E-Book Completo_Variáveis Complexas_CENGAGE_V2 (Versão Digital) (1)

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VARIÁVEIS
COMPLEXAS
ORGANIZADORES VINÍCIUS PARANAÍBA CAMPOS ; CATIA CANDIDA DE ALMEIDA
Variáveis com
plexas
GRUPO SER EDUCACIONAL
Variáveis complexas é um livro direcionado para estudantes dos cursos de 
matemática. 
Além de abordar assuntos gerais, o livro traz conteúdo sobre as funções de 
variáveis complexas e suas derivações e integrações, fórmula integral de 
Cauchy, resíduos e polos de variáveis complexas.
Após a leitura da obra, o leitor vai aprender sobre as operações fundamen-
tais; conhecer as principais funções elementares, com destaque para a 
exponencial; visualizar algumas funções de transformações no plano com-
plexo. analisar suposições e critérios de limite e continuidade de funções 
complexas; compreender as principais regras de derivação das funções 
complexas; considerar a série de Laurent expressa em séries de potências 
admitindo termos de grau negativo; saber sobre a fórmula da integral de 
Cachy, aplicada em caminhos de contorno fechado; relembrar as séries de 
potência de Taylor, MacLauren e Laurent; aplicar o teorema dos resíduos 
em resolução de problemas com integrais, e muito mais.
Aproveite a leitura do livro.
 
Bons estudos!
VARIÁVEIS 
COMPLEXAS
ORGANIZADORES VINÍCIUS PARANAÍBA CAMPOS; CATIA CANDIDA DE ALMEIDA
gente criando futuro
C
M
Y
CM
MY
CY
CMY
K
VARIÁVEIS 
COMPLEXAS 
Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida ou 
transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio, eletrônico ou mecânico, incluindo 
fotocópia, gravação ou qualquer outro tipo de sistema de armazenamento e transmissão de 
informação, sem prévia autorização, por escrito, do Grupo Ser Educacional. 
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Campos, Vinícius Paranaíba.
 Variáveis complexas / Vinícius Paranaíba Campos; Catia Candida de Almeida. – São 
Paulo: Cengage – 2020.
 Bibliografia.
 ISBN 9786555580679
 1. Matemática 2. de Almeida, Catia Candida.
Grupo Ser Educacional
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CEP: 50100-160, Recife - PE 
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“É através da educação que a igualdade de oportunidades surge, e, com 
isso, há um maior desenvolvimento econômico e social para a nação. Há alguns 
anos, o Brasil vive um período de mudanças, e, assim, a educação também 
passa por tais transformações. A demanda por mão de obra qualificada, o 
aumento da competitividade e a produtividade fizeram com que o Ensino 
Superior ganhasse força e fosse tratado como prioridade para o Brasil.
O Programa Nacional de Acesso ao Ensino Técnico e Emprego – Pronatec, 
tem como objetivo atender a essa demanda e ajudar o País a qualificar 
seus cidadãos em suas formações, contribuindo para o desenvolvimento 
da economia, da crescente globalização, além de garantir o exercício da 
democracia com a ampliação da escolaridade.
Dessa forma, as instituições do Grupo Ser Educacional buscam ampliar 
as competências básicas da educação de seus estudantes, além de oferecer-
lhes uma sólida formação técnica, sempre pensando nas ações dos alunos no 
contexto da sociedade.”
Janguiê Diniz
PALAVRA DO GRUPO SER EDUCACIONAL
Autoria
Vinícius Paranaíba Campos
Graduado em Engenharia Elétrica e mestre em Engenharia Elétrica pela Escola de Engenharia de São 
Carlos (EESC) - USP, subárea de Análise e Processamento de Imagens Médicas.
Cátia Candida de Almeida
Doutora em Ciência da Informação, UNESP/Marília-SP, Mestre em Educação Matemática, graduada 
em Estatística e Licenciatura em Matemática. Atualmente é professora dos cursos de engenharias do 
UniSALESIANO e de Bioestatística do curso de Medicina FUNEPE. Consultora de análises de dados e 
estatísticas da empresa STATMART.
SUMÁRIO
Prefácio .................................................................................................................................................8
UNIDADE 1 - Introdução às funções de variáveis complexas ...........................................................9
Introdução.............................................................................................................................................10
1 Números complexos .......................................................................................................................... 11
2 Propriedades e operações com números complexos .........................................................................13
3 Representação geométrica ................................................................................................................ 16
4 Forma polar ........................................................................................................................................ 21
5 Funções de variáveis complexas ........................................................................................................ 26
PARA RESUMIR ..............................................................................................................................41
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ......................................................................................................42
UNIDADE 2 - Derivação e integração de variáveis complexas .........................................................43
Introdução.............................................................................................................................................44
1. Funções complexas ........................................................................................................................... 45
2. Derivação ..........................................................................................................................................51
3. Integração .........................................................................................................................................55
4 Integral do contorno ou curvilínea ..................................................................................................... 58
PARA RESUMIR ..............................................................................................................................62
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ......................................................................................................63
UNIDADE 3 - Fórmula integral de Cauchy .......................................................................................65
Introdução.............................................................................................................................................66
1. Séries .................................................................................................................................................67
2. Séries de funções complexas ............................................................................................................ 69
3. Série de Laurent ................................................................................................................................ 79
4. Fórmula integral de Cauchy .............................................................................................................. 81
PARA RESUMIR ..............................................................................................................................89
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ......................................................................................................90
UNIDADE 4 - Resíduos e polos de variáveis complexas ...................................................................91
Introdução.............................................................................................................................................921. Introdução .........................................................................................................................................93
2. Singularidades ................................................................................................................................... 96
3. Resíduo .............................................................................................................................................100
4. Aplicações do teorema dos resíduos ................................................................................................ 105
PARA RESUMIR ..............................................................................................................................111
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ......................................................................................................112
O livro Variáveis complexas traz ao leitor, além de informações básicas da área, o 
conteúdo parcialmente descrito a seguir em suas quatro unidades.
Em linhas gerais, a primeira unidade, Introdução às funções de variáveis complexas, 
trata de números complexos, suas diferentes formas de representação, e as operações 
fundamentais envolvendo tal conjunto. As principais teorias utilizadas para os cálculos 
e resoluções de problemas também estão dispostas no texto, assim como as técnicas 
e os conceitos fundamentais relacionados às funções de variáveis complexas, a forma 
como as funções seno e cosseno podem ser representadas em funções exponenciais e 
as principais semelhanças e diferenças em relação às funções reais.
A segunda unidade, Derivação e integração de variáveis complexas, aborda o 
estudo de variáveis complexas, chave para compreensão de tópicos relacionados a 
circuitos elétricos, teoria eletromagnética, sinais e sistemas, sistemas de controle e 
automação. 
A terceira unidade, Fórmula integral de Cauchy, aponta as principais representações 
de funções complexas em termos de séries de potências. 
Concluindo a obra, a quarta e última unidade, Resíduos e polos de variáveis 
complexas, apresenta os conceitos mandatórios para análise do comportamento de 
funções analíticas ou holomorfas e pontos considerados singulares. O teorema do 
resíduo, também tratado aqui, garante o cálculo das integrais de funções analíticas 
definidas em regiões de curvas fechadas. 
Esta é apenas uma pequena amostra do que o leitor aprenderá após a leitura do 
livro. 
Agora é com você! Sorte em seus estudos!
PREFÁCIO
UNIDADE 1
Introdução às funções de variáveis 
complexas
Olá,
Você está na unidade Introdução às funções de variáveis complexas. Conheça aqui os 
números complexos, suas diferentes formas de representação, bem como as operações 
fundamentais envolvendo esse conjunto. Entenda, ainda, as principais teorias utilizadas 
para os cálculos e resoluções de problemas.
Aprenda técnicas e conceitos fundamentais relacionados com as funções de variáveis 
complexas, de que forma as funções seno e cosseno podem ser representadas por meio 
de funções exponenciais e quais as principais semelhanças e diferenças em relação às 
funções reais.
Bons estudos!
Introdução
11
1 NÚMEROS COMPLEXOS
A Unidade Introdução às funções variáveis complexas apresentará conceitos e técnicas utilizadas 
para o cálculo de equações e funções envolvendo os números complexos. No entanto, antes de trabalhar 
com toda a parte matemática dessas funções, é necessário compreender as principais propriedades 
desse tipo de variável. Sendo assim, você iniciará aprendendo sobre os números complexos em si, 
desde as características mais básicas até as mais avançadas. Primeiramente, devemos saber o conceito 
por trás desse conjunto, o que é, o que representa um número complexo. Posteriormente, extrapolar 
os cálculos e formulações até então “presos” no mundo dos reais. Você aprenderá as diferentes 
formas de representação desses números (forma algébrica retangular e forma polar) e como efetuar 
operações como soma, diferença, produto, divisão e potenciação. Trabalhar com esse conjunto é um 
tanto quanto desafiador, mas logo você estará familiarizado e preparado para aplicar os conceitos 
estudados, principalmente no que diz respeito ao universo das engenharias.
1.1 O que é e por que utilizar números complexos?
Você alguma vez já se perguntou como surgiram os números complexos? Mais ainda, por que se fez 
necessário a criação de outro conjunto, além dos números reais? Antes de responder a essas questões, 
veja a figura “Conjunto numérico anterior”. É possível perceber a inclusão de números diferentes a cada 
novo conjunto. O interessante aqui é entender os motivos para essas criações de conjuntos.
Figura 1 - Conjunto numérico anterior 
Fonte: Elaborada pelo autor, 2020.
#ParaCegoVer:Na imagem temos a representação de quatro conjuntos numéricos: os naturais 
(N), os inteiros (Z), os racionais (Q) e os reais (R). Gradativamente, um conjunto maior contém os 
demais conjuntos menores que ele. Sendo assim, os inteiros contêm os naturais, os racionais 
contêm os dois anteriores e os reais contêm todos.
