Resumo de Cálculo 1 (Máximo e mínimo,TFC,Substituição,Integral...)

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Made by Luan Rosa. 
 
Guia prático – Cálculo 1 = Aplicação da derivada e integrais. 
 
 
Começando por ponto crítico, inflexão, concavidade, função crescente ou 
decrescente. Como encontrar, o que é, e onde aparece no gráfico. 
 
 
Ponto crítico : São as raízes de uma função, encontradas ao derivar uma vez 
a expressão que te foi dada. Esses pontos críticos é que vão te dizer onde a 
função inicial tem máximo ou mínimo. OBS : Nem todo ponto crítico é ponto 
de máximo ou mínimo. Para saber precisa testar. 
Exemplo de ponto critico em um gráfico: 
 
: 
Como é possível ver no exemplo, os pontos críticos se situam no eixo X do 
plano cartesiano. X1 e X2 São os pontos críticos da foto. OBS: Os pontos 
críticos são encontrados no eixo X, exatamente no meio da concavidade do 
gráfico. 
Já y1 e y2 São os VALORES do máximo ou mínimo, O que isso quer dizer? 
Quer dizer que é exatamente o maior ou menor valor que a curva alcança. 
Então pra resumir : X1 te dá o local onde está, e Y1 te diz qual é este valor. 
 
Ok,agora como encontramos? Vamos aos passos : 
 
1º passo: Pegar a função que foi lhe dada. Exemplo : f(x) = 𝑥 + 4𝑥 − 2 e 
derivar 1 vez. 
 
A derivada dela fica : f(x)’= 3𝑥 + 8𝑥. 
2º passo : pegar essa função encontrada e igualar a 0 para encontrar as raízes. 
 
: f(x)’= 3𝑥 + 8𝑥. =0 
 
resolvendo temos :
 
Então temos 2 candidatos a ponto crítico aqui. Sendo x = 0 e x = -8/3 
O próximo passo é usar estes 2 valores para sabermos qual deles é o de 
máximo ou mínimo. Como fazer? Este é o 3º passo : 
 
ATENÇÃO!!! Com estes 2 valores encontrados. você vai substitui-los no lugar 
do x na FUNÇÃO ORIGINAL , DADA NO ENUNCIADO DO EXERCÍCIO. 
Adendozinho: Se a função for dada em um intervalo fechado,tipo [-
1,2],estes valores também serão candidatos a ponto de máximo ou 
mínimo...nada muda no processo,exceto que você os usará também para 
substituir na função original e ver qual é o maior ou menor valor 
achado,podendo um deles ser o valor de máximo ou mínimo. 
 
f(x) = 𝑥 + 4𝑥 − 2 
 
F(0) = 0 + 4 ∗ 0 − 2 que é = -2 
F(-8/3)= − + 4 ∗ − − 2 que é = 202/27 ou aproximadamente 7,5 
 
Conclusão : substituindo o ponto crítico x = -8/3 na função original 
f(x),resultou em um valor POSITIVO, que quer dizer que este ponto é o de 
máximo 
Substituindo na mesma f(x) inicial o outro ponto de x=0, obtivemos de 
resultado um valor NEGATIVO, o que indica que ela é um ponto de MÍNIMO 
 
Resumindo : 
 
Para x = 0 obtivemos que Y = -2, Ou seja. Temos o ponto (x,y) de (0,-2). De 
minimo 
 
Para X= (-8/3) que é aproximadamente -2.5,Obtivemos que o Y = 202/27 (ou 
7,5),então o ponto (x,y) é (-2.5 , 7.5).de máximo. 
 
Parece meio abstrato, mas nessas horas esboçar o gráfico ajuda. Para 
enxergar o que a gente ta fazendo. Com esses pontos encontrados. 
Conseguimos montar um gráfico, mesmo que seja uma função descacetada, 
utilizando esses pontos conseguimos montar qualquer gráfico: 
 
Pouco importa neste caso quais são as raízes originais da função original. O 
que interessa é o que encontramos com sua derivada. Botando os pontos que 
encontramos de crítico (x) e seus valores de y, enxergamos onde está o 
máximo e mínimo. 
 
