Cópia de Ponto_Reta

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CMPM VIII 
Geometria Analítica – Ponto e Reta. 
Professor: 
 
 
 Leudo Silva de Abreu 
 
 
 
 
 
 
 
Manaus, Março de 2021. 
1 Geometria Analítica 
O abandono da matemática traz dano a todo o conhecimento, pois aquele que 
a ignora não pode conhecer as outras ciências ou coisas do mundo. 
Roger Bacon 
BOYER, Carl B. História da matemática. Tradução de Elza F. Gomide. São Paulo: Blucher, 
1996. p. 169. 
4 Geometria Analítica 
MATEMÁTICA 
A Geometria Analítica consiste em representar algebricamente os elementos da Geometria. Depois do desenvol- 
vimento do simbolismo matemático e dos processos algébricos até o século XVII, René Descartes e Pierre de Fermat 
começaram, por meio de seus estudos, a esboçar a Geometria Analítica na forma que a conhecemos hoje. 
Pierre de Fermat 
(ca. 1601-1665) 
René Descartes 
(1596-1650) 
O estudo da Geometria Analítica acontece no plano car- 
tesiano, no qual representamos o ponto e a reta, que, com o 
plano, são os entes que nos permitem construir a Geometria. 
O plano cartesiano é formado por duas retas graduadas, 
perpendiculares entre si, chamadas de eixos coordenados. A 
intersecção dos eixos recebe o nome de origem do sistema. 
O ponto é representado no plano cartesiano por um par 
ordenado de números reais que informam a sua localização 
em relação aos eixos das abscissas e das ordenadas (coor- 
denadas). 
As coordenadas do ponto são obtidas pelas projeções 
ortogonais do ponto sobre os eixos, expressando primeiro a 
abscissa e depois a ordenada. No plano cartesiano: 
O eixo horizontal é chamado de eixo das abscissas 
(x); 
O eixo vertical é chamado de eixo das ordenadas 
(y); 
O ponto O é a origem do sistema, ou seja, o encon- 
tro dos eixos; 
Os eixos x e y dividem o plano cartesiano em quatro 
regiões, chamadas quadrantes. 
No plano cartesiano acima, a e b são as coordenadas 
do ponto P, em que: 
a é a abscissa do ponto P; 
b é a ordenada do ponto P; 
o ponto P é indicado pelo par ordenado (a, b). 
Localização de pontos 
em um sistema de 
coordenadas 
5 Ensino Médio | Modular 
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A
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h
iv
es
 
No plano cartesiano a seguir, estão representados alguns pontos. 
a) Determine o par ordenado de cada ponto desse plano. 
b) Qual ponto pertence ao eixo x? Por qual razão? 
c) Qual ponto pertence ao eixo y? Por qual razão? 
d) Escreva a qual quadrante pertence cada ponto. 
e) Represente os pontos G(4, 8), H(–1, –5), I(7, 0), J(0, –9), K(0, 0) e L(–3, 6) no plano cartesiano. 
6 Geometria Analítica 
MATEMÁFTÍISCIACA 
Distância entre dois pontos 
A ecografia, também conhecida como ultrassonografia 
ou ultrassom, é um exame de extrema importância 
durante a gestação. Por meio dele, o médico e os pais 
acompanham o andamento da gravidez, a saúde e o 
desenvolvimento morfológico do feto (cérebro, pulmão, 
fígado, rins, coluna, estrutura óssea, membros superiores e 
inferiores, coração, batimentos cardíacos, etc.) e 
descobrem o sexo do bebê. 
O exame é realizado da seguinte forma: a gestante deita-se 
em uma maca e aplica-se um gel em seu abdômen, local onde 
o médico passa um aparelho chamado transdutor, ligado a um 
computador, que envia ultrassons (ondas de som de alta frequência) para essa região. Essas ondas “batem” no 
bebê e voltam, como eco, para o computador, que as traduz na forma de imagens. Essas imagens são enviadas 
para um vídeo, revelando as formas, posições e movimentos do feto. Por meio delas, o médico também pode 
medir o tamanho de vários órgãos do corpo do bebê. 
Numa gravidez sem problemas, no Brasil, geralmente são feitas entre três e quatro ecografias. 
