O Espaço Vetorial Rn Dependência e Independência Linear

Prévia do material em texto

O Espaço Vetorial Rn: Dependência e 
Independência Linear
Apresentação
A álgebra linear tem aplicações em variados campos do conhecimento, como economia, e áreas 
relacionadas à computação, por exemplo, a computação gráfica.
É justamente neste campo que conceitos como dependência e independência linear são utilizados 
na criação de sistemas de coloração, por exemplo. Tais definições se relacionam com subespaços e 
inversão de matrizes, entre outros conceitos.
Para que você possa acompanhar adequadamente esta Unidade, é necessário ter conhecimento em 
sistemas lineares, transformações matriciais e determinantes.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você verá os conceitos de dependência e independência linear, 
suas relações com os conceitos de gerador e matriz inversa e vai saber como é feita a interpretação 
geométrica de dois vetores linearmente dependentes.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Definir dependência e independência linear.•
Relacionar dependência e independência linear com os conceitos de gerador e matriz inversa.•
Reconhecer a interpretação geométrica de dois vetores linearmente dependentes.•
Infográfico
O assunto de dependência e independência linear tem papel central em álgebra linear, desde 
aplicações ao estudo de subespaços até o melhor entendimento geométrico de alguns objetos: 
paralelismo entre vetores e identificação de determinados subespaços, se são retas ou planos.
Neste Infográfico, veja uma das maneiras de relacionar esses conceitos com matrizes.
Conteúdo do livro
A dependência e a independência linear em espaço Rn consistem em extensão natural do conceito 
de combinação linear e apresentam diversas aplicações, desde o melhor entendimento sobre a 
geometria de alguns subespaços até o seu papel central em conceitos avançados de álgebra linear.
No capítulo O espaço vetorial Rn: dependência e independência linear, do livro Álgebra linear, 
você verá a dependência e a independência linear e sua relação com os conceitos de gerador e 
matriz inversa, além de saber como reconhecer a interpretação geométrica de dois 
vetores dependentes linearmente.
Boa leitura.
ÁLGEBRA LINEAR
Silvano Antonio Alves Pereira Junior
O espaço vetorial ℝn: 
dependência e 
independência linear 
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir dependência e independência linear.
 � Relacionar dependência e independência linear com os conceitos de 
gerador e matriz inversa.
 � Reconhecer a interpretação geométrica de dois vetores linearmente 
dependentes.
Introdução
Neste capítulo, exploraremos um pouco mais os conjuntos de vetores 
em ℝn. Você verá as definições de conjuntos linearmente independentes 
e dependentes, conforme Nicholson (2006). Seguiremos estabelecendo 
conexão entre a geometria e as combinações lineares, bem como re-
lacionando as ideias de dependência, independência linear e gerador 
com matrizes.
Dependência e independência linear
Começamos com o resgate do conceito de combinação linear. Dado um con-
junto de vetores em ℝn diremos que o vetor w→ é uma combinação 
linear desses, se existirem a1, a2, ..., ak em ℝ, tais que:
Veja, a seguir, um exemplo de combinação linear.
No plano euclidiano ℝ2 temos alguns exemplos interessantes. Os vetores 
e→1 = e e
→
2 =
1
0
0
1
, geram o espaço ℝ2. Em particular, dado um vetor v→ = ab , podemos 
escrevê-lo como uma combinação linear de e→1 e e
→
2. Com efeito, temos:
v→ = = + = a + b = ae1 + be2
a
b
0
b
1
0
0
1
a
0
Mais precisamente, qualquer vetor do plano pode ser escrito como uma combinação 
linear de e→1 e e
→
2.
Consideremos, agora, um conjunto de vetores { }em ℝn, que 
diremos que é linearmente independente, se os únicos valores de a1, a2, ..., 
ak em ℝ, que tornam a combinação verdadeira, são a1, a2, ..., ak = 0.
Em outras palavras, um conjunto de vetores é linearmente independente 
se, e somente se, a única combinação deles, que resulta no vetor nulo, for a 
que apresenta todos os coeficientes iguais a zero.
No exemplo anterior, os vetores e→1 = e e
→
2 =
1
0
0
1 , formavam um conjunto de vetores 
linearmente independentes. De fato, se ae1 + be2 = 0
→
, teríamos:
a + 0 = 0
0 + b = 0
Portanto, a única combinação desses vetores, que resulta no vetor nulo, é a que tem 
todos os coeficientes nulos.
