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ROTEIRO DE PRÁTICA Tema Implementação dos Métodos Numéricos para Resolução de Equações Unidade 01 Disciplina (s) Cálculo Numérico Computacional Data da última atualização 03/02/2020 I. Instruções e observações LEIA COM ATENÇÃO AS SEGUINTES INSTRUÇÕES E OBSERVAÇÕES 1. É importante o conhecimento prévio de métodos numéricos para obtenção de raízes de equações (Métodos Gráfico, Bisseção, Newton, Iteração Linear). 2. É imprescindível ter o roteiro da prática em mãos. 3. Consulte o material de apoio (e-book unidade 1). II. Equipamentos, materiais, reagentes ou produtos Descrição Quantidade Roteiro da prática 1 Calculadora científica 1 Computador ou Notebook 1 III. Introdução Existem alguns métodos numéricos para a obtenção de raízes de equações. As técnicas numéricas nos fornecem soluções próximas da solução exata. De modo geral, esses métodos geram uma sequência de números reais, que se aproximam de uma raiz exata da equação. Para a aplicação dos métodos, podemos utilizar recursos computacionais acessíveis e de fácil manuseio, como Excel e o software GeoGebra. IV. Objetivos de Aprendizagem · Aplicar o método da iteração linear para determinar uma aproximação refinada para uma raiz de uma função. (Capstone) · Realizar o refinamento da raiz através dos métodos da bisseção, de Newton e da iteração linear. · Avaliar as vantagens e desvantagens dos métodos da bisseção, de Newton e da iteração linear. V. Experimento ETAPA 1: Método Gráfico 1. Utilizando o Método Gráfico, determine a quantidade e os sinais das raízes da função: . H(x)=x^3 e g(x)=2x^2 + 20x - 30 temos que f(x) = g(x) - h(x). Análisando a função g(x) = x^3 temos que g(x) = 0 se e somente se X^3 = 0, portanto se, isto implica que a única raiz é (0). no gráfico temos: 2. Compare as respostas obtidas no item anterior a partir da utilização do Software GeoGebra (https://www.geogebra.org/). Use as mesmas funções escolhidas para e . X^3-2X^2-20x + 30 X^3 2x^2+20x-30 ETAPA 2: Método da Bisseção 3. No Excel, sem utilizar a função “SE”, aplique o Método da Bisseção para calcular a quinta aproximação da raiz positiva da função . Para tanto, isole a raiz num intervalo ( e naturais) de comprimento 1, isto é, . 3,15625 -0,038086 0,031250 4. Agora, fazendo uso da função “SE”, calcule a trigésima aproximação da raiz. 3,1622777 0 0 5. Calcule com uma calculadora científica e compare o valor encontrado com . Calculo realizado em calculadora : 3.16227766017 ETAPA 3: Método de Newton 6. No Excel, isolando a raiz de num intervalo ( e inteiros) de comprimento 1, isto é, e utilizando o Método de Newton, complete o quadro abaixo: (Tolerância) Nº mínimo de iterações 2 -2,354305393352 -0,000169474846 3 -2,354242758736 -0,000000001390 4 -2,354242758223 0,000000000514 7. Use o GeoGebra para esboçar o gráfico da função e determinar sua raiz. Em seguida, compare suas respostas para a raiz encontrada no caso em que a tolerância é . Com a função no geogebra e marcando a raiz temos: Na comparação com valor o obtido tem uma aproximação para raiz da função. ETAPA 4: Método da Iteração Linear 8. Em relação ao Método da Iteração Linear, considere a função e . Justificando sua resposta, quais as possibilidades para a função de iteração ? Aplicando o método gráfico para isolar as raízes. Considerando g(x)= x^3 e h(x)= cos(x), representando as funções geometricamente temos: As partes positivas se cruzam, a função g(x) passa (0,0) e (1,1) e vai aumentando para o valores maiores que 1, a função h(x) está sem entre -1 e 1 no eixo y e as duas se cruzam no intervalo (0,1). na função de interação temos: f(x)=x^3-cos (x)=0 temos que isolar o valor de x. X^3-cos (x)=0 X^3=cos (x) 1°) X= {\displaystyle {\sqrt {3}}}{\displaystyle {\sqrt {3}}} cos (x) ou 2°) X= arc cos (X^3) Consequentemente F (x) = {\displaystyle {\sqrt {3}}}{\displaystyle {\sqrt {3}}} cos (x) ou F (x) = arc cos (x^3). F (x) = {\displaystyle {\sqrt {3}}}{\displaystyle {\sqrt {3}}} cos (x), temos: sempre menor que (1) no intervalo considerado, aí a garantia da convergência. {\displaystyle {\sqrt {3}}}cos cos lmknojnjnlk cos 9. Sejam , e uma função de iteração convenientemente escolhida. No Excel, levando em consideração a sequência de raízes , complete a tabela abaixo: Raiz aproximada Erro () 0,8667538751 0,8650399272 0,005068762479 0,8654740586 0,8654740244 0,0000001009455659 0,8654740321 0,8654740334 0,000000003926832415 0,8654740331 0,8654740331 0 10. Use o GeoGebra para esboçar o gráfico da função determinar sua raiz. Por fim, compare suas respostas para a raiz encontrada (). VI. Avaliação do experimento O valor encontrado no geogebra é de 0,87 e 0,8654740331 no excel. A função não é fácil de encontrar a solução analítica, assim como no excel temos erros iguais a (0), aí a garantia do valor da raiz. VII. Referências BARROSO, L. C; BARROSO, M. M. A.; FILHO, F. F. C.; CARVALHO, M. L. B.; MAIA, M. L. Cálculo Numérico com aplicações; 2ª Edição. São Paulo; Harbra, 1987
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