Entre a 10ª. e 13ª. semana de gravidez, é feita a ecografia de translucência nucal (TN). Nessa ecografia, 
é medida a espessura da TN, localizada na região posterior do pescoço, para verificar o acúmulo de líquido 
nessa região. Quanto maior o acúmulo, maior será a TN. Se houver um acúmulo excessivo de líquido, é grande 
o risco de o bebê ter uma alteração cromossômica, más-formações ou alguma síndrome genética, como síndrome 
de Down. O valor de referência é 2,5 mm, ou seja, se TN ≤ 2,5 mm, é baixo o risco de anomalias; se TN > 2,5 
mm, o risco é maior. Mas esse exame é preliminar, cabendo fazer outros mais minuciosos e começar eventuais 
tratamentos preventivos caso a TN seja maior que 2,5 mm. 
Para medir o tamanho da TN, o médico marca dois pontos em suas extremidades, como mostra a imagem 
a seguir, e o computador mede a distância entre esses dois pontos. 
Vamos supor que os pontos A e B, representados no plano cartesiano a seguir, cuja unidade de medida 
dos eixos é o milímetro, sejam das extremidades da TN de um bebê na 13ª. semana da gestação. 
7 Ensino Médio | Modular 
La
tin
St
oc
k/
Fr
ed
er
ic
 
C
ir
o
u
 
Nessas condições, responda: 
a) Quais são as coordenadas dos pontos A e B? 
b) Represente no plano o ponto C(2, 2). 
c) Os pontos A, B e C formam que figura geométrica? 
d) Com base nas informações e nos conhecimentos sobre a figura geométrica formada pelos pontos, determine 
a distância entre os pontos A e B. 
e) Pelo resultado, o risco de o bebê ter alguma alteração cromossômica é baixo ou alto? Justifique. 
Observando todo o processo realizado para determinar a distância entre os pontos A e B na seção 
anterior, temos que: 
a distância entre os pontos A e B é dada pela medida do segmento AB , que representamos por d; 
as coordenadas dos pontos A e B são, respectivamente, (xA, yA) e (xB, yB); 
pode-se formar um triângulo retângulo, cujos pontos A e B são vértices da hipotenusa e as 
medidas dos catetos são as distâncias entre suas abscissas e ordenadas. 
8 Geometria Analítica 
MATEMÁFTÍISCIACA 
Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos: 
2 2 2 
d = xB − xA + yB − yA 
2 2 2 
d = (xB − xA ) + (yB − yA ) 
Assim: 
Dados dois pontos quaisquer A(xA, yA) e B(xB, yB), num plano cartesiano, a distância entre 
esses pontos é dada por: 
dAB = (xB – xA) 
2 + (yB – yA) 2 
1. Determine a distância entre os pontos A(3, –2) 
e B(–5, 4). 
2. Determine o comprimento do segmento DE, 
sendo que D(1, 7) e E(6, 19). 
3. A distância entre os pontos A e B é 5 u.c. Com 
base na figura, determine as coordenadas do 
ponto A. 
5. Verifique algebricamente se o triângulo forma- 
do pelos pontos A(–3, 12), B(5, 12) e C(–3, 18) 
é retângulo e determine o seu perímetro. 
6. O ponto P pertence à bis- 
setriz do 1º. quadrante do 
plano cartesiano. Determi- 
ne as suas coordenadas, sa- 
bendo que ele dista 10 u.c. 
da origem. 
4. Determine o perímetro do triângulo ABC per- 
tencente ao plano cartesiano a seguir, com 
aproximação de uma casa decimal. (Cada qua- 
drinho tem 1 u.c. como medida do lado.) 
Bissetriz é uma 
semirreta com 
origem no vértice do 
ângulo, que o divide 
em dois ângulos 
congruentes. 
9 Ensino Médio | Modular 
7. (ENEM) Um bairro de uma cidade foi planejado 
em uma região plana, com ruas paralelas e per- 
pendiculares, delimitando quadras de mesmo 
tamanho. No plano de coordenadas cartesia- 
nas seguinte, esse bairro localiza-se no segun- 
do quadrante, e as distâncias nos eixos são da- 
das em quilômetros. 
