Apostila_Estatistica_Aplicada_Parte_1_2_3

Probabilidade e Estatística Aplicada à Engenharia

•
ESTÁCIO

Brunno Stein Zorzanelli
14/08/2013
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Curso de Estatística Aplicada
Faculdade Salesiano Maria Auxiliadora - FSMA
Lucas Alves Paes Gomes
1º Semestre de 2011
2
Conteúdo
1 A Estatística e a Engenharia 11
1.1 A Estatística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.1 Método Estatístico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.2 Fases do Método Estatístico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 Conceitos básicos da estatística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Distribuição de Frequências 17
2.1 Alguns Conceitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.1 Tabela Primitiva ou dados brutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.2 Rol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.3 Tabela de distribuição de frequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Elementos de uma distribuição de frequência . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.1 Amplitude Amostral (AA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.2 Classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.3 Amplitude do Intervalo de Classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.4 Limites de Classe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.5 Frequência Simples ou Absoluta (fi). . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.6 Ponto Médio de uma classe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3
4 CONTEÚDO
2.2.7 Frequência Relativa (fri) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.8 Frequência Acumulada (Fi) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Distribuição de Frequências sem intervalo de classes . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 Representação gráﬁca de uma distribuição . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4.1 Histograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 Medidas de Tendência Central 25
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Média Aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2.1 Média Aritmética Simples (Dados não-agrupados) . . . . . . . . . . 26
3.2.2 Média Aritmética Ponderada (Dados agrupados) . . . . . . . . . . . 26
3.2.2.1 Sem intervalos de classe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.2.2 Com intervalos de classe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 Desvio em relação à Média . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4 Mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4.1 Mediana em dados não agrupados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4.2 A mediana em dados agrupados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4.2.1 Sem intervalos de classe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4.2.2 Com intervalo de classe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.5 Moda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.5.1 A moda em dados não agrupados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.5.2 A moda em dados agrupados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.5.2.1 Sem intervalo de classe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.5.2.2 Com intervalo de classe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.6 Considerações sobre o emprego da média aritmética, mediana e moda . . . 32
3.7 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
CONTEÚDO 5
4 Medidas de Dispersão ou Variabilidade 35
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2 Desvio Médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.2.1 Desvio Médio em relação à média . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.2.2 Desvio Médio em relação à mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.3 Variância - Var(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.4 Desvio Padrão - dp(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.5 Coeﬁciente de Variação (CV) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.6 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5 Introdução à Probabilidade 41
5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.2 Conceitos Inicias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.2.1 Experimento Aleatório . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.2.2 Espaço Amostral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.2.3 Evento Aleatório . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.2.4 Tipos de Eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.2.5 Propriedades das Operações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.3 Probabilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.3.1 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.3.2 Eventos Independentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.4 Análise Combinatória . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.4.1 Princípio Fundamental da Contagem . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.4.2 Permutações Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6 CONTEÚDO
5.4.3 Permutações com elementos repetidos . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.4.4 Arranjo Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.4.5 Arranjos com Repetição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.4.6 Combinação Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.4.7 Combinações com Repetição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.5 Probabilidade Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.6 Partição de um Espaço Amostral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.7 Teorema de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.8 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6 Modelos Probabilísticos para Variáveis Aleatórias Discretas 57
6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.2 O conceito de Variável Aleatória Discreta (v.a.d) . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.3 Valor Médio de uma Variável Aleatória Discreta . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.4 Propriedades do Valor Esperado e da Variância . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.5 Função de Distribuição Acumulada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.6 Alguns Modelos Probabilísticos para Variáveis Aleatórias Discretas . . . . 63
6.6.1 Distribuição Uniforme Discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.6.2 Distribuição de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.6.3 Distribuição Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.6.4 Distribuição Hipergeométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.6.5 Distribuição de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
CONTEÚDO 7
7 Variáveis Aleatórias Contínuas 69
7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
7.2 Função Distribuição da Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.3 Valor Esperado e a Variância de uma V.A. Contínua . . . . . . . . . . . . 74
7.4 Modelos probabilísticos para v.a. Contínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7.4.1 Modelo Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7.4.2 Modelo Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.4.3 Modelo Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.4.3.1 Propriedades da Distribuição Normal . . . . . . . . . . . . 79
7.4.3.2 Determinações de Probabilidades . . . . . . . . . . . . . . 79
7.4.3.3 Distribuição Normal Padronizada . . . . . . . .
. . . . . . 80
7.4.4 Outros Modelos Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
7.4.4.1 A distribuição Qui-Quadrado χ2 . . . . . . . . . . . . . . 81
7.4.4.2 A Distribuição t de Student . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
7.4.4.3 A Distribuição de Weibull . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
7.5 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
8 Introdução à Inferência Estatística 85
8.1 O Processo de Amostragem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8.2 Amostragem Aleatória Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
8.3 Estatísticas e Parâmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
8.4 Distribuições Amostrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
8.4.1 Distribuição Amostral da Média . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
8.4.2 Distribuição Amostral de uma Proporção . . . . . . . . . . . . . . . 97
8.4.2.1 Distribuição normal da aproximação binomial . . . . . . . 97
8.4.2.2 A distribuição Amostral da Proporção . . . . . . . . . . . 100
8.5 Determinação do Tamanho de uma amostra . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
8 CONTEÚDO
9 Estimação de Parâmetros 105
9.1 Idéias Iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
9.2 Estimação por Intervalo de Conﬁança . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
9.2.1 Estimação do intervalo de conﬁança para Média da N(µ, σ2) com
σ2 conhecida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
9.2.1.1 Interpretação do intervalo de conﬁança para µ . . . . . . . 108
9.2.2 Intervalo de conﬁança para a proporção populacional . . . . . . . . 110
9.2.3 Estimação do intervalo de conﬁança para Média da N(µ, σ2) com
σ2 desconhecida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
9.2.3.1 Margem de Erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
9.2.3.2 Amostras grandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
9.3 Estimação do Intervalo de Conﬁança para a variância da N (µ;σ2) . . . . . 115
10 Testes de Hipóteses 119
10.1 Alguns Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
10.1.1 Lista de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
10.2 Conceitos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
10.2.1 Hipótese nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
10.2.2 Hipótese Alternativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
10.2.3 Estatística de Teste, Erros e Regras de Decisão . . . . . . . . . . . 128
10.2.4 Região Crítica e Nível de Signiﬁcância . . . . . . . . . . . . . . . . 128
10.2.5 Função característica de operação e poder do teste . . . . . . . . . . 129
10.3 Teste de Hipótese: Média da N (µ;σ2) com σ2 conhecida . . . . . . . . . . 132
10.3.1 Procedimento geral para construção do teste de hipótese sobre a
média de uma N (µ;σ2) com σ2 conhecida . . . . . . . . . . . . . . 140
CONTEÚDO 9
10.3.1.1 Teste Bilateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
10.3.1.2 Teste unilateral à direita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
10.3.1.3 Teste unilateral à esquerda . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
10.3.2 Teste de hipótese versus intervalo de conﬁança . . . . . . . . . . . . 144
10.4 Valor P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
10.4.1 Teste Bilateral - Valor P para o Exemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . 144
10.4.2 Teste Unilateral à direita - Exemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 145
10.4.3 Teste Unilateral à esquerda - Exemplo 3 . . . . . . . . . . . . . . . 146
10.5 Exemplo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
10.6 Exercícios para Média da N (µ;σ2) com σ2 conhecida . . . . . . . . . . . . 148
10.7 Teste de Hipótese: Proporções - Amostra Grande . . . . . . . . . . . . . . 149
10.7.1 Teste de Hipóteses sobre proporções . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
10.7.1.1 Teste Bilateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
10.7.1.2 Testes Unilaterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
10.7.1.3 Valor P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
10.7.1.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
10.8 Teste de Hipótese: Média da N (µ;σ2) - com σ2 desconhecida . . . . . . . . 152
10.8.1 Procedimento geral para construção do teste de hipótese sobre a
média de uma N (µ;σ2) com σ2 desconhecida . . . . . . . . . . . . 152
10.8.1.1 Hipótese nula e hipótese alternativa . . . . . . . . . . . . . 153
10.8.1.2 Estatística de teste, erros, regra de decisão . . . . . . . . . 154
10.8.1.3 Nível de signiﬁcancia e região crítica . . . . . . . . . . . . 154
10.8.1.4 Hipótese Bilateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
10.8.1.5 Teste unilateral à direita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
10.8.1.6 Teste unilateral à esquerda . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
10.8.1.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
10 CONTEÚDO
Capítulo 1
A Estatística e a Engenharia
Um engenheiro é alguém que resolve problemas de interesse da sociedade, pela aplicação
eﬁciente de princípios cientíﬁcos. Os engenheiros executam isso através do reﬁnamento
do produto ou processos existentes, ou pelo projeto de um novo produto, ou processo que
encontre as necessidades dos consumidores. O método da engenharia ou cientíﬁco é a
abordagem para formular e resolver esses problemas. As etapas no método da engenharia
são dadas a seguir:
1. Desenvolver um descrição clara e concisa do problema.
2. Identiﬁcar, no mínimo tentar, os fatores importantes que afetam esse problema ou
que possam desempenhar um papel em sua solução.
3. Propor um modelo para o problema, usando conhecimento cientíﬁco ou de engenha-
ria do fenômeno estudado. Estabelecer limitações ou suposições do modelo.
4. Conduzir experimentos apropriados e coletar dados para testar ou validar o modelo-
tentativa ou conclusões feitas nas etapas 2 e 3.
5. Reﬁnar o modelo, com base nos dados observados.
6. Manipular o modelo de modo a ajudar o desenvolvimento da solução do problema.
7. Conduzir um experimento apropriado para conﬁrmar que a solução proposta para
o problema é efetiva e eﬁciente.
8. Tirar conclusões ou fazer recomendações baseadas na solução do problema.
11
12 CAPÍTULO 1. A ESTATÍSTICA E A ENGENHARIA
Note que o método de engenharia caracteriza uma forte relação recíproca entre o pro-
blema, os fatores que podem inﬂuenciar sua solução, um modelo do fenômeno e a expe-
riência para veriﬁcar a adequadação do modelo e da solução proposta para o problema.
Consequentemente, engenheiros têm de saber como planejar eﬁcientemente os experimen-
tos, coletar dados, analisar e interpretar os dados e entender como os dados observados
estão relacionados ao modelo que eles propuseram para o problema sob estudo.