DICA : em qualquer polinômio,o valor constante ( O valor que não ta 
acompanhado de x) é o valor que a função cruza em Y) Neste caso,foi o valor 
-2 como mostra a foto. 
 
 
mas como saber que é curvado ? Ter esta noção seria bom e importante,mas 
nem precisa. Funciona mesmo na forma mais grosseira possível apenas 
ligando um ponto ao outro. 
LEMBRETE: O ponto crítico encontrado sempre fica exatamente no meio da 
concavidade 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Porque derivar funciona? Se unirmos a função ORIGINAL (𝑥 + 4𝑥 − 2 ) e a 
função derivada (3𝑥 + 8𝑥) , as raízes da derivada irão bater exatamente no 
meio das concavidades da função original, (onde ela atinge o máximo e 
mínimo) Como aparece aqui: 
 
 
 
Com toda essa noção e imagens, fica fácil dizer também onde a função é 
crescente ou decrescente. 
Usando todos os valores que encontramos até aqui,( Pontos críticos,máximo 
e mínimo). Percebemos que a função está vindo do menos infinito, crescendo 
até o ponto crítico onde atinge o seu valor máximo. : x = -8/3 (- 2.5). 
Exatamente deste ponto em diante,ela começa a decair e descer até o ponto 
de mínimo encontrado em x=0. Deste ponto em diante ela começa a subir 
novamente, e some ao mais infinito e aléeem. 
Então dizemos que : (-infinito,-8/3] -> De menos infinito até o ponto -8/3 ela é 
CRESCENTE. Aberto em -infinito, fechado em -8/3] 
De [-8/3,0] -> de -8/3 até 0, a função é decrescente. 
 
de [0,+infinito] volta a ser crescente. Então escrevemos assim :
 
 
OBS : Para escrever os intervalos de crescimento ou decrescimento, se basear 
nos valores de X. 
 
 Agora encontraremos os pontos de inflexão. O que é ? É exatamente o ponto 
onde a concavidade troca de posição. Se ela está para cima,é o ponto onde ela 
começa a mudar de posição e ficar para baixo. OBS: Não são todas as funções 
que possuem ponto de inflexão. 
Apenas observando o gráfico encontrado da Nossa função f(x) 𝑥 + 4𝑥 − 2 
,você diria que tem um ponto de inflexão? (um ponto onde a concavidade muda 
de direção) tem né? Pois é. 
 
Para encontrar este ponto de inflexão; nós iremos buscar a segunda derivada 
da nossa função iniciai. f(x) 𝑥 + 4𝑥 − 2 
 
Derivando uma vez: f(x)’= 3𝑥 + 8𝑥 
 
Derivando a segunda vez: f(x)’’= 6x+8. Agora que temos a segunda 
derivada. Basta igualarmos ela a zero e encontrar sua raíz. 
 
6x=-8 -> x=(− ) logo,a inflexão acontece neste exato ponto. Este ponto 
também nos vai dizer os pontos onde a concavidade é pra cima ou pra baixo. 
Pois se x>(− ) ,a concavidade será para cima. Logicamente se x<(− ) a 
concavidade será para baixo. 
 
Ilustrando graficamente o que acontece, e o porquê a segunda derivada nos dá 
o ponto de inflexão: 
 
 
Em vermelho o gráfico da f(x) original. Em verde a derivada segunda. E 
circulado, está exatamente o ponto de inflexão que encontramos com a 
segunda derivada. 
É exatamente o ponto onde a parábola começa a trocar sua concavidade. 
Experimente tapar a concavidade com sua mão, à esquerda ou à direita do 
exato ponto circulado. 
 
