Resumo pesquisa operacional

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Unidade I
PESQUISA OPERACIONAL
Profa. Ana Carolina Bueno
Pesquisa operacional
Vamos supor que você tivesse uma 
confecção que produzisse apenas dois tipos 
de roupas: camiseta e calça. Você precisa 
definir o que será produzido diariamente. 
Vamos imaginar então algumas condições:
S l btid d d Se o lucro obtido com as vendas das 
camisetas fosse R$ 10,00 e, com a venda 
das calças, fosse R$ 30,00, como você 
balancearia a sua produção? Por quê?
 A sua confecção tem apenas uma 
funcionária Ela trabalha 8h por dia e parafuncionária. Ela trabalha 8h por dia e, para 
confeccionar uma calça, ela leva 4h, 
enquanto para confeccionar uma 
camiseta ela leva apenas 1h. 
Como seria a produção agora?
Pesquisa operacional
 Imagine agora que, para produzir uma 
calça, a funcionária precisa de 3m de 
tecido e, para a camiseta, ela precisa de 
2m. Sua confecção recebe por dia apenas 
6m de tecido. O que você faria agora?
 Por que você mudou constantemente 
de opinião?
 Agora, imagine que você inclua nesse 
raciocínio informações referentes à área, 
energia, impostos, horas extras, 
preferência dos clientes etc. Seria tão 
fácil definir o balanceamento da 
produção?
Pesquisa operacional: conceito 
“Pesquisa Operacional é um método 
científico que provê executivos com uma 
base quantitativa para decisões 
concernentes às operações sob seu 
controle.”
MORSE; KIMBALL (1950, p. 1)
Pesquisa Operacional é uma abordagem 
científica para a solução de problemas no 
gerenciamento de sistemas complexos.
EURO (Associação das Sociedades de Pesquisa 
Operacional da Europa)
Pesquisa operacional: conceito 
 Por meio do uso de técnicas como a 
modelagem matemática para analisar 
situações complexas, a PO dá aos 
executivos o poder de tomar decisões 
mais efetivas e de construir sistemas 
mais produtivos baseados em dadosmais produtivos, baseados em dados 
mais completos, na consideração de 
todas as alternativas possíveis, em 
previsões cuidadosas de resultados e 
estimativas de risco e nas mais 
modernas ferramentas e técnicas de ode as e a e tas e téc cas de
decisão.
The Guide to Operational Research,
do INFORMS (Institute for Operations
Research and the Management Sciences)
Pesquisa operacional: conceito 
A Pesquisa Operacional (PO) é uma ciência 
aplicada voltada para a resolução de 
problemas reais. Tendo como foco a tomada 
de decisões, aplica conceitos e métodos de 
outras áreas científicas para concepção, 
planejamento ou operação de sistemas paraplanejamento ou operação de sistemas para 
atingir seus objetivos.
SOBRAPO (Sociedade Brasileira 
de Pesquisa Operacional)
Pesquisa operacional: conceito 
 Ciência aplicada voltada para a resolução 
de problemas reais. 
 Foco: tomada de decisões, aplicando 
conceitos e métodos de várias áreas 
científicas na concepção, planejamento 
ou operação de sistemas. 
Decisão estruturada
 Uma decisão pode ser classificada em 
estruturada se envolve uma série de 
fatores que possam ser quantificados e, 
logo, equacionados.
 PO é uma ferramenta de apoio à decisão 
estruturada.
 Alguns problemas são 
surpreendentemente equacionáveis!
Metodologia da PO
 Formular o problema e fixar o objetivo.
 Construir o modelo ou modelagem do 
problema para representar o sistema.
 Validar o modelo (calcular uma solução 
através do modelo).)
 Obter a solução (testar o modelo).
 Avaliar a solução (estabelecer controle 
sobre a solução).
 Implantar, acompanhar e manter a 
l ã ( l l ãsolução (colocar a solução em 
funcionamento).
Decisões 
 Qualitativas: um gerente industrial toma 
a decisão de aumentar a produção 
porque supõe ou pressente que o 
mercado irá melhorar.
 Quantificativas: uma empresa que tem as 
fontes de matéria-prima e os clientes 
dispersos geograficamente pode decidir 
através de um modelo matemático qual é 
a melhor localização para suas atividades 
industriais, tornando os custos logísticos 
os mínimos possíveisos mínimos possíveis.
Pesquisa operacional: 
exemplos de decisão
 Dois produtos diferentes para 
lançar no mercado. 
