AD1-A1-2019-2-Gabarito

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AD1
{Álgebra 1}
Universidade do Federal Estado do Rio de Janeiro
Professor: Gladson Antunes – 2019.2
Questão 1. [3,0 pontos] Sejam A, B e C conjuntos quaisquer. Prove as seguintes propriedades.
(a) [1,0 ponto] (A−B) ∩ (A− C) = A− (B ∪ C)
(b) [1,0 ponto] (A− C) ∩ (B − C) = (A ∩B)− C
(c) [1,0 ponto] (A ∪B)−B = A se, e somente se, A ∩B = ∅.
Solução:
(a) Devemos mostrar que (A−B)∩ (A−C) ⊂ A− (B ∪C) e que A− (B ∪C) ⊂ (A−B)∩ (A−C).
• Mostremos a primeira inclusão. Para isso, tomemos x ∈ (A− B) ∩ (A− C). Então x ∈ (A− B)
e x ∈ (A − C). De x ∈ (A − B) vem que x ∈ A e x /∈ B e de x ∈ (A − C) vem que x ∈ A e
x /∈ C. Portanto, x ∈ A, x /∈ B e x /∈ C, logo x ∈ A− (B ∪ C).
• Mostremos agora a inclusão contrária. Seja x ∈ A− (B ∪ C), então x ∈ A e x /∈ (B ∪ C), isto é,
x /∈ B e x /∈ C, portanto, como x ∈ A e x /∈ B, então x ∈ A− B e como x ∈ A e x /∈ C, então
x ∈ A− C.
Conclusão: x ∈ (A−B) ∩ (A− C).
(b) Aqui novamente devemos mostrar duas inclusões.
• (A− C) ∩ (B − C) ⊂ (A ∩B)− C
Seja x ∈ (A − C) ∩ (B − C), então x ∈ (A − C) e x ∈ (B − C), logo x ∈ A, x ∈ B e x /∈ C.
Portanto, x ∈ A ∩B e x /∈ C, isto é, x ∈ (A ∩B)− C.
• Se x ∈ (A ∩ B) − C então x ∈ A, x ∈ B e x /∈ C, assim x ∈ (A − C) e x ∈ (B − C), donde
x ∈ (A− C) ∩ (B − C).
(c) Suponhamos por hipótese que (A ∪B)−B = A. Tal igualdade nos diz que A ⊂ (A ∪B)−B, isto
é, se x ∈ A então x ∈ (A ∪B) e x /∈ B. Portanto, x ∈ A e x /∈ B, mostrando que A ∩B = ∅.
Suponhamos agora que A∩B = ∅. Vamos mostrar que (A∪B)−B = A. Veja que (A∪B)−B ⊂ A.
De fato, se x ∈ (A ∪ B)− B então x ∈ A ∪ B e x /∈ B. De x ∈ A ∪ B vem que x ∈ A ou x ∈ B, mas
como x /∈ B, então x ∈ A. Veja que até aqui não utilizamos nossa hipótese, ela será utilizada agora para
demonstrar a inclusão contrária. Seja x ∈ A, então x ∈ A ∪ B e, como por hipótese A ∩ B = ∅, então
x /∈ B, logo x ∈ (A ∪B)−B.
Critério de correção:
(a) 0,5 ponto para cada uma das inclusões demonstradas corretamente.
(b) 0,5 ponto para cada uma das inclusões demonstradas corretamente.
(c) 0,5 ponto para cada uma das implicações demonstradas corretamente.
Questão 2. [4,0 pontos] Em Z× Z∗, definimos a relação ≈ por:
(a, b) ≈ (c, d)⇐⇒ a · d = b · c.
Essa relação é a base para a construção do conjunto dos números racionais, denotado por Q. Cada par
ordenado (a, b) ∈ Z× Z∗ corresponde a uma divisão de números inteiros, em que a primeira coordenada
representa o dividendo e a segunda representa o divisor, isto é, (a, b) =
a
b
.
(a) [1,0 ponto] Mostre que a relação ≈ é uma relação de equivalência.
(b) [1,0 ponto] Mostre que (−a, b) ≈ (a,−b), para todo (a, b) ∈ Z× Z∗.
(c) [1,0 ponto] Mostre que (−a,−b) ≈ (a, b), para todo (a, b) ∈ Z× Z∗.
A relação ≈ define classes de equivalência [(a, b)] em Z×Z∗. Dizemos que (x, y) ∈ [(a, b)] se, e somente
se, (x, y) ≈ (a, b). Por exemplo: (10, 4) ∈ [(5, 2)], pois 10 · 2 = 4 · 5.
(d) [1,0 ponto] Apresente três pares ordenados distintos que pertençam a cada uma das classes:
[(1, 3)], [(0, 1)] e [(5,−2)].
Solução:
(a) Devemos mostrar que a relação ≈ é reflexiva, simétrica e transitiva.
