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Teste de comparação de duas amostras 
1. Amostras independentes 
 
Hipóteses estatísticas: 
 
H0: 1= 2 versus H1: 1≠ 2 - teste bilateral 
H0: 1= 2 versus H1: 1> 2 - teste unilateral à direita 
H0: 1= 2 versus H1: 1< 2 - teste unilateral à esquerda 
 
Estatistica de teste Graus de liberdade 
Se 𝜎1
2 = 𝜎2
2 
 
𝑡𝑜 =
(�̅�1 − �̅�2) − (𝜇1 − 𝜇2)
𝑆𝑝√
1
𝑛1
+
1
𝑛2
 
 
𝜐 = 𝑛1 + 𝑛2 − 2 
Se 𝜎1
2 ≠ 𝜎2
2 
 
𝑡𝑜 =
(�̅�1 − �̅�2) − (𝜇1 − 𝜇2)
√
𝑆1
2
𝑛1
+
𝑆2
2
𝑛2
 
 
𝜐 =
(
𝑆1
2
𝑛1
+
𝑆2
2
𝑛2
)
2
(𝑆1
2 𝑛1⁄ )2
𝑛1 − 1
+
(𝑆2
2 𝑛2⁄ )
2
𝑛2 − 1
 
 
Suposições para utilização do teste t: 
 
• Os testes t para duas amostras são mais robustos do que para uma 
amostra, especialmente quando não há simetria. 
• Observe a aleatorização para obtenção das respostas e a suposição de 
normalidade 
• Quando as duas distribuições têm formas semelhantes, os valores 
probabilísticos da tabela t Student são bastante precisos para uma gama 
ampla de situações, mesmo para n1=n2=5 
• Quando as duas distribuições populacionais possuem formas diferentes, 
é necessário utilizar amostras maiores. 
 
2. Amostras emparelhadas 
 
Seja 
 
Testar H0: 1= 2 é equivalente a testar: 
H0: d = 0 versus H1: d ≠ 0 (no caso de um teste bilateral), sendo d = 1- 2 
 
A estatística de teste para essa hipótese H0 é: 
 
 
A estatística t0 segue uma distribuição t Student com n-1 graus de liberdade. 
 
Determinação do tamanho da amostra (uma amostra) 
 
Se tivermos uma estimativa s2 para a variância da população 2, então 
podemos estimar o tamanho da amostra por: 
 
ε é a metade da amplitude do intervalo de confiança - margem de erro 
 
Observe que no cálculo de n o valor crítico t depende de n. Neste caso, 
deve-se utilizar método iterativo, com um chute inicial de n. Além disso, 
deve-se conhecer a estimativa s2, a qual deve ser o mais exata possível. 
Exercícios: 
 
1) O gerente do controle da qualidade de uma fábrica de lâmpadas gostaria de 
estimar a diferença na média de vida útil das lâmpadas fabricadas em dois 
tipos diferentes de máquinas. O desvio padrão do processo é de 110 horas 
para a máquina I e 125 horas para a máquina II. Uma amostra aleatória de 25 
lâmpadas, obtida da máquina I, indica uma média de amostra de 375 horas; e 
uma amostra de 25 lâmpadas da máquina II indica uma média de 362 horas. 
Utilizando 95% de confiança, estime a diferença média. 
 
2) Deseja-se saber se duas regiões da mesma imagem possuem a mesma 
média e variância. Para tanto, seleciona-se uma amostra de 100 pixels da 
região A, chegando-se a uma média e variância amostrais de 187,3 e 53,1 
respectivamente. Da mesma forma, seleciona-se uma amostra de 75 pixels da 
região B, chegando-se a uma média e variância amostrais de 195,6 e 73,7 
respectivamente. Analise a razão das variâncias e construa um intervalo de 
confiança para a diferença de médias (considere  = 0,05 e 0,01). O que você 
conclui? 
 
3) Dois catalisadores estão sendo testados para determinar como afetam o 
rendimento médio de um processo químico. Especificamente, o catalisador 2 
é aceitável. Como o catalisador 2 é mais barato, ele poderia ser adotado, 
desde que não alterasse o rendimento do processo. Um teste é realizado em 
uma fábrica piloto e os resultados são apresentados na Tabela abaixo. Existe 
alguma diferença entre os rendimentos médios que você possa destacar? Use 
um nível de confiança de 95% para estimar a diferença de rendimento médio 
entre os dois catalisadores. O que um teste de hipóteses revela nesse caso? 
Catalisador 1: 91,5 94,18 92,18 95,39 91,79 
 89,07 94,72 89,21 88,78 94,3 
Catalisador 2: 89,19 90,95 90,46 93,21 97,19 
 97,04 91,07 92,75 95,4 98,11 
 
4) Dois processos diferentes de endurecimento são usados em amostras de 
um tipo particular de liga metálica: (1) imersão em água salgada e (2) imersão 
em óleo. 14 chapas da liga metálica são utilizadas para avaliar os processos. 
Numa metade se um processo e na outra o outro. Os resultados são mostrados 
abaixo. Avalie se há indícios de que a dureza média do processo por água 
salgada é a mesma que a obtido no processo de imersão por óleo. 
Imersão em água salgada: 
145 150 153 148 141 152 146 154
 139 148 145 146 139 147 
Imersão em óleo: 
152 150 147 155 140 146 158 152
 151 143 167 155 147 145 
5) Dois tipos diferentes de máquina são usados para medir a força de 
resistência de uma fibra sintética. Queremos saber se as duas máquinas 
fornecem os mesmos valores médios da força de resistência. Dez espécimes 
de fibra são aleatoriamente selecionados e uma medida da força é feita sobre 
cada espécime usando cada uma das máquinas. Os dados são exibidos a 
seguir. Os dados nesse experimento foram emparelhados para evitar que 
diferenças entre os espécimes de fibra (que podem ser substanciais) afetem o 
teste sobre a diferença das máquinas. 
 
Espécime Máquina 1 Máquina 2 
1 74 78 
2 76 79 
3 74 75 
4 69 66 
5 58 63 
6 71 70 
7 66 66 
8 65 67 
9 61 75 
10 66 70 
ns
d
t
d /
0
0
−
=
n
d
d
n
j
j
=
=
1
2
2
)1;(
2
2

 −
=
n
ts
n
njxxd jjj ,...,2,1 21 =−=