Espaços Vetoriais Produtos Internos Gerais

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Espaços Vetoriais: Produtos Internos 
Gerais
Apresentação
No estudo da álgebra linear, usa-se a intuição geométrica do Rn como guia para fornecer as noções 
definidas nesse ambiente naturalmente. Assim, o produto escalar corresponde a tais expectativas, 
definindo a medida de ângulos, comprimento, distância e ortogonalidade da forma canônica, mas 
isso pode ser definido de maneiras diferentes. O produto interno indica essas medidas em um 
espaço vetorial qualquer, assim como o produto escalar define no Rn, com o adicional de que se 
pode calcular em Rn outros produtos internos que indicam novas geometrias voltadas a esse espaço 
vetorial.
Para que você possa acompanhar adequadamente esta Unidade, é necessário que se lembre dos 
conceitos de espaço vetorial, subespaço gerado por conjuntos, independência linear, 
determinantes, produto escalar, formas quadráticas, somatórios e noções de funções contínuas e 
suas integrais.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você estudará a definição de produto interno para espaços 
vetoriais quaisquer (inclusive para o Rn), bem como as propriedades que identificam se uma função 
de E x E em R é um produto interno em E. Também vai reconhecer o comprimento ou norma de um 
vetor num espaço qualquer e analisar exemplos de distintos produtos internos nos espaços 
vetoriais. Por fim, vai rever e expandir o conceito de ortogonalidade para espaços vetoriais que não 
o Rn necessariamente.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Explicar a importância do produto interno e norma para um espaço vetorial.•
Usar o produto interno em espaços vetoriais arbitrários. •
Reconhecer o conceito de ortogonalidade. •
Infográfico
O produto interno é a ferramenta que introduz o conceito de medida em um espaço vetorial 
qualquer. Definindo comprimento de vetores e critério de ortogonalidade, o produto interno 
estende a noção introduzida pelo produto escalar para o espaço vetorial das matrizes, das funções 
contínuas e do próprio Rn.
Tendo isso em vista, neste Infográfico, conheça os elementos necessários para o cálculo do produto 
interno, além de acessar exemplos de diferentes produtos internos. Por fim, veja também o critério 
de ortogonalidade e o que define conjuntos ortogonais.
Confira a seguir.
Conteúdo do livro
O produto escalar é a forma canônica de se medir comprimento, ângulos, distâncias e 
ortogonalidade entre vetores no Rn. O produto interno generaliza e expande esse conceito para 
outros espaços vetoriais e o próprio Rn, de modo que o Rn pode assumir geometria diferente de 
acordo com um produto interno nele definido.
Na matemática, a noção generalizada de produto interno é usada para a decomposição de 
condições de contorno em conjuntos de funções ortogonais que melhor descrevem a geometria 
daquele problema. Geralmente, esses problemas surgem de estudos na termodinâmica, 
eletromagnetismo, mecânica de fluidos, econometria, entre muitas outras áreas das ciências 
aplicadas.
No capítulo Espaços vetoriais: produtos internos gerais, da obra Álgebra linear, você verá a 
definição de produto interno para um espaço vetorial qualquer e compreenderá como verificar se 
uma função de E x E em R é um produto vetorial. Ainda, vai saber como definir o comprimento ou 
norma de determinado vetor em um espaço qualquer e exemplos do produto interno nos principais 
espaços vetoriais. Por fim, conhecerá a ortogonalidade e exemplos em espaços vetoriais que não o 
Rn necessariamente.
Boa leitura.
ÁLGEBRA LINEAR
Marcelo Maximiliano Danesi
Espaços vetoriais: 
produtos internos gerais
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Explicar a importância de produto interno e norma para um espaço 
vetorial.
 � Usar o produto interno em espaços vetoriais arbitrários.
 � Reconhecer o conceito de ortogonalidade.
Introdução
Neste capítulo, você definirá o conceito de produto interno e norma para 
um espaço vetorial qualquer, com exemplos no espaço vetorial das n-uplas 
reais, das matrizes e das funções contínuas; verá como a ortogonalidade 
fica definida de acordo com o produto interno do espaço vetorial e alguns 
exemplos de conjuntos ortogonais no espaço das funções.
