Espaços Vetoriais Dependência e Independência Linear

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Espaços Vetoriais: Dependência e 
Independência Linear
Apresentação
Ao se estudar Álgebra Linear, usa-se a intuição geométrica do Rn como guia para fornecer as 
noções que são naturalmente definidas nesse ambiente. Nesse sentido, generaliza-se a noção de 
dependência e independência linear para espaços vetoriais gerais, como o espaço vetorial das 
matrizes, das funções contínuas e outros, usando as noções e ferramentas definidas no Rn. 
Para que você possa acompanhar adequadamente esta unidade, é necessário que você se lembre 
dos conceitos de espaço vetorial, subespaço, independência linear de vetores no Rn, método de 
Gauss, pivoteamento de matrizes, assim como das noções de funções contínuas e suas derivadas 
no cálculo.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você vai generalizar o conceito de independência linear para 
conjuntos além do Rn, as propriedades que permitem demonstrar ou identificar se um conjunto é 
linearmente independente e como esse conceito pode ser verificado no espaço vetorial das 
funções contínuas.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Definir os conceitos de dependência e independência linear para espaços vetoriais gerais. •
Demonstrar a independência linear.•
Avaliar se um conjunto é independente a partir de propriedades.•
Infográfico
Quando você generaliza o conceito de espaço vetorial, pode aplicar os conceitos de base, 
ortogonalidade e decomposições a um infinito número de estruturas que não o espaço n-
dimensional Rn. As aplicações práticas e computacionais são diversas e infinitas, uma ferramenta 
indispensável para qualquer ciência aplicada.
Veja, no Infográfico a seguir, quais são os elementos necessários para identificar a independência 
linear de um conjunto de vetores num espaço vetorial que não necessariamente o Rn, assim como 
critérios para determinar se um conjunto de funções é linearmente independente no espaço 
vetorial das funções contínuas.
Conteúdo do livro
Na Matemática, os espaços vetoriais de funções modelam desde a decomposição de funções em 
bases polinomiais, trigonométricas e afins, até os espaços das soluções de equações diferenciais 
lineares. Nas ciências aplicadas, esses espaços modelam desde o problema do controle biológico da 
broca da cana-de-açúcar até o estudo de sinal e o processamento de imagens.
No capítulo Espaços vetoriais: dependência e independência linear, da obra Álgebra Linear, você vai 
ver como definir independência linear num espaço vetorial qualquer, como verificar pela definição 
se um conjunto é linearmente independente ou dependente, as propriedades que esse conceito 
possui em relação ao número de vetores no conjunto e como entender a independência linear em 
um conjunto de funções.
Boa leitura.
ÁLGEBRA LINEAR
Marcelo Maximiliano Danesi
Espaços vetoriais: 
dependência e 
independência linear
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir os conceitos de dependência e independência linear para 
espaços vetoriais gerais.
 � Demonstrar a independência linear.
 � Avaliar se um conjunto dado é independente a partir de suas 
propriedades.
Introdução
Neste capítulo, você vai definirá o conceito de independência linear entre 
vetores dentro da definição generalizada dos espaços vetoriais. Também, 
verá exemplos de independência e dependência linear no espaço vetorial 
das matrizes, dos polinômios e, principalmente, das funções.
A generalização de independência linear depende fortemente da 
definição estudada no ℝn. Você verá como esse conhecimento anterior 
está sendo usado como base e como adaptamos propriedades do ℝn 
para o espaço vetorial das matrizes, dos polinômios e das funções em ℝ. 
Dependência e independência linear
Dados E espaço vetorial e um conjunto não vazio de vetores B = {u1, u2, ..., un} ⊂ E, 
dizemos que B é um conjunto linearmente independente se:
α1u1 + α2u2 + ... + αnun = 0
admite apenas a solução trivial α1 = α2 = ... = αn = 0. Caso contrário, se houver 
solução além dessa, dizemos que B é um conjunto linearmente dependente.