A reta de equação y = x + 4 representa o 
planejamento do percurso da linha do metrô 
subterrâneo que atravessará o bairro e outras 
regiões da cidade. No ponto P (–5, 5), localiza- 
-se um hospital público. A comunidade solici- 
tou ao comitê de planejamento que fosse pre- 
vista uma estação do metrô de modo que sua 
distância ao hospital, medida em linha reta, 
não fosse maior que 5 km. Atendendo ao pe- 
dido da comunidade, o comitê argumentou 
corretamente que isso seria automaticamente 
satisfeito, pois já estava prevista a construção 
de uma estação no ponto: 
a) (–5, 0) 
b) (–3, 1) 
c) (–2,1) 
d) (0, 4) 
e) (2, 6) 
Ponto médio 
No plano cartesiano, estão representados os pontos A e B que formam o segmento AB , cuja unidade de 
medida dos eixos é o centímetro. 
Com base no plano, determine: 
a) A medida do segmento AB. 
Em seguida, meça a distância 
entre os pontos A e B com o 
auxílio de uma régua para 
con- ferir o resultado 
encontrado. 
10 Geometria Analítica 
FÍS MATEMÁTISCIACA 
b) Ponto médio de um segmento de reta é o ponto 
que divide o segmento em duas partes iguais. 
Sendo assim, com o auxílio de uma régua, marque 
no plano cartesiano o ponto médio M do segmen- 
to AB e escreva as suas coordenadas. 
d) Fazendo a mesma comparação da ordenada do 
ponto M com as ordenadas dos pontos A e B, 
o que se pode observar? 
c) Comparando a abscissa do ponto M com as abs- 
cissas dos pontos A e B, o que se pode observar? 
Sendo assim, temos: 
Sendo M o ponto médio do segmento AB , em que A(xA, yA) e B(xB, yB), a abscissa do ponto 
M é a média aritmética entre as abscissas de A e B, assim como a ordenada do ponto M é a 
média aritmética entre as ordenadas de A e B. 
x A + xB y A + yB 
x = e y = M M 
2 2 
Sendo assim, temos: 
Em um triângulo ABC, a reta que contém a mediana 
relativa ao lado BC passa pelo ponto A e o ponto médio 
M do lado BC. 
11 Ensino Médio | Modular 
M=
xA+xB
2
;
yA+yB
2
 
1. Determine as coordenadas do ponto médio M 5. Um triângulo ABC tem A(–7, 1), B(–8, –5) e 
do segmento AB, quando: 
a) A(3, 7) e B(–1, –7) 
b) A(0, –9) e B(3, –2) 
C(–3, –3) como vértices e como mediana. AM 
Determine as coordenadas do ponto M. 
6. O ponto G é determinado pela intersecção das 
medianas em um triângulo ABC. Chamado de 
baricentro, o ponto G é o centro gravitacional 
do triângulo. 
2. Determine as coordenadas do ponto médio M do 
segmento AB e localize-o no plano cartesiano. 
3. Na figura os pontos A(0, 8) e B(16, 8) perten- 
cem à circunferência e é um diâmetro. AB 
G é o baricentro; 
AM, BN e CP são as medianas. 
O baricentro G(xG, yG) é dado por: 
x A + xB + xC y A + yB + yC 
x = e y = G G 
3 3 
Então, determine o baricentro G do triângulo 
DEF, sendo D(–3, 5), E(4, 8) e F(5, 8). 
Nessas condições, responda: 
a) Qual é a medida do diâmetro da circunferência? 
b) Qual é a medida do raio da circunferência? 
c) Quais são as coordenadas do centro O da cir- 
cunferência? 
4. O paralelogramo ABCD pertence a um plano 
cartesiano, em que A(1, 5), B(–1, 1), C(2, 4) e 
D(xD, yD). 
7. (PUC-Campinas – SP) Os pontos (0; 0), (1; 3) e 
(10; 0) são vértices de um retângulo. O quarto 
vértice do retângulo é o ponto: 
a) (9; –3) 
b) (9; –2) 
c) (9; –1) 
d) (8; –2) 
e) (8; –1) 
Determine as coordenadas dos pontos D e M. 