12
Vamos assumir que, primeiramente, foi criado o conjunto dos números naturais, representado 
pela letra N, e que engloba somente os números positivos e inteiros (SPIEGEL, 1973). Assim, 
temos N = {1, 2, 3, ...}. Como seria possível, então, resolver a equação abaixo?
x=3-7
Qual valor, dentro dos números naturais, poderia assumir a variável x? Ou melhor, como 
representar, numericamente, uma situação em que a pessoa gasta mais dinheiro do que recebe? 
Para resolver esse impasse, foi criado o conjunto dos números inteiros, Z, que engloba tanto os 
inteiros positivos como os negativos, sendo Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} (SPIEGEL, 1973).
Estaria tudo resolvido, se não fosse por outra necessidade que surgiu posteriormente. Qual 
seria a solução para a equação abaixo?
2x=5
Melhor ainda, quando uma pizza é dividida em oito pedaços, como representar a quantia 
referente a um único pedaço? Novamente, percebe-se uma limitação no conjunto numérico 
existente. Com isso, surge, então, o conjunto dos números racionais, representado pela letra Q, 
que contém os conjuntos não só os existentes até ali, mas também os números representados por 
frações. Dessa forma, Q = {..., -1, } SPIEGEL, 1973).
Finalmente, te proponho o seguinte: qual número que, elevado ao quadrado, resulta em 2? 
Ou melhor, quanto mede a diagonal de um quadrado de lado 1? Seria impossível responder a essa 
questão, se não fosse a expansão dos conjuntos numéricos. Foi aí que apareceram os números 
irracionais, números estes que, de maneira bem simples, têm como característica a famosa dízima 
não periódica. Ou seja, são números que possuem infinitos algarismos depois da vírgula e não há 
periodicidade, repetição, desses algarismos. Desse modo, não poderiam ser escritos em forma 
de fração, por exemplo. Ao conjunto que engloba todas essas representações, damos o nome de 
números reais, representado pela letra R (SPIEGEL, 1973).
Você já deve estar se perguntando: e os números complexos, o que vieram solucionar? Esta 
pergunta é, de certa forma, fácil de responder. Veja a equação a seguir:
z²=4
Sabe-se que ela tem duas soluções, sendo z = 2 ou z = -2. Mas e se complicarmos um pouco 
mais e fizermos da seguinte forma?
z²=-4
É fácil notar que o conjunto dos reais é insuficiente para resolver a equação acima. Como um 
13
número real elevado ao quadrado pode resultar em um número negativo? De fato, esse número 
real não existe. Estabeleceram-se, assim, os números complexos (SPIEGEL, 1973). Você verá, no 
próximo tópico, as principais propriedades desse conjunto e poderá, então, resolver esse dilema.
1.2 Definição
Sabe-se, até o momento, que o conjunto dos complexos, o qual representaremos pela letra C, 
contém todos os tipos de números vistos anteriormente, denominados de reais. No entanto, eles 
possuem uma característica a mais, a chamada parte imaginária. Vamos entender um pouco mais.Seja z um número pertencente ao conjunto C, podemos representá-lo como um par ordenado 
de números reais x e y (CHURCHILL, 1975). Sendo assim:
z=(x.y)
É como se fosse um ponto de duas coordenadas no plano cartesiano, com o qual você já deve 
estar acostumado. Porém, o entendimento é um pouco mais complexo. À primeira coordenada 
desse ponto, damos o nome de parte real. Já à segunda, damos o nome de parte imaginária. Por 
convenção, optou-se por atribuir um símbolo a essa segunda parte, o símbolo i. Dessa forma, o 
número z, tal que z∈C , pode ser também escrito da seguinte maneira:
z-x+yi
Com x sendo a parte real, também referido como Re(z), e y a parte imaginária, ou Im(z). 
Natural deduzir, então, que um número puramente real é aquele cuja parte imaginária é nula. 
Ou seja, ou . Note que é justamente o caso de todo o conjunto R dos 
números reais abordado anteriormente. De forma análoga, um número dito imaginário puro é 
aquele do tipo (CHURCHILL, 1975).
2 PROPRIEDADES E OPERAÇÕES COM NÚMEROS 
COMPLEXOS
Com base nas definições abordadas anteriormente, vamos agora mostrar algumas 
propriedades importantes. Juntamente com essas propriedades, as operações básicas de adição, 
subtração, multiplicação serão também estudadas e demonstradas.
2.1 Igualdade
Dois números complexos são iguais se, e somente se, suas partes reais e imaginárias forem 
iguais (CHURCHILL, 1975).
14
 
Por mais trivial que possa parecer, devemos nos atentar, pois estamos trabalhando com uma 
variável que possui duas coordenadas, x e y.
2.2 Conjugado complexo
O conjugado de um número complexo z, representado por (z barra), nada mais é que o 
número z com sua parte imaginária “invertida”, ou seja, multiplica-se a parte imaginária por -1 
(CHURCHILL, 1975). Dessa forma:1
A definição do conjugado é muito útil e será explorada no decorrer da aula.
2.3 Adição e subtração
A adição é obtida somando-se, separadamente, as partes reais e imaginárias de cada um dos 
números (CHURCHILL, 1975). Ou seja:
Em forma de par ordenados, temos:
 Veja o exemplo a seguir:
A subtração é a inversa da adição e é obtida subtraindo-se, separadamente, as partes reais e 
imaginárias de cada um dos números (CHURCHILL, 1975). Ou seja:
 Como exemplo, temos:
15
2.4 Multiplicação e divisão
A multiplicação é muito parecida com a forma que você já conhece referente aos números 
reais. Porém, cabem duas ressalvas:
Por definição, o quadrado do número imaginário puro é igual a (CHURCHILL, 1975). Ou seja:
A prova dessa relação não será abordada aqui, mas pode ser encontrada nos livros de 
referência do material.
O raciocínio para a multiplicação de complexos é análogo à propriedade distributiva, 
considerando-se dois números reais.
Finalizando a parte da multiplicação, é possível demonstrar que multiplicar um número 
complexo pelo seu conjugado resultará sempre em um número puramente real.
Para a divisão, devemos retomar o conceito anterior de conjugado complexo. O raciocínio 
baseia-se em multiplicar a fração inicial, em cima e embaixo, pelo conjugado do divisor. Isso é 
FIQUE DE OLHO
O símbolo + que separa as partes real e imaginária de um número complexo tem significado 
diferente do + referente à adição de valores. Na representação de um complexo, esse símbolo 
somente nos diz que o número tem parte real e parte imaginária. Note, também, que 
quando o número possui parte imaginária negativa, por convenção e facilidade, podemos 
suprimir o símbolo +, conforme exemplo ilustrado anteriormente na seção de subtração.
16
feito justamente para poder fazer desaparecer a parte imaginária do divisor. Como assim? Veja:
A partir desse estágio, faremos a multiplicação dos termos normalmente, lembrando sempre 
que e que o divisor resultará em um número real do tipo
Você deve estar pensando: mas até agora não foi falado como resolver o problema do tópico 
“O que é e por que utilizar números complexos?”! Bom, retomando o dilema em questão, temos:
Ou seja, são soluções da equação acima. Com os números complexos é 
possível calcular raízes de números negativos. É possível resolver as equações de segundo grau 
em que o delta (aquele da fórmula de Bhaskara, está lembrado?) é negativo. Claro que essa não 
é a única função desse conjunto. Confira muito mais nos próximos tópicos!
3 REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA
Sabemos que um número 
Podemos, então, utilizar o plano cartesiano xy para representar esse número. O eixo das 
abcissas (x) se refere à parte real enquanto o eixo das ordenadas (y) se refere à parte imaginária 
(CHURCHILL, 1975). Seguem alguns pontos e suas representações no plano.
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Figura 2 - Números complexos no plano 
Fonte: Elaborada pelo autor, 2020.
#ParaCegoVer: Na imagem, temos a representação de quatro números complexos no plano-
xy, também conhecido como plano complexo. São eles: 2 + 3i, 3 -i, -3 -2i e -2 + 2i. O eixo das 
abcissas é o eixo real e o eixo das ordenadas o complexo. Sendo assim, cada ponto tem duas 
coordenadas e foram marcados no plano com um ponto na cor vermelha.
Como pode ser visto na figura “Números complexos no plano”, cada número complexo é 
representado como um ponto no plano-xy, também referenciado como plano complexo, em que os 
eixos das abcissas e ordenadas indicam, respectivamente, o eixo real e o imaginário (SPIEGEL, 1973).
Percebe-se, assim, que um número complexo pode ser entendido como um vetor (SPIEGEL, 
1973). Ele possui um módulo (tamanho). A origem do vetor, é, geralmente, o ponto (0, 0), ou seja, 
a origem.
3.1 Módulo
O módulo de um número complexo é simplesmente o tamanho desse vetor (SPIEGEL, 1973). 
Seu cálculo é igual ao de qualquer vetor de duas dimensões, como você provavelmente já estudou 
nas disciplinas de álgebra linear, geometria analítica. Segue exemplo:
Essa formulação pode ser detectada analisando a representação gráfica do vetor 
correspondente. O módulo do vetor é igual à hipotenusa do triângulo retângulo formado 
utilizando as coordenadas reais e imaginárias separadamente. Veja a seguir:
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Figura 3 - Representação geométrica 
Fonte: Elaborada pelo autor, 2020.
#ParaCegoVer: Na imagem temos a representação de um número complexo como vetor. Em 
azul, representações auxiliares dos lados do triângulo formado utilizando as coordenadas reais e 
imaginárias separadamente. Fácil notar que o módulo de z é correspondente à hipotenusa desse 
triângulo, obtido por meio do teorema de Pitágoras.
