Distribuição de Frequências em Estatística

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Unidade II
ESTATÍSTICA APLICADA 
Profa. Ana Carolina Bueno
Classificação dos dados
Qualitativos
Dados
Quantitativos
Discretos
Contínuos
Distribuição de frequências
 Organiza os dados de acordo com as 
ocorrências dos diferentes resultados 
observados.
 Apresentada em tabela ou gráfico.
 Tabela: apresenta, de forma resumida,Tabela: apresenta, de forma resumida, 
um conjunto de dados.
 Tabelas de frequência. 
 Tabelas de frequência relativas.
 Tabelas de frequência acumuladas.
Distribuição de frequências
 Gráficos: são usados para visualizar 
facilmente a natureza da distribuição 
dos dados.
 Um gráfico é uma figura constituída 
a partir de uma tabela, pois é quase 
í l l d dsempre possível locar um dado 
tabulado num gráfico.
 Colunas.
 Barras.
 Linhas.
S t Setores.
 Dispersão.
 Histograma.
 Polígono de frequência.
 Etc.
Exemplo – número de filhos 
(variável aleatória discreta) 
A tabela mostra uma pesquisa sobre 
o número de filhos por funcionário 
de uma certa empresa:
0 2 1 2 3 5 2 0 2 1
 Dados brutos
2 0 0 1 1 2 3 3 1 2
0 0 0 0 1 1 1 1 1 2
 Rol
2 2 2 2 2 2 3 3 3 5
Tabela de frequência
 Relaciona categorias (ou classes) 
de valores, junto com contagens (ou 
frequências) do número de valores 
que se enquadram em cada categoria. 
No de filhos FrequênciaN de filhos Frequência
0
1
2
3
4
5
7
3
4
5
0
1
Total 20
Número de filhos
Frequência simples ou absoluta (fi), 
relativa (fr) e acumulada (fa)
No de 
filhos
fi fr fa
0 4 (4/20) * 100 = 20% 4
1 5 (5/20) * 100 = 25% 9
2 7 (7/20) * 100 = 35% 16
3 3 (3/20) * 100 = 15% 19
4 0 (0/20) * 100 = 0% 19
5 1 (1/20) * 100 5% 205 1 (1/20) * 100 = 5% 20
Total 20 100% 20
Número de filhos
Gráfico de colunas
Outro exemplo – faixa etária 
de crianças
 Dificulta estabelecer em torno de qual valor 
tendem a se concentrar as idades das 
crianças, ou ainda, as que se encontram 
acima ou abaixo de determinada idade.
Dados brutos:
6 10 9 14 7 4
8 11 12 5 9 13
9 10 8 6 7 14
11 6 12 11 15 1311 6 12 11 15 13
12 11 4 10 7 13
10 9 8 12 13 7
Faixa etária de crianças
 Organizar os dados em rol
4 6 8 10 11 13
4 7 8 10 12 134 7 8 10 12 13
4 7 8 10 12 13
5 7 9 10 12 14
6 7 9 11 12 14
6 8 9 11 13 15
Faixa etária de crianças
Tabela de frequência
Idade Frequência
4 3
5 1
6 3
7 4
Idade Frequência
4  6 4
6 8 7
8 4
9 3
10 4
11 3
12 4
6 8 7
810 7
1012 7
12 14 812 4
13 4
14 2
15 1
1214 8
1416 3
Faixa etária de crianças
Tabela de frequência
Idade Frequência
4  6 4
6 8 7
4 6 8 10 11 13
