EEL004-2013-Aula02

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Aula 02Aula 02
Lugar das RaízesLugar das Raízes
Giscard Francimeire Cintra VelosoGiscard Francimeire Cintra Veloso
EEL004 – Sistemas de ControleEEL004 – Sistemas de Controle
2o. Semestre/20132o. Semestre/2013
 
Plano de AulaPlano de Aula
➔Objetivos:
 -Traçar manualmente o Lugar das 
Raízes. 
➔ Formular o problema de um sistema de 
controle. 
➔ Explicar a formação do gráfico do Lugar 
das Raízes.
➔Tópicos:
➔ O problema de um sistema de controle
➔ Definição do lugar geométrico das raízes
➔ Representação vetorial de números 
complexos
 
1 – Introdução1 – Introdução
Lugar Geométrico das Raízes
parâmetro que pode variar
Quais serão os polos em malha fechada se o parâmetro variar?
 
1 – Introdução1 – Introdução
Lugar Geométrico das Raízes
 
2 – O Problema de Um Sistema de Controle2 – O Problema de Um Sistema de Controle
G ( s )= 1
s ( s+10 )
H ( s )=1
Quais são os pólos em malha aberta?
Quais são os pólos em malha fechada?
 
2 – O Problema de Um Sistema de Controle2 – O Problema de Um Sistema de Controle
G ( s )= 1
s ( s+10 )
H ( s )=1
Pólos em malha aberta: 0 e -10
Polos em malha fechada: dependem de K
 
Escrevendo G(s) e H(s) em termos dos 
polinômios numerador e denominador:
2 – O Problema de Um Sistema de Controle2 – O Problema de Um Sistema de Controle
G ( s )=
N G ( s)
DG ( s )
H ( s )=
N H ( s )
D H ( s )
T (s )= KG (s )
1+KG (s )H ( s )
=
K
N G ( s )
DG (s )
1+K
N G ( s)
DG ( s )
N H ( s )
DH (s )
A f.t. de malha fechada será:
 
T (s )=
KN G ( s)
DG ( s )
⋅
DG ( s )DH ( s )
DG ( s)DH ( s)+KNG ( s ) N H ( s )
2 – O Problema de Um Sistema de Controle2 – O Problema de Um Sistema de Controle
T (s )=
KN G (s )DH ( s )
DG ( s )DH ( s )+KN G ( s) N H ( s )
equação característica
 
2 – O Problema de Um Sistema de Controle2 – O Problema de Um Sistema de Controle
T (s )=
KN G (s )DH ( s )
DG ( s )DH ( s )+KN G ( s) N H ( s)
A eq. característica mostra que:
– os zeros de T(s) são os zeros de G(s) 
mais os polos de H(s);
–Os polos de T(s) podem mudar com K
 
3 – Definição do Lugar das Raízes3 – Definição do Lugar das Raízes
1
s (s+10 )
T (s )= K
s2+10s+K
 
3 – Definição do Lugar das Raízes3 – Definição do Lugar das Raízes
Variando K, obtém-se os seguintes pólos:
s2+10s+K=0Eq. característica:
K Pólo 1 Pólo 2
0 -10 0
5 -9,47 -0,53
10 -8,87 -1,13
15 -8,16 -1,84
20 -7,24 -2,76
25 -5 -5
30 -5+j2,24 -5-j2,24
35 -5+j3,16 -5-j3,16
40 -5+j3,87 -5-j3,87
45 -5+j4,47 -5-j4,47
50 -5+j5 -5-j5
 
3 – Definição do Lugar das Raízes3 – Definição do Lugar das Raízes
Desenhando esses polos no plano s:
K=0K=25
K=50
K=50
K=0
 
“Esta representação do percurso dos pólos 
em malha fechada à medida que o ganho 
é modificado é chamada de Lugar 
Geométrico das Raízes.” (NISE, 2009).
3 – Definição do Lugar das Raízes3 – Definição do Lugar das Raízes
 
3 – Definição do Lugar das Raízes3 – Definição do Lugar das Raízes
Substituindo por linhas contínuas, tem-se o 
gráfico usual do lugar das raízes:
 