O espaço vetorial ℝn: dependência e independência linear2
Como era de se esperar, nem todo conjunto de vetores é linearmente independente. 
Considere o conjunto {e1, e2, w} formado pelos vetores do exemplo anterior e w =
2
3 . 
Utilizando o resultado desse exemplo, podemos escrever:
w = 2e1 + 3e2
Segue daí, pelas propriedades algébricas dos vetores, que também podemos escrever:
w – 2e1 + 3e2 = 0
→
Ou seja, existem coeficientes, não todos nulos, que formam uma combinação do 
vetor igual ao nulo.
O conjunto apresentado na segunda parte do exemplo anterior nos fornece 
um primeiro exemplo de um conjunto linearmente dependente. Diremos 
que um conjunto { }em ℝ é linearmente dependente se existirem 
coeficientes a1, a2, ..., ak em ℝ, tais que:
Isto é, existe uma combinação não nula que resulta no vetor nulo.
Uma interpretação importante de um conjunto linearmente dependente é 
que qualquer um dos vetores desse conjunto pode ser escrito como combinação 
linear dos demais.
Veja o exemplo a seguir.
Ainda no espírito do exemplo anterior, vamos considerar o espaço ℝ3. De forma 
semelhante ao que ocorre com ℝ2, qualquer vetor v→ =
a
b
c
 em espaço ℝ3 pode ser escrito 
como uma combinação linear dos vetores e1 = , e2 = e e3 =
1
0
0
0
1
0
0
0
1
. Com efeito, temos:
3O espaço vetorial ℝn: dependência e independência linear
v→ = = a + b + c = ae1 + be2 + ce3
a
b
c
1
0
0
0
1
0
0
0
1
Ainda como em ℝ2, o conjunto {e1, e2, e3} é linearmente independente. 
Considere, agora, o conjunto formado por {e1, e2, e3, w}, onde w
→ =
5
3
15
. Tal conjunto é
linearmente dependente de vetores. Com efeito, temos do apresentado anteriormente 
que:
w→ = = 5e1 + 3e2 + 15e3
5
3
15
Segue que:
w – 5e1 + 3e2 + 15e3 = 0
Como dito, podemos escrever qualquer um dos vetores de um conjunto linearmente 
dependente como combinação dos demais, como:
e3 = w – e1 + e2
1
15
1
3
1
5
Um importante teorema sobre esse assunto é apresentado em Nicholson 
(2006). 
Teorema: se { }em ℝn é um conjunto linearmente independente, 
então, todo vetor em ger{ } tem uma escrita única como combinação 
linear dos vetores v→i.
Em palavras, se um conjunto de geradores é linearmente independente, 
cada vetor do espaço gerado é escrito de maneira única, a menos da ordenação, 
como combinação linear dos vetores geradores.
Veja o seguinte exemplo sobre conjuntos geradores linearmente 
independentes.
O espaço vetorial ℝn: dependência e independência linear4
Considere a matriz identidade In×n. Vamos mostrar que as colunas dessa matriz formam 
um conjunto gerador de ℝn linearmente independente. Temos:
In×n =
1 ⋯ 0
⋮ ⋱ ⋮
0 ⋯ 1
e os vetores:
e1 = , e2 = , ..., en =
1
0
⋮
0
0
1
⋮
0
0
0
⋮
1
Verificamos, primeiramente, que esse conjunto gera o espaço ℝn. Seguindo a mesma 
ideia apresentada nos exemplos anteriores, temos que, dado um vetor:
w = є Rn
w1
w2
⋮
wn
podemos escrever:
w = = w1 + w2 + ⋯ + wn = w1e1 + w2e1 + ⋯ + wnen
w1
w2
⋮
wn
1
0
⋮
0
0
1
⋮
0
0
0
⋮
1
concluindo que ger{e1, e2, ⋯, en} = ℝn. Agora, a parte sobre a independência linear: 
digamos que exista uma combinação linear dos vetores e1, e2, ⋯, en, tal que:
a1e1 + a2e2 + ⋯ + anen = 0
→
Teríamos, então:
a1 + 0 + ⋯ + 0 =0
0 + a2 + ⋯ + 0 = 0
⋮
0 + 0 + ⋯ + an =0
a1 = 0
a2 = 0
⋮
an = 0
Portanto, a única combinação desses vetores, que resulta no vetor nulo, é a com 
todos os coeficientes nulos. 