 Cada um desses produtos tem um 
potencial de vendas, um custo de 
fabricação, uma margem de lucro, a 
necessidade de publicidade e 
competências produtivas. 
 Você dispõe de certa quantia em 
dinheiro: R$10 milhões.
 Aplicar toda a quantia no produto A ou p q p
no produto B? Parte no A e parte no B? 
Quanto no A e quanto no B? 
Pesquisa operacional: 
exemplos de decisão
 Se tanto a matéria-prima quanto a mão de 
obra são limitadas, qual a quantidade de 
produtos que maximiza o lucro da 
empresa?
 Se um dado combustível é obtido de uma 
mistura de produtos de preços variados, 
qual a composição de menor custo com 
poder calorífico suficiente?
 Se existem vários caminhos que ligam 
duas cidades, qual deles propicia o 
mínimo de gasto de combustível?
Pesquisa operacional: 
exemplos de decisão
 Se em uma região existem casas que 
devem ser interconectadas com uma 
rede de água, qual a que minimiza o 
gasto com tubulação?
 Se existem vários ativos financeiros, qual 
a combinação que melhor reflete o 
compromisso entre o risco e o retorno?
 Se o espaço para armazenamento é 
limitado, de quanto deve ser o pedido de 
material para atender à demanda de um 
certo período?
PO:
Acerca da Pesquisa Operacional, verifique quais 
afirmações abaixo estão corretas:
I. É caracterizada pela utilização de modelos 
matemáticos para orientar os executivos na 
tomada de decisões.
II A Pesquisa Operacional busca informaçõesII. A Pesquisa Operacional busca informações 
perfeitas para os problemas e trabalha com as 
partes dos elementos que compõem um 
sistema.
III. Consideram-se como características da 
Pesquisa Operacional a aplicação do método 
científico e o uso de equipes interdisciplinarescientífico e o uso de equipes interdisciplinares, 
com a finalidade de obter soluções que melhor 
satisfaçam aos objetivos da organização 
como um todo.
IV. A PO tem por finalidade conciliar os objetivos 
conflitantes dos diversos órgãos da empresa.
Interatividade
A Alumco fabrica chapas e barras de alumínio. A capacidade 
máxima de produção estimada é de 800 chapas ou 600 barras 
por dia. A demanda máxima diária é de 550 chapas e 580 
barras. O lucro por tonelada é de R$ 40 reais por chapa e 
R$ 35 reais por barra. Qual deve ser a metodologia para a 
tomada de decisão da empresa sobre a escolha do melhor 
produto?
a) Antes da tomada de decisão a empresa deve usara) Antes da tomada de decisão, a empresa deve usar 
modelos matemáticos que devem ser validados para 
obter a melhor solução para a empresa.
b) Antes da tomada de decisão, a empresa deve, através de 
um modelo matemático, buscar as informações perfeitas 
para a escolha do produto.
c) Antes da tomada de decisão, a empresa deve fazer uma 
pesquisa com os clientes sobre qual produto é preferívelpesquisa com os clientes sobre qual produto é preferível.
d) Na tomada de decisão, deve ser escolhido fabricar 
somente chapas, uma vez que há uma capacidade 
máxima de produção.
e) Na tomada de decisão, deve ser escolhido 
fabricar somente barras, porque a demanda 
é maior. 
Evolução da PO
 Século 16: uso das técnicas.
 Incêndio da frota romana em Siracusa 
provocada por espelhos solares 
ajustados por Arquimedes.
Evolução da PO
Surgiram durante a 2ª Guerra Mundial:
 Problemas de natureza logística, tática e 
de estratégia militar.
 A necessidade de alocar os recursos 
disponíveis fez com que os exércitos p q
americano e britânico convocassem um 
elevado número de cientistas para lidar 
com as complexidades dos problemas 
táticos e estratégicos envolvidos. 
 Terminado o conflito, os grupos de , g p
cientistase a sua nova metodologia de 
abordagem dos problemas se 
transferiram para as empresas. 
Evolução da PO
 Agosto de 1940, o chefe do comando 
antiaéreo daquele país solicitou a 
colaboração do professor P.M.S. Blackett
para estudar a coordenação dos 
equipamentos de radares com um novo 
aparelho que indicava a elevação e oaparelho que indicava a elevação e o 
rumo dos canhões, tendo por objetivo 
abater aviões nazistas que 
bombardeavam Londres. 
 “O Circo de Blackett”: três fisiólogos, 
dois físico matemáticos um astrofísicodois físico-matemáticos, um astrofísico, 
um oficial militar, um topógrafo, um físico 
geral e dois matemáticos.