O campo da estatística lida com a coleta, a apresentação, a análise e o uso dos dados
para tomar decisões, resolver problemas e planejar produtos e processos. Devido a muitos
aspectos da prática da engenharia envolverem o trabalho com dados, obviamente algum
conhecimento de estatística é importante para qualquer engenheiro. Especiﬁcamente,
técnicas estatísticas podem ser uma ajuda poderosa no planejamento de novos produtos
e sistemas, melhorando os projetos existentes e desenvolvendo e melhorando os processos
de produção.
Métodos estatísticos são usados para nos ajudar a entender a variabilidade. Por
variabilidade, queremos dizer que sucessivas observações de um sistema ou fenômeno
não produzem exatamente o mesmo resultado. Todos nós encontramos variabilidade no
nosso dia-a-dia e o julgamento estatístico pode nos dar uma maneira útil para incorporar
essa variabilidade em nossos processos de tomada de decisão. Por exemplo, considere
o desempenho de consumo de gasolina de seu carro. Você sempre consegue o
mesmo
desempenho de consumo cada vez que enche o tanque do seu carro? Naturalmente, não.
Na verdade, algumas vezes o desempenho varia consideravelmente. Essa variabilidade
observada no consumo de gasolina depende de muitos fatores, tais como o tipo de estrada
mais usada recentemente (cidade ou rodovia), as mudanças na condição do veículo ao longo
do tempo (que poderiam incluir fatores como desgaste do pneu ou compressão do motor ou
desgaste da válvula), a marca e/ou número de octanagem da gasolina usada, ou mesmo,
possivelmente, as condições climáticas. Esses fatores representam fontes potenciais de
variabilidade no sistema. A estatística no fornece uma estrutura para descrever essa
variabilidade e para aprender sobre quais fontes potenciais de variabilidade são mais
importantes ou quais têm o maior impacto no desempenho de consumo da gasolina.
1.1 A Estatística
A Estatistica é o ramo da matemática que trata da coleta, organização, resumo,
apresentação e análise dos dados, assim como obtenção de conclusões que auxiliam nos
processos de tomada de decisão. A coleta, organização, descrição dos dados, o cálculo e
a interpretação de coeﬁcientes pertencem à Estatística Descritiva, enquanto que a análise
1.1. A ESTATÍSTICA 13
e a interpretação dos dados, associado a uma margem de incerteza, ﬁcam a cargo da
Estatística Indutiva ou Inferencial, também chamada como a medida da incerteza. Assim,
a análise e a interpretação dos dados tornam possível o diagnóstico de uma empresa, o
conhecimento de seus problemas (condições de funcionamento, produtividade, etc.) a
formulação de soluções apropriadas e um planejamento objetivo de ação.
1.1.1 Método Estatístico
Muito do conhecimento atual foi obtido por acaso, por necessidades práticas, sem a
utilização de um método de pesquisa. Atualmente, quase todo acréscimo de conheci-
mento resulta de observações e de estudo. Neste sentido, busca-se assegurar que todas as
conclusões obtidas sejam cientiﬁcamente comprovadas.
 Método - é um conjunto de meios (procedimentos) devidamente organizados para se
atingir um determinado objetivo. Dentre os métodos utilizados para ﬁns cientíﬁcos
destacam-se o método experimental e o cientíﬁco.
� Método Experimental - consiste em manter constante todas as causas, ex-
ceto uma, que deverá ter variações, permitindo assim determinar os efeitos
destas variações caso existam. Ex: Estudos da Química, Física, etc.
� Métodos Estatísticos - diante da impossibilidade de manter as causas cons-
tantes, admite-se todas essas causas presentes variando-as, registrando essas
variações e procurando determinar, no resultado ﬁnal, que inﬂuências cabem
a cada uma delas. Ex: Quais as causas que deﬁnem o preço de uma merca-
doria quando a sua oferta diminui? Ou seja, seria impossível, no momento da
pesquisa, manter constantes a uniformidade dos salários, o gosto dos consumi-
dores, nível geral de preços de outros produtos, etc.
1.1.2 Fases do Método Estatístico
1º - DEFINIÇÃO DO PROBLEMA: nesta etapa deve-se deﬁnir exatamente o que se
pretende pesquisar/analisar e qual o objetivo da pesquisa.
2º - PLANEJAMENTO: como obter informações? Que dados deverão ser obtidos?
Quais as etapas da pesquisa (cronograma de atividades)? Quais os custos envolvidos?,
etc.
14 CAPÍTULO 1. A ESTATÍSTICA E A ENGENHARIA
3º - COLETA DE DADOS: esta etapa consiste no registro sistemático de dados, com
um objetivo determinado. Deve ser precedida de um planejamento experimental adequado
e de uma técnica de amostragem conveniente. Os dados podem ser classiﬁcados em:
 Dados primários: quando são publicados pela própria pessoa ou organização que
os haja recolhido. Ex: tabelas do censo demográﬁco do IBGE.
 Dados secundários: quando são publicados por outra organização. Ex: quando
determinado jornal publica estatísticas referentes ao censo demográﬁco extraídos do
IBGE.
 Coleta direta: quando é obtida diretamente da fonte. Ex: empresa que realiza
uma pesquisa para saber a preferência dos consumidores por sua marca.
 Coleta Indireta: é feita por deduções a partir de elementos conseguidos pela coleta
direta, por analogia, por avaliação, indícios ou proporcionalização.
4º - APURAÇÃO DOS DADOS: representa a soma e o processamento dos dados cole-
tados e a disposição (distribuição e agrupamento) mediante critérios de classiﬁcação.
5º - APRESENTAÇÃO DOS DADOS: há duas formas usuais de apresentação, que
não se excluem mutuamente. A apresentação em tabelas ou quadros, ou seja é uma
apresentação numérica dos dados em linhas e colunas distribuídas de modo ordenado. A
apresentação gráﬁca dos dados constitui uma apresentação geométrica permitindo uma
visão rápida e clara do fenômeno.
6º - ANÁLISE E INTERPRETAÇÃO DOS DADOS: a última fase do trabalho estatís-
tico é a mais importante e delicada. Está ligada essencialmente ao cálculo de medidas e
coeﬁcientes, cuja ﬁnalidade principal é descrever o fenômeno (estatística descritiva). Na
estatística indutiva a interpretação dos dados se fundamentam na teoria da probabilidade.
1.2 Conceitos básicos da estatística
O fenômeno estatístico é qualquer que se pretenda analisar, cujo estudo seja possível
da aplicação do método estatístico. São divididos em três grupos:
 Fenômenos de massa ou coletivo: são aqueles que não podem ser deﬁnidos por uma
única observação. A estatística dedica-se ao estudo desses fenômenos. Ex. A taxa
de criminalidade de Macaé, o preço médio do litro de gasolina em Rio das Ostras,
etc.
1.2. CONCEITOS BÁSICOS DA ESTATÍSTICA 15
 Fenômenos individuais: são aqueles que irão compor os fenômenos de massa. Ex:
cada crime em Macaé, o preço da gasolina em cada posto de Rio das Ostras, etc.
 Fenômenos de multidão: quando as características observadas para a massa não se
veriﬁcam para o fenômeno individual.
O dado estatístico é uma característica observada ou medida de alguma forma.
Uma variável é, convencionalmente, o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno.
As variáveis podem ser:
 Qualitativas: quando seus valores são expressos por atributos: sexo, cor de pele,
etc.
 Quantitativas: quando os dados são de caráter nitidamente quantitativo e o conjunto
dos resultados possui uma estrutura numérica, trata-se portanto da estatística de
variável e se subdividem em:
� Variável discreta ou descontínua: seus valores são expressos geralmente
através de números inteiros não negativos. Resulta normalmente de conta-
gens ﬁnitas. Ex: Nº de alunos candidatos aprovados no vestibular, por curso.
Direito = 80; Eng. de Produção = 100.
� Variável contínua: resulta normalmente de uma mensuração, e a escala nu-
mérica de seus possíveis valores corresponde ao conjunto R dos números reais,
ou seja, podem assumir, teoricamente, qualquer valor entre dois limites. Ex:
o tempo necessário para percorrer a ponto Rio-Niterói. O tempo necessário
poderá ser qualquer valor dentro da escala de tempo utilizada.
População é o conjunto total de elementos portadores de, pelo menos, uma característica
comum. A população pode ser ﬁnita (quando é possível enumerar os elementos) e inﬁnita
(quando não é possível enumerar os elementos).
Uma amostra é uma parcela representativa e ﬁnita da população que é examinada com
o propósito de tirarmos conclusões sobre essa população.
Parâmetros são valores singulares que existem na população e que servem para caraterizá-
la. Para deﬁnirmos um parâmetro devemos examinar toda a população. Exemplo de
parâmetros: média, mediana, desvio padrão, etc.
Estimativa é um valor aproximado do parâmetro estudado e é calculado com o uso da
amostra. Isto porque muitas vezes os dados de toda a população não estão acessíveis
16 CAPÍTULO 1. A ESTATÍSTICA E A ENGENHARIA
(população muito grande ou iniﬁnita, alto custo para obtenção e tratamento de todos os
dados da população, muito tempo para coletar e analisar todos os dados da população,
etc.)
Capítulo 2
Distribuição de Frequências
Vamos considerar, neste capítulo, o estudo detalhado
da distribuição de frequência,
que é a forma pela qual podemos descrever os dados estatísticos resultantes de variáveis
quantitativas. São objetivos desta unidade:
 Compor uma distribuição de frequência com ou sem intervalos de classe;
 Determinar o quadro de frequências, eles são úteis para condensar grandes conjuntos
de dados, facilitando o sua utilização;
 Representar uma distribuição de frequência através de um histograma.
2.1 Alguns Conceitos
Ao analisarmos um conjunto de dados, devemos determinar se temos uma amostra
ou uma população. Essa determinação afetará não somente os métodos utilizados, mas
também as conclusões, pois se estamos trabalhando com uma amostra os resultados en-
contrados são estimativas da população.
Nem sempre é possível compreender o signiﬁcado contido numa amostragem por sim-
ples inspeção visual dos dados numéricos coletados. Entretanto, entendemos que o sucesso
de uma decisão dependerá da nossa habilidade em compreender as informações contidas
nesses dados. O objetivo deste estudo é mostrar a organização, apresentação e análise
gráﬁca de uma série de dados, matéria prima das distribuições de freqüências e dos his-
togramas. Freqüência de uma observação é o número de repetições dessa observação, ou
seja, quantas vezes determinado fenômeno acontece.
