Implementação dos Métodos Numéricos para Resolução de Equações A3

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ROTEIRO DE PRÁTICA
	Tema 
	Implementação dos Métodos Numéricos para Resolução de Equações
	Unidade
	01
	Disciplina (s)
	Cálculo Numérico Computacional
	Data da última atualização
	03/02/2020
	I. Instruções e observações
	
LEIA COM ATENÇÃO AS SEGUINTES INSTRUÇÕES E OBSERVAÇÕES
1. É importante o conhecimento prévio de métodos numéricos para obtenção de raízes de equações (Métodos Gráfico, Bisseção, Newton, Iteração Linear).
2. É imprescindível ter o roteiro da prática em mãos.
3. Consulte o material de apoio (e-book unidade 1).
	II. Equipamentos, materiais, reagentes ou produtos
	Descrição
	Quantidade
	Roteiro da prática
	1
	Calculadora científica
	1
	Computador ou Notebook
	1
	III. Introdução
	Existem alguns métodos numéricos para a obtenção de raízes de equações. As técnicas numéricas nos fornecem soluções próximas da solução exata. De modo geral, esses métodos geram uma sequência de números reais, que se aproximam de uma raiz exata da equação. Para a aplicação dos métodos, podemos utilizar recursos computacionais acessíveis e de fácil manuseio, como Excel e o software GeoGebra.
	IV. Objetivos de Aprendizagem
	
· Aplicar o método da iteração linear para determinar uma aproximação refinada para uma raiz de uma função. (Capstone)
· Realizar o refinamento da raiz através dos métodos da bisseção, de Newton e da iteração linear.
· Avaliar as vantagens e desvantagens dos métodos da bisseção, de Newton e da iteração linear.
	 V. Experimento
	ETAPA 1: Método Gráfico
1. Utilizando o Método Gráfico, determine a quantidade e os sinais das raízes da função:
.
	Considerando 
h(x) = x3 e g(x) = 
2x2 + 20x − 30 temos que f (x) = g(x) − h(x) . Pelo método gráfico, vamos analisar as raizes graficos de h(x) e g(x)
Analisando a função g(x) = x³ temos que g(x) = x³temos que g(x) = 0 se somente se x³ = 0, portanto se, isto implica que a única raíz é zero. Além disso o seu grafico é dado como:
A função h(x) = 2x² + 20x – 30, representa uma função de segundo grau, cuja concavidade é voltada para cima pois a = 2. Analisando as suas raízes temos: 
h(x) = 0 se e somente se 2x² + 20x − 30 = 0 , dividindo ambos os termos por 2, temos que é equivalente a x² + 10x − 15 = 0 , portanto temos:
 Δ = 10² − 4 .1. (− 15) = 160
 (− 10 ±√160) /2
Portanto as raízes serão aproximadamente 1,324 e -11,324. Um esboço do gráfico será dado por uma parábola com concavidade para cima, e cortando o eixo do y em -30. Portanto teremos: 
Desenhando ambos os gráficos em um mesmo plano cartesiano temos
Não sabemos exatamente quem são as raízes, mas sabemos que elas estão entre -10 e +10. Analisando a função neste intervalo temos:
	
	-10
	-9
	-8
	-7
	-6
	-5
	-4
	-3
	-2
	-1
	g(x)
	-1000
	-729
	-512
	-343
	-216
	-125
	-64
	-27
	-8
	-1
	h(x)
	-30
	-48
	-62
	-72
	-78
	-80
	-78
	-72
	-62
	-48
	
	0
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	7
	8
	9
	10
	g(x)
	0
	1
	8
	27
	64
	125
	216
	343
	512
	729
	1000
	h(x)
	-30
	-8
	18
	48
	82
	120
	162
	208
	258
	312
	370
2. Compare as respostas obtidas no item anterior a partir da utilização do Software GeoGebra (https://www.geogebra.org/). Use as mesmas funções escolhidas para e .
	
	
	
	x³ − 2x² − 20x + 30
	 X³
	2x² + 20x − 30
Representando as funções g(x) e h(x) no Geogebra e em seguida marcando os pontos de intersecção entre das duas funções encontramos os pontos D, E e F que correspondem exatamente ao que encontramos em 1). Temos pontos de intersecção ( e portanto as raízes de f(x)) nos intervalos (-5,-4), (1,2) e (4,5), logo uma negativa e duas positivas.
ETAPA 2: Método da Bisseção
3. No Excel, sem utilizar a função “SE”, aplique o Método da Bisseção para calcular a quinta aproximação da raiz positiva da função . Para tanto, isole a raiz num intervalo ( e naturais) de comprimento 1, isto é, . 
	
