Aplicação da Derivada

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Matemática Básica
Engenharia
APLICAÇÕES DE 
DERIVADA
Professor:
Alessandro Caldeira Alves
ENGENHARIA
Matemática Básica
Engenharia
 
Suponha que f seja uma função definida em um intervalo aberto contendo o ponto x0. Se f tem um extremo relativo em x = x0 , então x0 é um ponto crítico de f; assim f´(x0) = 0 ou f não é derivável em x0. 
Ponto crítico
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Ponto crítico
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Teste da segunda Derivada
a) Se f’(x0) = 0 e f’’(x0) > 0 , então f tem um mínimo relativo em x0
b) Se f’(x0) = 0 e f’’(x0) < 0 , então f tem um máximo relativo em x0
c) Se f’(x0) = 0 e f’’(x0) = 0 , então o teste é inconclusivo.
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Os pontos x = 1 e x = -1 são os pontos críticos da função y = x3 – 3x + 1.
Qual deles é máximo e mínimo relativo ?
Calculando a segunda derivada temos:
y = x3 – 3x + 1 → y’ = 3x2 – 3 → y’’ = 6x
Assim ,
para x = 1 temos y’’ = 6 .(1)= 6, logo
x = 1 é ponto mínimo relativo.
para x = – 1 temos y’’ = 6 .(-1)= - 6, logo
x = - 1 é ponto máximo relativo.
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Encontre os extremos relativos de f(x) = 3x5 - 5x3.
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Exercícios:
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2) Devemos projetar um jardim de área retangular e protegido por uma cerca. Qual é a maior área possível de tal jardim se dispusermos de apenas 100 m de cerca?
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3) Uma caixa aberta deve ser feita de uma folha de papelão medindo 16 por 30 cm, destacando quadrados iguais dos quatro cantos e dobrando-se os lados. Qual é o tamanho dos quadrados para se obter uma caixa com o maior volume ?
30 cm
16 cm
x
x
x
x
x
x
x
x
30 – 2x
16 – 2x
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4) Uma forma líquida de penicilina fabricada por uma firma farmacêutica é vendida a granel a um preço de R$ 200,00 por unidade. Se o custo total de produção para x unidades for C(x) = 500000 + 80x + 0,003x2 e se a capacidade de produção da firma for de, no máximo, 30000 unidades, quantas unidades de penicilina devem ser fabricadas e vendidas para maximizar o lucro ?
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5) Uma empresa verificou que a receita total (em reais) com a venda de um produto pode ser modelada pela função 
 R = - x3 + 450 x2 + 52500x
 onde x é o número de unidades produzidas (e vendidas). Que nível de produção maximiza a receita ?
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6) Determine o nível de produção que minimiza o custo médio para a função de custo 
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7) Uma lata cilíndrica aberta deve conter 500cm3 de líquido. Encontre a altura e o raio que minimizem a quantidade de material necessário para confeccioná-la.