O conceito de produto interno generaliza, para um espaço vetorial 
qualquer, a noção de medida de vetores, ângulos, distâncias e ortogona-
lidade definida pelo produto escalar no ℝn. Inclusive, essa generalização 
permite que, no ℝn, seja definida uma medida diferente da proposta 
pelo produto escalar, criando uma geometria diferente entre os vetores.
Produto interno e norma
Um produto interno num espaço vetorial E é uma função ⟨,⟩: E × E → ℝ que 
associa, a cada par de vetores u, v ∈ E, um número real ⟨u, v⟩ chamado de 
produto interno de u por v, de modo que, dados u, v, w ∈ E e α ∈ ℝ, sejam 
válidas as propriedades:
1. ⟨u, v⟩ ≥ 0 e ⟨u, u⟩ = 0 somente se u = 0 (positividade);
2. ⟨u, v⟩ = ⟨v, u⟩ (comutatividade);
3. ⟨u, v + w⟩ = ⟨u, v⟩ + ⟨u, w⟩ (distributividade em relação à soma vetorial);
4. ⟨u, α ⋅ v⟩ = α ⋅ ⟨u, v⟩ (associatividade).
Todo produto interno define o número real não negativo , dito 
norma ou comprimento de u com respeito a ⟨,⟩.
O produto interno permite a extensão de noções de ângulo, ortogonalidade, 
comprimento e distância a espaços vetoriais que não necessariamente o ℝn. 
Assim, a geometria do espaço vetorial é definida pela associação do espaço 
com um produto interno, a qual chamamos de espaço vetorial com produto 
interno.
No ℝn, o produto interno canônico é o produto escalar, e a norma canônica corresponde 
ao módulo do vetor (||u
→|| = √u→ · u→ = |u→|). Contudo, o produto interno canônico não é 
o único no ℝn nem a única forma de medir comprimentos.
Em ℝ2, um produto interno (não canônico) é dado por:
⟨ , ⟩D: ℝ
2 × ℝ2 → ℝ
⟨(u1, u2), (v1, v2)⟩D = 3u1v1 + 5u2v2
Mostramos, a seguir, que essa função, de fato, satisfaz as propriedades necessárias, 
pois, dados u→ = (u1, u2), v
→ = (v1, v2), w
→ = (w1, w2) ∈ ℝ2 e α ∈ ℝ:
1. ⟨u→, u→⟩D = ⟨(u1, u2), (u1, u2)⟩D = 3u1u1 + 5u2u2 = 3u1
2 + 5u2
2 ≥ 0 . Vale a igualdade se, e 
somente se, u1 = u2 = 0, isto é, se u
→ = (0, 0).
2. ⟨u→, v→⟩D = ⟨(u1, u2), (v1, v2)⟩D = 3u1v1 + 5u2v2 = 3v1u1 + 5v2v2 = ⟨(v1, v2), (u1, u2)⟩D = ⟨v
→, u→⟩D;
3. ⟨u→, v→ + w→⟩D = ⟨(u1, u2), (v1, v2) + (w1, w2)⟩D = ⟨(u1, u2), (v1 + w1, v2 + w2)⟩D =
 3u1(v1 + w1) + 5u2(v2 + w2) = 3u1v1 + 5u2v2 + 3u1w1 + 5u2w2 = ⟨u
→, v→⟩D + ⟨u
→, w→ ⟩D ;
Espaços vetoriais: produtos internos gerais2
4. ⟨u→, α · v→⟩D = ⟨(u1, u2), α · (v1, v2)⟩D = ⟨(u1, u2), (αv1, αv2)⟩D = 3u1αv1 + 5u2αv2 = 
α · (3u1v1 + 5u2v2) = α · ⟨u
→, v→⟩D.
.