12 Geometria Analítica 
G=
xA+xB+xC
3
;
yA+yB+yC
3
 
Sendo assim, temos: 
MATEMÁFTÍISCIACA 
Medicina 
Medicina é a ciência que estuda as doenças, suas causas e consequências a fim de tratá-las, com ob- 
jetivo de buscar cura ou amenizar seus efeitos. O médico é o profissional responsável por estas atribuições 
da Medicina. 
O curso de Medicina tem duração média de 6 anos, em período integral, e tem matérias, como Anatomia, 
Patologia (consideradas básicas), Bases Moleculares e Celulares, Fisiopatologia dos Sinais e Sintomas de 
Doenças, entre outras. 
Embora a Matemática se faça presente no curso de Medicina em disciplinas como a Bioestatística, na 
prática da Medicina, ela se torna muito mais evidente. Pode-se perceber a Matemática no planejamento 
terapêutico das mais variadas doenças, no desenvolvimento de modelos para a dinâmica do sistema cardio- 
vascular, respiratório e crescimento de tumores. São funções matemáticas que auxiliam o médico no cálculo 
da frequência cardíaca ou respiratória de um paciente, permitindo um diagnóstico preciso sobre o seu estado, 
aumentando as chances de êxito nos diagnósticos e tratamentos de disfunções fisiológicas. 
Também a dosagem de determinados medicamentos é indispensável durante a recuperação dos pacientes, 
pois, se houver algum excesso ou falta de substância no organismo, pode haver alteração radical no metabo- 
lismo. Em casos cirúrgicos, a medida certa do anestésico, que é calculada com base na massa do paciente, 
pode determinar o desfecho de uma cirurgia. 
O médico cardiologista trata de 
doenças relacionadas ao coração 
e ao sistema cardiovascular 
O médico geriatra é 
especialista em saúde 
de idosos 
Equação da reta 
Com apenas dois pontos distintos, pode-se construir uma reta. Quando uma reta passa por três 
pontos, esses pontos são colineares. 
G
lo
w
im
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Condição de alinhamento de três pontos 
Observe os dois planos cartesianos a seguir. 
a) No plano cartesiano I, os pontos A, B e C são 
colineares? 
b) Utilize a relação anterior para verificar se os pontos 
A(1, 1), B(4, 2) e C(7, 3) são colineares. 
Nestas condições, é possível existir um triângulo 
ABC? 
Qual a relação entre as medidas dos segmentos 
AB , BC e AC ? 
Definição de determinante 
Quando uma matriz A tem 3 linhas e 3 colunas, ou seja, nove elementos, o determinante fica 
definido por: 
a11 
a21 
a31 
a12 
a22 
a32 
a13 
a23 
a33 
det A = 
det A = a11 . a22 . a33 + a12 . a23 . a31 + a21 . a32 . a13 – a13 . a22 . a31 – a12 . a21 . a33 – a11 . a23 . a32 
Essa definição tem um dispositivo prático denominado Regra de Sarrus, idealizado pelo matemático 
Pierre Frédéric Sarrus (1798-1861). 
14 Geometria Analítica 
Lê-se Sarri 
MATEMÁFTÍISCIACA 
c) Utilize as coordenadas dos pontos A, B e C para g) Utilize as coordenadas dos pontos D, E e F para 
xA 
xB 
xC 
yA 
yB 
yC 
1 
1 . 
1 
xD 
xE 
xF 
yD 
yE 
yF 
1 
1 . 
1 
calcular o determinante de calcular o determinante de 
h) Compare os resultados dos determinantes. O que 
você percebeu? d) No plano cartesiano II, os pontos D, E e F são 
colineares? Justifique. 
e) Nessas condições, é possível existir um triângulo 
DEF? 
i) Verificando geometricamente, represente os pontos 
A, B e C no plano cartesiano III e os pontos D, E e 
F no plano cartesiano IV. f) Utilizando a relação obtida no item a, verifique se 
os pontos D(–2, –3), E(1, 3) e F(7, 1) são colineares. 
15 Ensino Médio | Modular 
Verifique de forma algébrica o que vimos na seção. 
