ATIVIDADE 3 Implementação dos Métodos Numéricos para Resolução de Equações - RESPOSTA

Prévia do material em texto

ROTEIRO DE PRÁTICA 
Tema 
Implementação dos Métodos Numéricos para Resolução de 
Equações Unidade 01 
Disciplina (s) Cálculo Numérico Computacional 
Data da 
última 
atualização 
03/02/2020 
I. Instruções e observações 
 
LEIA COM ATENÇÃO AS SEGUINTES INSTRUÇÕES E OBSERVAÇÕES 
1. É importante o conhecimento prévio de métodos numéricos para obtenção de raízes de equações (Métodos 
Gráfico, Bisseção, Newton, Iteração Linear). 
2. É imprescindível ter o roteiro da prática em mãos. 
3. Consulte o material de apoio (e-book unidade 1). 
II. Equipamentos, materiais, reagentes ou produtos 
Descrição Quantidade 
Roteiro da prática 1 
Calculadora científica 1 
Computador ou Notebook 1 
III. Introdução 
Existem alguns métodos numéricos para a obtenção de raízes de equações. As técnicas numéricas nos fornecem 
soluções próximas da solução exata. De modo geral, esses métodos geram uma sequência de números reais, que se 
aproximam de uma raiz exata da equação. Para a aplicação dos métodos, podemos utilizar recursos computacionais 
acessíveis e de fácil manuseio, como Excel e o software GeoGebra. 
 
IV. Objetivos de Aprendizagem 
 
 Aplicar o método da iteração linear para determinar uma aproximação refinada para uma raiz de uma função. (
Capstone) 
 Realizar o refinamento da raiz através dos métodos da bisseção, de Newton e da iteração linear. 
 Avaliar as vantagens e desvantagens dos métodos da bisseção, de Newton e da iteração linear. 
 
 
 V. Experimento 
ETAPA 1: Método Gráfico 
 
1. Utilizando o Método Gráfico, determine a quantidade e os sinais das raízes da função: 
𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥2 − 20𝑥 + 30. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Avaliando o gráfico da equação g(x)= x³, percebemos que o g(x)= 0 somente quando o x=0, logo a única raiz de g(x) 
é o zero (0). 
 
2. Compare as respostas obtidas no item anterior a partir da utilização do Software GeoGebra 
(https://www.geogebra.org/). Use as mesmas funções escolhidas para 𝑔(𝑥) e ℎ(𝑥). 
 
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) − ℎ(𝑥) 𝑔(𝑥) ℎ(𝑥) 
=x³ - 2x² - 20x + 30 X³ 2x² + 20x + 30 
 
ETAPA 2: Método da Bisseção 
 
3. No Excel, sem utilizar a função “SE”, aplique o Método da Bisseção para calcular a quinta (𝑥4) aproximação 
da raiz positiva da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 10. Para tanto, isole a raiz num intervalo [𝑎, 𝑏] (𝑎 e 𝑏 naturais) de 
comprimento 1, isto é, 𝑏 − 𝑎 = 1. 
 
𝑥4 𝑓(𝑥4) |𝑥4 − 𝑥3| 
3,15625 0,038086 0,031250 
 
4. Agora, fazendo uso da função “SE”, calcule a trigésima (𝑥29) aproximação da raiz. 
 
𝑥29 𝑓(𝑥29) |𝑥29 − 𝑥28| 
3,1622777 0 0 
 
5. Calcule √10 com uma calculadora científica e compare o valor encontrado com 𝑥29. 
 
Calculando √10 na calculadora obtemos 3,16227766017. 
https://www.geogebra.org/
 
 
 
 
Obs.: Comparando o valor obtido no Excel vemos que ambos representam a mesma quantidade, portanto temos 
uma excelente aproximação para a raiz de f(x). No Excel está apenas representado menos casas decimais da raiz, 
devido ao número de casas utilizadas para arredondamento. 
 
 
 
 
ETAPA 3: Método de Newton 
 
6. No Excel, isolando a raiz de 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 4 num intervalo [𝑎, 𝑏] (𝑎 e 𝑏 inteiros) de comprimento 1, 
isto é, 𝑏 − 𝑎 = 1 e utilizando o Método de Newton, complete o quadro abaixo: 
 
𝜀 (Tolerância) 
Nº mínimo de 
iterações 
𝑥𝑛 𝑓(𝑥𝑛) 
10−1 2 -2,354305393352 -0,00169474846 
10−4 3 -2,354242758736 -0,000000001390 
10−9 4 -2,354242758223 -0,000000000514 
 
7. Use o GeoGebra para esboçar o gráfico da função 𝑓(𝑥) e determinar sua raiz. Em seguida, compare suas 
respostas para a raiz encontrada no caso em que a tolerância é 𝜖 ≤ 10−9. 
 
 
 
 
 Corre para x= 0 
Com a utilização do gráfico geogebra, encontramos para a função 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 4 o mesmo valor 
calculado para x4 pelo método de Newton, com exceção de algumas casas decimais devido arredondamento. 
 
 
 
 
 
 
 
ETAPA 4: Método da Iteração Linear 
 
 
8. Em relação ao Método da Iteração Linear, considere a função 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − cos⁡(𝑥) e 𝑥0 = 0,5. Justificando 
sua resposta, quais as possibilidades para a função de iteração 𝐹(𝑥)? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observando o esboço do gráfico, se percebe a existência de uma única interseção, onde além disso essa interseção 
Corre para x=0 no intervalo (0,1) . Segundo o enunciado da questão podemos reduzir ainda mais esse valor , 
sabendo que x0 = 0,5. 
Com o intervalo conhecido, devemos verificar se todas as hipóteses para aplicação do método da iteração linear 
são satisfeitas. Conclui-se que f(x) é contínua no intervalo {0,5, 1} e possui único zero nesse intervalo. 
 
 
 
 
 
 
 
9. Sejam 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − cos⁡(𝑥), 𝑥0 = 0,5 e uma função de iteração 𝐹(𝑥) convenientemente escolhida. No Excel, 
levando em consideração a sequência de raízes 𝑥𝑛, complete a tabela abaixo: 
 
𝑥𝑛 Raiz aproximada 𝑓(𝑥𝑛) Erro (|𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1|) 
𝑥5 0,8667538751 0,8650399272 0,005068762479 
𝑥15 0,8654740586 0,8654740244 0,0000001009455659 
𝑥18 0,8654740221 0,8654740334 0,000000003926832415 
𝑥32 0,8654740331 0,8654740331 0 
 
10. Use o GeoGebra para esboçar o gráfico da função 𝑓(𝑥) determinar sua raiz. Por fim, compare suas respostas 
para a raiz encontrada (𝑥32). 
 
 
 
 
 
 
Encontramos para a função f(𝑥) = 𝑥3 − cos⁡(𝑥), o mesmo valor calculado para x32, pelo método da iteração 
linear, sempre levando em consideração a exceção de algumas casas decimais devido fator de arredonadamento. 
 
 
 
 
 
 
VI. Avaliação do experimento 
 
 
Bem interessante realizar os cálculos e depois o gráfico, fica mais claro no entendimento da matéria. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VII. Referências 
 
 
 
 
BARROSO, L. C; BARROSO, M. M. A.; FILHO, F. F. C.; CARVALHO, M. L. B.; MAIA, M. L. Cálculo Numérico com aplicações; 
2ª Edição. São Paulo; Harbra, 1987