Então a resposta seria : 
 
para x>(− ) concavidade para cima, para x<(− ) concavidade para baixo, 
ponto de inflexão em x= (− ) 
 
Primeiro teorema fundamental do cálculo : 
Basicamente, ele diz que se uma função for contínua em um ponto x1,x2 e 
derivável nesse mesmo ponto, então a derivada já será a primitiva ou integral 
que se procura. Temos 3 casos para resolução e um método muito fácil de 
fazer. 
Vamos pro primeiro exemplo : 
 
 com a variável x na parte de cima da integral. Basta 
colocar o x no lugar do t e pronto, tá resolvido. A resposta : 
 
 
 
 
 
 
 
Segundo Exemplo : 
 com a variável x na parte de baixo da integral. 
 Usar a propriedade para inverter a posição do x e jogar ele pra cima. Basta 
colocar o sinal de negativo na frente da função. E após isso, seguir o mesmo 
processo de substituir o T pelo x. 
 
 
 
OBS : A variável x em ambos os casos estava sozinha, como tem que 
estar. Se o x vier acompanhado de algum valor, seguirá como o caso à 
seguir : 
 
Terceiro e último exemplo : Variável x em cima e embaixo e com valores em x. 
 
Neste caso, vamos agir como uma junção de 2 propriedades. 1 de derivada e 1 
de integral. Primeiramente você substitui o (2x) no lugar do T como de 
costume, mas além disso, você vai multiplicar o termo (𝑡 + 1) (que vai virar 
((𝟐𝒙)𝟐 + 𝟏)) pela derivada do termo (2x). 
 
depois vai repetir o mesmo processo com o termo (x) que está na parte de 
baixo da integral. Substituir no lugar de T em (𝑡 + 1),e multiplicar pela 
derivada de x, que é 1. Feito isso, você aplica a propriedade de integral, onde a 
parte de cima subtrai a parte de baixo. Como segue na foto abaixo. 
 
 
Em rosa, a derivada de 2x multiplicada pelo termo(𝑡 + 1),substituindo t por 
2x, subtraindo pela mesma parte com o processo aplicado em x. Só operar o 
que for preciso e chegar no resultado. O processo Sempre será assim 
quando houverem variáveis x em ambas as pontas da integral. 
Independente dos valores que acompanhem o x, o procedimento será assim. 
 
Regra da substituição 
Essa parte vai depender muito de atenção e prática. Geralmente utilizamos 
essa regra quando não conseguimos resolver uma integral de maneira imediata 
apenas aplicando as propriedades, então precisamos buscar este método para 
facilitar o cálculo. Também usaremos a derivada por aqui. Começando por um 
exemplo tranquilo: 
 
 CALMA. Primeiro passo : escolher qual termo será 
substituído por “u” ..aí vai a dica : Geralmente, escolhemos o que será o U, o 
termo que, se for derivado, resultará no que sobrou de fora(ou algo parecido). 
Por exemplo : trocaremos ( 𝑥 + 1) por u, observe que sua derivada resultará 
em 3𝑥 ,que é o que aparece sobrando fora da raíz quadrada.( 𝑥 ) Tá mas e o 
3 multiplicando? Não se preocupe, já iremos operar isso. 
 
 
Após encontrar o termo a ser substituído. Iremos derivar este u em relação a X. 
A nomenclatura que usamos é du/dx que significa a derivada de u em relação 
a X. ficará assim : 
 
 
 
Agora substituímos tudo o que encontramos na expressão original = 
 
√𝑢 ∗
𝑑𝑢
3
 
 
( ) é a mesma coisa que ( ∗ 𝑑𝑢) e é isso que escreveremos.mas como 1/3 é uma 
constante,a gente pode jogar ela pra fora da integral. 
 
 
 
 Ficando ∗ ∫ √𝑢 ∗ 𝑑𝑢 
 agora é só aplicar as propriedades da integral em u,transformando a raíz em potência,e 
aplicando a propriedade da integral com potência.