No espaço vetorial P2 dos polinômios de grau menor ou igual a 2 de coeficientes reais, 
considere o conjunto B = {u1, u2, u3}, tal que:
u1 = x
2 + 2x – 1
u2 = 3x
2 + x
u3 = –5x + 3
Esse conjunto é linearmente dependente, pois:
α1u1 + α2u2 + α3u3 = 0
admite a solução não trivial α1 = 3, α2 = –1, α3 = 1, de modo que:
3u1 – 1u2 + 1u3 = 0
Um caso particular da definição é o caso onde B contém dois vetores. Nesse 
caso, B = {u1, u2} é linearmente dependente se, e somente se:
α1u1 + α2u2 = 0
admite solução não trivial, tal que α1, α2 ≠ 0. Assim, a igualdade é equi-
valente a:
E podemos concluir que um conjunto de dois vetores é linearmente depen-
dente se, e somente se, u1 e u2 são vetores múltiplos.
Espaços vetoriais: dependência e independência linear2
No espaço vetorial M3×2(ℝ) das matrizes 3 × 2 de coeficientes reais, considere os 
conjuntos:
1. B1 = u1 = , u2 =
 2 1
–3 2
–1 0
 1 2
–1 1
 3 2
2. B2 = v1 = , v2 =
–2 –4
 2 –2
–6 –4
 3 6
–3 3
 9 6
Observe o seguinte:
 � B1 é linearmente independente, pois não existe λ ∈ ℝ, tal que u1 = λu2. Para isso, 
basta verificar que a igualdade u1 = λu2 é equivalente ao sistema a seguir, o qual 
não tem solução:
2 = 1λ
1 = 2λ
–3 = –1λ
2 = 1λ
–1 = 3λ
0 = 2λ
 � B2 é linearmente dependente, pois existe λ ∈ ℝ, tal que v1 = λv2. Para isso, verificamos 
que a igualdade v1 = λv2 é equivalente ao sistema:
–2 = 3λ
–4 = 6λ
2 = –3λ
–2 = 3λ
–6 = 9λ
–4 = 6λ
que tem solução λ = –2/3. Isto é:
1 ∙ + (–2/3) ∙ = 
 3 6
–3 3
 9 6
–2 –4
 2 –2
–6 –4
0 0
0 0
0 0
3Espaços vetoriais: dependência e independência linear
A última igualdade do exemplo anterior sinaliza um detalhe muito sutil da 
definição de conjuntos linearmente independentes. Nas condições da definição, 
dizer que B é linearmente independente significa que a única combinação 
linear que resulta no vetor nulo é a combinação:
α1u1 + α2u2 + ... + αnun = 0
onde α1 = α2 = ... = αn = 0. Estamos destacando essa sutiliza pelo exemplo 
a seguir.
No espaço vetorial C 0 (ℝ) das funções reais contínuas em ℝ, considere os conjuntos:
1. B1 = {u1 = cos
2(x), u2 = 1 – sen
2(x)}
2. B2 = {v1 – sen(x), v2 = cos(x)}
E observe o seguinte:
 � B1 é linearmente dependente, pois existe λ ∈ ℝ, tal que u1 = λu2. Para isso, temos que 
nos lembrar da relação fundamental trigonométrica que afirma, para todo x ∈ ℝ:
cos2(x) + sen2(x) = 1
Portanto:
cos2(x) = 1 · (1 – sen2 (x))
Essa igualdade vale para todo x ∈ ℝ.
 � B2 é linearmente independente, pois não existe λ ∈ ℝ, tal que v1 = λv2; essa última 
igualdade ocorre porque v1 = λv2 significa que:
sen(x) = λcos(x)
Ou, de forma equivalente:
sen(x)
cos(x) = tg(x) = λ
onde a função tg(x) não é constante. Isto é, não existe λ, tal que v1(x) = λv2(x) para 
todo x ∈ ℝ.
Espaços vetoriais: dependência e independência linear4
Esse último exemplo saiu um pouco da nossa zona de conforto porque nem 
sempre conseguimos identificar de imediato as várias formas que uma função 
assume. O critério a seguir ajuda imensamente nesse sentido.
Dados I ⊂ ℝ intervalo aberto e o espaço vetorial C0(I) das funções reais 
contínuas em I, se as funções u1, u2, ..., un são diferenciáveis, pelo menos (n – 1) 
vezes em I (ANTON; RORRES, 2012), e a função:
for diferente de zero em, pelo menos, um ponto do intervalo I, então as 
funções u1, u2, ..., un são linearmente independentes em C
0(I). Também podemos 
referir à função anterior como wronskiano de u1, u2, ..., un ou W(u1, u2, ..., un). 
Essa definição será bastante utilizada na resolução de equações diferenciais.