4 7 8 10 12 13
4 7 8 10 12 13
5 7 9 10 12 14
6 7 9 11 12 14
810 7
1012 7
1214 8
6 7 9 11 12 14
6 8 9 11 13 15
 Limites de 
classe (4  6)
1416 3  Amplitude de um intervalo de 
classe
 hi = Li – li
Interatividade
Número de 
defeitos
Frequência
0 30
1 25
2 10
 A tabela refere-se ao 
número de defeitos 
encontrados em placas 
de circuito integrado. 
I – O tamanho da amostra 
é de 10 placas.
3 5
4 2
é de 10 placas.
II – 55 placas possuem 
nenhum ou 1 defeito.
III – Aproximadamente 7 % 
das placas apresentam 
3 defeitos.
 Assinale a alternativa com as afirmações 
corretas.
a) I. b) II. c) III.
d) I e II. e) II e III. 
Resposta
Alternativa correta: e) II e III.
I – O tamanho da amostra é de 10 placas. Incorreta
II – 55 placas possuem nenhum ou 1 defeito. 
Correta
III – Aproximadamente 7 % das placas apresentam 
3 defeitos. Correta
Número de defeitos fi fr fa
0 30 30/72 = 0,42 30
1 25 25/72 = 0,35 55
2 10 10/72 = 0,14 65
3 5 5/72 = 0,07 70
4 2 2/72 = 0,03 72
 = 72
Faixa etária de crianças 
Ponto médio de uma classe
Idade xi Frequência
4  6 5 4
 Ponto médio de uma classe (xi)
Xi = (Ii + Li)/2 x1 = (4 + 6)/2 = 5.
4  6 5 4
6 8 7 7
810 9 7
10 12 11 71012 11 7
1214 13 8
1416 15 3
Faixa etária de crianças 
Frequências
Idade xi Fi Fr Fa
4  6 5 4 (4/36)*100 = 11% 4
6 8 7 7 19% 11
810 9 7 19% 18
1012 11 7 19% 25
1214 13 8 22% 33
1416 15 3 8% 36
Total 36 98% ~ 100% 36
Mais um exemplo – estatura
Construção da tabela de frequência 
 Suponhamos termos feito uma coleta de 
dados relativos às estaturas de 40 alunos, 
que compõem uma amostra dos alunos de 
uma faculdade, resultando a seguinte 
tabela de valores:
Tabela – Dados Brutos
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A
166 160 161 150 162 160 165 167 164 160
162 168 161 163 156 173 160 155 164 168
155 152 163 160 155 155 169 151 170 164155 152 163 160 155 155 169 151 170 164
154 161 156 172 153 157 156 158 158 161
Estatura
Construção da tabela de frequência 
Tabela RolTabela – Rol
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A
150 154 155 157 160 161 162 164 166 169
151 155 156 158 160 161 162 164 167 170
152 155 156 158 160 161 163 164 168 172
153 155 156 160 160 161 163 165 168 173
ROL
 Decidir o número de classes da tabela de 
frequência
40
frequência.
 Regra de Sturges: i = 1 + 3,3*log n =
 i = 1 + 3,3*log 40 = 6,27
 Regra do Quadrado: = 6,32
Estatura
Construção da tabela de frequência 
150 154 155 157 160 161 162 164 166 169
151 155 156 158 160 161 162 164 167 170
152 155 156 158 160 161 163 164 168 172
