação de equivalência em Z.
(b) (0,5 pt) Exiba a partição de Z determinada pela relação de equivalência R.
1
(c) (0,5 pt) Quantos elementos há em cada uma das classes de equivalência?
(d) (0,5 pt) Determine o conjunto quociente Z/R.
Questão 5: (2 pontos)
(a) (1,5 pt) Use o Teorema de Indução para mostrar que a identidade
xn + · · ·+ x + 1 = x
n+1 − 1
x− 1
vale para cada n ≥ 1 inteiro.
(b) (0,2 pt) Use o item anterior para calcular a soma dos n primeiros termos da sequência
{aqn}n∈N, onde a e q são números reais fixados.
(c) (0,2 pt) Use os ı́tens anteriores para mostrar que para n ∈ N temos
1 +
1
2
+
1
22
+ · · ·+ 1
2n
= 2− 1
2n−1
.
(d) (0,1 pt) Faça um limite para concluir que
∞∑
n=0
1
2n
= 2
2