Utilizando a representação vetorial, a soma e a subtração seguirão, também, as mesmas 
regras para vetores de duas dimensões. Em termos algébricos, já sabemos que:
Geometricamente falando, o vetor resultante de uma soma é representado pela diagonal do 
quadrilátero formado pelos dois vetores que estão sendo somados (CHURCHILL, 1975). Veja a seguir:
Figura 4 - Soma de vetores no plano complexo 
Fonte: Elaborada pelo autor, 2020.
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#ParaCegoVer: Na imagem temos a representação de dois números complexos, z=(1,2) e 
w=(3,1). A soma dos vetores correspondentes resulta no vetor z + w = (4, 3). Pode-se perceber, 
também, que o vetor resultante é aquele referente à diagonal do quadrilátero de lados z e w, o 
qual pode ser visualizado com a ajuda das linhas tracejadas em azul.
Para o caso da subtração, a ideia é parecida. Porém, primeiro deve-se encontrar o vetor que 
está sendo subtraído e multiplicá-lo por -1. Posteriormente, faz-se uma soma desse vetor com 
o outro elemento utilizando a mesma técnica mostrada anteriormente. Suponha que temos os 
números complexos z e w e vamos efetuar a operação w – z. Assim, multiplicamos o vetor z 
por -1, obtendo -z. Depois, efetuamos uma soma (CHURCHILL, 1975). Veja 
exemplo a seguir:
Figura 5 - Subtração de vetores no plano complexo 
Fonte: Elaborada pelo autor, 2020.
#ParaCegoVer: Na imagem, temos a representação de dois números complexos, z= (1,2) e 
w= (3,1). A subtração w - z, resulta no vetor w -z = (2, -1). Para obter o vetor resultante, primeiro 
encontra-se o vetor -z = (-1, -2). Posteriormente, realiza-se uma soma, como jámostrado, dos 
vetores w e -z, novamente visualizado com a ajuda das linhas tracejadas em vermelho.
3.2 O que o conjugado representa
Com base no raciocínio vetorial e sabendo que o conjugado é obtido ao multiplicar a parte 
imaginária por -1, conclui-se que este é a reflexão (a forma espelhada) do número original no eixo 
x, ou melhor, no eixo real (CHURCHILL, 1975). A figura “Representação do conjugado complexo” 
nos mostra isso.
20
Figura 6 - Representação do conjugado complexo 
Fonte: Elaborada pelo autor, 2020.
#ParaCegoVer: Na imagem, temos a representação de um número complexo e de seu conjugado, representados 
pelos pontos (3, 2) e (3, -2), respectivamente. Um é a forma espelhada do outro em relação ao eixo dos reais.
Antes de avançar os estudos, combinando algumas das propriedades mencionadas, podemos 
citar algumas formulações que servirão de apoio para cálculos e resoluções de problemas futuros:
Essas duas definições são fruto das desigualdades triangulares. Em termos de comprimento, 
nenhum lado do triângulo é maior que a soma dos outros dois lados e nem é menor que a diferença 
deles (CHURCHILL, 1975). Sugiro que analise as figuras anteriores e tente visualizar esse fato.
Seguindo, temos que o módulo da multiplicação é igual à multiplicação dos módulos e, 
analogamente, o módulo da divisão é equivalente à divisão dos módulos (CHURCHILL, 1975).
Algebricamente falando, vamos provar a primeira hipótese, sobre a multiplicação. Sugere-se 
que a prova da divisão seja feita como tarefa.
21
Por último, as três formulações referentes a operações envolvendo o conjugado. Considerando
 , temos:
Percebe-se que as operações podem não ser tão triviais, não é mesmo? Porém, com bastante 
estudo e um pouco de prática, tudo fica mais tranquilo. Tente revisar o conteúdo até aqui, 
absorvendo os conceitos, e siga para o próximo tópico.
4 FORMA POLAR
Outra maneira, mais prática e matematicamente mais elegante, de se representar um número 
complexo é por meio das coordenadas polares. Você já sabe que o número complexo possui 
módulo, comumente chamado de r. Além disso, ele possui um ângulo, ou melhor, um argumento, 
chamado θ. Ele é o ângulo que o vetor faz com o eixo real, medido no sentido anti-horário em 
radianos (rad) (CHURCHILL, 1975). Veja a figura “Módulo e argumento de um número complexo”.
Figura 7 - Módulo e argumento de um número complexo 
Fonte: Elaborado pelo autor, 2020.
#ParaCegoVer: Na imagem, temos a representação de um número complexo mostrando suas 
coordenadas polares. A variável r corresponde ao módulo, enquanto θ corresponde ao seu argumento. 
Lembrando que θ é o ângulo entre o vetor e o eixo real, no sentido anti-horário, dado em radianos (rad).
Tendo isso em mente, é possível notar que as coordenadas reais e imaginárias podem ser 
obtidas em função de r e θ, utilizando conceitos referentes a um triângulo retângulo (CHURCHILL, 
1975). Sendo , temos:
22
Com a nova formulação de x e y chegamos a:
Vejamos um exemplo prático. Vamos reescrever o número z = 2 + 2i em sua forma polar. 
Primeiramente, obtemos o módulo:
Vale lembrar que o argumento pode ser obtido, também, pelas relações de seno e cosseno. 
Com os valores de r e θ em mãos:
Outro detalhe a ser levando em conta é quando o θ possuir valor negativo. O sinal de “menos”, 
nesse caso, somente indica que o ângulo está no sentido horário. Retomando o exemplo acima, 
atribuindo um valor negativo ao argumento, teremos o número
Confira como fica a representação desses dois números no plano complexo.
Figura 8 - Compreendendo o argumento do vetor complexo 
Fonte: Elaborada pelo autor, 2020.
#ParaCegoVer: Na imagem, temos a representação de dois números complexos, um com 
argumento positivo e outro com argumento negativo. A diferença está no sentido do ângulo. O 
positivo está no sentido anti-horário, enquanto o negativo está no horário.
23
Ainda sobre a figura “Compreendendo o argumento do vetor complexo” e o ângulo negativo, 
perceba que os números ilustrados no exemplo são conjugados um do outro. Ou seja, com 
coordenadas polares, para encontrar o conjugado, complexo basta multiplicar o argumento por 
-1 (CHURCHILL, 1975).
4.1 Multiplicação, divisão e potências na forma polar
Com base na forma polar de um número complexo, vamos explorar as operações de 
multiplicação, divisão e potenciação desse conjunto.
Utilize o QR Code para assistir ao vídeo:
Após a explicação abordada no vídeo, podemos seguir em frente e estudar sobre as raízes de 
um polinômio complexo.
4.2 Extração de raízes de polinômios
Tendo em vista os conceitos apresentados até o momento, vamos agora descobrir como 
tratar e resolver equações polinomiais do tipo
Em que e n é um número natural inteiro positivo. Trabalhando um pouco a parte 
algébrica, temos:
Logo, assumindo os ângulos medidos em radianos,
24
Vamos entender melhor por meio do seguinte exemplo: vamos encontrar as raízes do 
seguinte polinômio z³=8 .
O número real 8 pode ser reescrito como
Basicamente, o que essa resolução nos mostra é que temos n raízes (nesse caso, três) que 
têm o mesmo módulo e diferem entre si por seus argumentos, tal que andamos “passos” de 
igual tamanho (referentes ao valor k) para encontrarmos esses argumentos (CHURCHILL, 1975). 
Algebricamente, nesse exemplo, temos as seguintes raízes:
Note que a diferença entre as raízes é o argumento que, nesse caso, vai sendo incrementado 
de 120 graus, ou radianos. Graficamente, obtemos
25
Figura 9 - Exemplo gráfico das raízes complexas de z3 = 8
#ParaCegoVer: Na imagem, temos a representação das três raízes referentes à equação z³=8. 
O módulo delas é o mesmo e de valor igual a 2. O que muda, então, é o argumento de cada uma 
delas, são aumentadas de 120 graus em relação à anterior. Pode-se dizer que elas estão inseridas 
em um círculo de raio r =2.
Figura 10 - Exemplo gráfico das raízes complexas de 
Fonte: Elaborada pelo autor, 2020.
#ParaCegoVer: Na imagem, temos a representação das duas raízes referentes à equação z²=1. 
O módulo delas é o mesmo e de valor igual a 1. Elas estão inscritas na circunferência tracejada de 
raio r = 1 e diferem entre si, porém, por um ângulo de 180 graus.
26
Figura 11 - Exemplo gráfico das raízes complexas de 
Fonte: Elaborada pelo autor, 2020.
#ParaCegoVer: Na imagem, temos a representação das quatro raízes referentes à equação 
z4=1. Note que o módulo delas é o mesmo e de valor igual a 1. Elas estão inscritas na circunferência 
tracejada de raio r = 1 e diferem entre si, porém, por um ângulo de 90 graus.
Repare que refere-se às n-ésimas raízes do número real 1, conforme visualizado 
anteriormente. Em suma, para achar as n raízes de um complexo, basta encontrar a primeira 
delas e depois multiplicá-las pelas n raízes da unidade (CHURCHILL, 1975).
Antes de passar para o próximo tópico, sempre bom reforçar a necessidade de revisar o 
conteúdo abordado até o momento e sentir-se confortável com ele. Falaremos, em seguida, 
sobre as funções cujas variáveis são complexas.
5 FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS
Dando continuidade aos estudos, neste tópico, vamos utilizar os conceitos abordados 
anteriormente para estudar o comportamento das funções complexas. Vale ressaltar a importância 
de revisitar conhecimentos relacionados às funções reais, principalmente o que diz respeito às 
27
funções de duas variáveis, do tipo . Saber visualizar graficamente essas funções, suas 
formas geométricas, facilita bastante a compreensão dos conceitos para o domínio complexo.