Portanto, de fato, ⟨,⟩D é um produto interno no ℝ2, e a norma de acordo com ⟨,⟩D 
é dada por:
||u→||D = √⟨u
→, u→⟩D = √3u1
2 + 5u2
2
Nessa norma, dados u→ = (1, 1), v→ = (–1, 1), podemos calcular que o comprimento 
de u→ e v→ é:
||u→||D = √3 · 1
2 + 5 · 12 = √8
||v→||D = √3 · (–1
2) + 5 · 12 = √8
ao mesmo tempo que:
⟨(1, 1),(–1, 1)⟩D = 3 ⋅ 1 ⋅ (–1) + 5 ⋅ 1 ⋅ 1 = –3 + 5 = 2
Enquanto que, pelo produto escalar, u, v são ortogonais, já que:
u→ ∙ v→ = (1, 1) ∙ (–1, 1) = 1 ∙ (–1) + 1 ∙ 1 = 0 
Isto é, além de a norma ⟨,⟩D medir o comprimento dos vetores de maneira distinta 
da canônica, ela também altera a relação de ortogonalidade entre vetores do ℝ2.
No exemplo anterior, usamos a notação ⟨,⟩D com intenção de distinguir ⟨,⟩D 
do produto interno definido pelo produto escalar e generalizar 
o produto interno ⟨,⟩D numa classe maior no ℝn denominada produto interno 
ponderado.
Produto interno em espaços vetoriais 
arbitrários
Produto interno ponderado em ℝn 
Em ℝn, dada uma matriz diagonal:
3Espaços vetoriais: produtos internos gerais
n × n, podemos generalizar o exemplo anterior definindo o funcional:
Esse funcional define um produto interno no ℝn, se λi > 0 para todo 
i = 1, ..., n.
Mostramos, a seguir, que esse produto interno, de fato, satisfaz as proprie-
dades necessárias, pois, dados u→ = (u1, ..., un), v
→ = (v1,..., vn), w
→ = (w1, ..., wn) 
∈ ℝn e α ∈ ℝ:
1. , pois cada 
parcela é positiva, e a igualdade vale se, e somente se, u1 = ... = un = 
0, logo ;
2. ;
3. 
4. 
Portanto, de fato, ⟨,⟩D é um produto interno em ℝn, e a norma de acordo 
com ⟨,⟩D é dada por:
Espaços vetoriais: produtos internos gerais4
O produto interno ponderado recebe esse nome por admitir um peso λi > 0 em cada 
direção xi. Esse peso pode ser interpretado como uma importância maior ou menor 
dos dados naquela direção ou, ainda, como uma mudança de escala naquela direção.
Produto interno em Mm×n(ℝ)
Em Mm×n(ℝ), com o espaço das matrizes, m×n, de coeficientes reais, um produto 
interno pode ser definido por:
onde BTA é uma matriz n×n e tr(BTA) é a soma do produto de todos os 
elementos de A e B de mesmos índices.
Essa definição não é intuitiva. Então, mostraremos como ela funciona em M2×3(ℝ), 
dadas as matrizes:
A =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
B =
b11 b12 b13
b21 b22 b23
Temos:
BT · A = · =
b11 b21
b12 b22
b13 b23
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a11b11 + a21b21 * *
 * a12b12 + a22b22 *
 * * a13b13 + a23b23
Observe que não calculamos as entradas fora da diagonal principal porque elas não 
serão necessárias para o cálculo do traço (que calcula somente a soma dos elementos 
da diagonal principal). Assim:
tr(BTA) = (a11b11 + a21b21) + (a12b12 + a22 + b22) + (a13b13 + a23b23)
5Espaços vetoriais: produtos internos gerais
Uma forma alternativa de definir esse funcional é escrevendo que, se A = 
[aij]m×n e B = [bij]m×n, então:
⟨A, B⟩ = a11b11 + a12b12 + a21b21 + ... + amnbmn
sendo a última forma, dada pelo somatório do produto de todos os termos 
de mesmo índice, mais prática para a verificação das propriedades de produto 
interno. Assim, dados U = [uij], V = [vij], W = [wij] ∈ Mm×n(ℝ) e α ∈ ℝ:
1. 
e a igualdade vale se, e somente se, uij = 0 para todo i, j e, portanto U = 0;
2. 