Evolução da PO
 Formação de equipes mistas de 
especialistas nos diversos campos do 
conhecimento vinculados aos problemas 
relativos às operações militares, táticas 
ou estratégicas. 
 Foram resolvidos problemas referentes à 
detecção de navios e submarinos 
inimigos através do uso de radar em 
aeroplanos, determinando a melhor 
profundidade para explodir as bombas 
lançadas dos aviões contra oslançadas dos aviões contra os 
submarinos, entre outros. 
Evolução da PO
 1947: foi implantado o projeto SCOOP 
(Scientific Computation of Optimal 
Programs).
 Desenvolvimento rápido das técnicas 
gestadas durante a guerra. George 
Dantzig desenvolveu o simplex para 
resolver problemas de programação 
linear.
 No final da década de 1950, já estavam 
bem desenvolvidas as ferramentas 
padrão da PO, como programação linear, 
teoria das filas e teoria do inventário.
Evolução da PO
 A partir da década de 60: aumento da 
velocidade de processamento e da 
quantidade de memória dos 
computadores.
 Explosão tecnológica no terreno das 
telecomunicações e da cibernética 
ocorrida em especial a partir da 
década de 1980. 
 Milhões de pessoas ao redor do mundo 
dispõem de computadores pessoais dos 
mais diversos tipos (desde desktops até 
tablets) capazes de realizar milhões de 
operações matemáticas em segundos –
conectadas permanentemente 
aos seus pares pela internet. 
Impacto financeiro da PO
 O desenvolvimento e o uso da PO 
provocou um impressionante aumento na 
eficiência das organizações, resultando 
em contribuição notável para o aumento 
da produtividade da economia de 
diversos paísesdiversos países. 
 A essas economias de muitos milhões de 
dólares acrescentam-se benefícios 
adicionais, não mensuráveis, tão ou mais 
significativos, tais como melhoria no 
atendimento aos clientes maior controleatendimento aos clientes, maior controle 
gerencial e outros benefícios intangíveis.
Introdução à pesquisa operacional 
(Frederick Hillier e Gerald 
Lieberman)
Organização Natureza da aplicação Economia 
anual (US$)
Continental 
Airlines
Otimizar a realocação de 
tripulações quando ocorrem 
desajustes nos horários de 
voo.
40 milhões
S D l ét d d 200 ilhõSamsung 
Electronics
Desenvolver métodos de 
redução de tempo de 
fabricação e níveis de 
estoque.
200 milhões
mais receita
Memorial 
Sloan-Kettering
Cancer Center
Procedimentos de 
tratamentos radioterápicos.
459 milhões
Welch’s Otimizar o uso e a 
movimentação de matéria-
prima.
150 mil
Objetivos da PO
 Solucionar os conflitos de interesse entre 
as unidades de modo que seja 
encontrada a melhor solução para a 
organização como um todo. 
 Os objetivos devem ser consistentes 
com aqueles de toda a organização. 
(HILLIER; LIEBERMAN).
Objetivos da PO
 Conciliar os objetivos conflitantes das 
diversas funções da organização. Para 
tanto, usam as atitudes dos 
departamentos de produção, de vendas, 
de finanças e de pessoal nas fases de 
planejamento da linha de produtos e deplanejamento da linha de produtos e de 
programação para ilustrar esses 
conflitos. (ACKOFF; SASIENI).
Objetivos da PO
Aplicação:
 manufaturas;
 armazenamento e transporte;
 planejamento financeiro e de crédito;
ê é assistência médica e hospitalar;
 serviços públicos.
Metodologia da PO
 Formular o problema e fixar o objetivo.
 Construir o modelo ou modelagem do 
problema para representar o sistema.
 Validar o modelo (calcular uma solução 
através do modelo).)
 Obter a solução (testar o modelo).
 Avaliar a solução (estabelecer controle 
sobre a solução).
 Implantar, acompanhar e manter a 
l ã ( l l ãsolução (colocar a solução em 
funcionamento).
Investigar problemas empresariais
 Uso do método científico na investigação 
dos problemas empresariais. 
 Processo que se inicia na observação e 
formulação do problema, inclusive com a 
coleta de dados relevantes. 
 Montar um modelo científico, tipicamente 
matemático, que explique e equacione a 
“alma” do problema. 