5.1 Regiões no plano complexo
O primeiro conceito a ser estudado refere-se aos subconjuntos de um plano complexo. Como 
assim? Vamos definir, com base em determinadas características, o que um subconjunto desse 
plano representa, de forma bem parecida com o que acontece no plano real: conjuntos abertos, 
fechados etc. Veja o exemplo a seguir:
Elegendo-se dois pontos em um plano complexo, , temos que a distância entre eles é dada por:
que é a distância usual entre dois vetores quaisquer de duasdimensões, correto? Sendo 
assim, podemos definir um conjunto chamado de disco com centro em
Conjunto aberto: Perceba que, nesse caso específico, o disco é do tipo aberto, uma vez que somente 
fazem parte do conjunto os pontos que estão a uma distância menor que r. Ou seja, bem na região limítrofe 
desse conjunto com o resto do plano, ele não está definido (SPIEGEL, 1973). Geometricamente falando, temos:
Figura 12 - Disco aberto com centro na origem e raio r = 2 
Fonte: Elaborada pelo autor, 2020.
#ParaCegoVer: Na imagem, temos a representação de um conjunto de pontos formado pelo 
disco aberto centrado na origem e de raio igual a 2. A linha pontilhada representa a região em que 
a distância é igual ao raio. Neste caso, o conjunto não abrange esses pontos. Para os demais pontos 
do interior, temos o disco preenchido com a cor azul, indicando que ali o conjunto está definido.
28
Conjunto fechado: De forma análoga, definimos como conjunto fechado o que conjunto de 
pontos que contém todos os pontos interiores e os pontos dessa região limítrofe comentada 
anteriormente. Dessa forma, o disco é do tipo
Graficamente, temos:
Figura 13 - Disco fechado com centro na origem e raio r = 2 
Fonte: Elaborada pelo autor, 2020.
#ParaCegoVer: Na imagem, temos a representação de um conjunto de pontos formado pelo disco 
fechado centrado na origem e de raio igual a 2. Perceba que, agora, não há mais a linha pontilhada na 
região limítrofe. Todos os pontos do interior e da fronteira estão preenchidos com a cor sólida azul.
Vizinhança: Uma vizinhança de um ponto (delta) – vizinhança, é o conjunto de 
pontos z, tal que , em que é um número positivo qualquer. Esse conceito é 
importante para entendermos os seguintes.
Pontos interiores, exteriores e de fronteira: Um ponto é dito ponto interior de um conjunto S, 
se é possível estabelecer uma – vizinhança de que esteja totalmente contida em . Já um ponto 
de fronteira é aquele que pertence a um conjunto S tal que sua – vizinhança esteja parcialmente 
contida em S. Ou seja, existem elementos pertencentes e não pertencentes a S (SPIEGEL, 1973).
Retomemos os exemplos anteriores sobre um disco Para 
facilitar, vamos tomar pontos z pertencentes somente ao eixo real, É fácil visualizar 
que o ponto z=1 é um ponto interior do disco D, pois é possível estabelecer um valor de tal 
que exista uma vizinhança de z=1 inteiramente contida no disco. Suponha , por exemplo.
29
E o ponto ? É interior? Sim. Lembre-se de que não há restrições para o valor de 
. Existem infinitos pontos entre 1.99 e 2. Sendo assim, podemos estabelecer 
e formaremos uma vizinhança completamente contida no disco D. O mesmo já não acontece 
quando temos z=2. Note que, por menor que seja o estabelecido, sempre teremos pontos da 
vizinhança que estão tanto dentro quanto fora do disco. Dessa forma, o ponto z=2 é um ponto de 
fronteira, assim como todos os outros pontos pertencentes à circunferência de raio 2 e centro na 
origem, aquela pontilhada na Figura “Disco aberto com centro na origem e raio z=2”.
Finalmente, se um ponto z de um conjunto S não é interior e nem é de fronteira, ele é um 
ponto exterior ao conjunto. Um pouco trivial, não é verdade?! Mas essa é uma maneira fácil e 
amigável de defini-los. Confira a figura a seguir.
Figura 14 - Exemplo de pontos interiores, exteriores e de fronteira 
Fonte: Elaborada pelo autor, 2020.
#ParaCegoVer: Na imagem temos a representação de um conjunto de pontos formado pelo disco 
centrado na origem e de raio igual a 2. Em azul, temos pontos interiores ao conjunto. A linha tracejada 
indica os pontos de fronteira. Já a região cinza-claro, mostra o restante do plano complexo, representa 
os pontos exteriores ao disco.
FIQUE DE OLHO
Círculo e circunferência são objetos distintos. Círculo é toda a região plana que vai desde 
o ponto central até à fronteira, cuja distância até o centro é igual ao raio. Já circunferência 
é somente o “contorno” do círculo, ou seja, somente os pontos cuja distância até o ponto é 
exatamente igual ao raio.
30
Feitas essas formalizações a respeito dos subconjuntos de um plano complexo, seguimos em 
frente para falar um pouco sobre as transformações envolvendo as funções desse conjunto.
5.2 Funções e transformações
Dado z como sendo uma variável pertencente aos complexos, ou seja, uma variável complexa, 
se para cada valor de z determina-se o valor de outra variável complexa w, dizemos que w é uma 
função de z, ou
Domínio e contradomínio: Da mesma forma como acontece nas funções reais, temos que 
o conjunto S do plano complexo, tal que , é dito domínio da função w. Já os valores f(z) 
constituem outro conjunto do plano complexo, chamado de contradomínio (ou imagem) da 
função w (CHURCHILL, 1975). As funções
não está definida nos pontos uma vez que estes valores tornam nulo o quociente 
da função. Sendo assim, seu domínio é o conjunto contendo todos os números complexos, com 
exceção de 
Em termos de contradomínio, podemos analisar a função novamente. 
Note que para todo valor de z, associa-se um valor puramente real e positivo. Então, o 
contradomínio de é o semieixo não negativo do eixo real.
Univalentes e multivalentes: Uma função é do tipo univalente se, para cada 
pertencente ao domínio de existe um único valor correspondente w. Já as funções em 
que podemos associar mais de um valor w para cada z são chamadas de multivalentes 
(CHURCHILL, 1975). Exemplos de funções multivalentes são as do tipo . Conforme 
vimos anteriormente (na seção “Extração de raízes de polinômios”), existem n valores 
distintos que satisfazem a relação mencionada.
Partes real e imaginária de uma função: Toda função de uma variável complexa (z, por 
exemplo) pode ser entendida como duas funções reais de duas variáveis, uma em relação à 
parte real do número z e outra em relação à parte imaginária (CHURCHILL, 1975). Vejamos 
o exemplo a seguir:
31
Podem acontecer casos em que u ou v assumem valores nulos, o que não altera em nada a 
definição. Em nota-se que
Transformações: Voltemos um pouco às funções reais. Tomando uma função do tipo 
 com y e x sendo reais, nota-se que para cada valor de x, associa-se um respectivo 
valor de y. Além disso, temos um único número real sendo transformado em outro número real, 
bastando, para isso, um eixo de representação para cada uma. Com isso, podemos representar 
graficamente utilizando somente o planto cartesiano xy, certo? Quando adotamos mais uma 
variável real, z (não confundir com o z complexo), ainda é possível visualizar o gráfico, adicionando 
mais uma dimensão. Para por exemplo, a representação é o plano perpendicular ao 
plano xy e que contém a reta y=x.
Quando se utilizam variáveis complexas, no entanto, a visualização gráfica em uma única 
imagem não é possível, pois necessitaríamos de quatro dimensões, uma vez que estamos 
transformando algo bidimensional (variável z complexa possui partes real e imaginária) em 
algo também bidimensional, variável Sendo assim, uma forma de representar essa 
transformação é considerar dois planos complexos separados, um para z e outro para w. Isso 
facilita bastante o entendimento dessas funções (CHURCHILL, 1975). Além disso, é comum 
analisarmos a trajetória de um ponto em uma região específica do plano z e encontrar a imagem 
desta no plano w. Veja alguns exemplos:
Transformação Linear: Um exemplo de transformação linear é a translação de cada ponto z através 
de uma constante complexa (CHURCHILL, 1975). Chamando essa constante complexa de b, temos:
Outra transformação linear bem interessante é a rotação (CHURCHILL, 1975). Pelo que já 
foi estudado anteriormente, sabemos que a rotação acontecerá se houver multiplicação ou 
divisão de números complexos cuja parte imaginária seja não nula (caso tenha dúvidas, favor 
32
rever o vídeo “Produtos, quocientes e potências na forma polar”). Chamando de D esse número 
complexo e assumindo seu raio igual a 1, temos:
Vamos ver como fica com um exemplo prático aplicando uma rotaçãoe, também, uma translação.
Logo, podemos concluir que cada ponto z será rotacionado em 90 graus e, depois, transladado 
através do ponto b. Em relação às funções reais de duas variáveis, u e v, podemos representá-las como:
Se tomamos um retângulo de vértices A, B, C e D no plano z, podemos representa-lo no plano 
w por meio das respectivas imagens A’, B’, C’ e D’. Veja a Figura a seguir.
Figura 15 - Exemplo de translação e rotação 
Fonte: Elaborado pelo autor, 2020.
#ParaCegoVer: Na figura temos duas imagens: (a), representação do retângulo ABCD em 
vermelho no plano complexo z. Repare que o retângulo se encontra “em pé” e com seu vértice A 
sendo a origem; (b), representação do retângulo A’B’C’D’ em roxo no plano complexo z. Repare 
que o retângulo agora está “deitado”, pois sofreu uma translação de 90 graus. Além disso, seu 
vértice A’, imagem do ponto A, encontra-se agora no ponto (2-2i), o ponto b de translação.