Observe que se pode aplicar o Teorema de Tales, pois AD ⁄ ⁄ BE ⁄ ⁄ CF, assim como AG ⁄ ⁄ BH ⁄ ⁄ CI. 
Assim, temos: 
y − y AB DE AB 
= 2 1 = ⇒ ( I ) 
AC DF AC y3 − y1 
x − x AB GH AB 
= 2 1 = ⇒ ( II ) 
AC GI AC x3 − x1 
Com relação a I e II, temos que: 
x2 − x1 = 
y2 − y1 
x3 − x1 y3 − y1 
(x2 – x1) ∙ (y3 – y1) = (x3 – x1) ∙ (y2 – y1) 
x2y3 – x2y1 – x1y3 + x1y1 = x3y2 – x3y1 – x1y2 + x1y1 
x2y3 − x2y1 − x1y3 + x1y1 − x3y2 + x3y1 + x1y2 − x1y1 = 0 
x1y2 + x2y3 + x3y1 − x3y2 − x2y1 − x1y3 = 0 (III) 
x1 
x2 
x3 
y1 
y2 
y3 
1 
1 , temos: 
1 
Representando o determinante 
x1 
x2 
x3 
y1 
y2 
y3 
1 
1 = (x1 ⋅ y2 ⋅ 1 + x2 ⋅ y3 ⋅ 1 + x3 ⋅ y1 ⋅ 1) − (x3 ⋅ y2 ⋅ 1 + x2 ⋅ y1 ⋅ 1 + x1 ⋅ y3 ⋅ 1) = 
1 
= x1y2 + x2y3 + x3y1 − x3y2 − x2y1 − x1y3 (IV) 
Observe que o 1º. membro da equação III é igual à expressão IV. 
Assim: 
xA 
xB 
xC 
yA 
yB 
yC 
1 
1 = 0 
1 
Se os pontos A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) são colineares, 
então 
16 Geometria Analítica 
MATEMÁFTÍISCIACA 
1. Verifique em cada item se os pontos dados são 
colineares, justificando a sua resposta. 
a) A(4, 3), B(6, 5) e C(9, 8) 
b) D(–3, 5), E(–6, –4) e F(2, –3) 
c) G(–10, 4), H(–7, 1) e I(–3, –3) 
d) J(3, –2), K(0, –1) e L(–1, 0) 
3. Os pontos A(–9, –8), B(1, 6) e C(–3; 0,4) são vér- 
tices de um triângulo? Justifique a sua resposta. 
4. Determine a condição para que o ponto P(x, y) 
esteja alinhado com os pontos A(1, 2) e B(2, 1). 
5. (UEA– AM) Qual é o valor de p para o qual os 
pontos (3p, 2p), (4, 1) e (2, 3) são colineares? 
a) –1 
c) 1 
e) 3 
b) 0 
d) 2 2. Determine o valor de p, para que os pontos 
A(p, 2), B(0, p – 2) e C(2, 5) sejam colineares. 
Equação geral da reta 
Numa reta, há infinitos pontos, mas como descobrir se um determinado ponto dado pertence a uma reta dada? 
Para encontrar a resposta, vamos retomar algumas questões. 
a) Qual o número mínimo de pontos que determinam uma reta? 
b) Qual a condição para que um terceiro ponto (C) pertença a uma reta que contém os pontos A e B? 
c) Desta forma, qual a equação nas variáveis x e y, para que o ponto A(x, y) seja colinear aos pontos 
B(–6, 3) e C(1, –2)? 
17 Ensino Médio | Modular 
d) Que tipo de equação foi encontrado no item anterior? Graficamente, como ela é representada? 
e) De acordo com a resposta do item anterior, verifique se os pontos D(8, –7) e E(3, 4) são colineares aos 
pontos B e C, ou seja, se pertencem à reta que contém os pontos B e C: 
No item c da seção anterior, foi determinada a equação da reta que passa pelos pontos B(–6, 3) 
e C(1, –2). 
Vamos verificar algebricamente como determinar a equação da reta r definida por dois pontos, 
A(xA, yA) e B(xB, yB), que contenha um ponto P(x, y). 
Observe que os dois pontos dados, A e B, têm as coordenadas conhecidas, sendo que P(x, y) é um 
ponto qualquer da reta r, ou seja, suas coordenadas são variáveis. 