A função u’ representa a derivada de primeira ordem da função u = u(x), e a função u(n) 
representa a derivada de n-ésima ordem da função u = u(x), de forma que:
u’ = e u(n) =
du
dx
dnu
dxn
Veremos um exemplo sobre esse critério.
Em C0(ℝ), considere {v1 = sen(x), v2 = cos(x)}. Para esseconjunto, o wronskiano calcula:
W(x) = det = det = –sen(x) sen(x) – cos(x) cos(x) 
 = –(sen2(x) + cos2(x)) = –1
v1 v2
v’1 v’2
sen(x) cos(x)
cos(x) –sen(x)
Assim, W(x) = –1 para todo x ∈ ℝ, e esse conjunto é linearmente independente.
5Espaços vetoriais: dependência e independência linear
Cuidado: o critério fornecido pelo wronskiano é bastante poderoso, mas 
nada garante a sua recíproca. Isto é, nas hipóteses da condição, se W(u1, u2, 
..., un) = 0 para todo x ∈ I, não necessariamente, {u1, u2, ..., un} é linearmente 
dependente ou independente.
Em C 0(ℝ), considere {u1, u2, u3}, tal que:
u1 = x2 + 2x – 1
u2 = 3x2 + x
u3 = –5x + 3
Para esse conjunto, o wronskiano calcula:
W(x) = det = det
 u1 u2 u3
 u’1 u’2 u’3
u’1’ u’2’ u’3’
x2 + 2x –1 3x2 + x –5x + 3
 2x + 2 6x + 1 –5
 2 6 0
= +(0 + (3x2 + x)(–5)(2) + (–5x + 3)(2x + 2)6) 
– (0 + 2(6x + 1)(–5x + 3) + 6(–5)(x2 + 2x –1))
= +(–90x2 – 34x + 36) – (–90x2 –34x + 36) = 0
Assim, W(x) = 0 para todo x ∈ ℝ. Não podemos garantir que esse conjunto seja 
linearmente independente.
Outras propriedades
Antes de prosseguirmos, é importante citarmos outras propriedades já co-
nhecidas e generalizar mais algumas. Dados E espaço vetorial B ⊂ E um 
conjunto de vetores, se:
I. 0 ∈ B, então B é linearmente dependente;
II. B = {u1} e u1 ≠ 0, então B é linearmente independente;
III. B = {u1, u2}, então B é linearmente independente se, e somente se, u1 
≠ λu2 para todo λ ∈ ℝ;
IV. E = ℝn e B = {u1, u2, ..., um}, onde m > n, então B é linearmente dependente;
Espaços vetoriais: dependência e independência linear6
V. B é linearmente dependente, então existe u ∈ B , tal que u é combinação 
linear dos demais vetores em B;
VI. B = {u1, u2, …, um} é linearmente independente, v ∈ E e v ∉ ger(B), então 
B ∪{v} = {u1, u2, ..., um, v} é linearmente independente.
Demonstração da independência linear
A ideia agora é mostrarmos, por meio de uma série de exemplos, como veri-
ficamos a definição de independência linear nos diferentes espaços vetoriais.
Começando com um exemplo no espaço vetorial Pn (n ∈ ℕ fixado) dos 
polinômios de grau menor ou igual a n e de coeficientes reais. 
Sejam n = 3 e {u1, u2, u3} ⊂ P3, tal que:
u1 = x
3 – 2x + 4
u2 = x
2 + 1
u3 = 2x
3 – x2 + x + 1
Pela definição, {u1, u2, u3} é linearmente independente se:
α1u1 + α2u2 + α3u3 = 0
admite apenas a solução trivial α1 = α2 = α3 = 0. 
Substituindo u1, u2, u3 na condição anterior, podemos reescrevê-la como:
α1(x
3 – 2x + 4) + α2(x
2 + 1) + α3(2x
3 – x2 + x + 1) = 0.