5O espaço vetorial ℝn: dependência e independência linear
Gerador e matriz inversaO último exemplo da seção anterior nos fornece uma bela ideia de como 
conjuntos geradores estão relacionados com conjuntos linearmente indepen-
dentes. Agora, você verá de perto essa relação e como matrizes inversas e 
determinantes podem ser utilizadas para auxiliar na identificação de conjuntos 
linearmente independentes de vetores.
O método do exemplo anterior pode ser sumarizado da seguinte maneira 
(NICHOLSON, 2006).
Teste para independência linear: para verificar que um conjunto de vetores 
{ }em ℝn é linearmente independente, proceda do seguinte modo.
1. Escreva uma combinação linear dos vetores e iguale ao vetor nulo: 
2. Mostre que a única maneira de isso ocorrer é trivialmente, ou seja, com 
todos os coeficientes iguais a zero.
É claro que, se existir alguma solução não trivial, o conjunto de vetores é 
linearmente dependente.
Veja mais um exemplo em que podemos utilizar essa ideia.
Considere a matriz:
A =
1 2 0 0
2 1 0 0
0 0 –1 2
0 0 3 6
Vamos verificar que as colunas dela não formam um conjunto linearmente inde-
pendente de vetores. Temos os seguintes vetores:
O espaço vetorial ℝn: dependência e independência linear6
v1 = + v2 = , v3 = , v4 =
1
2
0
0
2
1
0
0
0
0
2
6
0
0
–1
3
Escrevemos a combinação linear a1v1 + a2v2 + a3v3 + a4v4 = 0
→
, que dá origem ao 
seguinte sistema linear:
a1 + 2a2 = 0
2a1 + a2 = 0
–a3 + 2a4 = 0
3a3 + 6a4 = 0
Resolvendo esse sistema por substituição, por exemplo, obtemos a1 = a2 = a3 = a4 = 0. 
O conjunto dos vetores coluna da matriz, portanto, é um conjunto linearmente 
dependente.
Ainda sobre o exemplo anterior, é importante observar que o sistema linear 
associado ao problema poderia ser escrito em forma matricial, como:
Observe, primeiramente, que o sistema é homogêneo. Portanto, se a matriz 
principal for invertível, ele admite como solução apenas o vetor nulo. Com 
efeito, a matriz principal do sistema tem determinante igual 36 e, portanto, 
é invertível. Segue que a única solução possível para esse sistema é a trivial.
Resumindo o fato exposto, temos o seguinte teorema (NICHOLSON, 2015).
Seja A uma matriz n × n, então as seguintes afirmações são equivalentes.
1. A é invertível.
2. As colunas de A são linearmente independentes em ℝn.
3. As colunas de A geram o espaço ℝn.
4. As linhas de A são linearmente independentes em ℝn.
5. As linhas de A geram o espaço ℝn.
7O espaço vetorial ℝn: dependência e independência linear
Esse método de verificar se a matriz é invertível para concluir sobre a 
independência de um conjunto de vetores pode ser muito útil. Veja o exemplo 
a seguir.
Vamos utilizar o resultado anterior para verificar que os vetores a seguir formam um 
conjunto de vetores linearmente independentes e mais ger{v1 + v2 + v3 + v4 } = ℝ4.
v1 = + v2 = , v3 = , v4 =
1
0
0
0
2
1
0
0
0
3
4
5
3
2
3
0
Começamos montando uma matriz A, cujas colunas são esses vetores. Temos:
A =
1 2 3 0
0 1 2 3
0 0 3 4
0 0 0 5
Pelo teorema anterior, basta verificar se a matriz A é invertível ou não, para podermos 
obter as informações desejadas. Observe que a matriz A é diagonal superior, e seu 
determinante é igual ao produto dos elementos em sua diagonal. Segue que:
det(A) = 1 × 1 × 3 × 5 = 15 ≠ 0
Concluímos, portanto, que A é invertível. Segue do teorema que os vetores formam 
um conjunto linearmente independente de geradores do espaço ℝ4.
Consideremos os vetores v1 = , v2 =
cos(θ)
sen(θ)
–sen(θ)
cos(θ)
. Vamos verificar que, para qualquer 
valor de θ, esses vetores formam um conjunto de geradores linearmente independentes 
para o plano euclidiano. Com efeito, construímos a matriz:
A =
cos(θ) –sen(θ)
sen(θ) cos(θ)
O espaço vetorial ℝn: dependência e independência linear8
O determinante dela é dado por:
det(A) = cos(θ) cos(θ) – sen(θ)(–sen(θ))
det(A) = cos2(θ) + sen2(θ) = 1 
onde essa última igualdade é uma identidade trigonométrica fundamental. Veja, 
na Figura 1, alguns vetores dessa forma.