Como A, B e P são colineares, temos que: 
x 
xA 
xB 
y 
yA 
yB 
1 
1 
1 
 = 0 
Pela Regra de Sarrus, temos: 
xyA + yxB + xAyB – xByA – yxA – xyB = 0 
(yA – yB) ∙ x – (xA – xB) ∙ y + (xAyB – xByA) = 0 
(yA – yB) ∙ x + (xB – xA) ∙ y + (xAyB – xByA) = 0 
Fazendo yA – yB = a, xB – xA = b e xAyB – xByA = c, temos a equação da reta r: ax + by + c = 0. 
Assim: 
Toda reta pertencente a um plano cartesiano tem uma equação correspondente na forma 
ax + by + c = 0, em que a e b são números reais, com a z 0 ou b z 0. Essa equação é chamada 
de equação geral da reta. 
18 Geometria Analítica 
MATEMÁFTÍISCIACA 
4. No plano cartesiano, represente a reta 
r: 3x – y – 9 = 0. 
1. Observe a reta no plano cartesiano a seguir. 
a) Determine a equação dessa reta. 
a) No mesmo plano, represente o gráfico que 
expressa uma função f: R o R definida pela 
lei de formação f(x) = 3x – 9. 
b) Que relação há entre a equação da reta r e a 
função? 
5. As retas r: 2x – y – 8 = 0 e s: 2x + y – 8 = 0 têm 
um ponto P em comum. Quais as coordenadas 
desse ponto? 
b) Verifique se os pontos A(1; –0,5) e B(0,8; 2) 
pertencem a essa reta. 
2. Determine a equação da reta que passa pelo pon- 
to A(–3, –6) e pela origem do plano cartesiano. 
3. Os pontos A(0, 2), B(6, 5) e C(3, 8) determinam, 
no plano, o triângulo ABC. Verifique se a reta 
s: 2x – 3y + 9 = 0 passa pelo baricentro desse 
triângulo. 
6. Um triângulo é formado por dois lados conti- 
dos nas retas de equações r: 4x – 2y – 12 = 0 
e s: 4x + 2y – 28 = 0 e o eixo das abscissas. 
Determine a área deste triângulo. 
Coeficiente angular da reta 
A reta no plano cartesiano apresenta um ângulo de inclinação D em relação ao sentido positivo 
do eixo das abscissas. 
19 Ensino Médio | Modular 
No plano cartesiano a seguir, estão representados 
os pontos A(3, 2) e B(7, 5) e o ângulo de inclinação D. 
O coeficiente angular de uma reta é um 
número real m que pode ser determinado pelo 
valor da tangente do ângulo formado, à direita 
e acima, pela reta e o eixo das abscissas. 
c) Pelas relações trigonométricas do triângulo re- 
tângulo ABC, determine o coeficiente angular 
da reta desse plano. 
a) Como é classificado o triângulo formado pelos 
pontos A, B e C? 
b) O que se pode afirmar quanto à medida do ângu- 
lo interno do vértice A do triângulo em relação 
ao ângulo de inclinação D? 
É importante observar o caso em que D = 90°. Assim: 
O coeficiente angular m da reta é dado por 
yB − y A 
m = tg α = Para D = 90°, isto é, a reta é vertical, a tg D não é defi- 
nida. Dizemos então que a reta não tem coeficiente angular. 
x − x B A 
20 Geometria Analítica 
MATEMÁFTÍISCIACA 
Equação fundamental da reta 
Já vimos que com dois pontos é possível cons- 
truir uma reta. Mas no plano cartesiano é possível 
também construir uma reta conhecendo-se um ponto 
pertencente a ela e o seu coeficiente angular m. 
Observe: 
Assim, temos: 
y − y0 
m = 
x − x0 
Desta forma, temos a equação fundamental da 
reta. Para construir a reta da figura acima, representa- 
mos o ponto P(x0, y0) e, com o ângulo de inclinação 
D, traçamos a reta. 