Reorganizando os termos de acordo com as potências de x, a igualdade fica:
(α1 + 2α3)x
3 + (α2 – α3)x
2 + (–2α1 + α3)x + (4α1 + α2 + α3) = 0
Essa igualdade afirma, então, que cada coeficiente à esquerda é igual ao respectivo 
coeficiente do vetor nulo à direita. Ou seja:
α1 + 2α3 = 0
α2 – α3 = 0
–2α1 + α3 = 0
4α1 + α2 + α3 = 0
7Espaços vetoriais: dependência e independência linear
é equivalente à equação matricial:
 1 0 2
 0 1 –1
–2 0 1
 4 1 1
. =
α1
α2
α3
0
0
0
0
Aplicando o método de Gauss, podemos escalonar essa matriz de forma que:
 1 0 2
 0 1 –1
–2 0 1
 4 1 1
~ ~ ~
1 0 2
0 1 –1
0 0 5
0 1 –7
1 0 2
0 1 –1
0 0 5
0 0 –6
1 0 2
0 1 –1
0 0 1
0 0 0
é uma matriz triangular superior com 3 pivôs, o que significa que a única solução dessa 
equação é a solução trivial α1 = α2 = α3 = 0, e {u1, u2, u3} é linearmente independente.
É interessante observar que, no exemplo anterior, existe uma relação di-
reta entre a independência linear dos vetores u1, u2, u3 em P3 e a dos vetores 
v→1 = (1,0,–2,4), v
→
2 = (0,1,0,1), v
→
3 = (2,–1,1,1) em ℝ4 (os vetores coluna da matriz). 
Essa relação serve para mostrar que o espaço Pn não é tão diferente do ℝn+1, 
uma vez que identificamos o polinômio u = anx
n + ... + a1x + a0∈Pn como o 
vetor v→ = (an, ..., a1, a0) ∈ ℝn+1.
Para todo n ∈ ℕ, Pn é um subespaço vetorial de C 0(ℝ). Logo, podemos usar o wronskiano 
para determinar a independência de polinômios.
O próximo exemplo explora uma relação similar no espaço vetorial Mm×n (ℝ) 
(n, m ∈ ℕ fixados) das matrizes m × n de coeficientes reais.
Espaços vetoriais: dependência e independência linear8
Sejam m = 3, n = 2 e {u1, u2, u3, u4} ⊂ M3×2(ℝ), tal que:
u1 =
–3 12
–2 6
–4 –11
u2 =
 0 3
–4 0
–2 –4
u3 =
–1 2
 2 2
 0 –1
u4 =
 3 –2
 0 –1
–3 2
Pela definição, {u1, u2, u3, u4} é linearmente independente se:
α1u1 + α2u2 + α3u3 + α4u4 = 0
admite apenas a solução trivial α1 = α2 = α3 = α4 = 0. 
Substituindo u1, u2, u3, u4 na condição anterior, podemos reescrevê-la como:
α1 + α2 + α3 + α4
–3 12
–2 6
–4 –11
 0 3
–4 0
–2 –4
–1 2
 2 2
 0 –1
 3 –2
 0 –1
–3 2
=
0 0
0 0
0 0
Somando as matrizes, temos:
–3α1 – 1α3 + 3α4
–2α1 – 4α2 + 2α3
–4α1 – 2α2 – 3α4
12α1 + 3α2 + 2α3 – 2α4
6α1 + 2α3 –1α4
–11α1 – 4α2 – 1α3 + 2α4
=
0 0
0 0
0 0
Essa igualdade afirma, então, que cada entrada à esquerda seja igual à respectiva 
entrada do vetor nulo à direita. Ou seja:
–3α1 – 1α3 + 3α4 = 0
12α1 + 3α2 + 2α3 – 2α4 = 0
–2α1 – 4α2 + 2α3 = 0
6α1 + 2α3 – 1α4 = 0
–4α1 – 2α2 – 3α4 = 0
–11α1 – 4α2 – 1α3 + 2α4 =0
9Espaços vetoriais: dependência e independência linear
é equivalente à equação matricial:
 –3 0 –1 3
 12 3 2 –2
 –2 –4 2 0
 6 0 2 –1
–4 –2 0 –3
–11 –4 –1 2
.