33
Note que foram utilizados os conceitos de rotação e translação para obter, de forma mais fácil e 
intuitiva, a representação do retângulo no plano w. Seria possível, porém, fazer-se uso das equações 
algébricas triviais e achar as imagens dos vértices, um a um. Perceba que as coordenadas no plano w, 
 , são as transformações, ponto a ponto, de no plano z. Sendo assim, poderíamos fazer
Ou seja, a trajetória de A’ é também circular, no mesmo sentido anti-horário e de raio igual a 
1. Porém, enquanto A se descola, um valor referente a um ângulo de se desloca um valor 
referente a um ângulo de 2 (SPIEGEL, 1973). Em outras palavras, o vetor no plano w se descola 
duas vezes mais rápido que o vetor no plano z. Veja a seguir:
Figura 16 - Exemplo de transformação do tipo w = z2 
Fonte: Elaborado pelo autor, 2020.
34
#ParaCegoVer: Na figura, temos duas imagens: (a), representação da trajetória circular do 
ponto A no plano complexo z. Sentido anti-horário e raio igual a 1; (b), representação da trajetória 
circular do ponto A’ no plano complexo w. Sentido também anti-horário e raio igual a 1. A diferença 
está no ângulo percorrido. Enquanto A percorre um ângulo de θ, A’ percorre o dobro, 2θ.
Ainda falando sobre a mesma transformação . Vamos descobrir curvas no plano z que 
formam retas no plano w. Para que isso ocorra, u e v devem ser iguais a valores constantes como, 
por exemplo, . Verificando a forma algébrica de temos
Veja a ilustração considerando somente a primeira função u.
Figura 17 - Transformação u = x2 – y2 = c1 
Fonte: Elaborada pelo autor, 2020.
#ParaCegoVer: Na figura, temos duas imagens: (a), representação, no plano z, das hipérboles 
x²-y²=-4 em amarelo e x²-y²=2 em azul-claro; (b), representação, no plano w, das retas 
correspondentes às hipérboles, u=-4 e u=2.
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Agora, veja a ilustração considerando somente a segunda função v.
Figura 18 - Transformação v = 2xy = c2 
Fonte: Elaborada pelo autor, 2020.
#ParaCegoVer: Na figura, temos duas imagens: (a), representação, no plano z, das hipérboles 
2xy=2 em tracejado preto e 2xy=-2 em tracejado vermelho; (b), representação, no plano w, das 
retas correspondentes às hipérboles, u=2 e v=-2.
Vejamos o que acontece, então, quando temos as duas transformações ocorrendo ao mesmo 
tempo, no mesmo gráfico.
Figura 19 - Transformações u e v 
Fonte: Elaborada pelo autor, 2020.
#ParaCegoVer: Na figura, temos duas imagens: (a), representação, no plano z, das quatro 
hipérboles anteriores, x²-y²=-4, x²-y²=2, 2xy=-2 e 2xy=2. Os pontos de A a H são os diferentes pontos 
de intersecção; (b), representação, no plano w, das quatro retas correspondentes às hipérboles, u=-
4, u=2 e v=-2. Os pontos de O a R são os diferentes pontos de intersecção dessas retas.
Perceba, na figura “Transformações u e v”, que os oito pontos de intersecção do plano z se transformaram 
36
em somente quatro pontos no plano w. Isso ocorre pelo fato de a função ser biunívoca, ou seja, existem dois 
pontos complexos no plano z que levam ao mesmo ponto no plano w (SPIEGEL, 1973).
5.3 Funções elementares
Nesta seção, serão abordadas algumas funções elementares quando se trabalha com números 
complexos. Para a maioria delas, no entanto, faz-se necessária a retomada de uma fórmula 
bastante conhecida, a fórmula de Euler (SPIEGEL, 1973). Ela nos permite fazer a seguinte relação:
Utilize o QR Code para assistir ao vídeo:
Foi possível perceber a infinidade de fórmulas no que diz respeito às funções elementares, 
não é verdade? Notou o quão importante todas elas são, em especial, as funções exponenciais? 
Basicamente, quando o assunto é número complexo, tudo termina nelas.
5.4 Retas de ramificação e a superfície de Riemann
Ao falar de funções complexas, uma definição importante deve ser levada em consideração 
ao analisar o domínio e contradomínio dessas funções. Retomando o conceito de multivalente, 
vamos, então, entender como trabalhar e estabelecer o domínio dessa classe.
Tomando como exemplo a função vamos escrever z e w em função de suas 
37
coordenadas polares.
 Veja como ficam as posições iniciais de um ponto A no plano z e de sua imagem A’ no plano 
w para 
Figura 20 - Pontos iniciais em ambos planos complexos 
Fonte: Elaborado pelo autor, 2020.
#ParaCegoVer: Na figura, temos duas imagens: (a), representação, no plano z, da trajetória 
circular de raio unitário e do ponto inicial A e do ângulo formado por ele; (b), representação, no 
plano w, da imagem A’. O módulo é o mesmo, porém o ângulo agora é metade do ângulo de A.
Imagine, agora, que o ponto A, no plano z, dê uma volta completa, ou seja, percorra o ângulo 
referente a . Sua imagem percorrerá metade disso (dedução pode ser feita com base na 
teoria de extração de raízes explicadas anteriormente), ou seja,
Perceba que o valor de w muda de seu valor inicial (SPIEGEL, 1973). Confira na figura a seguir.
38
Figura 21 - Imagem no plano w após rotação 
Fonte: Elaborada pelo autor, 2020.
#ParaCegoVer: Na figura, temos a representação da imagem A’ no plano w após rotacionar 
180 graus. Interessante lembrar que o ponto A no plano z deu uma volta completa, enquanto aqui 
vemos que A’ percorreu metade disso.
Por enquanto, tudo certo. Porém, imagine que o ponto A faça mais uma revolução completa, 
ou seja, É possível notar que ele retorna ao mesmo ponto novamente. 
O mesmo já não acontece com a imagem em w, pois ela sai do ponto que estava, no terceiro 
quadrante, e retorna para sua posição inicial no primeiro quadrante. Estranho, não é verdade? 
Pois o mesmo ponto no plano complexo z, ou seja, no domínio da função, a cada uma das duas 
revoluções completas, gera imagens distintas no plano w. Isso é exatamente o que define uma 
função multivalente (CHURCHILL, 1975).
Entretanto, a função multivalente dessa forma, com somente um plano z no seu domínio, 
não está bem definida (NACHBIN; ZARATE, 2007). Deveria haver uma maneira de fazer com 
que a função fosse definida em todo o domínio. Seria possível? A resposta é sim. Foi com base 
nesse raciocínio que surgiram conceitos fundamentais em variáveis complexas: reta/ponto de 
ramificação e superfície de Riemann (NACHBIN; ZARATE, 2007). Vamos lá!
Foi possível verificar que a imagem da função possui “duas partes”, dois ramos, 
o primeiro referente à primeira volta completa e o segundo referente à segunda, correto 
(NACHBIN; ZARATE, 2007)? (Note que somente os dois ramos são suficientes. Um para 
 os valores de w 
voltam a se repetir). Nesse momento, imagine dois planos z empilhados. Pegue o semieixo 
positivo dos reais de ambos planos (início na origem e indo ao infinito) e faça um corte (como 
se fosse com uma tesoura mesmo). Agora, junte o quarto quadrante do plano superior com o 
39
primeiro quadrante do inferior, bem no semieixo onde o corte foi feito. Conseguiu visualizar? 
Algo parecido com um espiral se forma, correto? Agora, inicie um trajeto circular começando 
pelo primeiro quadrante do plano superior em sentido anti-horário. Assim que estiver chegando 
no semieixo positivo real, onde o corte foi feito e osplanos emendados, você é levado para o 
primeiro quadrante do plano inferior. Continue girando e, quando estiver chegando ao “fim” do 
percurso, ou seja, ao quarto quadrante do plano inferior, imagine que, de alguma forma, ele está 
também “grudado” no primeiro quadrante do plano superior. Visualizou? Com a figura “Superfície 
de Riemann”, a seguir, ficará um pouco mais fácil.
Figura 22 - Superfície de Riemann 
Fonte: Elaborada pelo autor, 2020.
#ParaCegoVer: Na figura, temos a representação da superfície de Riemann comentada. 
Temos dois planos empilhados, I e II. O trajeto circular se inicia no plano superior, indicado pela 
linha sólida. Quando chega ao “fim” do quarto quadrante, o trajeto continua no plano inferior, 
indicado pela linha tracejada. Esta linha tracejada, por sua vez, volta a encontrar o plano superior 
quando está completando a volta.
Dessa forma, verifica-se que, para cada ramo da função, existe um plano correspondente da 
superfície criada. Além disso, em cada plano z a função w, multivalente, é univalente. A reta na 
qual o corte foi feito é chamada de reta de ramificação e o seu ponto inicial, neste caso a origem, 
é o ponto de ramificação. Este é o ponto em torno do qual fizemos as revoluções. É possível 
verificar (a ser abordado posteriormente) que a revolução ao redor de outro ponto, diferente 
da origem, não geraria valores diferentes de imagem (SPIEGEL, 1973). Sendo assim, o ponto 
Antes de finalizar esse assunto, gostaria de deixar um exercício de reflexão: como seria a 
superfície de Riemann para Quantos planos deveriam ser empilhados? E para raiz 
n-ésima? Mais ainda, e para a função logarítmica É com você!
40
5.5 Aplicação em circuitos elétricos
Tendo em vista todo o estudo feito até este momento, gostaria de mostrar a você uma 
curiosidade bem interessante envolvendo a aplicação um pouco mais prática de números 
complexos. Confira a seguir.
Utilize o QR Code para assistir ao vídeo:
Bom, chegamos ao fim da Unidade Introdução às funções de variáveis complexas. Espero que 
tenha aprendido bastante sobre esse conjunto numérico fascinante. Com um pouco de estudo 
podemos ver que, de complexo, só o nome mesmo, concorda? De qualquer maneira, aproveite 
para dar uma boa revisada no conteúdo e, assim, trabalhar nos exercícios.