Os dados podem ser classiﬁcados como:
17
18 CAPÍTULO 2. DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS
2.1.1 Tabela Primitiva ou dados brutos
É uma tabela ou relação de elementos que não foram numericamente organizados. É
difícil formar uma idéia exata do comportamento do grupo como um todo, a partir de
dados não ordenados. Ex: Na tabela abaixo, cada valor representa a quantidade ven-
dida em milhares de unidades por cada um dos 36 representantes de uma determinada
multinacional em 2001.
Tabela 2.1: Dados brutos
2.1.2 Rol
É uma tabela composta por dados ordenados (crescentes ou decrescente). Ex: A tabela
abaixo apresenta o volume de vendas com os valores ordenados crescentemente.
Tabela 2.2: Tabela Rol
2.1.3 Tabela de distribuição de frequência
É um tipo de tabela que condensa uma coleção de dados conforme as frequências (repeti-
ções de seus valores). No exemplo acima, denomina-se frequência o número de vendedores
que está relacionado a um determinado valor de vendas. Esses valores tabelados podem
estar:
 Não agrupados em classes - os valores da variável aparecem individualmente.
 Agrupados em classes - os valores da variável não aparecem individualmente, mas
agrupados em classes.
2.2. ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 19
2.2 Elementos de uma distribuição de frequência
2.2.1 Amplitude Amostral (AA)
É a diferença entre o valor máximo e o valor mínimo dos dados disponíveis. No exemplo
anterior esse valor é 70. Ou seja:
AA = xmax − xmin = 145− 75 = 70. (2.1)
2.2.2 Classes
São intervalos de variação da variável e é simbolizada pela letra i, onde i = 1, 2, . . . , k,
sendo k o número total de classes da distribuição. Não existe uma regra ﬁxa para se
determinar o número de classes. Podemos utilizar:
 A regra de Sturges que é calculada em função do número de dados existentes (n),
como:
i = 1 + 3, 3log(n). (2.2)
 Ou i = 5 para n ≤ 25 e i ∼= √n, para n > 25.
Utilizando a regra de Sturges para os dados apresentados na Tabela 2.2, obtemos
i = 1 + 3, 3log(36) = 6, 14 (6 classes). (2.3)
2.2.3 Amplitude do Intervalo de Classes
Representa a medida do intervalo que deﬁne uma classe. É calculada como:
h =
AA
i
. (2.4)
No nosso exemplo, esse valor é h = 70/6 = 11, 66 ∼= 12.
20 CAPÍTULO 2. DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS
2.2.4 Limites de Classe
Correspondem aos extremos de cada classe. Designa-se por Ii e Li, respectivamente, o
limite inferior e o limite superior da classe i. Uma vez deﬁnidos o número de classes e a
amplitude dos intervalos de classe, o próximo passo consiste em determinar os limites de
cada uma das classes. De acordo com o exemplo, tem-se a seguinte tabela:
Tabela 2.3: Divisão de classes
 Observe que a primeira classe é composta pelo menor valor da amostra e o intervalo
de classe (h).
 Os intervalos de classe devem ser escritos de acordo com a resolução 886/66 do
IBGE. Utiliza-se o símbolo para indicar a inclusão de Ii e a exclusão de Li. Ou
seja: o vendedor que vendeu 99000 unidades estaria incluso na terceira classe (i = 3)
e não na segunda.
2.2.5 Frequência Simples ou Absoluta (fi).
São os valores que realmente representam o número de dados de cada classe. Para
determinar a frequência de cada classe, deve-se realizar a apuração dos dados e deve-se
lembrar que a soma das freqüências simples é igual ao número total dos dados. De acordo
com os dados do exemplo, temos:
Tabela 2.4: Frequência simples
2.2. ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 21
2.2.6 Ponto Médio de uma classe
É, como o próprio nome indica, o ponto que divide o intervalo de classe em duas partes
iguais. É o valor que representa cada classe. Para obtermos o ponto médio de uma classe,
calculamos:
xi =
Ii+Li
2
. (2.5)
2.2.7 Frequência Relativa (fri)
São os valores das razões entre as frequências simples e a frequência total.
fri =
fi∑
fi
. (2.6)
2.2.8 Frequência Acumulada (Fi)
É o somatório das frequências de todas as classes até a classe em questão, inclusive a
própria.
Fk = f1 + f2 + . . .+ fk. (2.7)
A Tabela 2.5 sumariza as propriedades apresentadas.
Tabela 2.5: Dados sumarizados
22 CAPÍTULO 2. DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS
2.3 Distribuição de Frequências sem intervalo de clas-
ses
É empregada quando se trata de variável discreta de variação relativamente pequena,
onde cada valor pode ser considerado como um intervalo de classe. Se a variável assume
numerosos valores distintos, é comum tratá-la como uma variável contínua, formando
intervalos de classe diferente de um. Esse tratamento abrevia o trabalho, mas ocasiona
alguma perda de precisão.
Exemplo: Considere a variável x como sendo o número de ﬁlhos de 50 famílias entrevis-
tadas. A tabela abaixo apresenta os outros tipos de frequências.
Tabela 2.6: Distribuição de frequências para o número de ﬁlhos de 50 famílias.
2.4 Representação gráﬁca de uma distribuição
Todos os gráﬁcos que representam uma distribuição de frequências utilizam o primeiro
quadrante do sistema de eixos coordenados cartesianos ortogonais. Na linha horizontal
(eixo das abscissas) colocam-se os valores da variável e na linha vertical (eixo das orde-
nadas), as frequências. Um gráﬁco usualmente utilizado é o histograma.
2.4.1 Histograma
É formado por um conjunto de retângulos justapostos, cujas bases se localizam sobre
o eixo horizontal, de tal modo que seus pontos médios coincidem com os pontos médios
dos intervalos de classe.
 As larguras dos retângulos são iguais às amplitudes dos intervalos de classe.
2.5. PROBLEMAS PROPOSTOS 23
 As alturas dos retângulos devem ser proporcionais às freqüências das classes.
 A área de um histograma é proporcional à soma das frequências simples.
A ﬁgura abaixo mostra o exemplo de um histograma.
Histograma
5
11
7
5
4 4
0
0
2
4
6
8
10
12
14
86 98 110 122 134 146 Mais
Vendas (x1000 unidades)
Fr
e
qü
ên
ci
a
2.5 Problemas Propostos
Problema 2.1 - Contou-se o número de erros de impressão da primeira página de um jornal
durante 50 dias, obtendo-se os resultados abaixo:
Tabela 2.7: Erros de impressão
8 11 8 12 14 13 11 14 14 15
6 10 14 19 6 12 7 5 8 8
10 16 10 12 12 8 11 6 7 12
7 10 14 5 12 7 9 12 11 9
14 8 14 8 12 10 12 22 7 15
a) Represente os dados graﬁcamente (gráﬁco de barras).
b) Faça um histograma.
24 CAPÍTULO 2. DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS
Capítulo 3
Medidas de Tendência Central
3.1 Introdução
A redução dos dados através de tabelas de frequências ou gráﬁcos é um dos meios
disponíveis para se ilustrar o comportamento de um conjunto de dados. No entanto,
muitas vezes queremos resumir ainda mais esses dados, apresentando um único valor que
seja representativo do conjunto original. As medidas de posição ou tendência central
são medidas
cujo valor numérico permite ter uma noção da localização do centro de
uma distribuição de frequência. Estas medidas permitem veriﬁcar a tendência dos dados
observados em torno dos valores centrais.
As medidas de tendência central mais utilizadas são: as médias (aritméticas, harmôni-
cas, geométrica, quadrática), a mediana e a moda.
3.2 Média Aritmética
No nosso dia-a-dia, o conceito de média é bastante comum, quando nos referimos, por
exemplo, à altura média dos brasileiros, à temperatura média dos últimos anos. Entre-
tanto, lembre-se que só faz sentido se calculada para dados quantitativos (não faz sentido
somar masculino + feminino!).
Sejam x1, x2, x3, . . . , xn os valores de um conjunto de observações e n a quantidade de
observações.
25
26 CAPÍTULO 3. MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
3.2.1 Média Aritmética Simples (Dados não-agrupados)
Quando se deseja conhecer a média dos dados não-agrupados em tabelas de frequências,
determinamos a média aritmética simples através da seguinte equação:
x¯ =
x1 + x2 + . . .+ xn
n
=
1
n
n∑
i=1
xi. (3.1)
Exemplo: Sabendo-se que a venda diária de arroz tipo A, durante uma semana foi de
10, 14, 13, 15, 16, 8 e 12 toneladas, temos, para a venda média diária na semana de:
x =
10 + 14 + 13 + 15 + 16 + 18 + 12
7
= 14 toneladas. (3.2)
A interpretaçao física da média aritmética simples é que ela representa o centro de
gravidade da distribuição. Note que o valor desta média é um valor tal que, se substi-
tuíssemos todos os dados por ela, isto é, se todas as observações fossem iguais à média
aritmética semples, a soma total seria igual a soma dos dados originais. Então, a média
é uma forma de se distribuir o total observado pelos n elementos, de modo que todos
tenham o mesmo valor.
3.2.2 Média Aritmética Ponderada (Dados agrupados)
Vimos que a média aritmética equivale a dividir o �todo� (soma dos valores) em partes
iguais, ou seja, estamos supondo que os números que queremos sintetizar têm o mesmo
grau de importância. Entretanto, há algumas situações onde não é razoável atribuir a
mesma importância para todos os dados. Nesse tipo de situação, em vez de se usar
a média aritmética simples, usa-se a média aritmética ponderada. O mesmo raciocínio
pode ser aplicado para o caso quando cada dado da distribuição está associada a um valor
de frequência (fi). Lembre-se que frequência é o número de vezes que um dado se repete.
3.2.2.1 Sem intervalos de classe
Neste caso, a média ponderada é calculada pela equação:
x =
1
n
n∑
i=1
xifi. (3.3)
3.2. MÉDIA ARITMÉTICA 27
Exemplo: Considere a variável x como sendo o número de televisores de 50 famílias
entrevistadas:
Tabela 3.1: Número de televisores por família
i xi fi fri Fi xifi
1 0 3 0,06 3 0
2 1 15 0,30 18 15
3 2 18 0,36 36 36
4 3 10 0,20 46 30
5 4 4 0,08 50 16
Total 50 1,00 97
Assim, tem-se que: x = 1
n
∑n
i=1 xifi =
97
50
= 1, 94.