• Reflexiva. Seja (a, b) ∈ Z× Z∗, temos que (a, b) ≈ (a, b) pois a · b = b · a.
• Simétrica. Sejam (a, b) e (c, d) ∈ Z× Z∗ tais que (a, b) ≈ (c, d), portanto a · d = b · c, donde vem
que b · c = a · d, isto é, (c, d) = (a, b).
• Transitiva. Sejam (a, b), (c, d) e (e, f) ∈ Z × Z∗ tais que (a, b) ≈ (c, d) e (c, d) ≈ (e, f). De
(a, b) ≈ (c, d) vem que a · d = b · c e de (c, d) ≈ (e, f) vem que c · f = d · e. Devemos mostrar
que (a, b) ≈ (e, f), isto é, a · f = b · e. Vejam que se multiplicarmos ambos os lados da igualdade
a · d = b · c por f obtemos a · d · f = b · c · f , mas como c · f = d · e então substituindo na igualdade
anterior obtemos
a · d · f = b · d · e,
donde, cancelando d de ambos os lados, obtemos que a · f = b · e, isto é, (a, b) ≈ (e, f).
(b) Basta notar que −a · (−b) = a · b = b · a, ou seja, (−a, b) ≈ (a,−b)
(c) Dizer que (−a,−b) ≈ (a, b) é equivalente a mostrar que −a · b = −b · a, o que é verdade para
quaisquer (a, b) ∈ Z× Z∗.
(d) Veja que os pares (2, 6), (3, 9) e (4, 12) pertencem a classe [(1, 3)]. Já os pares (0, 2), (0, 3) e (0, 5)
estão na classe [(0, 1)]. Os pares (10,−4), (15,−6) e (25,−10) pertencem a classe [(5,−2)].
Critério de correção:
(a)
• 0,3 se demonstrou corretamente que a relação é reflexiva;
• 0,3 se demonstrou corretamente que a relação é simétrica;
• 0,4 se demonstrou corretamente que a relação é transitiva.
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(b)
• 0,5 se percebeu que(a, b) ≈ (c, d)⇐⇒ a · d = b · c.
• 0,5 ponto se concluiu o solicitado corretamente;
(c)
• 0,5 se percebeu que(a, b) ≈ (c, d)⇐⇒ a · d = b · c.
• 0,5 ponto se concluiu o solicitado corretamente;
(d) 0,1 por cada par apresentado corretamente. 1,0 se apresentou todos os pares corretamente.
Questão 3. [3,0 pontos] Prove por indução matemática que:
(a) [1,5 pontos] Para todo n ≥ 1, 3n − 2 é ímpar.
(b) [1,5 pontos] n2 < 2n, para todo n ≥ 5.
Solução:
(a) Para n = 1, 31 − 2 = 1 é ímpar. Portanto o resultado vale para n = 1. Como hipótese de indução
vamos admitir que 3k − 2 é ímpar. Mostremos que o resultado é válido para n = k+ 1, isto é, 3(k+1)− 2
é ímpar. De fato,
3(k+1) − 2 = 3k · 3− 2 = 3k · 3− (6− 4) = 3 · (3k − 2) + 4
Basta notar então que, pela Hipótese de Indução, sabemos que 3k−2 é ímpar, sendo assim, 3 ·(3k−2)
é ímpar e, quando somado com 4, permenecerá ímpar. Note que a soma de um número ímpar com um
número par será sempre um número ímpar.
(b) Para n = 5 temos 52 = 25 < 25 = 32, logo o resultado é verdadeiro para n = 5. Vamos admitir
como hipótese de indução que o resultado é válido para n = k, ou seja, que k2 < 2k. Mostremos a sua
validade para n = k + 1. De fato, temos que (K + 1)2 = k2 + 2k + 1 < 2k + 2k + 1. Veja que a partir
dessa última desigualdade nosso problema estará resolvido se 2k + 1 < 2k, pois daí teríamos que
(k + 1)2 = k2 + 2k + 1 < 2k + 2k = 2 · 2k = 2k+1.
Resta, portanto, provarmos que 2n+ 1 < 2n. De fato, tal desigualdade vale para todo natural maior
ou igual a 3. Vamos novamente utilizar indução para provar tal afirmação. Para n = 3 tem-se que 7 < 8.
Vamos admitir que o resultado é válido para n = k, ou seja, 2k + 1 < 2k. Para n = k + 1 teremos
2(k + 1) + 1 = 2k + 2 + 1 < 2k + 2 < 2k + 2k = 2k+1.
Critério de correção:
(a)
• 0,2 se verificou corretamente que a relação vale para n = 1;
• 0,3 se elaborou corretamente a hipótese de indução;
• 1,0 se fez corretamente o último passo.
(b)
• 0,2 se verificou corretamente que a relação vale para n = 1;
• 0,3 se elaborou corretamente a hipótese de indução;
• 1,0 se fez corretamente o último passo. Descontar 0,2 caso não tenha provado que 2n + 1 < 2n
para todo natural n > 2.
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