Calculo Numérico Computacional Atividade 3

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ROTEIRO DE PRÁTICA 
Tema 
Implementação dos Métodos Numéricos para Resolução de 
Equações Unidade 01 
Disciplina (s) Cálculo Numérico Computacional 
Data da 
última 
atualização 
03/02/2020 
I. Instruções e observações 
 
LEIA COM ATENÇÃO AS SEGUINTES INSTRUÇÕES E OBSERVAÇÕES 
1. É importante o conhecimento prévio de métodos numéricos para obtenção de raízes de equações 
(Métodos Gráfico, Bisseção, Newton, Iteração Linear). 
2. É imprescindível ter o roteiro da prática em mãos. 
3. Consulte o material de apoio (e-book unidade 1). 
II. Equipamentos, materiais, reagentes ou produtos 
Descrição Quantidade 
Roteiro da prática 1 
Calculadora científica 1 
Computador ou Notebook 1 
III. Introdução 
Existem alguns métodos numéricos para a obtenção de raízes de equações. As técnicas numéricas nos fornecem 
soluções próximas da solução exata. De modo geral, esses métodos geram uma sequência de números reais, que se 
aproximam de uma raiz exata da equação. Para a aplicação dos métodos, podemos utilizar recursos computacionais 
acessíveis e de fácil manuseio, como Excel e o software GeoGebra. 
 
IV. Objetivos de Aprendizagem 
 
 Aplicar o método da iteração linear para determinar uma aproximação refinada para uma raiz de uma função. (
Capstone) 
 Realizar o refinamento da raiz através dos métodos da bisseção, de Newton e da iteração linear. 
 Avaliar as vantagens e desvantagens dos métodos da bisseção, de Newton e da iteração linear. 
 
 
 V. Experimento 
ETAPA 1: Método Gráfico 
 
1. Utilizando o Método Gráfico, determine a quantidade e os sinais das raízes da função: 
𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥2 − 20𝑥 + 30. 
 
 
 
 
 
 
 
A figura a seguir mostra a função gráfica g(x) em verde e a função h(x) em cinza, além de suas respectivas raízes, 
que são os pontos em que o eixo x é cortado. 
 
 
Como pode ser visto na figura anterior, as raízes de f(x) estão no intervalo [-5,5]. Fazendo a substituição dos 
valores pertencente ao intervalo nas funções h(x) e g(x) temos: 
 
Como visto na tabela, entre x= -5 e x=-4 o sinal da função f(x) inverte, assim entre x=1 e x=2 e também entre x=4 
e x=5. Sendo assim, as raízes exatas estão entre [-5,-4], [1,2] e [4,5]. 
 
 
 
 
2. Compare as respostas obtidas no item anterior a partir da utilização do Software GeoGebra 
(https://www.geogebra.org/). Use as mesmas funções escolhidas para 𝑔(𝑥) e ℎ(𝑥). 
 
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) − ℎ(𝑥) 𝑔(𝑥) ℎ(𝑥) 
f(x)=x³+2x²+20x-30 g(x)=x³ h(x)=-2x²-20x+30 
 
 
ETAPA 2: Método da Bisseção 
 
3. No Excel, sem utilizar a função “SE”, aplique o Método da Bisseção para calcular a quinta (𝑥4) aproximação 
da raiz positiva da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 10. Para tanto, isole a raiz num intervalo [𝑎, 𝑏] (𝑎 e 𝑏 naturais) de 
comprimento 1, isto é, 𝑏 − 𝑎 = 1. 
 
𝑥4 𝑓(𝑥4) |𝑥4 − 𝑥3| 
3,15625 -0,038086 0,031250 
 
4. Agora, fazendo uso da função “SE”, calcule a trigésima (𝑥29) aproximação da raiz. 
 
𝑥29 𝑓(𝑥29) |𝑥29 − 𝑥28| 
3,162277 0 0 
 
5. Calcule √10 com uma calculadora científica e compare o valor encontrado com 𝑥29. 
 
 
Encontramos para √10 o mesmo valor calculado para 𝑥29 pelo método da bisseção, 
com exceção de algumas casas decimais no final que foram diferentes, isso se deve a arredondamentos feitos 
durante o processo. 
 