Observe que como x (quantidade de televisores) é uma variável discreta, como devemos
interpretar o resultado ﬁnal? Aﬁnal, não existem 1,94 televisores! O valor médio de
1,94 identiﬁca uma tendência de que as famílias entrevistadas possuem em média dois
televisores.
3.2.2.2 Com intervalos de classe
Neste caso, convenciona-se que todos os valores incluídos em um determinado intervalo
de classe são representados pelo seu ponto médio. Assim, determina-se a média aritmética
ponderada por meio da equação:
x =
∑k
i=1 xifi∑k
i=1 fi
, (3.4)
onde, xi é o ponto médio da classe i e k é o número total de classes.
Exemplo: Calcular a média de vendas de 36 vendedores de uma empresa conforme a
Tabela 3.2:
28 CAPÍTULO 3. MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
Tabela 3.2: Vendas de 36 vendedores de uma empresa
 Vendas fi P.M. (xi) fri Fi xifi
75 |-- 87 5 81 0,14 5 405
87 |-- 99 11 93 0,31 16 1023
99 |-- 111 7 105 0,19 23 735
111 |-- 123 5 117 0,14 28 585
123 |-- 135 4 129 0,11 32 516
135 |-- 147 4 141 0,11 36 564
Total 36 1,00 3828
Assim, tem-se que:
x =
∑k
i=1 xifi∑k
i=1 fi
=
3828
36
= 106, 3. (3.5)
3.3 Desvio em relação à Média
Denomina-se desvio em relação à média, a diferença entre cada elemento de um conjunto
de valores e a média aritmética. Sendo o desvio denotado por di, temos:
di = xi − x. (3.6)
3.4 Mediana
Em muitos casos a média aritmética pode não representar muito bem os valores mais
altos e os mais baixos. Isso acontece porque o valor mais alto pode ser bem diferente dos
demais. A média aritmética é muito inﬂuenciada por valores discrepantes. Nesses casos é
necessário utilizar uma outra medida de posição para representar o conjunto; uma medida
possível é a mediana. A mediana é o número que se encontra no centro de uma série de
números, estando estes ordenados de forma crescente ou decrescente. A mediana é o valor
que separa o conjunto de números em dois subconjuntos de mesmo número de elementos.
3.4.1 Mediana em dados não agrupados
Para determinar a mediana em dados não agrupados, procede-se da seguinte forma:
3.4. MEDIANA 29
1. Ordene os dados de forma crescente ou decrescente;
2. Determine a posição (p) da mediana, através da equaçao p = N+1
2
, onde N é o
número de elementos da série.
3. Identiﬁque a mediana: se o número de elementos N for ímpar, a mediana representa
exatamente o valor central dos dados, deﬁnido pela posiçao p. Se o número de
elementos for par, a mediana corresponde à média dos dois valores centrais da série.
Exemplo: Determine a mediana da seguinte série de valores: 1, 7, 5, 11, 9.
1. Ordenação: 1, 5, 7, 9, 11.
2. Posição p da mediana: p = 5+1
2
= 3 (a mediana é o 3º elemento).
3. Como o número de elementos da série é ímpar, o valor da mediana é Md = 7.
Exemplo: Determine a mediana da seguinte série de valores: 1, 7, 5, 11, 50, 9.
1. Ordenação: 1, 5, 7, 9, 11, 50.
2. Posição p da mediana: p = 6+1
2
= 3, 5 (a mediana está entre o 3º e o 4º elemento).
3. Como o número de elementos da série é par, o valor da mediana é a média dos dois
valores centrais da série. Sendo a série ordenada (1, 5,7,9, 11, 50), então: Md =
7+9
2
= 8.
3.4.2 A mediana em dados agrupados
Assim como no estudo das médias, a mediana pode ser agrupada em frequências sem
intervalos de classe ou em uma distribuição de freqüência.
3.4.2.1 Sem intervalos de classe
Identiﬁca-se a frequência acumulada imediatamente superior à metade da soma das
frequências. A mediana será o valor da variável que corresponde a tal frequência acumu-
lada.
Exemplo: Seja x o número de televisores de 50 famílias entrevistadas.
30 CAPÍTULO 3. MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
 i xi fi Fi
1 0 3 3
2 1 15 18
3 2 18 36
4 3 10 46
5 4 4 50
Total 50
1. Posição: p = 50+1
2
= 25, 5 (a mediana é o 25,5º elemento).
2. Md = 2 (o 25,5º elemento possui 2 televisores).
3.4.2.2 Com intervalo de classe
Neste caso, devem-se realizar os seguintes passos:
1. Calcular as frequências acumuladas.
2. Calcular a posição da mediana: p = N
2
.
3. Determinar a classe na qual se encontra a mediana: a classe mediana (a classe
correspondente à frequência acumulada imediatamente superior a p = N
2
).
4. Determinar o limite inferior da classe mediana:Linf .
5. Determinar a amplitude do intervalo da classe mediana: h.
6. Determinar a frequência acumulada da classe anterior à da classe mediana: Fant.
7. Determinar a frequência da classe mediana: fi
8. Determinar o valor da mediana através da expressão:
Md=Linf+h·
(
p− Fant
fi
)
. (3.7)
Exemplo: Calcule a mediana para a distribuição abaixo:
 Vendas fi P.M. (xi) fri Fi xifi
75 |-- 87 5 81 0,14 5 405
87 |-- 99 11 93 0,31 16 1023
99 |-- 111 7 105 0,19 23 735
111 |-- 123 5 117 0,14 28 585
123 |-- 135 4 129 0,11 32 516
135 |-- 147 4 141 0,11 36 564
Total 36 1,00 3828
3.5. MODA 31
1. As freqüências acumuladas estão descritas na quinta coluna.
2. A posição da mediana:p = N/2 = 36/2 = 18.
3. A classe mediana: [99, 111[.
4. O limite inferior da classe mediana: Linf=99.
5. A amplitude do intervalo da classe mediana: h = 12.
6. A frequência acumulada da classe anterior à da classe mediana: Fant=16.
7. A frequência da classe mediana:fi = 7
8. O cálculo da mediana:
Md = Linf + h ·
(
p− Fant
fi
)
= 99 + 12 ·
(
18− 16
7
)
= 102, 43. (3.8)
3.5 Moda
A moda (Mo) é o valor que ocorre com maior frequência em uma série de valores. Assim,
o salário modal dos empregados de uma fábrica é o salário mais comum, isto é, o salário
recebido pelo maior número de empregados dessa fábrica. Podemos ter distribuições
amodais (todos os valores ocorrem o mesmo número de vezes), unimodais (uma moda),
bimodais (duas modas), etc.
3.5.1 A moda em dados não agrupados
A moda é facilmente obtida, bastando somente encontrar o valor que mais se repete.
Exemplo: Na série {1, 2, 7, 8, 9, 10, 10, 15} a moda é igual a 10.
3.5.2 A moda em dados agrupados
3.5.2.1 Sem intervalo de classe
Uma vez agrupados os dados, determina-se imediatamente a moda encontrando o valor
da variável de maior freqüência.
Exemplo: Para o exemplo do número de televisores para as 50 famílias entrevistadas
(item 3.4.2.1, deseja-se saber qual a quantidade de televisores que a maioria das 50 famílias
possui. Nesse exemplo, a moda será igual a 2.
32 CAPÍTULO 3. MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
3.5.2.2 Com intervalo de classe
A classe que apresenta a maior frequência é denominada classe modal. Pela deﬁnição,
podemos aﬁrmar que a moda, neste caso, é o valor dominante que está compreendido
entre os limites da classe modal. Para calcular a moda é preciso determinar:
1. A classe modal
2. Limite inferior da classe modal: Linf .
3. A amplitude do intervalo da classe modal: h.
4. A frequência da classe anterior à da classe modal: fant.
5. A frequência da classe posterior à da classe modal: fpost.
6. A frequência da classe modal: fMo.
7. O cálculo da Moda:
Mo = Linf − h ·
(
fMo − fant
fpost + fant − 2fMo
)
. (3.9)
Exercício. Calcule a moda para a distribuição:
 Vendas fi P.M. (xi) fri Fi xifi
75 |-- 87 5 81 0,14 5 405
87 |-- 99 11 93 0,31 16 1023
99 |-- 111 7 105 0,19 23 735
111 |-- 123 5 117 0,14 28 585
123 |-- 135 4 129 0,11 32 516
135 |-- 147 4 141 0,11 36 564
Total 36 1,00 3828
R: 94,2.
3.6 Considerações sobre o emprego da média aritmé-
tica, mediana e moda
A média aritmética pode ser calculada a partir de dados brutos, sem a necessidade de
agrupamento ou ordenação dos valores originais, o que não ocorre com a mediana e com
a moda. A média aritmética é a medida de posição que possui a maior estabilidade. A
mediana é preferível à média aritmética quando:
3.7. PROBLEMAS PROPOSTOS 33
 Deseja-se conhecer exatamente o ponto médio da distribuição: aquele valor que
divide a distribuição em duas partes iguais.
 Quando há valores extremos que afetam de maneira acentuada a média aritmética.
A moda é utilizada quando se deseja obter uma medida rápida e aproximada de posição
central ou quando a medida de posição deva ser o valor mais típico da distribuição.
3.7 Problemas Propostos
Problema 3.1 - Uma empresa possui serventes recebendo salário de R$250,0 cada, quatro
digitadores recebendo R$ 354,0 cada um, um gerente recebendo R$1250,0 e dois vendedo-
res recebendo, em média, R$ 850 de comissão. Calcule o salário médio da empresa. Este
valor é representativo?
Problema 3.2 - Num ﬁnal de semana de verão um supermercado vendeu as seguintes
quantidades de carne:
Tabela 3.3: Vendas de carnes
Tipo de Carne Preço/kg Quantidade (kg)
Boi 12,43 1100
Porco 12,50 443
Frango 7,85 650
Peru 18,94 210
Peixe 20,50 120
Qual o valor médio por quilograma vendido?
34 CAPÍTULO 3. MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
Capítulo 4
Medidas de Dispersão ou Variabilidade
4.1 Introdução
As medidas de dispersão servem para indicar o quanto os dados de uma distribuição
apresentam-se dispersos em torno de um valor de tendência central (média ou mediana)
tomado como ponto de comparação.
Exemplo: Considere os seguintes conjuntos de valores das variáveis X, Y , Z:
X= {80, 80, 80, 80, 80}, Y = {78, 79, 80, 81, 82} e Z = {15, 25, 60, 130, 170}
É possível observar que:
 Os três conjuntos apresentam a mesma média aritmética = 400/5 = 80.