41
Nesta unidade, você teve a oportunidade de:
• conhecer as noções e conceitos sobre os números complexos;
• compreender as suas diferentes formas de representação;
• aprender sobre as operações fundamentais;
• estudar as funções de variável complexa;
• conhecer as principais funções elementares,com destaque para a exponencial;
• visualizar algumas funções de transformações no plano complexo.
PARA RESUMIR
CHURCHILL, R. V. Variáveis complexas e suas aplicações. São Paulo: Editora McGraw-Hill 
do Brasil, 1975.
NACHBIN, A.; ZARATE, A. R. Tópicos introdutórios à análise complexa aplicada. 26°Coló-
quio Brasileiro de Matemática. Rio de Janeiro: IMPA, 2007.
SPIEGEL, M. R. Variáveis complexas com uma introdução às transformações conformes e 
suas aplicações: resumo da teoria, 379 problemas resolvidos, 973 problemas propostos. 
São Paulo: Editora McGraw-Hill do Brasil, 1973.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
UNIDADE 2
Derivação e integração de variáveis 
complexas
Você está na unidade Derivação e integração de variáveis complexas. Conheça aqui 
os principais conceitos necessários do cálculo de equações que envolvem variáveis 
complexas. O estudo de variáveis complexas é essencial para compreensão dos assuntos 
relacionados a circuitos elétricos, teoria eletromagnética, sinais e sistemas, sistemas de 
controle e automação, entre outras aplicações.
Além disso, estudará um exemplo que ilustra a aplicação de equações matemáticas 
com variáveis complexas que simulam otimização do tempo de resposta de um sistema 
transitório e estacionário de um controle automático de processo produtivo.
Bons estudos!
Introdução
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1. FUNÇÕES COMPLEXAS
Inicialmente, recordaremos o conceito de funções complexas partindo da noção de conjunto 
complexo. Entende-se que um conjunto de números complexos com domínio D e f de uma função 
que associa cada elemento z do conjunto D a um único número complexo f(z) do conjunto I.
Partindo dessa noção, a figura “Representação do conceito de função complexa” apresenta 
um desenho esquemático que caracteriza uma função complexa.
Figura 1 - Representação do conceito de função complexa 
Fonte: Elaborada pela autora, 2020.
#ParaCegoVer: Na imagem, temos dois conjuntos, o conjunto domínio D e o contradomínio I.
Nota-se que o conjunto D é o conjunto domínio e o conjunto I é o contradomínio. A associação 
de todos os valores de z do domínio D a valores do conjunto contradomínio é caracterizada por 
 sendo z variável independente e w variável dependente (ÁVILA, 2008).
Por outro lado, os números complexos pertencem ao conjunto C e assumem a forma genérica 
de representação (Lê-se: z é igual a x mais i vezes y em que x e 
y pertencem ao conjunto dos números reais), denominada como parte real (Re(z)) e 
denominada parte imaginária (Im(z)).
O recurso utilizado para visualização geométrica de uma função complexa 
reconhecida por imagens de curvas ou regiões pertencentes a um domínio é a forma polar 
(coordenadas polares).
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Figura 2 - Representação da função complexa no plano complexo 
Fonte: Elaborada pela autora, 2020.
#ParaCegoVer: A figura “Representação da função complexa no plano complexo” apresenta 
uma função representada na forma polar.
As coordenadas Re(z) (parte real) Im(z)(parte imaginária) do ponto
 chamado de plano complexo C, sendo escrita na forma de 
coordenadas polares e parametrizada por: (Lê-se: função 
z igual a r(raio) vezes cosseno de theta mais i vezes r(raio) vezes seno de theta).
Desse modo, as propriedades e as operações matemáticas realizadas com os números 
complexos também são representadas na forma de coordenadas polares.
No estudo de funções complexas, faz-se necessário o aprofundamento do entendimento 
sobre o comportamento das funções complexas, fundamentado no relacionamento da função e 
determinados valores, a forma de variação das funções e a possibilidade de realizar cálculos de 
suas regiões que abrangem curvas e contornos.
1.1 Limite e continuidade
O estudo do limite de funções complexas tem o propósito de expor o comportamento de uma 
função complexa em situações de aproximação de determinados valores ou, ainda, aproximação 
a uma determinada região, chamada de região “vizinhança” dos pontos da função.
FIQUE DE OLHO
Sugere-se revisitar os conceitos, as principais propriedades e as operações matemáticas 
realizadas com os números complexos, bem como a representação na forma de coordenadas 
polares. Esses conceitos são importantes para o entendimento das funções complexas.
47
Em outras palavras, o limite tem o propósito de determinar o comportamento da função à 
medida que ela se aproxima de alguns valores ou vizinhança de um ponto no domínio.
A definição do limite empregada em funções complexas segue os mesmos conceitos formais 
do limite estudado no curso de cálculo e análise de reta de uma função real (GUIDORIZZI, 2000).
Ávila (2008, p. 37) define o limite de variáveis complexas pensando em um ponto no 
domínio de D, f de uma função, diz-se que f tem limite L com z tendendo ao ponto se dado 
qualquer 
(Lê-se: z pertence ao conjunto domínio D, sendo o módulo da diferença entre os pontos z e 
definidos no intervalo de zero a delta implica que o módulo da diferença entre a função f de 
z – um número L deve ser menor do que o épsilon).
Complementando a definição e atribuindo uma expressão acima, “f tem limite L com z 
tendendo a ”, isto é, a distância |f(z) – L| entre f(z) e L pode ser muito pequena quando a 
variável z aproxima de uma vizinhança de , assim, representa-se o limite:
(Lê-se: limite da função f de z quando o ponto z tende ao ponto é igual a um número real L).
Desse modo, segue um exemplo para ilustrar a aplicação denominada intuitiva(cálculo de 
forma simples) do limite de funções complexas.
Ávila (2008) mostra um exemplo do cálculo do limite (forma intuitiva). Calcule o limite da 
função complexa quando o ponto se aproxima do ponto 2i.
Usando a definição do limite:
Observação: Existem casos de funções complexas em que o resultado do limite pode não ser 
imediato, ou seja, necessita de aplicação de propriedades do limite (não serão tratadas neste 
estudo) para se chegar a um resultado.
O cálculo do limite de uma função complexa é fundamentado em operações matemáticas 
do limite como a soma, produto e quociente, também conhecida no caso de função real e que 
permanece válida para função complexa. Dessa forma, as principais operações, de acordo com 
48
Ávila (2008, p.44).
Seja f e g com limites finitos e z tendendo ao ponto assim, limite de f = F e limite de g = 
G então:
(Lê-se: limite da soma das funções f de z e g de z quando z tende ao ponto é igual a limite 
de f de z quando z tende a mais o limite de g de z quando z tende a ).
(Lê-se: limite do produto das funções f de z e g de z quando z tende ao ponto é igual a 
limite de f de z quando z tende a mais o limite de g de z quando z tende a ).
(Lê-se: limite do quociente das funções f de z e g de z quando z tende ao ponto é igual a 
limite de f de z quando z tende a mais o limite de g de z quando z tende a ).
Vale ressaltar que o limite de funções complexas é constituído de limite da parte real e limite 
da parte imaginária (ÁVILA, 2008), assim:
Outra definição importante a ser estudada juntamente com o conceito de limite é a de 
continuidade de funções complexas. Quando uma função é contínua no ponto 
, então, a parte real e a parte imaginária deve ser contínua nesse ponto.
As definições de limite e continuidade de funções complexas fundamentam o conceito 
de derivadas de função complexas, tratadas aqui com o termo diferenciabilidade de funções 
complexas.
1.2 Diferenciabilidade
Denomina-se diferenciabilidade de uma função complexa quando se realiza uma análise com 
objetivo de saber se a função é derivável em todos os pontos do domínio do plano complexo C.
Conforme visto no caso do estudo de derivadas de função de variável real (GUIDORIZZI, 
2008), aplica-se a mesma definição formal da derivada em uma função de variável complexa, mas 
respeitando as condições do plano complexo.
49
No entanto, a função f está definida em um conjunto domínio do plano complexo, sendo 
uma região R (conjunto aberto e conexo) e z um ponto dessa região R, então, afirma-se que f é 
derivável no ponto z, se existe o limite da função no ponto z (ÁVILA, 2008).
Desse modo, o limite da função f pode ser escrito da seguinte forma:
(Lê-se: limite de f de z mais delta z menos f de z sob delta z quando delta z tende a zero).
Quando esse limite existe e ele tende a ao ponto z, define-se o limite de uma nova função de 
z, chamada de função derivada de z ou derivada denotada por f’ (Lê-se: f linha) (ÁVILA, 2008). 
Sendo assim, equivalente:
(Lê-se: f linha de z é igual ao limite de f de z mais delta z menos f de z sob delta z quando delta 
z tende a zero).
 De maneira correspondente função complexa escrita por:
Soares (2009) afirma que dada a existência do limite, então existe a função derivada, a saber:
(Lê-se: limite da função f com os pontos sob h 
quando h tende ao ponto zero).
A função derivada é caracterizada pela existência da derivada da função complexa em um 
ponto ou em todos os pontos do domínio da função.
Entretanto, quando uma função possui função derivada em um ponto isolado do seu domínio, 
ela é denominada função complexa não analítica. Uma vez que a definição exige que a função 
admita derivada em todos os pontos do conjunto domínio. Ademais, a função deve satisfazer a 
condição de continuidade no mesmo domínio (SOARES, 2009).
Nessa perspectiva, uma função é considerada função holomorfa, comumente chamada 
de função analítica, deve ser uma função contínua definida no domínio do plano 
complexo e derivável em todos os pontos, ou seja, cada ponto z pertence ao plano complexo 
 , (SOARES, 2009).