3. ; 
 
 
;
4. .
De fato, ⟨,⟩ é um produto interno em Mm×n(ℝ), e a norma de acordo com 
⟨,⟩ é dada por:
;
Em M2×3(ℝ), calcularemos o produto interno e a norma de algumas matrizes, dadas:
U = 1 0 2
–2 1 –1
V = 0 3 –1
–2 0 1
W = 6 2 –1
 2 1 1
Espaços vetoriais: produtos internos gerais6
Produto interno em C0([a, b])
Usando a teoria do cálculo, em C0([a, b]), com o espaço das funções contínuas 
reais definidas no intervalo [a, b], um produto interno pode ser definido por:
Mostramos, a seguir, que essa função, de fato, satisfaz as propriedades 
necessárias, pois, dados u = u(x), v = v(x), w = w(x) ∈ C0([a, b]) e α ∈ ℝ:
1. , pois a integral de uma 
função positiva é positiva, e a igualdade vale se, e somente se, u(x) = 0, 
pois u é função contínua;
2. ;
3. 
Calculamos:
⟨U, U⟩ = 1 · 1 + 0 · 0 + 2 · 2 + (–2) · (–2) + 1 · 1 + (–1) · (–1) = 11
⟨U, V⟩ = 1 · 0 + 0 · 3 + 2 · (–1) + (–2) · (–2) + 1 · 0 + (–1) · 1 = 1
⟨U, W⟩ = 1 · 6 + 0 · 2 + 2 · (–1) + (–2) · 4 + 1 · 5 + (–1) · 1 = 0
⟨V, V⟩ = 0 · 0 + 3 · 3 + (–1) · (–1) + (–2) · (–2) + 0 · 0 + 1 · 1 = 15
⟨V, W⟩ = 0 · 6 + 3 · 2 + (–1) · (–1) + (–2) · 4 + 0 · 5 + 1 · 1 = 0
⟨W, W⟩ = 6 · 6 + 2 · 2 + (–1) · (–1) + 4 · 4 + 5 · 5 + 1 · 1 = 0 = 73
De acordo com esse produto interno, a norma dessas matrizes é:
||U|| = √⟨U, U⟩ = √11
||V|| = √⟨V, V⟩ = √15
||W|| = √⟨W, W⟩ = √73
7Espaços vetoriais: produtos internos gerais
4. 
Portanto, de fato, ⟨,⟩ é um produto interno no C0([a, b]), e a norma de 
acordo com ⟨,⟩ é dada por:
Para mostrarmos como esse produto interno funciona, no que segue, fixamos a = –1 
e b = 1 de modo que [a, b] = [–1, 1] é um intervalo simétrico em torno de x = 0.
Assim, dados u = x, v = x2, w = x3, podemos calcular que:
⟨x, x⟩ = ∫ 1–1 x · x dx = ∫
1
–1
 x2 dx = = – =x
3
3
1
–1
13
3
(–1)3
3
2
3
⟨x, x2⟩ = ∫ 1–1 x · x
2 dx = ∫ 1–1 x
3 dx = = – = 0x
4
4
1
–1
14
4
(–1)4
4
⟨x2, x3⟩ = ∫ 1–1 x
2 · x3 dx = ∫ 1–1 x
5 dx = = – = 0x
6
6
1
–1
16
6
(–1)6
6
⟨x, x3⟩ = ∫ 1–1 x · x
3 dx = ∫ 1–1 x
4 dx = = – =x
5
5
1
–1
15
5
(–1)5
5
2
5
⟨x3, x3⟩ = ∫ 1–1 x
3 · x3 dx = ∫ 1–1 x
6 dx = = – =x
7
7
1
–1
17
7
(–1)7
7
2
7
⟨x2, x2⟩ = ∫ 1–1 x
2 · x2 dx = ∫ 1–1 x
4 dx = 2
5
Espaços vetoriais: produtos internos gerais8
De acordo com esse produto interno, a norma dessas funções é:
||x|| = √⟨x, x⟩ = 2
3
||x2|| = √⟨x2, x2⟩ = 2
5
||x3|| = √⟨x3, x3⟩ = 2
7
Ortogonalidade
Seja E um espaço vetorial munido do produto interno ⟨,⟩. Dados u, v ∈ E, 
dizemos que u, v são ortogonais (com respeito ao produto interno ⟨,⟩) se, e 
somente se, ⟨u, v⟩ = 0, e denotamos por u ⊥ v.