 O conjunto X é mais homogêneo que Y e Z, já que todos os valores são iguais à
média.
 O conjunto Y é mais homogêneo que o conjunto Z, pois há menor diversiﬁcação
entre cada um de seus valores e a média representativa.
Logo, o conjunto X apresenta dispersão nula e o conjunto Y apresenta uma dispersão
menor que o conjunto Z.
35
36 CAPÍTULO 4. MEDIDAS DE DISPERSÃO OU VARIABILIDADE
4.2 Desvio Médio
Desvio médio ou média dos desvios é igual a média aritmética dos valores absolutos dos
desvios tomados em relação à média ou à mediana.
4.2.1 Desvio Médio em relação à média
a) Dados não agrupados:
Dx =
1
n
n∑
i=1
|xi − x| . (4.1)
b) Dados agrupados:
Dx =
∑n
i=1 |xi − x| • fi∑n
i=1 fi
. (4.2)
4.2.2 Desvio Médio em relação à mediana
a) Dados não agrupados:
DMd =
1
n
n∑
i=1
|xi −Md| . (4.3)
b) Dados agrupados:
DMd =
∑n
i=1 |xi −Md| • fi∑n
i=1 fi
. (4.4)
4.3 Variância - Var(x)
Considerar o valor absoluto das diferenças é uma das maneiras de se contornar o fato
de que
∑n
i=1 (xi − x). No entanto, a função módulo tem a desvantagem de ser não dife-
renciável no ponto zero. Outra possibilidade de correção, com propriedades matemáticas
4.3. VARIÂNCIA - VAR(X) 37
e estatísticas mais adequadas, é considerar o quadrado das diferenças. Isso nos leva a
deﬁnição de variância.
A variância de um conjunto de dados é deﬁnida por
V ar(x) =
n∑
i=1
(xi − x)2 . (4.5)
a) Dados não agrupados:
 Variância populacional
V ar(x) =
1
n
n∑
i=1
(xi − x)2 = 1
n
 n∑
i=1
x2i −
1
n
(
n∑
i=1
xi
)2 . (4.6)
 Variância amostral
V ar(x) =
1
n− 1
n∑
i=1
(xi − x)2 = 1
n− 1
 n∑
i=1
x2i −
1
n
(
n∑
i=1
xi
)2 . (4.7)
b) Dados agrupados:
 Variância populacional
V ar(x) =
1
n
n∑
i=1
(xi − x)2 · fi = 1
n
 n∑
i=1
x2i fi −
1
n
(
n∑
i=1
xifi
)2 . (4.8)
 Variância amostral
V ar(x) =
1
n− 1
n∑
i=1
(xi − x)2 · fi = 1
n− 1
 n∑
i=1
x2i fi −
1
n
(
n∑
i=1
xifi
)2 .
Observações:
 Observe que quando a inferência abrange toda a população, o divisor nas expressões
é n. Caso seja considerada uma amostra da população, o divisor é n-1.
 As expressões expandidas são mais práticas e frequentemente utilizadas para facilitar
o cálculo computacional.
38 CAPÍTULO 4. MEDIDAS DE DISPERSÃO OU VARIABILIDADE
Suponhamos que os valores representem os pesos, em quilogramas, de um conjunto
de pessoas. Então, o valor médio representa o peso médio dessas pessoas e sua unidade
também é quilograma, o mesmo acontecendo com as diferenças . Ao elevarmos essas
diferenças ao quadrado, passamos a ter a variância medida em quilogramas ao quadrado,
uma unidade que não tem interpretação física. Uma forma de se obter uma medida de
dispersão com a mesma unidade dos dados consiste em tomar a raiz quadrada da variância.
Esse valor é chamado de desvio padrão.
4.4 Desvio Padrão - dp(x)
O desvio padrão de um conjunto de dados x1, x2, . . . , xn é deﬁnido por
dp(x) =
√
var(x). (4.9)
Essa é uma das medidas de dispersão mais utilizada na estatística. Seu valor é calculado
pela raiz quadrada das expressões obtidas no item 4.3 letras a) e b).
4.5 Coeﬁciente de Variação (CV)
É deﬁnido como o quociente entre o desvio padrão e a média aritmética. É frequente-
mente expresso em porcentagem.
CV =
dp(x)
x
. (4.10)
Sua vantagem é caracterizar a dispersão dos dados em termos relativos ao seu valor
médio. Assim, uma pequena dispersão absoluta pode ser, na verdade, considerável quando
comparada com a ordem de grandeza dos valores da variável e vice-versa.
Exercício. Os dados abaixo representam as vendas semanais, em classes de salários
mínimos, de vendedores de gêneros alimentícios:
4.6. PROBLEMAS PROPOSTOS 39
 Vendas
Semanais
N°°°°
 Vendedores
30 |-- 35 2
35 |-- 40 8
40 |-- 45 17
45 |-- 50 6
50 |-- 55 3
a) Faça o histograma das observações
b) Calcule a média da amostra, x.
c) Calcule o desvio padrão da amostra, dp(x).
d) Calcule a percentagem das observações compreendidas entre x− dp(x)
e x+ dp(x).
e) Calcule a mediana.
4.6 Problemas Propostos
Problema 4.1 - Quer se estudar o número de erros de impressão de um livro. Para isso
escolheu-se uma amostra de 50 páginas, encontrando-se o número de erros por página da
tabela abaixo:
Tabela 4.1: Erros de impressão de um livro
Erros Frequência
0 25
1 20
2 3
3 1
4 1
a) Qual é o número médio de erros por página?
b) E o número mediano?
c) Qual é o desvio padrão?
d) Faça uma representação gráﬁca para a distribuição.
e) Se o livro tem 500 páginas, qual o número total de erros esperado no livro?
Problema 4.2 - As taxas de juros recebidas por 10 ações durante um certo período foram
(medidas em percentagem) 2,59; 2,64; 2,60; 2,62; 2,57; 2,55; 2,61; 2,50; 2,63; 2,64. Calcule
a média, a mediana e o desvio padrão.
40 CAPÍTULO 4. MEDIDAS DE DISPERSÃO OU VARIABILIDADE
Problema 4.3 - Estamos interessados em estudar a idade dos 12.325 funcionários da Cia.
Distribuidora de Leite Teco, e isso será feito por meio de uma amostra. Para determi-
nar que tamanho deverá ter essa amostra, foi colhida uma amostra piloto. As idades
observadas foram: 42, 35, 27, 21, 55, 18, 27, 30, 21, 24.
a) Determine as medidas descritivas dos dados que você conhece.
b) Qual dessas medidas você acredita que será a mais importante para julgar o tamanho
ﬁnal da amostra? Porque?
Problema 4.4 - A distribuição de frequências do salário anual dos moradores do bairro A
que tem alguma forma de rendimento é apresentada na tabela abaixo:
Tabela 4.2: Salário anual dos moradores do bairro A
Faixa Salarial
(x 10 salários mínimos) Frequência
0 ├ 2 10.000
2 ├ 4 3.900
4 ├ 6 2.000
6 ├ 8 1.100
8 ├ 10 800
10 ├ 12 700
12 ├ 14 2.000
Total 20.500
a) Construa um histograma da distribuição.
b) Qual a média e o desvio padrão da variável salário?
c) O bairro B Apresenta, para a mesma variável, uma média de 7,2 e um desvio padrão
de 15,1. Em qual dos bairros a população é mais homogênea quanto à renda?
d) Construa a função de distribuição acumulada e determine qual a faixa salarial dos 10%
mais ricos da população do bairro.
e) Qual a �riqueza total� dos moradores do bairro?
Capítulo 5
Introdução à Probabilidade
5.1 Introdução
Até agora vimos que a análise de um conjunto de dados por meio de técnicas numéri-
cas e gráﬁcas permite que tenhamos uma boa idéia da distribuição desse conjunto. Em
particular, a distribuição de freqüências é um instrumento importante para avaliarmos
a variabilidade das observações de um fenômeno aleatório. A partir dessas frequências
observadas podemos calcular medidas de posição e variabilidade, como média, mediana,
desvio padrão, etc. Essas frequências e medidas calculadas a partir dos dados são estima-
tivas de quantidades desconhecidas, associadas em geral a populações das quais os dados
foram extraídos na forma de amostras. Em particular, as freqüências relativas são esti-
mativas de probabilidades de ocorrência de certos eventos de interesse. Com suposições
adequadas, e sem observarmos diretamente o fenômeno aleatório de interesse, podemos
criar um modelo teórico que reproduza de maneira razoável a distribuição das frequên-
cias, quando o fenômeno é observado diretamente. Tais modelos são chamados de modelos
probabilísticos e serão objeto de estudo daqui em diante.
A probabilidade é o campo da matemática que trata do estudo dos fenômenos aleató-
rios. Este estudo é de grande importância, pois a maioria dos fenômenos de que trata
a Estatística são de natureza aleatória ou probabilística. O conhecimento dos aspectos
fundamentais do cálculo da probabilidade é uma necessidade essencial para o estudo da
Estatística Indutiva ou Inferencial.
41
42 CAPÍTULO 5. INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE
5.2 Conceitos Inicias
5.2.1 Experimento Aleatório
São fenômenos que, mesmo repetido várias vezes sob condições idênticas, apresentam
resultados imprevisíveis. O resultado ﬁnal depende do acaso.
Exemplo: Considere o lançamento de uma moeda e observação da sua face superior.
Este experimento pode ser caracterizado por:
 Pode ser realizado inúmeras vezes sob condições essencialmente iguais.
 O resultado do experimento não é conhecido a priori, mas todos os resultados pos-
síveis podem ser conhecidos: cara ou coroa.
 Regularidade estatística: quando a quantidade de experimentos realizados for grande,
a freqüência de ocorrência de um resultado particular se aproxima de um valor cons-
tante. Assim, a regularidade estatística mostrará que a frequência de ocorrência do
resultado �cara� se aproxima de 0,5.
5.2.2 Espaço Amostral
É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. No experi-
mento aleatório �lançamento de um dado� existem seis resultados possíveis: S = {1, 2, 3,
4, 5, 6}.
5.2.3 Evento Aleatório
É qualquer subconjunto do espaço amostral de um experimento aleatório. Em geral
é indicado por uma letra (A, B, C,...). Diz-se que um evento A ocorreu se, realizado o
experimento, o resultado obtido pertence a A.
Exemplo. Lançamento de um dado. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Evento A1: ocorrência de n.º par: A1 = {2, 4, 6}.
Evento A2: ocorrência de n.º ímpar: A2 = {1, 3, 5}.