Investigar problemas empresariais
 A hipótese deve ser validada através da 
experimentação prática do modelo 
verificando-se sua adequação e, 
eventualmente, introduzindo-se 
modificações que o tornem mais próximo 
da realidade e da eficiência desejadada realidade e da eficiência desejada. 
 Fornecer conclusões positivas e 
inteligíveis para o tomador de decisão.
Departamento de produção
 Produzir a maior quantidade possível de 
bens ao menor custo possível. 
 Facilitado se produzir continuamente um 
mesmo produto. 
 No caso de mais um produto, o p ,
departamento defenderá a produção do 
volume total em um único momento, com 
o maior lote possível, economizando nos 
tempos de preparação e treinamento, 
alcançando alta eficiência, mas 
aumentando os estoques. 
 Prefere uma política de estoques 
elevados e uma linha de produtos 
limitada.
Departamento de vendas
 Deseja estoques elevados para que tenha 
condições de entregar tudo o que o 
cliente venha a desejar no momento em 
que desejar, mas também deseja vender 
o máximo possível para cada cliente e, 
assim deseja uma linha de produtosassim, deseja uma linha de produtos 
extensa, com grande variedade de mix. 
 Perceba que os departamentos de 
vendas e produção entram em conflito no 
que se refere à extensão do mix de 
produtos: o primeiro defendendo umaprodutos: o primeiro defendendo uma 
grande variedade, e o departamento de 
produção insistindo na redução da 
variedade.
Departamento financeiro
 Minimizar o capital necessário para as 
operações da empresa.
 Reduzir estoques e, consequentemente, 
o dinheiro empatado. 
 A visão financeira julga também que os j g q
estoques devem oscilar 
proporcionalmente com o volume de 
vendas.
Departamento de pessoal
 Se o nível de vendas baixa, o 
departamento de pessoal e também o de 
produção não desejam reduzir a 
produção e demitir colaboradores.
 O departamento de pessoal deseja 
manter o nível de produção constante, o 
que, no momento em que as vendas 
caem, gera estoques. 
 Os departamentos de finanças e pessoal 
discordam fortemente em relação à 
política de estocagem.
Conclusão da empresa
É“É responsabilidade do dirigente 
estabelecer a política de estoques que, 
segundo algum critério válido, melhor 
satisfaça aos interesses da empresa como 
um todo e não aos interesses de qualquer 
dos departamentos que lhe estejamdos departamentos que lhe estejam 
subordinados. A tarefa de integração exige 
que todo o sistema seja considerado; isto é 
a essência do trabalho do dirigente. No que, 
em muitos casos, pode ser auxiliado pela 
PO” (Contador).O (Co tado )
Interatividade
 O fim da Segunda Guerra Mundial se 
caracteriza pelo desenvolvimento de um 
conjunto de ciências como teoria da 
informação, cibernética, análise de 
sistemas, ciências da computação e 
pesquisa operacional, cujo objetivo p q p , j j
principal era a análise de sistemas 
complexos e buscar soluções matemáticas 
e quantitativas de problemas. Novas 
organizações foram criadas paradisseminar 
as técnicas quantitativas desenvolvidas no 
campo da administração a fim de unificar ocampo da administração, a fim de unificar o 
conhecimento científico que contribui para a 
compreensão da prática da administração.
Sobre a abordagem quantitativa, 
podemos considerar que:
Interatividade
I. As técnicas dessa abordagem têm contribuído 
concretamente para as atividades de administração, 
sendo que os modelos criados podem facilitar o 
processo de tomada de decisão.

II. As limitações dessa abordagem são a complexidade, a 
não consideração do fator humano e a distância entre a 
teoria dos modelos e os problemas reais enfrentados 
pela administração.
III. O uso das técnicas quantitativas pode ser visto como 
único instrumento facilitador do processo de tomada 
de decisão, eliminando a necessidade de análises 
qualitativas, mas não ignorando questões do lado 
humano das organizações.
Assinale a alternativa verdadeira:
a) Todas as contribuições estão corretas. 
b) As contribuições I e II estão corretas. 
c) As contribuições II e III estão corretas. 
d) As contribuições I e III estão corretas. 
e) Nenhuma das contribuições está correta.
Modelagem
 Obter soluções “ótimas”: estabelecer 
modelos, normalmente matemáticos, que 
representam a realidade estudada.
 Modelos são representações da 
realidade: modelo matemático 
simplificado.
Modelo matemático
 A interpretação de um fragmento de um 
sistema, segundo uma estrutura de 
conceitos mentais ou experimentais. 
 Um modelo pode ser mais ou menos 
complexo dependendo da realidade que 
representa. (Heloísio Caetano Mendes).