Assim como na definição de produto interno, é importante ressaltar que 
ortogonalidade não é uma propriedade intrínseca ou fora de qualquer con-
venção, mas que depende do produto interno definido em E. Se E aceita dois 
produtos internos distintos, então, por uma medida, dois vetores podem ser 
ortogonais e, por outra medida, não.
Em ℝ2, dados os vetores u→ = (2, –3), v→ = (3, 2), w→ = (5, 2) e os produtos internos:
⟨(u1, u2), (v1, v2)⟩ = (u1, u2) · (v1, v2) = u1v1 + u2v2
⟨(u1, u2), (v1, v2)⟩D = 3u1v1 + 5u2v2
repare que:
1. com respeito ao produto escalar, os vetores u→ e v→ são ortogonais, pois
u→ · v→ = (2, –3) · (3, 2) = 2 · 3 + (–3) · 2 = 0
9Espaços vetoriais: produtos internos gerais
2. com respeito ao produto interno ⟨,⟩D, os vetores u
→ e v→ não são ortogonais, pois:
⟨u→, v→⟩D = 3 · 2 · 3 + 5 · (–3) · 2 = –12
Contudo, em relação a ⟨,⟩D, os vetores u
→ e w→ são ortogonais, uma vez que:
⟨u→, w→⟩D = 3 · 2 · 5 + 5 · (–3) · 2 = 0
Nas condições da definição de ortogonalidade, podemos afirmar as se-
guintes propriedades:
1. 0 ⊥ v para todo v ∈ E;
2. u ⊥ v se, e somente se, v ⊥ u;
3. se u ⊥ v para todo v ∈ E, então u = 0;
4. se u ⊥ v e α ∈ ℝ, então (α ∙ u) ⊥ v.
Além disso, dado C = {u1, u2, ..., un} ⊂ E, dizemos que C é um conjunto 
ortogonal, se os vetores de C são dois a dois ortogonais, isto é, se ⟨ui, uj⟩ = 0 
se i ≠ j.
Citando o exemplo anterior em M2×3(ℝ) com o produto interno ⟨A, B⟩ = tr(BTA), podemos 
afirmar que, para as seguintes matrizes:
U =
 1 0 2
–2 1 –1
V =
 0 3 –1
–2 0 1
W =
 6 2 –1
 4 5 1
Espaços vetoriais: produtos internos gerais10
calculamos que:
⟨U, V⟩ = 1
⟨U, W⟩ = 0
⟨V, W⟩ = 0
Dessa forma, U e V não são ortogonais, enquanto que U ⊥ W e V ⊥ W. Adicionalmente, 
pelas propriedades, podemos afirmar que qualquer múltiplo de U é ortogonal a 
qualquer múltiplo de W.
Conjuntos ortogonais em C0([–L, L])
Usando a teoria do cálculo, seja L > 0 e I = [–L, L] um intervalo simétrico em 
torno de x = 0. Em C0(I), retomamos o produto interno definido por:
e analisamos a ortogonalidade entre funções contínuas usando a propriedade 
da integral, que afirma o seguinte.
1. Se f(x) é função par (uma função f: I → ℝ é dita par se f(x) = f(–x) para 
todo x ∈ I), então, para todo a > 0:
2. Se g(x) é função ímpar (uma função g: I → ℝ é dita ímpar se g(x) = 
–g(–x) para todo x ∈ I), então, para todo a > 0:
11Espaços vetoriais: produtos internos gerais
3. Se f(x) e g(x) são funções respectivamente par e ímpar, então ( f(x) ∙ 
g(x)) é ímpar e:
Por essa propriedade, podemos afirmar que, em C0([–L, L]), de acordo 
com esse produto interno, toda função par é ortogonal à toda função ímpar.