Evento A3: ocorrência de n.º menor que 4: A3 = {1, 2, 3}.
5.2. CONCEITOS INICIAS 43
5.2.4 Tipos de Eventos
Seja E um evento qualquer, tal que E ⊂ S (E está contido em S), então E é um evento
de S.
 Evento Certo: E = S, E é um evento certo.
 Evento Impossível: um evento impossível é designado por φ (é um conjunto vazio).
Por exemplo, no lançamento de um dado, ocorrer uma face maior que 6. E = φ.
 Evento Elementar: evento que só contém um elemento. Por exemplo, no lançamento
de um dado ocorrer a face 3: E = {3}.
 Evento União: A união de dois eventos A e B é o evento que corresponde à ocor-
rência de pelo menos um deles. Note que isso signiﬁca que pode ocorrer apenas A,
ou apenas B ou A e B simultaneamente. Esse evento será representado por A ∪ B
(Figura 5.1).
Figura 5.1: União de dois eventos.
 Evento Interseção: É o evento que equivale à ocorrência simultânea de A e B (Figura
5.2), ou A ∩B.
Figura 5.2: Interseção de dois eventos.
 Eventos Mutuamente Exclusivos: Dois eventos A e B são mutuamente exclusivos
quando eles não podem ocorrer simultaneamente, isto é, quando a ocorrência de um
impossibilita a ocorrência do outro. A ∩B = φ .
44 CAPÍTULO 5. INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE
Figura 5.3: Eventos mutuamente exclusivos.
 Evento Complementar: O complementar de um evento A, denotado por A ou Ac, é
um evento que ocorre se e somente se A não ocorrer (A = S − A).
Figura 5.4: Evento complementar
5.2.5 Propriedades das Operações
Sejam A, B, C eventos de um espaço amostral S. Então valem as seguintes proprieda-
des.
a) Identidade
A ∩ φ = φ
A ∪ φ = A
A ∩ S = A
A ∪ S = S
b) Complementar
S = φ
φ = S
A ∩ A = φ
A ∪ A = S
5.3. PROBABILIDADES 45
c) Cumutativa
A ∩B = B ∩ A
A ∪B = B ∪ A
d) Associativa
(A ∩B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
(A ∪B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
e) Distributiva
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C)
A ilustração da primeira propriedade distributiva está na Figura 5.5. Na linha superior,
ilustramos o lado esquerdo da igualdade A ∩ (B ∪ C): no diagrama à esquerda temos o
evento A e no diagrama do centro temos o evento (B ∪ C) . Para sombrear a interseção
desses dois eventos, basta sombrear as partes que estão sombreadas em ambos os dia-
gramas, o que resulta no diagrama à direita, na qual temos o evento A ∩ (B ∪ C). Na
linha inferior, ilustramos o lado direito da igualdade (A ∩B) ∪ (A ∩ C): no diagrama à
esquerda temos o evento (A ∩B) e no diagrama do centro, o evento (A ∩ C). Para som-
brear a união desses dois eventos, basta sombrear todas as partes que estão sombreadas
em algum dos diagramas, o que resulta no diagrama à direita, no qual temos o evento
(A ∩B) ∪ (A ∩ C). Analisando os diagramas à direita nas duas linhas da ﬁgura, vemos
que a primeira igualdade distributiva é válida.
Figura 5.5: Igualdade distributiva A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C)
5.3 Probabilidades
Considere um espaço amostral S ﬁnito, com todos seus elementos igualmente possíveis
de acontecer. Seja um evento A (A ⊂ S). A probabilidade do evento A ocorrer é dada
46 CAPÍTULO 5. INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE
por:
P (A) =
n (A)
n (S)
(5.1)
onde n (A) é o número de elementos de A e n (S) é o número de elementos de S.
5.3.1 Propriedades
0 ≤ P (A) ≤ 1
P (S) = 1
P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B)
P (φ) = 0
P
(
A
)
= 1− P (A)
P (A−B) = P (A)− P (A ∩B)
Se A e B são eventos mutuamente exclusivos (A ∩B) = φ, então:
P (A ∪B) = P (A) + P (B) . (5.2)
5.3.2 Eventos Independentes
Diz-se que dois eventos são independentes quando a realização ou não realização de um
dos eventos não afeta a probabilidade da realização do outro e vice-versa. Seja P (A) a
probabilidade de realização do primeiro evento e seja P (B) a probabilidade de realização
do segundo evento. A probabilidade de que eles se realizem simultaneamente é igual ao
produto das probabilidades de realização dos dois eventos.
P (A ∩B) = P (A) · P (B) . (5.3)
Exemplo: Seja o lançamento de dois dados:
 A probabilidade de �sair� a face 1 no primeiro dado é P (A) = 1/6.
 A probabilidade de �sair� a face 3 no segundo dado é P (B) = 1/6.
5.4. ANÁLISE COMBINATÓRIA 47
 A probabilidade de �sair� simultaneamente 1 no primeiro dado e 3 no segundo é:
P (A ∩B) = 1
6
× 1
6
=
1
36
. (5.4)
5.4 Análise Combinatória
Para se determinar o número de resultados possíveis de um experimento, utilizam-se
técnicas de contagem da Análise Combinatória. A Análise Combinatória visa desenvol-
ver métodos que permitam contar o número de elementos de um conjunto, sendo estes
elementos agrupamentos formados sob certas condições.
5.4.1 Princípio Fundamental da Contagem
Seja E um evento composto da ocorrência de um evento elementar A, seguido da
ocorrência de um evento elementar B. Considerando-se que A pode ocorrer de n (A)
formas e B de n (B) formas, o número n (E) em que E pode ocorrer é dado por:
n (E) = n (A) · n (B) . (5.5)
Exemplo: Existem 3 estradas ligando as cidades A e B e 4 estradas ligando as cidades
B e C. De quantas formas pode-se ir de A até C, passando por B? R: 12.
5.4.2 Permutações Simples
Dado um conjunto E de n elementos, chamam-se permutações dos n elementos de E as
seqüências formadas com todos os elementos de E, usando cada elemento uma só vez
em cada seqüência. Para distinguir dois agrupamentos consideram-se apenas
a ordem em que os elementos estão dispostos. O cálculo do número de permutações
é uma conseqüência direta do princípio fundamental da contagem. Consideremos então,
n objetos distintos a1, a2, . . . , an. Para a primeira posição, temos n possibilidades. Para a
segunda, escolhida a primeira, sobram n�1 objetos. Para a terceira, escolhidas a primeira
e a segunda posições, sobram n�2 objetos. Continuando, para a última posição, escolhidas
as n�1 anteriores, sobram apenas 1 objeto. Pelo princípio fundamental da contagem, o
número total de permutações, que denotaremos Pn, é n × (n− 1) × (n− 2) × . . . × 1, e
esse número, por deﬁnição, é o fatorial de n.
48 CAPÍTULO 5. INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE
Pn = n! (5.6)
Exemplo: Considere E = {a, b, c}, com a, b e c distintos. O número de permutações
destes três elementos são as seguintes seqüências:
Pn = n!→ P3 = 3! = 6 (a, b, c) ; (a, c, b) ; (b, a, c) ; (b, c, a) ; (c, a, b) ; (c, b, a) .
Observe que (a, b, c) 6= (a, c, b), ou seja, são agrupamentos distintos (a ordem dos
elementos importa).
5.4.3 Permutações com elementos repetidos
São permutações com n elementos, com n1 elementos iguais a a1, n2 elementos iguais a
a2, e nk elementos iguais a ak. São obtidos pela expressão:
P n1,n2,...,nkn =
n!
n1!n2! . . . n3!
. (5.7)
Exemplo: Quantas são as permutações distintas da palavra ARARA?
n= 5; n1= 3 (n. de repetições da letra A); n2 = 2 (n. de repetições da letra R).
P n1,n2,...,nkn =
n!
n1!n2! . . . n3!
= P 3,25 =
5!
3!2!
= 10. (5.8)
5.4.4 Arranjo Simples
Na deﬁnição de permutação, consideramos ordenações de todos os objetos. Mas é
possível que queiramos ordenar apenas k dos n objetos, onde k ≤ n. Nesse caso, te-
mos a deﬁnição de arranjo simples. Dado um conjunto E de n elementos a1, a2, . . . , an,
denominam-se arranjos simples dos n elementos de E, tomados k a k, as seqüências forma-
das de k elementos distintos escolhidos dentre os n elementos disponíveis. É importante
notar que, sendo a deﬁnição de arranjo uma generalização de permutação (note que uma
permutação é um arranjo em que k = n), a ordem dos elementos é relevante, ou seja,
a1a2a3 e a1a3a2 são arranjos diferentes.
5.4. ANÁLISE COMBINATÓRIA 49
Akn =
n!
(n− k)! . (5.9)
Exemplo: Em um campeonato de futebol, concorrem 20 times. Quantas possibilidades
existem para os três primeiros lugares?
Solução: A resposta é A320, pois a ordem faz a diferença nesse caso.
A320 =
20!
17!
=
20× 19× 18× 17!
17!
= 20× 19× 18 = 6.840. (5.10)
5.4.5 Arranjos com Repetição
São arranjos em que se admite a repetição de cada um dos n elementos até k vezes.
São calculados pela expressão:
ARkn = n
k. (5.11)
Exemplo: Deseja-se conhecer os números de 3 algarismos (distintos ou não) que podem
ser formados a partir dos algarismos 1, 5, 7, 9.
ARkn = AR
3
4 = 4
3 = 64. (5.12)
Esses arranjos poderiam ser: 115, 151, 111, 755, 577, 777 ... Como exercício, repita
esse mesmo exercício para o caso de arranjo simples!
5.4.6 Combinação Simples
Vamos considerar agora a situação análoga a um arranjo, mas onde a ordem não im-
porta, ou seja, a1a2a3 é igual a a1a3a2. Consideremos a situação na qual temos 5 objetos
dos quais vamos tomar 3. Como visto, o número de arranjos é
5!
2!
= 60. Vamos listá-los:
50 CAPÍTULO 5. INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE
Figura 5.6: Combinações Simples.
Essa listagem está organizada de modo que, em cada coluna, os objetos envolvidos são
os mesmos. Note o seguinte: como a ordem não importa, os elementos de cada coluna
são equivalentes, ou seja, só precisamos de um deles. Mas em cada coluna temos as
permutações dos três elementos envolvidos. Logo, o número de elementos em cada coluna
nesse exemplo é 3! = 6. Como só precisamos de um de cada 3!, o número total é
60
3!