2.221.81.61.41.210.80.60.40.20–0.2–0.4–0.6–0.8–1–1.2–1.4–1.6–1.8–2
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
–0.2
–0.4
–0.6
–0.8
–1
90º
45º
Figura 1. Representação de vetores com coordenadas determinadas por valores de seno 
e cosseno.
A matriz do exemplo anterior é de rotação. Ainda é possível ver a relação 
entre dependência e independência linear e geometria.
Para encerrar este tópico, veja, ainda, um teorema apresentado em Ni-
cholson (2015).
Um conjunto de vetores { } em ℝn é linearmente dependente 
se, e somente se, pelo menos um dos vetores pode ser escrito como combinação 
linear dos demais.
9O espaço vetorial ℝn: dependência e independência linear
Combinações lineares e geometria
Na seção anterior, você estudou sobre a relação entre matrizes invertíveis, 
sistemas lineares e independência linear de conjuntos de vetores. Agora, você 
terá maior contato com a geometria dos espaços ℝn e algumas de suas relações 
com conjuntos geradores, dependência e independência linear.
Em continuação ao tópico anterior, um corolário imediato daquele teorema 
pode ser enunciado como em Nicholson (2015).
Corolário: sejam u→ e v→ vetores não nulos em ℝ3 ou ℝ2, então:
1. {u→, v→} é linearmente dependente se, e somente se, os vetores são 
paralelos;
2. {u→, v→} é linearmente independente se, e somente se, os vetores não 
são paralelos.
Esse simples resultado pode nos ajudar a estabelecer alguns testes muito 
úteis para a compreensão de algumas propriedades geométricas. No plano 
euclidiano, por exemplo, é muito importante conhecer quando dois vetores 
são paralelos. Veja o exemplo a seguir.
Considere os vetores v1 = , v2 =
–1
2
10
–20
 Eles são paralelos? Podemos verificar, por 
inspeção direta, se existe α ∈ ℝ, tal que v1 = αv2 . Por outro lado, pelos resultados 
estudados até este ponto, sabemos que tais vetores são paralelos se, e somente se, 
forem linearmente dependentes. E eles assim serão se o determinante da matriz a 
seguir for igual a zero:
A =
–1 10
 2 –20
Temos:
det(A) = –1 × (–20) – (2 × 10) = 20 – 20 = 0
Logo, os vetores são, de fato, paralelos. 
Observe que, em ℝ3 não podemos utilizar determinante para verificar a condição 
de paralelismo.
O espaço vetorial ℝn: dependência e independência linear10
Uma consequência importante desse corolário é a possibilidade de deter-
minar se duas retas em ℝ2 são paralelas ou não, com o simples cálculo de um 
determinante.
Em ℝ3, temos algumas possibilidades quanto à geometria de espaços 
gerados. Conjuntos com um único vetor não nulo dão origem a retas em 
ℝ3. Conjunto com dois vetores linearmente independentes geram, como su-
bespaços, planos em ℝ3. Por fim, conjuntos com três vetores linearmente 
independentes geram o próprio espaço ℝ3.
Unindo essa informação com a ideia de que, em transformações matriciais, 
as colunas geram o espaço imagem, podemos determinar a geometria do espaço 
imagem por meio da dependência ou independência linear dos vetores coluna 
da matriz da transformação. 
Veja o exemplo a seguir.
Considere a matriz:
A =
 4 1 5
–7 5 –2
 9 –3 6
Qual a geometria do espaço imagem dessa transformação: reta, plano ou todo o 
espaço? Um primeiro teste que podemos fazer é o cálculo do determinante da matriz. 
Se o determinante for diferente de zero, as colunas serão linearmente independentes 
e, portanto, gerariam o espaço.
Obtemos que o determinante da matriz é igual a zero. Logo, as colunas não são 
linearmente independentes, e existem números a, b, c ∈ ℝ, não todos nulos, que 
sejam solução do sistema:
4a + b + 5c =0
–7a + 5b – 2c = 0
9a – 3b + 6c =0
Resolvendo esse sistema linear, pelo método de eliminação gaussiana, por exemplo, 
obtemos a solução a = 1, b = 1, c = –1 Temos, portanto:
1 + 1 – 1 =
4
–7
9
1
5
–3
5
–2
6
0
0
0
11O espaço vetorial ℝn: dependência e independência linear
Segue dessa última igualdade que:
1 + 1 =
4
–7
9
1
5
–3
5
–2
6
A terceira coluna é a soma das duas primeiras que, por sua vez, não são paralelas.De fato, não existe λ ∈ ℝ, tal que:
4
–7
9
1
5
–3
= λ
Dessa maneira, o espaço imagem dessa transformação é um plano em ℝ3.