Modelo matemático
 Ser simples de entender, resolver e 
aplicar.
 Fornecer uma representação completa e 
realista do problema real, incorporando 
apenas os elementos necessários para 
caracterizar sua essência. (Contador, 
1998).
Modelos icônicos
 Referem-se a mudanças de escala. Tais 
modelos geralmente se parecem com o 
objeto que eles representam, exceto no 
tamanho. 
 Exemplos: desenhos, mapas, fotografias, 
maquetes, modelos de aeroplanos, 
navios, usinas piloto etc. 
 Modelos icônicos são também modelos 
de uma molécula, modelos do átomo de 
Bohr e modelos do sistema solar.
Modelos icônicos: placa de circuito 
impresso
F t JUNG C l F dFonte: JUNG, Carlos Fernando. 
Apostila de Metodologia 
Científica, 3ª ed., 2003
Modelos analógicos
 Usam um conjunto de propriedades para 
representar outro conjunto de 
propriedades. 
 Exemplos: desenho das linhas do metrô 
ou então o diagrama unifilar de uma 
instalação hidráulica; curvas de nível em 
um mapa como analógico da elevação, 
sistema hidráulico como analógico de um 
sistema elétrico, de tráfego ou 
econômico etc.
Modelos simbólicos
 Usam letras, número e outros símbolos 
para representar as variáveis e suas 
relações funcionais. 
 Redundam, portanto, em expressões 
matemáticas, geralmente equações e 
inequações. 
 Modelos simbólicos são os preferidos na 
Pesquisa Operacional.
 Exemplo: a fórmula do movimento de um 
corpo em queda livre.p q
Modelo simbólico: exemplo 
 Sueli faz bonecas artesanais de pano. 
Cada uma das bonecas custa, para ser 
feita, considerando materiais e mão de 
obra, R$ 18,00 e ela as vende por R$ 
30,00. Além disso, ela tem um custo fixo 
de R$ 96 00 por mês Qual o modelode R$ 96,00 por mês. Qual o modelo 
matemático que representa o lucro dessa 
operação?
Modelo simbólico: exemplo 
Considerando x o número de bonecas 
vendidas ao longo de um mês, o modelo 
matemático seria o seguinte:
96)1830(  xL
Questões a partir do modelo:
a) Caso Sueli venda 15 bonecas, qual será o 
lucro mensal dela?
00,84$9615)1830( RL  00,84$9615)1830( RL
Modelo simbólico: exemplo 
b) Quantas bonecas, no mínimo, Sueli 
deverá vender por mês para não ter 
prejuízo?
Não ter prejuízo significa um lucro maior ou 
igual a zero, portanto:
bonecasxxx
xx
8
12
969612
9612096)1830(


12
Formulação dos modelos
Três características devem ser observadas, 
segundo a seguinte ordem:
 Identificar as variáveis de decisão: são as 
incógnitas a serem determinadas pela 
solução do modelo. 
 Identificar a função objetivo: é uma 
função matemática que define a 
qualidade da solução em função das 
variáveis de decisão. 
 Identificar o conjunto de restrições: de 
modo a levar em conta as limitações 
físicas do sistema, o modelo deve incluir 
restrições que limitam as variáveis de 
decisão a seus valores possíveis ou 
viáveis (PUCCINI, 1989, p. 50-51). 
Exemplo
C t f b i 2 d t P1 P2 Certa empresa fabrica 2 produtos P1 e P2. 
O lucro por unidade de P1 é de 100 u.m. e 
o lucro unitário de P2 é de 150 u.m. A 
empresa necessita de 2 horas para 
fabricar uma unidade de P1 e 3 horas para 
fabricar uma unidade de P2 O tempofabricar uma unidade de P2. O tempo 
mensal disponível para essas atividades é 
de 120 horas. As demandas esperadas 
para os 2 produtos levaram a empresa a 
decidir que os montantes produzidos de 
P1 e P2 não devem ultrapassar 40 
unidades de P1 e 30 unidades de P2 por 
mês. Construa o modelo do sistema de 
produção mensal com o objetivo 
de maximizar o lucro 
da empresa.
Solução
A empresa produz 2 produtos (P1 e P2).
Com relação a P1:
 Lucro: 100 u.m.
 Tempo para produzir: 2 horas.
á / ê Produção máxima: 40 uni/mês.
Com relação a P2:
 Lucro: 150 u.m.
 Tempo para produzir: 3 horas.