= 5!
2!3!
.
Ilustramos com esse exemplo o conceito e o cálculo do número de combinações simples
de n elementos tomados k a k. Dado um conjunto de n elementos, a combinação dos n
elementos tomados k a k nos dá o número de subconjuntos com k elementos (note que,
em um conjunto, a ordem dos elementos não importa). O número de combinações simples
de n elementos tomados k a k é igual a:
Ckn =
Akn
k!
=
n!
(n− k)!k! =
(
n
k
)
. (5.13)
O número
(
n
k
)
é chamado de número ou coeﬁciente binomial, ou ainda, número
combinatório. Note a diferença: no conceito de arranjo, estamos lidando com seqüências
de k elementos, enquanto no conceito de combinação, estamos lidando com subconjuntos.
Nas seqüências, a ordem dos elementos é relevante, mas não nos subconjuntos.
Exemplo: De um grupo de 8 homens e 5 mulheres, devem ser escolhidos 3 homens e 3
mulheres para formar uma comissão. Quantas comissões podem ser formadas?
Solução: Os 3 homens podem ser escolhidos de
(
8
3
)
maneiras; as três mulheres podem
ser escolhidas de
(
5
3
)
maneiras. Pelo princípio fundamental da contagem, há
(
8
3
)
×(
5
3
)
maneiras de escolher a comissão. Note que
(
8
3
)
×
(
5
3
)
= 560.
5.5. PROBABILIDADE CONDICIONAL 51
5.4.7 Combinações com Repetição
Combinações com repetições de n elementos, tomados k a k, são todas as combinações
em que os elementos que dela participam surgem repetidos em cada agrupamento até k
vezes.
CRkn =
n · (n+ 1) · (n+ 2) · . . . · (n+ k − 1)
k!
. (5.14)
Exemplo: Determine as combinações com repetição das letras a, b, c, d, tomadas 2 a 2.
CRkn =
n · (n+ 1) · (n+ 2) · . . . · (n+ k − 1)
k!
= CR24 =
4 · (4 + 1)
2!
= 10. (5.15)
5.5 Probabilidade Condicional
A probabilidade de ocorrência de um evento A, dado que um evento B já ocorreu,
é denominada Probabilidade Condicional
de A dado B. Denota-se por: P (A/B). Ao
estabelecer P (A/B), desejamos relacionar A com B, ou seja, queremos saber a proporção
de A a respeito de B. Então o espaço amostral de A/B deverá ser B.
P (A/B) =
n (A ∩B) /n (S)
n (B) /n (S)
.
P (A/B) =
P (A ∩B)
P (B)
Observação: Se A e B são independentes, temos:
P (A/B) =
P (A ∩B)
P (B)
=
P (A) · P (B)
P (B)
= P (B) . (5.16)
Exemplo: Uma urna U1 contém duas bolas vermelhas e 3 bolas brancas; a urna U2 contém
4 bolas vermelhas e 5 brancas. Uma urna é escolhida ao acaso e dela é extraída uma bola.
Qual a probabilidade de termos uma urna U1 e bola vermelha?
Solução: P (V/U1) =
P (U1∩V )
P (U1)
∴ P (U1 ∩ V ) = P (U1) · P (V/U1) = 12 · 25 = 15 .
Vizualização pelo Diagrama de Árvore:
52 CAPÍTULO 5. INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE
Figura 5.7: Diagrama de Árvore
5.6 Partição de um Espaço Amostral
Seja um experimento aleatório E onde A1, A2, . . . , An são os n eventos do espaço amos-
tral S. Os eventos A1, A2, . . . , An constituem uma partição do espaço amostral S se
(Figura 5.8):
 P (A1) , P (A2) , . . . , P (An) > 0;
 A1∩A2, A1∩A3, . . . A1∩An, . . . Ai∩Aj = 0, ∀i 6= j (eventos mutuamente exclusivos
2 a 2);
 A1 ∪ A2 ∪ . . . An = S
Figura 5.8: Partição de um espaço amostral
Seja B um evento qualquer, sendo que B ⊂ S. Então é válida a relação:
5.7. TEOREMA DE BAYES 53
B = (A1 ∩B) ∪ (A2 ∩B) ∪ . . . ∪ (An ∩B) . (5.17)
Como os eventos (A1 ∩B) , (A2 ∩B) , . . . (An ∩B) também são mutuamente exclusivos
2 a 2:
P (B) = P (A1 ∩B) + P (A2 ∩B) + . . .+ P (An ∩B) . (5.18)
A expressão anterior é conhecida como Teorema da Probabilidade Total. Sua
visualização é mostrada na Figura 5.9
Figura 5.9: Partição do espaço amostral S com a ocorrência do evento B.
Exemplo: A urna U1 tem duas bolas vermelhas e três brancas. A urna U2 tem 3 bolas
vermelhas e uma branca. A urna U3 tem quatro bolas vermelhas e duas brancas. Uma
urna é escolhida ao acaso e dela é extraída uma bola. Qual a probabilidade da bola ser
vermelha?
P (V ) = P (U1 ∩ V ) + P (U2 ∩ V ) + P (U3 ∩ V ) = 109
180
.
5.7 Teorema de Bayes
É uma consequência do teorema da probabilidade total e do conceito da probabilidade
condicional. Se A1, A2, . . . , An constituem uma partição de um espaço amostral S e
sabendo-se da ocorrência de um evento B qualquer, a probabilidade de que um evento Ai
tenha sido a causa deste evento é dado por:
54 CAPÍTULO 5. INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE
P (Ai/B) =
P (Ai ∩B)
P (B)
, ondeP (B) = P (A1 ∩B) + P (A2 ∩B) + . . .+ P (An ∩B) .
(5.19)
Exemplo: Uma urna U1 tem 3 bolas vermelhas e 4 brancas. Uma urna U2 tem 6 bolas
vermelhas e 2 brancas. Uma urna é escolhida ao acaso e dela é extraída uma bola. Qual
a probabilidade de:
a) Urna U1 e bola vermelha;
b) Bola Vermelha;
c) Se a bola é vermelha, qual a probabilidade dela ter sido extraída da urna U2?
R: a) 3/14; b) 33/56; c) 7/11.
5.8 Problemas Propostos
Problema 5.1 - Quantos números naturais de três algarismos distintos existem? R: 648.
Problema 5.2 - Temos 5 livros distintos de Estatística, 3 livros distintos de Matemática
Financeira e 4 livros distintos de Contabilidade. De quantas maneiras podemos organizar
esses livros em uma prateleira? Qual seria a resposta se os livros do mesmo assunto
tivessem que ﬁcar juntos? R: a) 479.001.600; b) 103.680.
Problema 5.3 - O segredo de um cofre é formado por uma seqüência de 3 dígitos esco-
lhidos entre 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Suponha que uma pessoa saiba que o segredo é
formado por três algarismos distintos. Qual o número máximo de tentativas que ela terá
de fazer para abrir o cofre? R: 720.
Problema 5.4 - Problema dos Aniversários. Em um grupo de 10 pessoas, qual é a
probabilidade de que pelo menos 2 façam aniversário no mesmo dia? Para simpliﬁcar,
suponha que nenhuma dessas pessoas tenha nascido em ano bissexto. R: 0,11695.
Problema 5.5 - Se um avião está presente em determinada área, um radar detecta
sua presença com probabilidade 0,99. No entanto, se o avião não está presente, o radar
detecta erradamente a presença de um avião com probabilidade 0,02. A probabilidade de
um avião estar presente nesta área é de 0,05. Qual é a probabilidade de um falso alarme?
Qual é a probabilidade de o radar deixar de detectar um avião? (Note que esses são os
dois erros possíveis nesta situação). R: a) 0,019; b) 0,0005.
Problema 5.6 - Sabe-se que um �soro da verdade�, quando aplicado a um suspeito, é
90% eﬁcaz quando a pessoa é culpada e 99% eﬁcaz quando é inocente. Um suspeito é
retirado de um grupo de pessoas, onde 95% jamais cometeram qualquer crime. (i) Qual
é a probabilidade de o soro dar a resposta certa? (ii) Se o soro indica �culpado�, qual é a
probabilidade de o suspeito ser inocente? R: (i) 0,9855; (ii) 0,1743.
5.8. PROBLEMAS PROPOSTOS 55
Problema 5.7 - Mega Sena. No jogo da Mega-Sena da Caixa Econômica Federal, o
apostador deve escolher no mínimo seis e no máximo 15 números diferentes entre 1 e 60.
Um jogo simples consiste na escolha de 6 números, e os preços das apostas se baseiam no
número de jogos simples em cada cartão. (a) Qual é o número de jogos simples distintos?
(b) Num cartão com 15 números marcados, quantos são os jogos simples? (c)Se cada
jogo simples custa R$1,50, qual o preço de um cartão com 15 números marcados? R:
(a)50.063.860; (b) 5005; c) 7507,5.
56 CAPÍTULO 5. INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE
Capítulo 6
Modelos Probabilísticos para Variáveis
Aleatórias Discretas
6.1 Introdução
No capítulo anterior introduzimos alguns modelos probabilísticos por meio de espaços
amostrais bem simples. Isso facilitou bastante a compreensão do conceito de probabi-
lidade e a obtenção de algumas propriedades. Mas, para atender a situações práticas
mais gerais, necessitamos ampliar esses conceitos para que tenhamos modelos probabilís-
ticos que representem todos os tipos de variáveis deﬁnidas até agora. Para as variáveis
qualitativas, a descrição de probabilidades associadas a eventos construídos no capítulo 5
adapta-se muito bem. Dada a sua simplicidade, trataremos aqui de variáveis quantitativas
discretas. Já os modelos para variáveis contínuas necessitarão de um artifício matemático,
baseado em uma generalização do conceito de histograma e esse será o objetivo do pró-
ximo capítulo. O conhecimento de modelos probabilísticos para variáveis quantitativas
é muito importante, e grande parte do restante da disciplina será dedicada à construção
desses modelos e inferências sobre seus parâmetros. Essas variáveis, para as quais iremos
construir modelos probabilísticos, serão chamadas de variáveis aleatórias discreta.
6.2 O conceito de Variável Aleatória Discreta (v.a.d)
O conceito de v.a.d. será introduzido por meio de um exemplo.
