Questão resolvida - De acordo com a definição, a inversa de uma matriz é aquela que, multiplicada pela matriz original, ... - Álgebra Linear - Centro Universitário Faculdade Maurício de Nassau

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• De acordo com a definição, a inversa de uma matriz é aquela que, multiplicada pela 
matriz original, resulta em uma matriz identidade.
 
I. F Uma matriz identidade consiste em uma matriz cujos elementos da diagonal principal ( )
sejam nulos e os demais possuem valor unitário.
 
II. F Uma matriz inversa também pode ser chamada de matriz oposta.( )
 
III. V Uma matriz cujo determinante vale zero, não possue matriz inversa.( )
 
VI. V A matriz A = não possue matriz inversa.( )
1 3 2
2 0 4
3 2 6
 
V. F A matriz A = é a inversa da matriz A = ( ) -1
1 3 2
2 0 4
3 2 6
1 2 3
0 1 4
0 0 1
Resolução:
 
I. Não existe essa relação para a matriz identidade F→
 
II. A matriz oposta é aquela que somada a matriz resulta em uma matriz nula, já a inversa é 
aquela que quando multiplicada pela matriz resulta na matriz identidade F→
 
III. Sim, toda matriz cujo determinante é zero não possui matriz inversa V→
 
 
VI. Para não existir inversa, é preciso que o determinante seja zero, façamos o determinate;
 
Logo, como o determinante é igual a zero, a matriz não possui inversa V→
 
V. Vamos usar uma regra prática para obter a inversa da matriz, o pimeiro passo é achar 
o determinante, usando a regra Sarrus, temos;
 
Encontrado o determinante, vamos usar a mesma matriz usada para achar o determinanate, 
para isso, basta repetir as 2 primeiras linhas no final da matriz;
Agora, eliminamos a primeira linha e primeira colunas da matriz encontrada e chegamos a 
uma matriz ;4x4
 
 
 
1 3 2
2 0 4
3 2 6
1 3
2 0
3 2
= -0 - 8 - 36 + 0 + 36 + 8 det = 0→
-
2 ⋅
0 ⋅
3
(
)
-
1 ⋅
4 ⋅
2
(
)
-
3 ⋅
2 ⋅
6
(
)
+
1
⋅ 0
⋅ 6
(
)
+
3
⋅ 4
⋅ 3
(
)
+
2
⋅ 2
⋅ 2
(
)
det =
1 2 3
0 1 4
0 0 1
1 2
0 1
0 0
= -0 - 0 - 0 + 1 + 0 + 0 det = 1→
-
0 ⋅
1 ⋅
3
(
)
-
0 ⋅
4 ⋅
1
(
)
-
1 ⋅
0 ⋅
2
(
)
+
1
⋅ 1
⋅ 1
(
)
+
2
⋅ 4
⋅ 0
(
)
+
3
⋅ 0
⋅ 0
(
)
det =
1 2 3 1 2
0 1 4 0 1
0 0 1 0 0
1 2 3 1 2
0 1 4 0 1
O próximo passo é encontrar a matriz adjunta, essa matriz é uma matriz , obtida fazendo 3x3
penquenos determinantes na matriz encontrada anteriormente, da seguinte forma;
 
 
1 2 3 1 2
0 1 4 0 1
0 0 1 0 0
1 2 3 1 2
0 1 4 0 1
→
1 4 0 1
0 1 0 0
2 3 1 2
1 4 0 1
a = det = 1 ⋅ 1 - 4 ⋅ 0 = 1 - 0 = 1
1 4 0 1
0 1 0 0
2 3 1 2
1 4 0 1
→ 11
1 4
0 1
matriz adjunta→
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
a = det = 0 ⋅ 3 - 2 ⋅ 1 = 0 - 2 = - 2
1 4 0 1
0 1 0 0
2 3 1 2
1 4 0 1
→ 12
0 1
2 3
a = det = 2 ⋅ 4 - 3 ⋅ 1 = 8 - 3 = 5
1 4 0 1
0 1 0 0
2 3 1 2
1 4 0 1
→ 13
2 3
1 4
a = det = 4 ⋅ 0 - 0 ⋅ 1 = 0 - 0 = 0
1 4 0 1
0 1 0 0
2 3 1 2
1 4 0 1
→ 21
4 0
1 0
a = det = 1 ⋅ 1 - 3 ⋅ 0 = 1 - 0 = 1
1 4 0 1
0 1 0 0
2 3 1 2
1 4 0 1
→ 22
1 0
3 1
 
Finalmentente a inversa da matriz é igual ao seu determinante vezes a matriz a adjunta;
 
A = 1 ⋅ = ≠ F-1
1 -2 5
0 1 -4
0 0 1
1 -2 5
0 1 -4
0 0 1
1 3 2
2 0 4
3 2 6
→
 
 
a = det = 3 ⋅ 0 - 4 ⋅ 1 = 0 - 4 = - 4
1 4 0 1
0 1 0 0
2 3 1 2
1 4 0 1
→ 23
3 1
4 0
a = det = 1 ⋅ 0 - 0 ⋅ 0 = 0 - 0 = 0
1 4 0 1
0 1 0 0
2 3 1 2
1 4 0 1
→ 31
0 1
0 0
a = det = 0 ⋅ 2 - 0 ⋅ 1 = 0 - 0 = 0
1 4 0 1
0 1 0 0
2 3 1 2
1 4 0 1
→ 32
0 0
1 2
a = det = 1 ⋅ 1 - 2 ⋅ 0 = 1 - 0 = 1
1 4 0 1
0 1 0 0
2 3 1 2
1 4 0 1
→ 33
1 2
0 1
Encontrados os termos, a matriz adjunta é : =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
1 -2 5
0 1 -4
0 0 1