P d ã á i 30 i/ ê Produção máxima: 30 uni/mês.
Solução
 Tempo mensal disponível para produção 
das duas unidades: 120 horas.
 Definição das variáveis
 Variável a ser otimizada
 Máx lucro: lucro máximo a ser atingido Máx. lucro: lucro máximo a ser atingido 
por mês.
 Variáveis básicas
 X1: quantidade ótima de 
produção/mês de P1.
 X2: quantidade ótima de 
produção/mês de P2.
Solução
 Função objetivo
Máx. lucro = 100 x1 + 150 x2
 Conjunto de restrições
2 x1 + 3 x2  120
é x1  40 restrições técnicas
 x2  30
 x1  0 ; x2  0 restrição de não 
negatividade
Campos de aplicação
 PO: serve para resolver problemas.
Problema: 
 Deseja algo (objetivo).
 Dispõe de alternativas para alcançá-lo, 
com diferentes probabilidadescom diferentes probabilidades.
 Tem dúvidas quanto à linha de ação a 
escolher.
Campos de aplicação
Denominada “a ciência da administração”, a 
sua utilização e implementação têm sido 
estendida a(à):
 business; 
 economia;;
 indústria;
 indústria militar;
 engenharia civil;
 governos;g ;
 hospitais etc.
Áreas na administração
 Análise de investimentos.
 Programação da produção.
 Planejamento estratégico.
 Controle de projetos.
 Administração de produção: alocação de 
recursos limitados.
 Manutenção de equipamentos.
 Seleção de equipamentos.
Logística:Logística:
 custo de transporte;
 localização de rede de distribuição.
 Alocação de recursos em marketing.
Interatividade
Uma empresa de comida canina produz dois tipos de 
rações: Tobi e Rex. Para a manufatura das rações, são 
utilizados cereais e carne. Sabe-se que:
 a ração Tobi utiliza 5 kg de cereais e 1 kg de carne, e 
a ração Rex utiliza 4 kg de carne e 2 kg de cereais;
 o pacote de ração Tobi custa $ 20 e o pacote de 
ração Rex custa $ 30;ç $ ;
 o kg de carne custa $ 4 e o kg de cereais custa $ 1;
 estão disponíveis por mês 10 000 kg de carne e 
30 000 kg de cereais.
Deseja-se saber qual a quantidade de cada ração a 
produzir de modo a maximizar o lucro, isto é, qual é o 
modelo desejado para maximizar o lucro (Z) a partir da 
quantidade de raçãoquantidade de ração.
a) Z = 9 x1 + 18 x2
b) Z = 20 x1 + 30 x2
c) Z = 11 x1 + 12 x2 
d) Z = 4x1 + 16 x2
e) Z = 5 x1 + 2 x2 
Resposta 
Neste problema, as variáveis de decisão 
são as quantidades de ração de cada tipo 
a serem produzidas. 
 Os parâmetros fornecidos são os preços 
unitários de compra e venda, além das 
quantidades de carne e cereais utilizadas 
em cada tipo de ração. 
 As restrições são os limites de carne e 
cereais e a função objetivo é uma função 
matemática que determina o lucro em 
função das variáveis de decisão e que 
deve ser maximizada. 
Resposta
R ã T bi R ã RRação Tobi Ração Rex
Custo de Carne 1 kg x R$ 4 = R$ 4 4 kg x R$ 4 = R$ 16
Custo de Cereal 5 kg x R$ 1 = R$ 5 2 kg x R$ 1 = R$ 2
Custo Total R$ 9 R$ 18
Preço R$ 20 R$ 30
 Modelo: maximizar o lucro (Z) a partir da 
quantidade de ração Tobi (x1) e de ração 
Rex (x2).
 Função objetivo: Z = 11 x + 12 x
Preço R$ 20 R$ 30
Lucro R$ 11 R$12
 Função objetivo: Z = 11 x1 + 12 x2
Conjunto de restrições
 1 x1 + 4 x2  10000 (restrição de carne).
 5 x1 + 2 x2  30000 (restrição de cereais).
 x1, x2 0 (restrição de não negatividade).
PO: exemplo de aplicação
 A Federal Express (FedEx) é a maior 
empresa de transporte expresso do 
mundo. Todos os dias, ela entrega 6,5 
milhões de documentos, pacotes e 
outros itens nos Estados Unidos e em 
mais de 220 países e territórios ao redormais de 220 países e territórios ao redor 
do mundo. Em alguns casos, pode-se 
garantir a entrega dessas remessas até 
as 10h30 da manhã seguinte.