Isto é, o conjunto das funções pares e o das funções ímpares são ambos 
os subespaços de C0([–L, L]).
Exemplos de funções pares são:
 � qualquer função constante f(x) = k, k ∈ ℝ;
 � qualquer monômio de grau par x2, x4, x6, ...;
 � qualquer função cosseno da forma f(x) = cos(kx), k ∈ ℝ;
 � a soma de funções pares é uma função par;
 � o produto de uma função par por um número real é uma função par.
Exemplos de funções ímpares são:
 � qualquer monômio de grau ímpar x, x3, x5, x7, ...;
 � qualquer função seno da forma f(x) = sen(kx), k ∈ ℝ;
 � a soma de funções ímpares é uma função ímpar;� o produto de uma função ímpar por um número real é uma função ímpar.
Podemos citar o exemplo anterior, em C0([–1, 1]), que calculamos para u = x, v = x2, 
w = x3, que:
⟨x, x2⟩ = 0
⟨x 2, x 3⟩ = 0
⟨x, x3⟩ = 2
5
O conjunto B = {x, x3} é linearmente independente, e todos os seus elementos são 
ortogonais em relação a x2. Contudo, B não é um conjunto ortogonal.
Espaços vetoriais: produtos internos gerais12
Estendendo o exemplo anterior, podemos afirmar que um conjunto line-
armente independente do subespaço das funções ímpares em C0([–L, L]) é o 
conjunto B = {x, x3, x5, x7, x9, ...}. Contudo, esse conjunto não é ortogonal. Um 
conjunto ortogonal desse subespaço é fornecido pelos polinômios de Legendre 
C = {P1, P3, P5, ...}, dados por:
Em C0([–1, 1]), podemos verificar explicitamente que os polinômios de Legendre P1, P3, 
P5 são dois a dois ortogonais. Para isso, calculamos:
⟨P1, P3⟩ = ∫
1
–1
 (x) · (5x3 – 3x) dx = ∫ 1–1 x
4 dx – ∫ 1–1 x
2 dx = – = 01
2
5
2
5
2
2
5
3
2
3
2
2
3
⟨P1, P3⟩ = ∫
1
–1
 (x) · (63x5 – 70x3 – 15x) dx = ∫ 1–1 x
6 dx – ∫ 1–1 x
4 dx + ∫ 1–1 x
2 dx1
8
63
8
70
8
15
8
= – + = 0
63
8
2
7
70
8
2
5
15
8
2
3
⟨P3, P5⟩ = ∫
1
–1
 (5x3 – 3x) · (63x5 – 70x3 – 15x) dx 
= ∫ 1–1 x
8 dx – ∫ 1–1 x
6 dx + ∫ 1–1 x
4 dx – ∫ 1–1 x
2 dx
1
5
1
5
45
16
315
16
539
16
285
16
2
9
= – + – = 0
315
2
2
7
539
16
2
5
285
16
2
3
45
16
Para o cálculo daws integrais, vale lembrar-se de que as integrais de x6, x4 e x2 foram 
calculadas anteriormente e que ∫1–1 x
8 dx = 2/9.
13Espaços vetoriais: produtos internos gerais
Os polinômios de Legendre surgem das soluções da equação de Legendre (uma 
equação diferencial ordinária linear de 2ª ordem) e podem ser descritos diretamente 
de várias maneiras. Uma delas é por meio da fórmula de Rodrigues, que calcula, para 
cada n ∈ ℕ, o polinômio de Legendre de grau n:
Pn(x) = [(x
2 – 1)n]1
n! 2n
dn
dxn
É um resultado bastante importante, que tanto B quanto C são bases do 
subespaço das funções ímpares de C∞([–L, L]), o subespaço de C0([–L, L]) das 
funções que possuem derivadas de todas as ordens (ANTON; RORRES, 2012).