153 155 156 160 160 161 163 165 168 173
 Determinar a amplitude de classe, dividindo a 
amplitude pelo número de classes. 
 Amplitude de variação: 173 – 150 = 23 cm.
 23 / 6 = 3,83 (arredondar o resultado para mais)
Classes Estatura Frequência
1 150  154 4
2 154  158 9
3 158  162 11
Estatura
Construção da tabela de frequência 
Estatura xi fi fr fa
150  154 152 4 0,10 ou 10% 4
154  158 156 9 0,225 ou 22,5% 13
158  162 160 11 0 275 ou 27 5% 24158  162 160 11 0,275 ou 27,5% 24
162 166 164 8 0,20 ou 20% 32
166  170 168 5 0,125 ou 12,5% 37
170  174 172 3 0,075 ou 7,5% 40
Total 40 1 ou 100% 40
Estatura
Histograma e polígono 
de frequência 
Estatura Xi Fi
146  150 148
150  154 152 4
154  158 156 95  58
158  162 160 11
162 166 164 8
166  170 168 5
170  174 172 3
174  178 176
Total 40
Estatura – Histograma
8
10
12
al
un
os
Estatura de 40 alunos
0
2
4
6
N
úm
er
o d
e 
148. 152. 156. 160. 164. 168. 172. 176.
estatura
Estatura – Polígono de frequência
6
8
10
12
de
 alu
no
s
Estatura de 40 alunos
0
2
4
6
148. 152. 156. 160. 164. 168. 172. 176.
N
úm
er
o d
Estatura
Interatividade
Uma pesquisa foi 8Uma pesquisa foi 
realizada em um 
acampamento sobre 
a faixa etária das 
crianças 
participantes. 
Analise o gráfico e 
assinale a alternativa 2
3
4
5
6
7
8
Fr
eq
assinale a alternativa 
incorreta.
5 7 9 11 13 15
0
1
2
Idade
a) O conjunto de dados possui 6 classes e a amplitude de 
cada classe é de 2.
b) O limite inferior da 1a classe é 5 e o limite superior é 7.) p
c) Os valores 5, 7, 9, 11, 13 e 15 são os pontos médios de 
cada classe.
d) O tamanho da amostra é de 36 crianças
e) O polígono de frequência é construído a partir
dos pontos médios de cada classe.
Resposta
Uma pesquisa foi 8Uma pesquisa foi 
realizada em um 
acampamento sobre 
a faixa etária das 
crianças 
participantes. 
Analise o gráfico e 
assinale a alternativa 2
3
4
5
6
7
8
Fr
eq
assinale a alternativa 
incorreta.
5 7 9 11 13 15
0
1
2
Idade
a) O conjunto de dados possui 6 classes e a amplitude de 
cada classe é de 2.
b) O limite inferior da 1a classe é 5 e o limitesuperior é 7.) p
c) Os valores 5, 7, 9, 11, 13 e 15 são os pontos médios de 
cada classe.
d) O tamanho da amostra é de 36 crianças
e) O polígono de freqüência é construído a partir
dos pontos médios de cada classe.
Medidas de tendência central para 
distribuição de frequência
Estatura Xi Fi  Como podemosEstatura Xi Fi
150  154 152 4
154  158 156 9
158  162 160 11
162 166 164 8
 Como podemos 
descrever estes 
dados?
 Como podemos 
resumir estes dados?
 Média
12
os
Estatura de 40 alunos