α1
α2
α3
α4
=
0
0
0
0
0
0
Aplicando o método de Gauss, podemos escalonar essa matriz de forma que:
 –3 0 –1 3
 12 3 2 –2
 –2 –4 2 0
 6 0 2 –1
 –4 –2 0 –3
–11 –4 –1 2
~ ~
 1 2 –1 0
 12 3 2 –2
 –3 0 –1 3
 6 0 2 –1
 –4 –2 0 –3
–11 –4 –1 2
1 2 –1 0
0 –21 14 –2
0 6 –4 3
0 –12 8 –1
0 6 –4 –3
0 18 –12 2
~ ~ ~ ~
1 2 –1 0
0 –21 14 –2
0 6 –4 3
0 0 0 5
0 0 0 –6
0 0 0 –7
1 2 –1 0
0 –21 14 0
0 6 –4 0
0 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0
1 2 –1 0
0 3 –2 0
0 3 –2 0
0 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0
3 0 1 0
0 3 –2 0
0 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
é uma matriz com 3 pivôs, uma variável livre, o que significa que existe solução não 
nula, e {u1, u2, u3, u4} é linearmente dependente. Em particular, as soluções da equação 
matricial são da forma:
(α1, α2, α3, α4) = α3
–1
3
, , 1, 02
3
com α3 ∈ ℝ, o que significa que:
–1/3 + 2/3 + 1 + 0 = 0
–3 12
–2 6
–4 –11
 0 3
–4 0
–2 –4
–1 2
 2 2
 0 –1
 3 –2
 0 –1
–3 2
ou
1 = +1/3 – 2/3
–1 2
 2 2
 0 –1
–3 12
–2 6
–4 –11
 0 3
–4 0
–2 –4
u3 = + u1 – u2
1
3
2
3
Isso confere com a propriedade que diz que, se o conjunto é linearmente dependente, 
então, algum vetor é combinação dos demais.
Espaços vetoriais: dependência e independência linear10
Como no exemplo anterior, temos uma relação direta entre a independência 
linear dos vetores u1, u2, u3, u4 em M3×2(ℝ) e a dos vetores coluna da matriz 
da equação. Essa relação alerta como podemos entender a independência 
linear das matrizes em Mm×n (ℝ) a partir de vetores no ℝmn. Inclusive podemos 
enunciar o seguinte.
Dado B = {u1, u2, …, uk} conjunto contido em E espaço vetorial, então B 
é linearmente dependente se:
I. E = ℝn e k > n;
II. E = Pn e k > n + 1;
III. E = Mm×n (ℝ) e k > m ∙ n.
Em C0(ℝ), não existe essa estimativa. Inclusive, podemos usar o wronskiano 
para mostrar que, para todo k ∈ ℕ, é possível construir um conjunto de k vetores 
linearmente independentes em C0(ℝ). A saber, fixado k ∈ ℕ, para o conjunto 
{u1 = 1, u2 = x, u3 = x
2, ..., uk = x
k–1}, calculamos:
Essa última matriz é uma diagonal superior, e o seu determinante é o 
produto das constantes positivas ao longo da sua diagonal principal. Logo, 
W(x) ≠ 0 para todo x ∈ ℝ, e esse conjunto é linearmente independente em C 0(ℝ).
Avaliação da independência linear a partir 
das propriedades do conjunto
A ideia, agora, é mostrarmos, por meio de uma série de exemplos, como 
identificamos se um conjunto é linearmente independente ou dependente de 
acordo com as propriedades que listamos.
No exemploa seguir, exploramos a propriedade que fala sobre a independên-
cia de um conjunto formado por dois vetores. Isto é, que {u1, u2} é linearmente 
independente se, e somente se, u1 ≠ λu2 para todo λ ∈ ℝ.
11Espaços vetoriais: dependência e independência linear
No espaço vetorial C 0(ℝ) das funções reais contínuas em ℝ, considere os conjuntos:
1. B1 = {u1 = e
x, u2 = 2e
x}
2. B2 = {v1 = e
x, v2 = xe
x}
e observe o seguinte:
1. B1 é linearmente dependente, pois existe λ ∈ ℝ, tal que u1 = λu2. Para isso, basta 
tomar λ = 1/2 e observar que, para todo x ∈ ℝ, ex = (2ex)1
2
.
2. B2 é linearmente independente, pois não existe λ ∈ ℝ, tal que v1 = λv2. Essa última 
igualdade ocorre porque v1 = λv2 significa que e
x = λxex. Ou, de forma equivalente, 
que e
x
xex = = λ 
1
x
, onde a função 1/x não é uma constante. Aliás, também podemos 
justificar que esse conjunto é linearmente independente, tomando o wronskiano:
W(x) = det = det = (x + 1)e2x – xe2x = e2x
v1 v2
v’1 v’2
ex xex
ex (x + 1)ex
Assim, W(x) = e2x ≠ 0 para todo x ∈ ℝ. E podemos afirmar que esse conjunto é, de 
fato, linearmente independente.