	
	
	3,15625
	-0,038086
	0,031250
4. Agora, fazendo uso da função “SE”, calcule a trigésima aproximação da raiz. 
	
	
	
	3,162277
	0
	0
5. Calcule com uma calculadora científica e compare o valor encontrado com .
	Calculando na calculadora obtemos: 3.16227766017. Comparando o valor com o valor obtido no excel temos que ambos representam a mesma quantidade, portanto temos uma excelente aproximação para a raiz de f(x). No excel está apenas representado menos casas decimais da raiz, devido ao número de casas utilizadas para o arredondamento.
ETAPA 3: Método de Newton
6. No Excel, isolando a raiz de num intervalo ( e inteiros) de comprimento 1, isto é, e utilizando o Método de Newton, complete o quadro abaixo:
	 (Tolerância)
	Nº mínimo de iterações
	
	
	
	2
	-2,354305393352
	-0,000169474846
	
	3
	-2,354242758736
	-0,000000001390
	
	4
	-2,354242758223
	0,000000000514
7. Use o GeoGebra para esboçar o gráfico da função e determinar sua raiz. Em seguida, compare suas respostas para a raiz encontrada no caso em que a tolerância é . 
	Desenhando a função f(x) no geogebra e marcando a sua raíz, obtemos o seguinte:
 
Comparando com o valor obtido em ε ≤ obtemos já uma boa aproximação para a raíz da função.
ETAPA 4: Método da Iteração Linear
8. Em relação ao Método da Iteração Linear, considere a função e . Justificando sua resposta, quais as possibilidades para a função de iteração ?
	
Aplicando o método gráfico para isolar as raízes. 
Considerando g(x) = x³ e h(x) = cos(x) , representando as funções geometricamente temos:
Pelo gráfico sabemos que elas se cruzam na parte em que ambas coordenadas são positivas, além disso a função g(x) passa pelos pontos (0,0) e (1,1) e cresce para valores maiores do que 1, e a função h(x) está sempre entre -1 e 1 no eixo y, podemos perceber que elas se cruzam no intervalo [0,1].
Procedendo com a verificação das hipóteses do método da iteração linear, sabemos que a função f(x) de fato é contínua em [0,1] ( pois g(x) e h(x) são) e possui um zero neste intervalo.
Encontrando a função interação temos f (x) = x³ − cos(x) = 0 , devemos isolar um valor de x.
x³ − cos(x) = 0
x³ = cos(x)
Temos duas possibilidades
x = ∛ cos(x)
ou
x = arc cos (x³)
 
Consequentemente F (x) = ∛ cos(x) ou F (x) = arc cos (x³).
Considerando F (x) = ∛ cos(x) , temos 	que será sempre menor do que 1 no intervalo considerado, portanto temos a garantia da convergência.
9. Sejam , e uma função de iteração convenientemente escolhida. No Excel, levando em consideração a sequência de raízes , complete a tabela abaixo:
	
	Raiz aproximada
	
	Erro ()
	
	0,8667538751
	0,8650399272
	0,005068762479
	
	0,8654740586
	0,8654740244
	0,0000001009455659
	
	0,8654740321
	0,8654740334
	0,000000003926832415
	
	0,8654740331
	0,8654740331
	0
10. Use o GeoGebra para esboçar o gráfico da função determinar sua raiz. Por fim, compare suas respostas para a raiz encontrada ().
	Esboçando a função f(x) Geogebra e encontrando a sua raiz, obtemos
Comparando o valor encontrado no Geogebra 0,87 e 0,8654740331 no excel. A função dada não é uma função fácil de encontrar a solução analiticamente, como no excel temos erros iguais a zero, temos a garantia do valor da raíz.
	VI. Avaliação do experimento
	
	VII. Referências
	BARROSO, L. C; BARROSO, M. M. A.; FILHO, F. F. C.; CARVALHO, M. L. B.; MAIA, M. L. Cálculo Numérico com aplicações; 2ª Edição. São Paulo; Harbra, 1987