AD1_GAI_2023_1_Gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Geometria Anaĺıtica I
1a Avaliação a Distância - GABARITO
1o Semestre de 2023
Código da disciplina: Matemática, Engenharia de Produção e Engenharia Mete-
reológica EAD 01052
F́ısica EAD 01078
Questão 1 [3,5 pontos] Dados os pontos A = (1, −2) e B = (0, 0). O lugar geométrico formado
por todos os pontos P tal que d(P, A) =
√
2d(P, B) formam o ćırculo C. Considere esses dados para
responder as seguintes questões.
(a) [2,0 pontos] Encontre as coordenadas do centro e o raio do ćırculo C.
(b) [1,5 ponto] Verifique que o ponto Q = (0, −1) pertence a C e determine as coordenadas do
ponto R de tal forma que o segmento RQ seja um diâmetro de C.
Resolução
(a) Seja o ponto P = (x, y) ∈ C. Substituindo em d(P, A) =
√
2d(P, B) obtemos:
d(P, A) =
√
2d(P, B)√
(x − 1)2 + (y + 2)2 =
√
2
√
x2 + y2
(x − 1)2 + (y + 2)2 = 2(x2 + y2)
x2 − 2x + 1 + y2 + 4y + 4 = 2x2 + 2y2
5 = x2 + 2x + y2 − 4y,
completando quadrados tem-se
5 + 1 + 4 = x2 + 2x + 1 + y2 − 4y + 4
10 = (x + 1)2 + (y − 2)2.
Assim, o centro do ćırculo tem coordenadas C = (−1, 2) e raio r =
√
10.
(b) Para verificar que o ponto Q ∈ C, as suas coordenadas devem satisfazer a equação do ćırculo.
Considerando a equação que obtivemos no item anterior, ao substituirmos as ocorrências de
variáveis pelos respectivos valores das coordenadas de Q realmente obtemos uma identidade,
como se vê a seguir.
(0 + 1)2 + (−1 − 2)2 = 10
12 + (−3)2 = 10
1 + 9 = 10
10 = 10.
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Logo, Q ∈ C.
Agora, ao tomarmos R = (a, b) ∈ C tal que o segmento RQ é um diámetro de C, então o
centro C = (−1, 2) é ponto médio do segmento RQ. Assim
(−1, 2) = (a + 02 ,
b − 1
2 )
⇐⇒ −1 = a + 02 e 2 =
b − 1
2
⇐⇒ −2 = a e 5 = b.
Portanto, R = (−2, 5).
Questão 2 [3,0 pontos] Sejam os pontos A, B, C, D e E tais que ||
−→
BA|| = 6, ||−−→BC|| = 5,
||
−−→
DC|| = 3, ||−−→DE|| = 10, ⟨−→BA, −−→DC⟩ = 0 e sin α = cos β = 35 e cos α = sin β =
4
5 . Determine as
coordenadas do vetor
−→
AE e calcule o valor da sua norma.
[[Dica: Use o sistema de eixos coordenados canônicos OXY no plano R2 onde um vetor u⃗ pode
ser representado na forma u⃗ = ||u⃗||(cos θ, sin θ), onde θ é o ângulo formado pelo vetor u⃗ e o lado
positivo do eixo OX denotado por OX+ e o vetor u⃗ no sentido antihorário. ]
Resolução:
Primeiramente podemos observa que o vetor
−→
AE = −−→AB + −−→BC − −−→DC + −−→DE.
Para resolver o problema, vamos a considerar o sistema de eixos coordenados canônico OXY e
usando a equipolência de vetores identificamos o ponto B com a origem de coordenadas O = (0, 0)
e pontelhamos retas paralelas aos eixos coordenados para identificar o ângulo que formam os vetores
com o semi eixo OX+.
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Logo, podemos observar que:
∠(−→BA, OX+) = 270o
∠(−−→BC, OX+) = β
∠(−−→DC, OX+) = 180o
∠(−−→DE, OX+) = α.
Usando a dica temos:
−→
BA = 6(cos 270o, sin 270o) = 6(0, −1) = (0, −6)
−−→
BC = 5(cos β, sin β) = 5(3/5, 4/5) = (3, 4)
−−→
DC = 3(cos 180o, sin 180o) = 3(−1, 0) = (−3, 0)
−−→
DE = 10(cos α, sin α) = 10(4/5, 3/5) = (8, 6)
Substituindo, temos:
−→
AE = −(0, −6) + (3, 4) − (−3, 0) + (8, 6)
−→
AE = (14, 16) e ||−→AE|| =
√
452 = 2
√
113.
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Questão 3 [3,5 pontos] Considere A, B e C pontos tais que
−→
AB + −→AC = (3, −4) e −−→BC = (5, 4)
para responder as seguintes questões.
(a) [1,5 ponto] Determine as coordenadas do vetor
−→
AC.
(b) [1,0 ponto] Calcule o valor de ⟨
−→
AB,
−→
AC⟩.
(c) [1,0 ponto] Calcule o valor de cos∠(−→AB, −→AC).
Resolução:
(a) No seguinte gráfico podemos observar que
Logo,
−→
AB + −→AC = (3, −4)
−→
AC −
−→
AB = −−→BC = (5, 4)
2−→AC = (8, 0)
−→
AC = (4, 0).
(b) Como
−→
AB + −→AC = (3, −4)
−→
AB + (4, 0) = (3, −4)
−→
AB = (−1, −4).
Então,
⟨
−→
AB,
−→
AC⟩ = ⟨(−1, −4), (4, 0)⟩
⟨
−→
AB,
−→
AC⟩ = (−1)(4) + (−4)(0)
⟨
−→
AB,
−→
AC⟩ = −4.
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(c) Primeiramente calculamos
||
−→
AB|| =
√
(−1)2 + (−4)2
||
−→
AB|| =
√
17
e
||
−→
AC|| =
√
42 + 02
||
−→
AC|| = 4.
Substituindo em
cos∠(−→AB, −→AC) = ⟨
−→
AB,
−→
AC⟩
||
−→
AB||||
−→
AC||
,
obtemos
cos∠(−→AB, −→AC) = −4
4
√
17
= −1√
17
.
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