50
Outra condição utilizada para avaliar a derivada de funções complexas é saber se a função 
derivada f’ admite derivadas parciais (GUIDORIZZI, 2008) em relação a e denotadas por:
Soares (2009) afirma que a função pode ser escrita na seguinte forma:
em que u e v são funções reais. A função escrita dessa forma facilita 
realizar transformações e manipulações no plano complexo.
Uma ferramenta bastante usada no contexto de transformações e manipulações algébricas no 
plano complexo é o emprego das equações de Cauchy-Riemann. Neste contexto, as equações de 
Cauchy-Riemann são usadas na avaliação da condição necessária e suficiente de função analítica.
Partindo da função uma é considerada função analítica em um 
ponto se a função satisfizer os critérios das equações Cauchy-Riemann dadas por:
(Lê-se: derivada parcial de u em relação à derivada parcial de x é igual a derivada parcial de v 
em relação à derivada parcial de y).
Seguido,
(Lê-se: derivada parcial de u em relação à derivada parcial de y é igual a menos derivada 
parcial de v em relação à derivada parcial de x).
Dessa forma, as derivadas parciais (primeira ordem) das funções existem e são 
contínuas, satisfazendo as equações de Cauchy-Riemann.
Um exemplo de aplicação das equações de Cauchy-Riemann, segundo Soares (2009):
Dada uma função complexa
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Logo, as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas e a função é analítica no domínio C.
Ainda, as equações de Cauchy-Riemann podem ser representadas na forma polar, sendo 
 fazendo as transformações matemáticas 
necessárias, tem-se o resultado:
(Lê-se: derivada parcial de u em relação à derivada parcial de r (raio) é igual a um sob r (raio) 
vezes a derivada parcial de v em relação a derivada parcial de theta).
Portanto,
(Lê-se: u de r (raio) é igual a um sob r (raio) vezes v de theta).
Essas transformações das equações de Cauchy-Riemann na forma polar são usadas em estudo 
de representações geométricas (espaço vetorial) no plano complexo.
2. DERIVAÇÃO
O procedimento de cálculo da função derivada é chamado de regras de derivação da função. 
As regras de derivação de funções de variáveis complexas são tratadas com mesma abordagem 
das regras de derivação de função de variável real. No entanto, uma versão mais rigorosa das 
demonstrações teóricas das formulações matemáticas dos teoremas e proposições sustentam as 
regras de derivação. Aos interessados em demonstrações das formulações matemáticas da teoria 
das derivadas recomendam-se os estudos de Churchill (1978), Soares (2009) e Ávila (2008).
As regras de derivação das funções complexas são válidas a partir da suposição da função f 
definida plano complexo C e f é uma função holomorfa (analítica) e se existe derivada 
f’ da função em todo ponto (SOARES, 2009).
Baseados nessa definição, apresenta-se algumas propriedades de acordo com Soares (2009) 
e Ávila (2008) de funções analíticas que devem satisfazer às seguintes condições de regras de 
derivação:
FIQUE DE OLHO
Ressalta-se que as equações de Cauchy-Riemann são empregadas em avaliações de funções 
analíticas, porém elas não são suficientes para garantir a condição de existência da função 
derivada em alguns casos específicos de funções complexas encontradas na literatura.
52
a) Sabendo-se que f é uma função analítica dada por então a sua derivada é dada:
b) Sabendo-se que f e g são funções analíticas, então a derivada do produto por uma constante 
k é dada: 
Exemplo: Calcule a derivada da função complexa:
A derivada é:
c) Sabendo-se que f e g são funções analíticas, então a derivada da soma ou subtração é dada:
d) Sabendo-se que f e g são funções analíticas, então a derivada do produto de duas funções 
é dada: 
Exemplo: Calcule a derivada da função complexa:
e) Sabendo-se que f e g são funções analíticas, então a derivada do quociente de duas funções 
é dada: 
53
f) Sabendo-se que f e g são funções analíticase h uma função analítica composta de f com 
g (h=g ◦ f) (Lê-se: h é igual a função composta de g e f), então a derivada da função composta:
.
Vale destacar que é possível obter o mesmo resultado dessa derivada com aplicação da regra 
da cadeia (SOARES, 2009).
Exemplo: Calcule a derivada da função complexa:
Além dessas regras de derivação, existem algumas funções que possuem regras específicas, 
segundo Ávila (2008) e Soares (2009), destacam-se:
a) Função exponencial: referindo-se a função analítica de (Lê-se: exponencial de z) 
então a derivada resulta em 
A função exponencial pode ser escrita em termos de número complexo pode ser 
representada por:
(Lê-se: exponencial de z igual a exponencial de x vezes exponencial de i vezes y sendo escrita 
por exponencial de x vezes cosseno de y mais i vezes exponencial de x vezes seno de y).
Considerando essa representação e usando as derivadas parciais para o cálculo da parte real 
e parte imaginária de ez , a derivada resulta na função ez para todo z.
54
b) Função logaritmo: referindo-se à função então a derivada (Lê-se: ln de 
z linha é igual a 1 sob z), sendo Entretanto, pode se referir também ao logaritmo de um 
número complexo logaritmo real do número r 
> 0 definido para todo número complexo 
c) Funções trigonométricas: referindo-se às principais funções analíticas trigonométricas em 
todo o plano complexo, representada de seno:
Logo, as suas respectivas derivadas são dadas:
(Lê-se: seno de z linha é igual a cosseno de z).
(Lê-se: cosseno de z linha é igual a menos seno de z).
Além disso, a derivada de tangente de z : (Lê-se: derivada de tangente de 
z é igual à secante ao quadrado de z).
A identidade trigonométrica abaixo permanece válida no plano complexo, como segue: 
 usadas como procedimento de manipulação matemática.
No caso das funções analíticas hiperbólicas do seno e cosseno seguem:
(Lê-se: seno hiperbólico de z é igual à exponencial de z menos exponencial de menos z sob 
dois).
(Lê-se: cosseno hiperbólico de z é igual exponencial de z mais exponencial de menos z sob 
dois).
Apresentam as suas respectivas derivadas:
(Lê-se: seno hiperbólico de z linha é igual a cosseno hiperbólico de z).
55
(Lê-se: cosseno hiperbólico de z linha é igual a seno hiperbólico de z).
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3. INTEGRAÇÃO
O estudo de integrais de funções complexas é importante na compreensão dos cálculos 
matemáticos que envolvem curvas e regiões presentes em simulações de modelos e métodos 
de análises quantitativas de sistemas de controles, tais como temperatura, pressão, umidade, 
viscosidade, vazão, entre outras variáveis usadas em modelos matemáticos de simulações 
(OGATA, 2003).
As integrais de funções complexas abrangem cálculos de curvas e regiões vistas no estudo de 
integrais de funções de duas variáveis reais (GUIDORIZZI, 2008).
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56
3.1 Integral complexa
No estudo de integral complexa, recorre-se à aplicação da integral de linha (GUIDORIZZI, 
2009), no contexto de funções complexas, considerando o plano complexo, sendo f uma função 
contínua e admite a existência de derivada, assim f está definida no domínio D e K 
uma curva. Suponha que os pontos P e Q pertencem ao domínio D, K uma curva decomposta em 
n partes por meio dos pontos da curva, escolhidos de modo arbitrário (ÁVILA, 
2008; SOARES, 2009). Logo, admite-se a integral da função curva ou arco em um intervalo fechado 
[a, b] da função , representada por:
(Lê-se: integral da função g de t, dt (relação ao diferencial t) definida no intervalo da curva K).
A integral complexa pode ser expandida:
(Lê-se: integral da função g de t, dt, definida no intervalo de curva K é igual à integral da 
função f de z de t vezes z linha de t, dt, definida no intervalo fechado de a, b).
O emprego do cálculo da integral complexa em regiões do plano complexo é baseado em operações 
matemáticas, decomposições de curvas e propriedades que facilitam as manipulações de cálculos.
As principais operações, segundo Ávila (2008) e Soares (2009), tratam de duas funções 
contínuas f e g e K uma curva simples:
(Lê-se: integral da soma das funções f de z e g de z definida no intervalo de curva K é igual à 
integral da função f de z, dz definida no intervalo de curva K mais a integral da função g de z, dz 
definida no intervalo de curva K).
(Lê-se: integral do produto de M vezes a função f de z, dz, definida em intervalo de curva K é 
igual a M vezes a integral da função f de z, dz, definida no intervalo de curva K).
(Lê-se: integral da função f de z, dz, definida no intervalo de curva K (sentido oposto) é igual 
menos integral da função f de z, dz, definida no intervalo de curva K).
57
em que refere-se à decomposição da curva em n partes.
(Lê-se: integral da função f de z, dz, definida no intervalo particionado da curva K é igual a 
integral da função f de z, dz definida em uma parte da curva, mais, sucessivamente, em todas 
as partes da curva K).
3.2 Curvas, arcos ou contornos
Existem funções complexas definidas em regiões similares a curvas, arcos e contornos. Assim, 
entende-se por um arco ou contorno como um conjunto complexo C de pontos representados 
pela função: 
Suponha uma função z(t) sendo contínua em t, variando no intervalo fechado [a, b] (SOARES, 
2009). A função z(t) determina a orientação ou sentido da curva de pontos do conjunto complexo C.
Para ilustrar essa situação de orientação de sentido da curva, segue um desenho esquemático 
apresentado na figura “Desenho esquemático da orientação e sentido da curva C e –C”.
Figura 3 - Desenho esquemático da orientação e sentido da curva C e –C 
Fonte: Elaborada pela autora, 2020.
#ParaCegoVer: Na imagem, há curvas e contornos em duas situações destacando os caminhos 
(orientação de sentido) das curvas usadas no procedimento de integração.
Quando o ponto final coincide com o ponto inicial, a curva é fechada. A 
orientação de uma curva é denotada de positiva e corresponde aos valores crescentes de t e 
parametrização nquanto que, quando a orientação for oposta denota – C e parametrização 
dada por: considerando uma curva simples.