Para representar algebricamente essa reta, com 
seu coeficiente angular m, insere-se um ponto auxi- 
liar R(x, y), como mostra a figura: 
Equação fundamental da reta 
y – y0 = m ∙ (x – x0) 
1. Determine o coeficiente angular das retas representadas nos planos cartesianos a seguir: 
a) b) 
21 Ensino Médio | Modular 
c) d) 
e) O coeficiente angular da reta r é positivo ou negativo? Por quê? 
f) O coeficiente angular da reta s é positivo ou negativo? Por quê? 
g) O coeficiente angular da reta t é positivo ou negativo? Por quê? 
h) O coeficiente angular da reta u é positivo ou negativo? Por quê? 
2. Determine a equação fundamental da reta que 
passa pelo ponto A(2, 5) e que tem inclinação 
de 60º. 
3. Determine a equação geral da reta r que passa 
pelo ponto P(–3, –8) e tem o coeficiente angu- 
lar igual a 2. 
4. (UEA – AM) Qual é a equação da reta que contém os pontos (3; 4) e (4; −1)? 
a) y = x + 1 
b) y = x − 5 
c) y = 5x − 21 
d) y = 5x − 11 
e) y = −5x + 19 
22 Geometria Analítica 
 
Equação 
MATEMÁFTÍISCIACA 
Eq reduzida da reta 
O coeficiente angular da reta abaixo é 3. b) Determine o valor de y, encontrando assim as 
coordenadas do ponto B. 
Sendo B(x, y), responda: 
a) Qual o valor de x? Justifique a sua resposta. 
c) Escreva, de forma geral, as coordenadas de um 
ponto P qualquer, onde a reta intersecta o 
eixo das ordenadas. 
A equação da reta pode ser escrita na forma reduzida, a 
partir do ponto de intersecção da reta com o eixo das ordenadas. 
y – q = m ∙ (x – 0) 
y – q = mx 
Assim, isolando y no 1º. membro, temos a equação re- 
duzida da reta. 
Equação reduzida da reta 
y = mx + q 
Em que: 
m é o coeficiente angular da reta; 
q é o coeficiente linear da reta, pois ele representa 
o valor da ordenada do ponto em que a reta intersecta 
o eixo y. A reta, de coeficiente angular m, intersecta o eixo das 
ordenadas no ponto Q. Substituindo os dados na equação 
fundamental da reta, temos: 
No estudo da função afim, cuja forma geral é f(x) = ax + b, vimos que essa função é 
representada graficamente sempre por uma reta e que a é o seu coeficiente angular. 
Assim, a equação reduzida da reta pode ser associada à forma geral da função afim, 
já estudada. 
Função afim: f(x) = ax + b 
Equação reduzida da reta: y = mx + q 
23 Ensino Médio | Modular 
1. Determine os coeficientes angulares e lineares das 
equações das retas que passam pelos pontos: 
a) A(–6, 1) e B(2, –8). 
b) D(0, –1) e E(–2, 1). 
2. O gráfico a seguir descreve os custos de produ- 
ção de uma determinada peça, onde se apre- 
sentam três pontos colineares. 
Nessas condições determine: 
a) a equação reduzida da reta desse gráfico. 
b) o custo para a produção de 400 peças. 
c) a quantidade de peças que podem ser produ- 
zidas ao custo de R$ 22.000,00. 
3. Escreva a equação da reta que é bissetriz do 1º. 
e do 3º. quadrantes do plano cartesiano. 
4. Escreva a equação da reta que passa pela ori- 
gem e tem o ângulo de inclinação de 135°. 
5. (FUVEST – SP) Os coeficientes angulares dos la- 
dos de um triângulo são 1, –1 e zero. Conclui-se 
que o triângulo é: 
a) equilátero. 
b) retângulo. 
c) escaleno. 
d) acutângulo. 
e) obtusângulo. 
b) Observe o plano cartesiano a seguir, em que há 
duas retas: r e s. 
Os trilhos de trem nos dãoa 
ideia de retas paralelas c) Como afirmar, algebricamente, que as retas r e 
s no plano cartesiano são paralelas? 
a) Escreva com suas próprias palavras a definição 
acima. 
24 Geometria Analítica 
G
lo
w
im
ag
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s/
M
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R
o
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Você consegue determinar todas as coordenadas dos pontos que formam o nosso Rinoceronte?