PO: exemplo de aplicação
 As mudanças envolvidas no 
fornecimento desse serviço são 
estarrecedoras. Esses milhões de 
embarques diários devem ser 
classificados um a um e direcionados 
para o local geral correto (usualmentepara o local geral correto (usualmente 
por via aérea) e, então, devem ser 
entregues no destino exato (normalmente 
utilizando-se veículo motorizado) em um 
período surpreendentemente curto. 
Como tudo isso é possível?Co o tudo sso é poss e
PO: exemplo de aplicação
 A PO é o motor tecnológico que 
propulsiona a empresa. Desde sua 
fundação em 1973, a PO ajudou na 
tomada de suas principais decisões de 
negócios, inclusive investimento em 
equipamentos estrutura de rotasequipamentos, estrutura de rotas, 
cronograma, finanças e localização de 
suas instalações. Após ter sido 
literalmente creditada à PO a salvação da 
empresa durante seus primeiros anos, 
tornou-se habitual ter a PO representada to ou se ab tua te a O ep ese tada
nas reuniões de diretoria semanais e, de 
fato, vários dos diretores atuais provêm 
do destacado grupo de PO 
da FedEx.
PO: exemplo de aplicação
 A FedEx acaba sendo reconhecida como 
uma empresa de nível mundial. 
Rotineiramente, ela se encontra no topo 
da lista anual das “empresas mais 
admiradas” da Fortune Magazine. Ela 
também foi a primeira vencedora (emtambém foi a primeira vencedora (em 
1991) do prêmio hoje conhecido com 
INFORMS Prize, que é concedido 
anualmente para a integração efetiva e 
repetida da PO na tomada de decisão 
organizacional de maneira pioneira, o ga ac o a de a e a p o e a,
variada, inovadora e duradoura. 
Métodos
 Programação matemática (linear, não 
linear, inteira, dinâmica, geométrica e 
estocástica).
 Teoria das filas (organização do tráfego 
aéreo; construção de barragens etc.).
T i d t Teoria dos estoques.
 Simulação.
 Teoria dos grafos.
 Teoria dos jogos.
 Teoria da decisão.
 Amostragem.
 Regressões.
 Análise discriminante.
 Séries temporais.
Exemplos de problemas tratados 
pela PO
Problema do caminho mínimo
 Objetivo: determinar a rota de menor 
caminho (distância, tempo ou custo) 
existente entre um ponto de origem 
(cidade, endereço, computador, objeto 
etc.) e um ponto de destino.
Fonte: Apostila Pesquisa Operacional
Profa. Tania
Exemplos de problemas tratados 
pela PO
Problema de localização 
de facilidades
 Objetivo: determinar a 
localização e a capacidade 
das facilidades 
( t t d ó it(restaurantes, depósitos, 
antenas de rádio etc.) de 
forma a suprir a demanda 
da região toda com um 
custo mínimo e/ou lucro 
máximo (considerando um
Fonte: Apostila 
Pesquisa máximo (considerando um 
determinado período). 
Cada facilidade possui, normalmente, 
um custo fixo de instalação e 
custos variáveis de operação.
Operacional
Profa. Tania
Exemplos de problemas tratados 
pela PO
Escolha das misturas para rações
 Objetivo: formular uma ração formada a 
partir da mistura dos grãos de forma que 
atenda às necessidades mínimas de 
nutrientes e tenha um custo mínimo.
Fonte: Apostila Pesquisa Operacional
Profa. Tania
Exemplos de problemas tratados 
pela PO
Fornecimento de produtos através de uma 
rede de transportes
 Objetivo: determinar a quantidade do 
produto que cada fornecedor deve enviar 
para cada depósito, de forma que o custo 
total do transporte seja mínimo, que cada 
depósito tenha sua demanda atendida e 
que nenhum depósito estoure sua 
capacidade de fornecimento.
Fonte: Apostila 
Pesquisa 
Operacional
Profa. Tania
Exemplo 1: um problema de PO que 
determina um plano ótimo de 
produção 
 Uma empresa produz três tipos de portas 
a partir de um determinado material. 
Sabendo que, diariamente, a empresa 
dispõe de 500 kg de material e 600 horas 
de trabalho, determinar um plano ótimo 
de produção que corresponda aode produção que corresponda ao 
maior lucro.