58
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4 INTEGRAL DO CONTORNO OU CURVILÍNEA
Para o cálculo da integral de função complexa pode ser usada a técnica de integração das 
integrais curvilíneas de funções reais.
Pensando no plano complexo, a função definida no intervalo fechado [a, 
b], pode ser representada:
(Lê-se: integral da função F de t, definida no intervalo fechado [a, b] é igual à integral da 
função U de t no intervalo fechado [a, b] mais i vezes integral da função V de t no intervalo 
fechado [a, b]).
Na perspectiva de regiões de curvas, seja K um contorno e uma função contínua 
no conjunto dos números complexos, então da integral é denominada integral do contorno:
(Lê-se: integral da função f de z, dz, definida em intervalo K chamado de contorno).
No cálculo das integrais de funções complexas é necessário considerar as partes real e 
imaginária da função Nesse cálculo, é usual fazer uma transformação 
usando as funções contínuas no intervalo [a,b]. Assim, possibilita calcular a integral de 
funções complexas escrevendo em termos de integrais curvilíneas.
59
(Lê-se: integral da função h de t, definida no intervalo fechado [a, b] é igual a integral da função 
u de t no intervalo fechado [a, b] mais i vezes integral da função v de t no intervalo fechado [a, b]).
Para demonstrar o cálculo da integral curvilínea da função complexa segue o exemplo:
Exemplo: Determine a integral curvilínea da função no intervalo [0,1]. 
Dado que são denominadas de partes real e imaginária da função 
complexa .
4.1 Aplicando a fórmula da integral curvilínea:
Substituindo as funções u e v: 
Obteve-se o cálculo da integral: 
Demonstrando o cálculo da região de contorno definida no intervalo [0,1], tem-se o resultado 
da função complexa :
Algumas funções complexas encontram-se em regiões delimitadas por determinadasparametrizações de outras funções, impondo algumas restrições no momento da integração.
Quando isso ocorre, a função f deve ser contínua em todos os pontos e definida em um 
intervalo aberto (Lê-se: subconjunto A contido no domínio C) e K uma curva suave 
definida no intervalo fechado [a, b] (ÁVILA, 2008; SOARES, 2009).
A integral curvilínea usada para o cálculo dessa região:
(Lê-se: integral de f de z, dt, definida no intervalo de curva K é igual à integral da função f de 
z de t vezes z linha de t, dt, definida no intervalo fechado [a,b]).
Exemplo: calcule a integral curvilínea da função ao longo de uma curva suave. 
A curva é união de duas curvas suaves parametrizadas por
 com t pertencente ao intervalo [0,1] e outra curva parametrizada por 
 com t pertencente ao intervalo [1,2].
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Ainda, existem casos em que a integral curvilínea também pode ser escrita em termos 
de duas integrais de linha no plano complexo, sendo a função e a 
parametrização da curva (ÁVILA, 2008; SOARES, 2009).
A integral pode ser representada em partes real e imaginária:
(Lê-se: parte real: integral de f de z, dz, definida no intervalo de curva K é igual à integral da 
função f das funções: u de x, y, dx, menos i vezes v de x, y, dy, definida no intervalo de curva K).
(Lê-se: parte imaginária: integral de f de z, dz, definida no intervalo de curva K é igual à integral 
da função f das funções: u de x, y, dy, menos i vezes v de x, y, dx, definida no intervalo de curva K).
Além disso, existem casos em que a região estudada é delimitada por uma curva fechada K, 
então a integral é dada:
(Lê-se: integral de f de z, dz, definida no intervalo de curva fechada K).
Nesse caso, o procedimento de cálculo é realizado sem perda de generalidades, considerando 
apenas a região de curva fechada e o sentido de integral (anti-horário se for o caso de uma 
circunferência).
4.2 Primitiva
Uma primitiva de uma função complexa é definida de modo análogo ao caso de funções 
reais (GUIDORIZZI, 2008). Seja, F é a primitiva da função complexa f se para todo z 
pertencente ao domínio (ÁVILA, 2008; SOARES, 2009).
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A primitiva pode ser obtida sabendo que f é função analítica de uma região R simplesmente 
conexa, então a forma geral de sua primitiva:
(Lê-se: primitiva da função F de z é igual à integral de f de w, dw, mais C constante).
C: é uma constante que acompanha as integrais
R: é a integração, é feita ao longo do contorno inteiramente contido em R e F(z) é uma função 
analítica.
Desse modo, segue um exemplo do cálculo da primitiva de uma função complexa.
Exemplo: Calcule a primitiva da função 
Entende-se que: e sua função primitiva é: 
Assim, o cálculo da integral: é primitiva da função.
4.3 Teorema fundamental do cálculo integral
O teorema fundamental do cálculo integral discutido no cálculo de função real (GUIDORIZZI, 
2008) também é discutido no cálculo de funções complexas, mas considerando que f é uma função 
analítica e R região contida no domínio C um caminho ou curva regular
Assim, a integral complexa pode ser calculada conforme uma curva K definida no intervalo 
fechado a, b. Esse recurso de cálculo é possível devido à existência da primitiva da função 
calculada nos pontos que compreende a curva K (ÁVILA, 2008; SOARES, 2009).
A integral complexa: 
(Lê-se: integral da função f de z, dz, definida no intervalo da curva K é igual à primitiva da 
função F calculada no ponto b menos a).
Esse teorema apenas fundamenta o assunto que foi tratado de integrais curvilíneas no plano 
complexo, calculadas ao longo de uma curva K que pode ser decomposta em K partes da curva.
62
Nesta unidade, você teve a oportunidade de:
• conhecer algumas características do comportamento de funções complexas;
• analisar suposições e critérios de limite e continuidade de funções complexas;
• estudar diferenciabilidade de funções complexas;
• compreender as principais regras de derivação das funções complexas;
• entender integração de regiões de curvas e contorno e integral complexa.
PARA RESUMIR
ÁVILA, G. Variáveis complexas e aplicações. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009.
CHURCHILL, R. V. Variáveis complexas e suas aplicações. São Paulo: McGraw-Hill, 1978.
GUIDORIZZI, L. H. Um curso de cálculo. Vol.1. 5.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008.
______, L. H. Um curso de cálculo. Vol.2. 5.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008.
SOARES, G. M. Cálculo de uma variável complexa. 5.ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2009.
OGATA, K. Engenharia de controle moderno. 4.ed. Rio de Janeiro: LTC, Rio de Janeiro, 
2000.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
UNIDADE 3
Fórmula integral de Cauchy
Introdução
Você está na unidade de Estudos da série de Laurent e fórmula da integral de Cauchy.
Conheça aqui as principais representações de funções complexas em termos de séries 
de potências. Destaca-se a série de Laurent, com representação em de série de potências, 
admitindo o termo de grau negativo. Em muitos casos, as séries de Laurent podem 
assumir o papel de facilitadoras de cálculos de algumas funções complexas. Além disso, 
a série de Laurent possibilita uma generalização da fórmula da integral de Cauchy. Essa 
integral é aplicada em caminhos de integração em torno de regiões de contorno e curvas.
Bons estudos!
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1. SÉRIES
Uma série de potência é entendida como um instrumento matemático que permite a 
representação de funções tornando mais simples a resolução de problema em diversas áreas.
Um exemplo clássico é o cálculo de áreas que usa uma aproximação do cálculo de área sob 
uma determinada curva a partir de suas somas parciais ( ), resultando em 
uma soma total, sendo representada pela integral (GUIDORIZZI, 2008).
A figura “Série como aproximação de função” apresenta a noção de série como aproximação do cálculo 
da área sob da função (y=f(x)), quando aprendemos o conceito de integral em função de variável real.
Figura 1 - Série como aproximação de função 
Fonte: Elaborada pela autora, 2020.
#ParaCegoVer: Na imagem, há os eixos das coordenadas x e y e uma função f(x) em forma de 
curva, a área abaixo da curva limitada entre os eixos de x e y foi dividida em pequenos retângulos, 
cada retângulo forma uma soma parcial (Sn+1), (Sn+2) e, assim, sucessivamente.
1.1 Séries como Aproximação de Função
Existem vários tipos de séries, mas nesse estudo destacam-se as séries de potências. Uma 
série de potências é representada da seguinte forma:
(Lê-se: somatório com n variando de zero ao infinito da função an vezes, x menos c, elevado a n).
Em que:
: chamado de coeficiente.
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Quando uma série de potência é centrada na origem, tem-se:
(Lê-se: somatório com n variando de zero ao infinito da função an vezes x elevado a n igual 
a 0, mais a 1 vezes x, mais a 2 vezes x elevado ao quadrado, mais sucessivamente, an vezes x 
elevado a n).
Em que, neste caso: x: variável real;
a: coeficiente.
As séries de potências tornam-se um instrumento importante de aproximações de funções. 
Os principais problemas que envolvem aproximações de séries de potências são:
- encontrar uma função mais simples para usar como aproximações de outra função.
- encontrar uma função que se “ajuste” ou se “adéque” para uma função de acordo com os 
tipos de dados.
Entretanto, as séries de potências podem auxiliar nas aproximações de funções, mas a 
aproximação é de âmbito local ou próximo da uma vizinhança de um determinado ponto. Estudo 
de aproximações globais de uma região são aplicados a outros métodos de aproximações.
No caso de funções complexas analíticas, a abordagem é a série de potências como 
aproximação de algumas funções complexas, visto que em muitas situações é necessário tornar 
a função complexa mais simples. Uma vez que em muitos problemas as séries assumem papel de 
facilitadoras nos cálculos de funções complexas (OGATA, 2000).
Utilize o QR Code para assistir ao vídeo:
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2. SÉRIES DE FUNÇÕES COMPLEXAS
As funções complexas ditas como analíticas também são aproximadas em termos de série de 
potências.
Uma função complexa pode ser demonstrada