A maior observação que temos de fazer em relação ao exemplo anterior é 
em relação ao uso do termo “vetores múltiplos” quando estamos no espaço 
das funções. O conjunto {ex, 2ex} é linearmente dependente porque essas 
funções são múltiplas por um número real, enquanto que o conjunto {ex, xex} 
é linearmente independente porque essas funções não são múltiplas por um 
número real.
No exemplo a seguir, examinaremos que, em Pn, qualquer conjunto de (n + 2) 
vetores ou mais é, obrigatoriamente, linearmente dependente, mas sempre é 
possível determinar um conjunto de (n + 1) vetores linearmente independente.
Em P2 , o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a 2 de coeficientes reais, 
considere os conjuntos:
Espaços vetoriais: dependência e independência linear12
1. B1 = {u1, u2, u3, u4}, tal que:
u1 = 3x
2 – 2x + 1
u2 = –x
2 – x + 1
u3 = x
2 + x
u4 = 3x + 5 
2. B2 = {v1 = 1, v2 = x, v3 = x
2}
Observe o seguinte:
1. Pela definição, {u1, u2, u3, u4} é linearmente independente se α1u1 + α2u2 + α3u3 + 
α4u4 = 0 admite apenas a solução trivial α1 = α2 = α3 = α4 = 0. Substituindo u1, u2, u3, 
u4 na condição anterior, podemos reescrevê-la como:
α1(3x
2 – 2x + 1) + α2(–x
2 – x + 1) + α3(x
2 + x) + α4(3x + 5) = 0 
Somando e reorganizando os termos de acordo com as potências de x, a igualdade 
fica:
(3α1 – α2 + α3)x
2 + (–2α1 – α2 + α3 + 3α4)x + (α1 + α2 + 5α4) = 0
Logo, para cada coeficiente, temos:
3α1 – α2 + α3 = 0
–2α1 – α2 + α3 + 3α4 = 0
α1 + α2 + 5α4 = 0
que é equivalente à equação matricial:
. =
α1
α2
α3
α4
0
0
0
 3 –1 1 0
–2 –2 1 3
 1 1 0 5
Observe que, para essa quantidade de vetores, o método de Gauss nos indicará ao 
menos uma variável livre, e, por esse motivo, {u1, u2, u3, u4} é linearmente dependente.
Em particular:
 3 –1 1 0
–2 –2 1 3
 1 1 0 5
~ ~ ~
 1 1 0 5
 3 –1 1 0
–2 –2 1 3
1 1 0 5
0 –4 1 –15
0 0 1 13
1 1 0 5
0 –4 0 –28
0 0 1 13
~ ~
1 1 0 5
0 1 0 7
0 0 1 13
1 0 0 –2
0 1 0 7
0 0 1 13
13Espaços vetoriais: dependência e independência linear
e as soluções da equação matricial são da forma:
(α1, α2, α3, α4) = α4(2, –7, –13, 1)
com α4 ∈ ℝ, o que significa que:
2(3x2 – 2x + 1) – 7(–x2 – x + 1) – 13(x2 + x) + 1(3x + 5) = 0
ou
1(3x + 5) = –2(3x2 – 2x + 1) + 7(–x2 – x + 1) + 13(x2 + x)
u4 = –2u1 + 7u2 + 13u3 
2. B2 é linearmente independente, pois calculando o wronskiano:
W(x) = det = det = 2
v1 v2 v3
v’1 v’2 v’3
v’1’ v’2’ v’3’
1 x x2
0 1 2x
0 0 2
Assim, W(x) = 2 ≠ 0 para todo x ∈ ℝ. E podemos afirmar que esse conjunto é, de 
fato, linearmente independente.
Analogamente, em Mm×n (ℝ), qualquer conjunto de (m ∙ n + 1) vetores ou mais 
é, obrigatoriamente, linearmente dependente, e sempre é possível determinar 
um conjunto de (m ∙ n) vetores linearmente independente. 
Em M2×3(ℝ), qualquer conjunto com 7 ou mais matrizes é linearmente dependente, 
enquanto que a seguinte matriz é um conjunto linearmente independente.