166  170 168 5
170  174 172 3
Total 40
 Mediana
 Moda
0
2
4
6
8
10
148. 152. 156. 160. 164. 168. 172. 176.
N
úm
er
o d
e a
lu
no
Estatura
Estatura – Média
E t t i fi i fiEstatura xi fi xifi
150  154 152 4 152 x 4 = 608
154  158 156 9 156 x 9 = 1404
158  162 160 11 160 x 11 = 1760
162 166 164 8 164 x 8 = 1312
166  170 168 5 168 x 5 = 840
170  174 172 3 172 x 3 = 516
Total 40  xifi = 6440
A estatura média 
�
para a amostra de 
alunos é de 161 cm
�
�
E t t Xi Fi f
Estatura – Mediana
Estatura Xi Fi fa
150  154 152 4 4
154  158 156 9 13
158  162 160 11 24
162 166 164 8 32
 
 
166  170 168 5 37
170  174 172 3 40
Total 40
Li = limite inferior da classe mediana (158)
 
 
( )
A = amplitude de classe (4)
(fi/2) = 40/2 = 20 (referência)
fant = frequência acumulada anterior à classe mediana 
(13 + 4 = 7)
fant = freq. simples da classe mediana (11)
Estatura – Moda
E t t i fi Moda de CzuberEstatura xi fi
150  154 152 4
154  158 156 9
158  162 160 11
162 166 164 8
Moda de Czuber
 
 
166  170 168 5
170  174 172 3
Total 40
Li = limite inferior da classe modal (158)
A lit d d l (4)
 