Por outro lado, um conjunto ortogonal no subespaço das funções pares é 
o conjunto . Para mostrarmos que essas 
funções são duas a duas ortogonais, precisamos de algumas propriedades do 
cálculo:
1. Dados p, q ∈ ℝ:
2. Se k ∈ ℤ e k ≠ 0, então:
Espaços vetoriais: produtos internos gerais14
Assim, dadas as funções , , n1, n2 ∈ ℕ, n1 ≠ n2, temos 
que n1 – n2 ≠ 0 e:
Esse paralelo que fizemos serve para mostrar dois conjuntos ortogonais 
diferentes em C0([–L, L]), que requerem diferentes abordagens para que essa 
ortogonalidade seja verificada. Em termos de aplicações, toda função em 
C∞([–L, L]) pode ser escrita como uma combinação linear de polinômios, 
via série de Taylor e Maclaurin ou via série de Legendre, sendo esta última 
especialmente importante no eletromagnetismo e na solução do potencial 
elétrico com simetria axial.
De forma alternativa, toda função em C∞([–L, L]) pode ser escrita como 
uma combinação linear das funções via série de 
Fourier, sendo essa decomposição importante no estudo de ondas eletromag-
néticas, ondas mecânicas, mecânica de fluidos, termodinâmica e inúmeros 
outros problemas e uma das principais ferramentas das ciências aplicadas 
(ANTON, 2012).
ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra linear com aplicações. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2012.
Leituras recomendadas
ANTON, H.; BIVENS, I. C.; DAVIS, S. L. Cálculo. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. 2 v.
LAY, D.; LAY, S.; MACDONALD, J. Álgebra linear e suas aplicações. 5. ed. Rio de Janeiro: 
LTC, 2018.
LIMA, E. Álgebra linear. 9. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2016.
Referência
15Espaços vetoriais: produtos internos gerais
Dica do professor
O produto interno generaliza o conceito de medida para um espaço vetorial qualquer e traz vários 
desafios no que compete à organização, interpretação e argumentação a respeito dos cálculos 
necessários a esses elementos.
Nesta Dica do Professor, você vai saber como interpretar e desenvolver problema que envolve o 
produto interno ponderado e a norma de um vetor. Acompanhe esta Dica e fique atento 
às estratégias e sutilezas de tal processo.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do vídeo ou clique no código para acessar.
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Saiba +
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do professor:
Geometria hiperbólica
O seguinte estudo apresenta três abordagens da geometria hiperbólica. Uma delas é pelo modelo 
de Minkowski, definindo em R3 um pseudoproduto interno.
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Polinômios de Legendre - Parte 1
No link a seguir, o Prof. Dr. Eduardo Brietzke (IME-UFRGS) deduz os polinômios de Legendre a 
partir das soluções da equação de Legendre, mostrando várias identidades dessas funções.
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Polinômios de Legendre - Parte 2
Este link dá continuidade às explicações do link citado anteriormente.
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Laplaciano em coordenadas esféricas
http://www.bibliotecadigital.ufmg.br/dspace/bitstream/handle/1843/EABA-9KJJW5/monografia_kledilson.pdf
http://www.mat.ufrgs.br/~brietzke/leg1/leg1.html
http://www.mat.ufrgs.br/~brietzke/leg2/leg2.html
Neste link , o Prof. Dr. Eduardo Brietzke (IME-UFRGS) deduz a expressão do laplaciano em 
coordenadas esféricas.
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Série de Fourier
Neste vídeo, o professor Pedro Fagundes (IME-USP) apresenta os cálculos necessários e faz a 
decomposição por extenso de f(x)=x2 pela série de Fourier no intervalo [-π, π].
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Lista de exercícios
Para aprender produtos internos, é importante que você treine fazendo diversos exercícios. Para 
tanto, baixe a lista de exercícios a seguir e resolva as questões.
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http://www.mat.ufrgs.br/~brietzke/leg3/series7.html
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http://publica.sagah.com.br/publicador/objects/attachment/550769575/saibamaislistadeexercicios.pdf?v=836543281