ETAPA 3: Método de Newton 
 
6. No Excel, isolando a raiz de 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 4 num intervalo [𝑎, 𝑏] (𝑎 e 𝑏 inteiros) de comprimento 
1, isto é, 𝑏 − 𝑎 = 1 e utilizando o Método de Newton, complete o quadro abaixo: 
 
𝜀 (Tolerância) 
Nº mínimo de 
iterações 
𝑥𝑛 𝑓(𝑥𝑛) 
10−1 1 -2,378299446 -0,065294151 
10−4 3 -2,354242759 -1,94422E-09 
10−9 4 -2,354242758 0,0000000000 
 
7. Use o GeoGebra para esboçar o gráfico da função 𝑓(𝑥) e determinar sua raiz. Em seguida, compare suas 
https://www.geogebra.org/
 
 
 
 
respostas para a raiz encontrada no caso em que a tolerância é 𝜖 ≤ 10−9. 
 
 
 
O valor do exercício 6 para 𝜖 ≤ 10−9 foi muito próximo para o encontrado através do GeoGebra. 
 
 
 
 
 
ETAPA 4: Método da Iteração Linear 
 
 
8. Em relação ao Método da Iteração Linear, considere a função 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − cos (𝑥) e 𝑥0 = 0,5. Justificando 
sua resposta, quais as possibilidades para a função de iteração 𝐹(𝑥)? 
 
f(x)=0 
x³-cos(x)=0 
x³=cos(x) 
 
x=∛cos (𝑥 ) x= 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠(𝑥 ) 
 F(x)= ∛cos (𝑥 ) F(𝑥)= 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 (𝑥 ) 
 
 𝑥0: 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠(0,5³)= 
 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 (0,125)= 1,44 
 
 𝑥1: 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠(1,44³)= 
 𝑎 𝑟𝑐𝑜𝑠(2,98) Não existe! Tem que variar entre 
 - 1 e 1; sendo que 2,98 é maior. 
 
 
 
A possibilidade é a F(x)= ∛cos (𝑥 ). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. Sejam 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − cos (𝑥), 𝑥0 = 0,5 e uma função de iteração 𝐹(𝑥) convenientemente escolhida. No 
Excel, levando em consideração a sequência de raízes 𝑥𝑛, complete a tabela abaixo: 
 
𝑥𝑛 Raiz aproximada 𝑓(𝑥𝑛) Erro (|𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1|) 
𝑥5 0,866753875087241 0,00385523966289814 0,005068762 
𝑥15 0,865474058648975 0,0000000768602201883795 0,00000010094556590623 
𝑥18 0,865474032107809 -0,0000000029899004383438 
 
0,00000000133053834616703 
𝑥32 0,865474033101614 0,00000000000000000000000 0,000000000000000999200722162641 
 
10. Use o GeoGebra para esboçar o gráfico da função 𝑓(𝑥) determinar sua raiz. Por fim, compare suas 
respostas para a raiz encontrada (𝑥32). 
 
 
 
Utilizando o GeoGebra, encontramos um valor muito próximo ao calculado na questão anterior com exceção 
de algumas casas decimais devido a arredondamentos. Essa diferença é: E = 0,865474033101614- 
0,8654740331058 = -0,000000000004186 
 
 
VI. Avaliação do experimento 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VII. Referências 
BARROSO, L. C; BARROSO, M. M. A.; FILHO, F. F. C.; CARVALHO, M. L. B.; MAIA, M. L. Cálculo Numérico com 
aplicações; 2ª Edição. São Paulo; Harbra, 1987