Exemplo 6.1 � Um empresário pretende estabelecer uma ﬁrma para montagem de um
produto composto de uma esfera e um cilindro. As partes são adquiridas em fábricas
57
58CAPÍTULO 6. MODELOS PROBABILÍSTICOS PARAVARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
diferentes (A e B), e a montagem consistirá em juntar as duas partes e pintá-las. O produto
acabado deve ter o comprimento (deﬁnido pelo cilindro) e a espessura (deﬁnida pela esfera)
dentro de certos limites, e isso só poderá ser veriﬁcado após a montagem. Para estudar
a viabilidade de seu empreendimento, o empresário quer ter uma idéia da distribuição do
lucro por peça montada. Sabe-se que cada componente pode ser classiﬁcado como bom,
longo ou curto, conforme sua medida esteja dentro da especiﬁcação, maior ou menor que
a especiﬁcada, respectivamente. Além disso, foram obtidos dos fabricantes o preço de
cada componente (R$5,00) e as probabilidades de produção de cada componente com as
características bom, longo e curto. Esses valores estão na Tabela 6.1. Se o produto ﬁnal
apresentar algum componente com a característica C (curto), ele será irrecuperável, e o
conjunto será vendido como sucata ao preço de R$5,00. Cada componente longo poderá
ser recuperado a um custo adicional de R$5,00. Se o preço de venda de cada unidade for
de R$25,00,
como seria a distribuição de freqüências da variável X: lucro por conjunto
montado?
Tabela 6.1: Distribuição da produção das fábricas A e B.
Produto Fábrica A Cilindro 
Fábrica B 
Esfera 
Dentro das especificações ........ bom (B) 
Maior que as especificações ....longo (L) 
Menor que as especificações ...curto (C) 
0,80 
0,10 
0,10 
0,70 
0,20 
0,10 
 
A construção dessa distribuição de frequências vai depender de certas suposições que
faremos sobre o comportamento do sistema considerado. Com base nessas suposições,
estaremos trabalhando com um modelo de realidade, e a distribuição que obtivermos será
uma distribuição teórica, tanto mais próxima da distribuição de freqüências real quanto
mais ﬁéis à realidade forem as suposições.
Primeiramente, vejamos a construção do espaço amostral para a montagem dos con-
juntos segundo as características de cada componente e suas respectivas probabilidades.
Como os componentes vêm de fábricas diferentes, vamos supor que a classiﬁcação dos
cilindros e a da esfera, segundo suas características, sejam eventos independentes. Faça
o diagrama em árvore para o exemplo 6.1! Uma representação do espaço amostral
em questão está apresentada na Tabela 6.2.
6.2. O CONCEITO DE VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA (V.A.D) 59
Tabela 6.2: Distribuição de probabilidade das possíveis composições das montagens.
Produto Probabilidade Lucro por montagem (X) 
BB 
BL 
BC 
LB 
LL 
LC 
CB 
CL 
CC 
0,56 
0,16 
0,08 
0,07 
0,02 
0,01 
0,07 
0,02 
0,01 
15 
10 
-5 
10 
5 
-5 
-5 
-5 
-5 
 
A última coluna da Tabela 6.2 foi construída com base nas informações sobre preços.
Por exemplo, obtendo uma montagem LB (cilindro longo e esfera boa), do preço de venda
R$25,00 devemos descontar: R$10,00 dos custos dos componentes e R$5,00 para recuperar
o cilindro longo. Portanto, o lucro X desse conjunto será R$10,00. Veriﬁque o lucro das
demais montagens.
Com os dados da Tabela 6.2, vemos que X pode assumir um dos seguintes valores:
15, se ocorrer o evento A1 = {BB}
10, se ocorrer o evento A2 = {BL,LB}
5, se ocorrer o evento A3 = {LL}
−5, se ocorrer o evento A4 = {BC,LC,CB,CL,CC}
Cada um desses eventos tem uma probabilidade associada, ou seja:
P (A1) = 0, 56, P (A2) = 0, 23,
P (A3) = 0, 02, P (A4) = 0, 19.
o que nos permite escrever a função (x, p(x)) da Tabela 6.3, que é um modelo teórico
para a distribuição da variável X, que o empresário poderá usar para julgar a viabilidade
econômica do projeto que ele pretende realizar. Aqui, x é o valor da v.a.d. X e p(x) é a
probabilidade de X tomar o valor x.
60CAPÍTULO 6. MODELOS PROBABILÍSTICOS PARAVARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
Tabela 6.3: Distribuição da v.a.d. X
x p(x) 
15 
10 
5 
-5 
0,56 
0,23 
0,02 
0,19 
Total 1,00 
A função (x, p(x)) é chamada função de probabilidade da v.a. X.
Formalmente deﬁniremos a função de probabilidade da seguinte forma: Seja E um
experimento aleatório e S o espaço amostral associado a este evento. Seja X uma variável
aleatória discreta com contradomínio Rx = {x1, x2, . . . , xn}, isto é, X pode assumir os
valores x1, x2, . . . xn. A função que associa a cada elemento xi a probabilidade P (xi) =
P (X = xi) é denominada função de probabilidade da variável aleatória X, observando-se
que:
 P (xi) ≥ 0, ∀i;

∑n
i=1 P (xi) = 1.
6.3 Valor Médio de uma Variável Aleatória Discreta
Vamos introduzir o conceito de valor médio por meio do seguinte exemplo.
Exemplo 6.2 � Uma pergunta que logo ocorreria ao empresário do Exemplo 6.1 é qual o
lucro médio por conjunto montado que ele espera conseguir. Da Tabela 6.3, observamos
que 56% das montagens devem produzir um lucro de 15 reais, 23% um lucro de dez reais,
e assim por diante. Logo, o lucro esperado por montagem será dado por:
Lucro médio = (0,56)(15) + (0,23)(10) + (0,02)(5) +(0,19)(-5) = 9,85.
Isto é, caso sejam verdadeiras as suposições feitas para determinar a distribuição da
v.a.d., o empresário espera ter um lucro de 9,85 reais por conjunto montado.
Seja X uma variável aleatória discreta com valores possíveis x1, x2, . . . , x3. Seja a sua
função probabilidade P (xi) = P (X = xi); i = 1, 2, . . . , n. Então o valor esperado de X
6.4. PROPRIEDADES DO VALOR ESPERADO E DA VARIÂNCIA 61
(também denominado esperança matemática de X ou valor médio de X), denotado por
E(X), é deﬁnido como:
E(X) = µ(X) =
n∑
i=1
xiP (xi) . (6.1)
A expressão 6.1 é semelhante àquela utilizada para a média, introduzida anteriormente,
onde no lugar das probabilidades P (xi) tínhamos as freqüências f i. A distinção entre
essas duas quantidades é que a primeira corresponde a valores de um modelo teórico
pressuposto, e a segunda, a valores observados da variável. Como P (xi) e fri têm a
mesma interpretação, todas as medidas e gráﬁcos discutidos anteriormente, baseados na
distribuição das f i , possuem um correspondente na distribuição de uma v.a. Além do
valor médio, ou simplesmente média, deﬁnido acima, podemos considerar também outras
medidas de posição e variabilidade, como a mediana e o desvio padrão. Vamos considerar
agora a deﬁnição de variância.
Chamamos de variância da v.a. X o valor
V ar(X) =
n∑
i=1
[xi − E(X)]2 P (xi) . (6.2)
O desvio padrão de X, dp(X), é deﬁnido como a raiz quadrada positiva da variância.
6.4 Propriedades do Valor Esperado e da Variância
Sejam a e b duas constates e X e Y duas variáveis aleatórias. Valem as propriedades:
E(a) = a; E(a+ bX) = a+ bE(X)
E(aX) = aE(X); E(X ± Y ) = E(X)± E(Y )
E(X · Y ) = E(X) · E(Y ), X e Y são v.a. independentes.
(6.3)
V ar(a) = a;
V ar(a+X) = V ar(X);
V ar(aX) = a2V ar(X)
V ar(X ± Y ) = V ar(X)± V ar(Y ), X e Y são v.a. independentes.
(6.4)
62CAPÍTULO 6. MODELOS PROBABILÍSTICOS PARAVARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
Exercício 1: Considere um seguro para roubo de carro. O valor do carro é RS50.000. O
prêmio anual a ser pago para segurar o carro é de R$4.000. A probabilidade do carro ser
roubado é de 2%. O contrato é justo?
Exercício 2: Seja X a quantidade de um produto da marca A vendida em uma semana,
cuja distribuição de probabilidades está representada na tabela abaixo:
ix 0 1 2 3 4 5 
( )iP X x= 0,1 0,1 0,2 0,3 0,2 0,1 
a) Qual a esperança de venda semanal?
b) Se para cada produto vendido lucra-se R$50 e os custos semanais são de R$20, qual o
lucro líquido esperado?
6.5 Função de Distribuição Acumulada
Dada uma variável aleatória X, chamaremos de função de distribuição acumulada (f.d.a)
F (X) à função:
F (X) = P (X ≤ x) . (6.5)
Observe que o domínio de F é todo o conjunto dos números reais, ao passo que o
contradomínio é o intervalo [0,1]. Voltando ao problema do empresário e usando a f.d. de
X deﬁnida na Tabela 6.3, a f.d.a. de X será dada por
F (x) =

0, se x < −5
0, 19, se − 5 ≤ x < 5
0, 21, se 5 ≤ x < 10
0, 44, se 10 ≤ x < 15
1, se x ≥ 15
(6.6)
Observe que P (X = xi) é igual ao salto que a função F (x) dá no ponto xi; por exemplo,
P (X = 10) = 0, 23 = F (10)− F (10−). De modo geral, P (X = xi) = F (xi)− F (xi−),
onde lembramos que F (a−) = limx→a− F (x).
6.6. ALGUNSMODELOS PROBABILÍSTICOS PARAVARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS63
6.6 Alguns Modelos Probabilísticos para Variáveis Ale-
atórias Discretas
Algumas variáveis aleatórias adaptam-se muito bem a uma série de problemas práticos.
Portanto, um estudo pormenorizado dessas variáveis é de grande importância para a
construção de modelos probabilísticos para situações reais e a consequente estimação
de seus parâmetros. Para algumas dessas distribuições existem tabelas que facilitam o
cálculo das probabilidades, em função de seus parâmetros. Nesta seção iremos estudar
alguns desses modelos, procurando enfatizar as condições em que eles aparecem, suas
funções de probabilidade, parâmetros e como calcular probabilidades.
6.6.1 Distribuição Uniforme Discreta
Este é o caso mais simples de v.a. discreta, em que cada valor possível ocorre com a
mesma probabilidade. Dessa forma, a v.a. discreta X, assumindo os