Observe, ainda, que o sistema poderia ter sido resolvido com a simples constatação de 
que a última coluna é a soma das duas primeiras, apenas seguindo o caminho contrário.
Veja outro exemplo sobre a geometria do espaço imagem de transformações 
matriciais. 
Considere a seguinte matriz:
H =
5 7 9
0 2 4
0 –6 –8
Vamos determinar a geometria do espaço imagem dessa transformação. Podemos 
procurar por alguma combinação linear mais evidente, como no exemplo anterior. 
Observe que a primeira coluna parece o resultado da diferença entre o dobro da 
segunda coluna e a terceira. De fato, a conta é válida para os dois primeiros elementos, 
mas falha no terceiro.
5 = 2 × 7 – 9
0 = 2 × 2 – 4
0 ≠ 2 × (–6) – (–8)
O espaço vetorial ℝn: dependência e independência linear12
Seguimos, então, calculando o determinante dessa matriz, obtendo:
det(H) = 40
Uma vez que o determinante é diferente de zero, sabemos que a matriz H é invertível, 
e suas colunas formam um conjunto linearmente independente. Assim, o espaço 
imagem da transformação matricial é o próprio ℝ3.
As relações de dependência e independência linear fornecem poderosas 
informações sobre conjuntos de vetores. Futuramente, você aprenderá sobre o 
importante papel que conjuntos geradores linearmente independentes exercem 
em álgebra linear.
É importante estar atento ao fato de que, em muitas das contas envolvendo trans-
formações matriciais, podemos utilizar os vetores linha ao invés dos vetores coluna.
NICHOLSON, W. K. Álgebra linear. 2. ed. São Paulo: McGraw-Hill, 2006.
Leitura recomendada
ANTON, H.; BUSBY, R. C. Álgebra linear contemporânea. Porto Alegre: Bookman, 2007.
LIPSCHUTZ, S.; LIPSON, M. Álgebra linear. 4. ed. Porto Alegre: Bookman, 2011. (Coleção 
Schaum).
Referência
13O espaço vetorial ℝn: dependência e independência linear
Dica do professor
A relação entre dependência e independência linear e a inversão de matrizes pode auxiliar em 
ambas as direções, isto é, podem ser obtidas informações sobre a invertibilidade de uma matriz por 
meio da relação de dependência ou independência de suas colunas. Além disso, é possível conhecer 
dados referentes à invertibilidade de uma matriz pela relação de independência.
Nesta Dica do Professor, observe como explorar essa relação corretamente. 
Aponte a câmera para o código e acesse o link do vídeo ou clique no código para acessar.
https://fast.player.liquidplatform.com/pApiv2/embed/cee29914fad5b594d8f5918df1e801fd/3aee3d91dd4bdbb6f9cf866fb7f6750c
Saiba +
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do professor:
Introdução à álgebra linear
Neste link, acesse um dos vídeos de uma série do curso de Introdução à Álgebra Linear do Instituto 
de Matemática Pura e Aplicada (IMPA).
Aponte a câmera para o código e acesse o link do vídeo ou clique no código para acessar.
Dependência e independência linear
Neste material preparado pela professora Marcia Ruggiero, da UNICAMP, saiba mais sobre 
combinações lineares, dependência e independência.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do vídeo ou clique no código para acessar.
Dependência linear
Neste material, observe exemplos interessantes sobre dependência linear.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do vídeo ou clique no código para acessar.
Lista de exercícios
https://www.youtube.com/embed/-SU5GH4kBtE?list=PLo4jXE-LdDTSE0DFoq4es_iMvjlCeG8pP
https://www.ime.unicamp.br/~marcia/AlgebraLinear/dependencia_linear.html
https://www.ime.unicamp.br/~marcia/AlgebraLinear/Arquivos%20PDF/exemplos_dependencia.pdf
Para aprender o espaço vetorial Rn - dependência e independência linear, é importante que você 
treine fazendo diversos exercícios. Para tanto, baixe a lista de exercícios a seguir e resolva as 
questões.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do vídeo ou clique no código para acessar.
http://publica.sagah.com.br/publicador/objects/attachment/1537084340/SaibaMaisIndependenciaDependencia.pdf?v=226706762