A tabela seguinte indica a quantidade de 
material e horas de trabalho necessárias 
para a produção de uma porta de cada 
tipo assim como o lucro unitário detipo, assim como o lucro unitário de 
cada uma delas:
Exemplo 1: um problema de PO que 
determina um plano ótimo de 
produção 
 Decisão a ser tomada: qual será a 
quantidade de portas a serem produzidas 
para obter o máximo lucro?
Exemplo 2: produção de aço vs.
ambiente
Uma empresa de aço emite para a atmosfera 
três tipos de contaminantes:
 partículas;
 óxido sulfúrico;
 hidrocarbonetos hidrocarbonetos.
A produção de aço inclui duas fontes 
principais de contaminação: 
 os altos-fornos para produzir o ferro-
gusa (ferro de primeira fundição ainda 
ã ifi d )não purificado);
 os fornos abertos para converter 
o ferro em aço.
Exemplo 2: produção de aço vs.
ambiente
De acordo com decisões governamentais, a 
fábrica tem de reduzir anualmente a 
emissão dos contaminantes como a seguir 
se indica:
Contaminante Redução requerida no nível 
anual de emissão
(em milhares de toneladas)
A: Partículas 60
B: Óxido sulfúrico 150
C: 
Hidrocarbonetos 125
Exemplo 2: produção de aço vs. 
ambiente
Para reduzir a emissão, os engenheiros 
propõem as seguintes medidas: 
 aumentar a altura das chaminés;
 a utilização de filtros nas chaminés;
 incluir certos aditivos nos combustíveis incluir certos aditivos nos combustíveis.
Cada medida tem associado os seguintes 
custos anuais na sua implementação em 
milhares de euros:
Método de redução Altos-fornos Fornos abertos
Chaminés mais altas 8 10
Filtros 7 6
Melhores combustíveis 11 9
Exemplo 2: produção de aço vs.
ambiente
Chaminés mais 
altas
Filtros Melhores 
combustíveis
Conta-
minante
Altos-
fornos
Fornos 
Abertos
A. f. F.A. A.f. F.A.
Partícu-
las
12 9 25 20 17 13
C did t á í l
las
Óxido 
sulfúrico
35 42 18 31 56 49
Hidro-
carbonetos
37 53 28 34 29 20
Com as medidas propostas, será possível 
eliminar as quantidades anuais dos 
contaminantes A, B e C nas 
seguintes quantidades 
(em milhares de toneladas):
Exemplo 2: produção de aço vs.
ambiente
 Por exemplo, se implementar na totalidade a 
medida 1 (em 100%) conseguir-se-á reduzir 
a emissão dos contaminantes A, B e C em 
12,35 e 37 milhares de toneladas, 
respectivamente. 
Caso contrário, se ,
implementar esta 
medida parcialmente 
(só a 50% do 
previsto), apenasse reduzirá 
a emissão 30
35
40
Aumento na altura das chaminés nos 
altos-fornos
a emissão 
em 6, 17,5 
e 18,5 milhares 
de toneladas.
0
5
10
15
20
25
30
Redução
100% de aumento 50% de aumento
Contaminante A
Contaminante B
Contaminante C
Exemplo 2: produção de aço vs.
ambiente
O problema de PO pode ser formulado 
como segue:
 Determinar um plano ótimo que, 
aplicando as medidas expostas (total ou 
parcialmente) nos fornos emissores, 
consiga ao menor custo o índice de 
maior redução da contaminação. 
Interatividade 
Dados os exemplos abaixo:
I. Você gerencia um minimercado hortigranjeiro do tipo 
sacolão e seu objetivo é o de minimizar os custos de seus 
produtos, a fim de se tornar competitivo no mercado. Você 
vende 3 tipos de legumes e o consumo semanal destes 
alimentos é de 600 kg. Você deseja adquirir quantidades 
tais dos três produtos que resultem em 600 kg, mas cada 
legume tem um custo diferente.legume tem um custo diferente.
II. Numa agência bancária, os caixas constituem estações de 
serviço e os clientes que o solicitam podem chegar em 
intervalos aleatórios no tempo.
III. O prefeito de uma cidade está recebendo denúncias de que 
o aumento de circulação de veículos esteja 
comprometendo a qualidade do ar.
Quais métodos de PO podem ser usados em I, II e III 
respectivamente?respectivamente?
a) Estatística aplicada, teoria das filas e teoria de jogos.
b) Amostragem, simulação e programação linear.
c) Teoria dos grafos, programação linear e estatística 
aplicada.
d) Programação linear, teoria das filas e estatística aplicada.
e) Teoria das filas, teoria dos jogos e programação linear.
ATÉ A PRÓXIMA!