 
A = amplitude de classe (4)
d1 = f – fant (11 – 9 = 2)
d2 = f – fpost (11 – 8 = 3)
f = frequência simples da classe modal
fant = freq. simples anterior à classe modal
fpost = freq. simples posterior à classe modal
Medidas de dispersão
 Medidas que mostram a dispersão dos 
dados em torno da tendência central.
 Os números relativamente próximos 
uns dos outros têm baixas medidas 
de variação, enquanto os valores mais 
dispersos têm maior medida de variação.
8
10
12
e a
lu
no
s
Estatura de 40 alunos
0
2
4
6
148. 152. 156. 160. 164. 168. 172. 176.
N
úm
er
o d
e
Estatura
Medidas de dispersão
 Variância
 Desvio padrão
 
 Coeficiente de variação
100sCV
 
 Amplitude
 Xmaior – Xmenor
100
x
CV
Estatura – Amplitude 
Estatura xi fi
150  154 152 4
 Amplitude
Xmaior – Xmenor = 172 – 152 = 20

154  158 156 9
158  162 160 11
162 166 164 8
 168166  170 168 5
170  174 172 3
Total 40
Estatura – Variância 
Estatura xi fi
150  154 152 4 (152 – 161)² = 81 81 x 4 = 324
154  158 156 9 (156 – 161)² = 25 25 x 9 = 225
158  162 160 11 (160 – 161)² = 1 1 x 11 = 11
   
162 166 164 8 (164 – 161)² = 9 9 x 8 = 72
166  170 168 5 (168 – 161)² = 49 49 x 5 = 245
170  174 172 3 (172 – 161)² = 121 121 x 3 = 363
Total 40  = 1240
 
Estatura – Desvio padrão
 
 
Coeficiente de variação
100
x
sCV
575 100
161
57,5 CV %46,3CV
Interatividade
 Foram obtidos dados referentes à idade de carros (em Foram obtidos dados referentes à idade de carros (em 
anos) de estudantes. 
Idade dos 
carros
xi fi xi  fi (xi – x)² * fi
3  7 5 33 5 x 33 = 165 (5 – 9,2)² x 33 = 582,12
7  11 9 63 9 x 63 = 567 (9 – 9,2)² x 63 = 2,52
Assinale a alternativa incorreta.
11  15 13 19 13 x 19 = 247 (13 – 9,2)² x 19 = 274,36
15 19 17 10 17 x 10 =170 (17 – 9,2)² x 10 = 608,4
Total 12
5
 = 1149  = 1467,4
a) A média é igual a aproximadamente 9,2 anos. 
b) A tabela possui 4 classes com amplitude de 4.
c) A variância é igual a 33,35 anos².
d) O desvio padrão é igual a 3,43 anos.
e) A amplitude é igual a 12 anos.
Resposta
Idade dos 
carros
xi fi xi  fi (xi – x)² * fi
3  7 5 33 5 x 33 = 165 (5 – 9,2)² x 33 = 582,12
7  11 9 63 9 x 63 = 567 (9 – 9,2)² x 63 = 2,52
11  15 13 19 13 x 19 = 247 (13 – 9,2)² x 19 = 274,36
Assinale a alternativa incorreta.
a) A média é igual a aproximadamente 9,2 anos. 
15 19 17 10 17 x 10 =170 (17 – 9,2)² x 10 = 608,4
Total 125  = 1149  = 1467,4
b) A tabela possui 4 classes com amplitude de 4.
c) A variância é igual a 33,35 anos².
d) O desvio padrão é igual a 3,43 anos.
e) A amplitude é igual a 12 anos. 74,11
125
4,1467² s
Probabilidade
 Para fazer inferência estatística usam-se 
técnicas que exigem o conhecimento 
de probabilidade.
 A teoria das probabilidades busca estimar 
as chances de ocorrer um determinado 
acontecimento. 
 Antes de ativar uma usina nuclear, 
devemos analisar a probabilidade 
de uma detonação acidental. 
 Antes de aumentar o limite de velocidadeAntes de aumentar o limite de velocidade 
em nossas rodovias, devemos procurar 
estimar a probabilidade do aumento 
em acidentes fatais.
Experimentos, espaço 
amostral e eventos
Experimentos: resultado no lançamento Experimentos: resultado no lançamento 
de um dado; hábito de fumar de um 
estudante sorteado em sala de aula; tipo 
sanguíneo de um habitante escolhido ao 
acaso.
 Espaço amostral: lançamento de um dado: Espaço amostral: lançamento de um dado: 
 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; exame de sangue (tipo 
sanguíneo):  = {A, B, AB, O}; hábito de 
fumar:  = {Fumante, Não fumante}; 
tempo de duração de uma lâmpada:tempo de duração de uma lâmpada: 
 = {t: t  0}.
 Eventos: alguns eventos de um dado:
A: sair face par A = {2, 4, 6}  
B: sair face maior que 3 B = {4, 5, 6}  
Probabilidade – exemplo
 Medida da incerteza associada aos 
resultados do experimento aleatório.
)(
)()(
Sn
AnAP 
 Em um vestibular, uma questão típica 
de múltipla escolha tem 5 respostas 
possíveis. Respondendo à questão 
aleatoriamente, qual é a probabilidade de 
sua resposta estar errada?sua resposta estar errada?
8,0
5
4)_( erradarespostaP
Probabilidade – mais dois exemplos
 Imagine que um dado foi jogado. Qual é 
a probabilidade de ter ocorrido 5? 
 No lançamento de um dado perfeito qual
 