A11 = , A12 = , A13 = ,
A21 = , A22 = , A23 =
1 0 0
0 0 0
0 0 0
1 0 0
0 0 0
0 1 0
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 0 0
0 0 1
0 0 0
Espaços vetoriais: dependência e independência linear14
No exemplo a seguir, coloque em prática a propriedade que: dados B = {u1, 
u2, ..., um} e v ∈ E tal que B é linearmente independente e v ∉ ger(B), então 
B ∪ {v} = {u1, u2, ..., um, v} é linearmente independente.
Em P3, o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a 3 de coeficientes reais, 
considere o conjunto B1 = {u1 = –3x
2 + 4, u2 = 2x
2 – 1} e repare que esse é linearmente 
independente, pois u1 não é múltiplo de u2.
Se tomarmos v ∈ P3, um polinômio de grau 1 qualquer, então, v ∉ ger(B1) e B2 = B1 ∪ {v} 
é linearmente independente.
Podemos repetir esse processo mais uma vez, já que nenhum polinômio de grau 3 
pode ser escrito como combinação dos vetores em B2. Se w é um polinômio de grau 
3 qualquer, então, B3 = {u1, u2, v, w} é linearmente independente.
ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra linear: com aplicações. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 
2012.
Leituras recomendadas
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. v. 1.
LAY, D.; LAY, S.; MACDONALD, J. Álgebra linear e suas aplicações. 5. ed. Rio de Janeiro: 
LTC, 2018.
Referência
15Espaços vetoriais: dependência e independência linear
Dica do professor
A generalização do conceito de espaço vetorial para conjuntos diferentes do Rn traz vários 
desafios no que compete à organização, interpretação e argumentação sobre a independência 
linear (ou dependência) dos conjuntos de vetores desses espaços mais gerais.
Nesta Dica do Professor, veja como verificar a definição de independência linear para um conjunto 
de polinômios usando as estratégias e ferramentas que conhecemos do Rn. Você ainda poderá ver 
algumas estratégias e sutilezas do processo.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do vídeo ou clique no código para acessar.
 
https://fast.player.liquidplatform.com/pApiv2/embed/cee29914fad5b594d8f5918df1e801fd/722035c3914b4f216aa93d1db213f3f7
Saiba +
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do professor:
Cálculo III – E.D.O. Linear de 2ª Ordem; Wronskiano – Parte 1
No vídeo a seguir, a Profa. Dra. Ketty Abaroa de Rezende (UNICAMP) calcula o wronskiano de 
soluções particulares de equações diferenciais lineares relacionando essa classe das equações 
diferenciais ao conceito de transformação linear.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do vídeo ou clique no código para acessar.
Soluções por séries e funções especiais
Neste link, o Mestre Wilkson Linhares Teodoro, sob orientação do Prof. Dr. Marcelo Ferreira de 
Melo (UFC), mostra, em sua dissertação de mestrado, alguns problemas de relevância da Física e da 
Engenharia que têm sua solução construída por meio de funções linearmente independentes.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do vídeo ou clique no código para acessar.
Equações diferenciais autônomas e aplicações
Neste link, o Mestre Éverton de Toledo Hanser, sob orientação da Profa. Dra. Marta Cilene Gadotti 
(IGCE – UNESP), mostra, em sua dissertação de mestrado, outros problemas de relevância da Física 
e da Engenharia, que vão desde o pêndulo simples até o problema do controle biológico da broca 
da cana-de-açúcar. É interessante observar, neste link e no anterior, que, apesar da diferença dos 
problemas e do grau de dificuldade deles, ambos usam a mesma estrutura linear de construção de 
soluções linearmente independentes.
https://www.youtube.com/embed/2MxBPMOu69Y
http://www.repositorio.ufc.br/bitstream/riufc/22446/3/2017_dis_wlteodoro.pdf
Aponte a câmera para o código e acesse o link do vídeo ou clique no código para acessar.
Lista de exercícios
Para aprender Espaços Vetoriais: Dependência e Independência Linear, é importanteque você 
treine fazendo diversos exercícios. Para tanto, baixe a lista de exercícios a seguir e resolva as 
questões.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do vídeo ou clique no código para acessar.
https://repositorio.unesp.br/bitstream/handle/11449/140271/hanser_et_me_rcla.pdf
http://publica.sagah.com.br/publicador/objects/attachment/363736350/ExercciosExtras1.pdf?v=1333513802