Exercício:
 Dado o sistema abaixo, calcular alguns polos 
em função do ganho e esboçar o gráfico do Lugar 
das Raízes.
3 – Definição do Lugar das Raízes3 – Definição do Lugar das Raízes
1
s+7
 
4 – Representação Vetorial de Números Complexos4 – Representação Vetorial de Números Complexos
Útil na solução de funções em s para determinados 
valores complexos.
θ
M
σ
jω
Re
Im
s=σ+jω
Na forma polar:
M … magnitude
θ … ângulo
M θ
 
4 – Representação Vetorial de Números Complexos4 – Representação Vetorial de Números Complexos
Substituindo 
em uma função complexa
tem-se:
s=σ+jω= M θ
F ( s )=( s−a )
F ( s )=( s−a )=[ (σ+jω )−a ]=(σ−a )+jω
 
4 – Representação Vetorial de Números Complexos4 – Representação Vetorial de Números Complexos
Sua representação gráfica será:
σ-a
jω
Re
Im
F ( s )=( s−a )
Zero em a
 
4 – Representação Vetorial de Números Complexos4 – Representação Vetorial de Números Complexos
Uma representação vetorial gráfica alternativa seria:
a
jω
Re
Im
σ
s=σ+jω
Origem do vetor no zero
Término do vetor em s
Para F(s):
M=√ (σ−a )2+ω2
θ=arctg ( ωσ−a )
 
4 – Representação Vetorial de Números Complexos4 – Representação Vetorial de Números Complexos
Seja F(s) com um pólo e um zero: 
Substituindo tem-se:
F ( s )= s−zs−p
F ( s )=
(σ−z )+jω
(σ−p )+jω
s=σ+jω
Em termos de módulo e ângulo, tem-se:
M= √ (σ− z )
2+ω2
√ (σ− p )2+ω2 θ=arctg (
ω
σ−z )−arctg ( ωσ− p )
 
4 – Representação Vetorial de Números Complexos4 – Representação Vetorial de Números Complexos
M=
∣(σ−z )+jω∣
∣(σ− p )+jω∣
F ( s )=
(σ−z )+jω
(σ−p )+jω
(σ−z )+jω (σ−p )+jωθ = −
M=
M z
M p
θ zθ = − θ p
 
4 – Representação Vetorial de Números Complexos4 – Representação Vetorial de Números Complexos
Graficamente:
Re
Im
p z
θp θz
Mp Mz
M=
M z
M p
θ zθ = − θ p
s=σ+jω
 
4 – Representação Vetorial de Números Complexos4 – Representação Vetorial de Números Complexos
Generalizando:
F ( s )=
∏
i=1
m
(s−zi )
∏
j=1
n
(s− p i )
Produto dos vetores dos zeros
Produto dos vetores dos polos
M=
∏
i=1
m
∣s− zi∣
∏
j=1
n
∣s− pi∣
θ = − ∑
j=1
n
∑
i=1
m
(s− pi )(s−zi )
 
4 – Representação Vetorial de Números Complexos4 – Representação Vetorial de Números Complexos
Exemplo: Dada a função F ( s )= (s+1 )
s ( s+2 )
determine F(s) no ponto s = -3+j4.
s
Para o vetor s+1:
M=√20 θ=116,6o
Para o vetor s:
M=5 θ=126,9o
Para o vetor s+2:
M=√17 θ=104,0o
j4
σ
jω
-3 Para F(s):
M= √20
5⋅√17
=0,217
θ=116,6o−(126,9o+104o)=−114,3o
 
4 – Representação Vetorial de Números Complexos4 – Representação Vetorial de Números Complexos
Exercício:
Dada a função
F ( s )=
( s+2 ) (s+4 )
s ( s+3 ) ( s+6 )
determine F(s) no ponto s = -7+j9 da seguinte forma:
a) diretamente, substituindo o ponto em F(s);
b) utilizando a forma vetorial.
Solução: -0,0339-j0,0899 = 0,096 -110,7˚