 No lançamento de um dado perfeito, qual 
é a probabilidade de sair um número 
maior do que 4? 
 
Probabilidade – outro exemplo
 Determine a probabilidade 
de que um casal com três 
filhos tenha exatamente 
2 meninos. 
1º 2º 3º
H
H
H
H
H
H
M
M
H
M
H
MH
M
M
M
M
M
H
H
M
M
M
H
M
H
M
 
Probabilidade condicional –
exemplo
( ) lh ( ) lHomens (H) Mulheres (M) Total
Cursão (C) 15 4 19
Estatística (E) 16 15 31
Física (F) 6 0 6
Outros (O) 4 2 6
Total 41 21 62
Selecione um aluno ao acaso e defina 
os eventos:
a) o aluno selecionado é do sexo masculino, 
dado que cursa o Cursão –

Total 41 21 62
P(HC) = 15/19 = 0,7895 ou 78,95%;
b) a disciplina selecionada é estatística,
dado que é homem –
P(EH) = 16/41 = 0,3902. 
Eventos independentes – exemplo 
Dado Moeda
Cara Coroa
 Qual a 
probabilidade de 
 Imagine que um dado e uma moeda são 
jogados ao mesmo tempo. 
1 Cara; 1 Coroa; 1
2 Cara; 2 Coroa; 2
3 Cara; 3 Coroa; 3
4 Cara; 4 Coroa; 4
p
ocorrer cara na 
moeda sabendo 
que ocorreu face 
6 no dado?
 P(sair cara na 
5 Cara; 5 Coroa; 5
6 Cara; 6 Coroa; 6
(
moeda, sabendo 
que ocorreu 6 no 
dado) = ½ = 0,5.
Regra da adição – exemplo com 
eventos mutuamente excludentes
 P(A ou B) = P(A  B) = P(A) + P(B)
 Palavra-chave: OU
 Suponha que uma urna contém duas 
bolas brancas, uma azul e uma vermelha. 
Retira-se uma bola da urna ao acaso. Quala probabilidade de ter saído bola colorida, 
isto é, azul ou vermelha?
 A probabilidade de sair bola azul é ¼ = 
0,25 ou 25%.
 A probabilidade de sair bola vermelha é ¼ 
= 0,25 ou 25%.
 Então a probabilidade de sair bola 
colorida é ¼ + ¼ = 2/4 = ½ = 0,5 ou 50%.
Regra da adição – eventos não 
excludentes 
P(A ou B) = P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B)
 Imagine uma carta ser retirada ao acaso de 
um baralho. Qual é a probabilidade de sair 
uma carta de espadas ou um ás?
 Um baralho tem 52 cartas Um baralho tem 52 cartas.
 13 são de espadas e 4 são ases.
 P(sair uma carta de espadas ou um ás) é:
 13/52 + 4 /52 (Resposta errada)
 P(sair uma carta de espadas ou um ás) é:
 13/52 + 4/52 – 1/52 = 16/52 = 4/13 = 0,3077 
ou 30,77% (Resposta correta)
Regra da multiplicação – eventos 
independentes
 P(A e B) = P(A  B) = P(A) . P(B)
 Palavra-chave: E
 Uma moeda será jogada duas vezes. 
Qual é a probabilidade de ocorrer cara 
nas duas jogadas?nas duas jogadas? 
 Probabilidade de ocorrer cara na 
primeira jogada é ½ = 0,5 ou 50%.
 Probabilidade de ocorrer cara na 
segunda jogada é: ½ = 0,5 ou 50%.
 Para obter a probabilidade de ocorrer 
cara nas duas jogadas, faz-se o produto: 
½ . ½ = ¼ = 0,25 ou 25%.
Regra da multiplicação – eventos 
dependentes
 Se os eventos A e B são dependentes, 
temos que:
 P(A e B) = P(A  B) = P(A) . P(B/A)
 Uma urna contém duas bolas brancas e 
uma vermelha. Retiram-se duas bolas dauma vermelha. Retiram se duas bolas da 
urna ao acaso, uma seguida da outra e 
sem que a primeira tenha sido 
recolocada. Qual é a probabilidade de as 
duas serem brancas?
Regra da multiplicação – eventos 
dependentes
 A probabilidade da primeira bola ser 
branca é: 2/3 = 0,6667 ou 66,67%.
 A probabilidade da segunda bola ser 
branca: ½ = 0,5 ou 50%.
 Para obter a probabilidade das duasPara obter a probabilidade das duas 
bolas retiradas serem brancas, faz-se o 
produto: 
 P(2 bolas brancas) = 2/3 * 1/2 = 2/6 = 1/3 = 
0,3333 ou 33,33%.
Interatividade
 Com referência à tabela admita que todas Com referência à tabela, admita que todas 
as escolhas envolvam os 2.000 indivíduos. 
Se uma pessoa é selecionada aleatoriamente, 
qual é a probabilidade de ela ter sido vítima 
de um estranho, dado que foi escolhida 
uma vítima de furto?
H i ídi F A l T l
a) P(estranho / furto) = 0 75
Homicídio Furto Assalto Total
Estranho
Conhecido ou parente
Ignorado
12
39
18
379
106
20
727
642
57
1118
787
95
Totais 69 505 1429 2000
a) P(estranho / furto) = 0,75.
b) P(estranho / furto) = 0,559.
c) P(estranho / furto) = 0,2525.
d) P(estranho / furto) = 0,5087.
e) P(estranho / furto) = 0,1739.
Resposta
 Com referência à tabela admita que todas Com referência à tabela, admita que todas 
as escolhas envolvam os 2.000 indivíduos. 
Se uma pessoa é selecionada aleatoriamente, 
qual é a probabilidade de ela ter sido vítima
de um estranho, dado que foi escolhida 
uma vítima de furto?
H i ídi F t A lt T t lHomicídio Furto Assalto Total
Estranho
Conhecido ou parente
Ignorado
12
39
18
379
106
20
727
642
57
1118
787
95
Totais 69 505 1429 2000
a) P(estranho / furto) = 0,75. (alternativa correta)
 P(estranho / furto) = 379 / 505 = 0,75
ATÉ A PRÓXIMA!