Questão resolvida - A regra de L'Hospital é uma regra utilizada para calcular de forma mais simples limites que são indeterminações do tipo 0 divido por 0 ou ... - Regra de L'Hospital e números comple

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• A regra de L'Hospital é uma regra utilizada para calcular de forma mais simples limites 
que são indeterminações do tipo divido por ou infinito dividido por infinito; essa 0 0
regra consiste em derivar o numerador e denominador de uma fração separadamente 
até que o limite seja possível de calcular. Utilizando a Regra de L'Hospital, temos que 
lim
z→1-i
z + z - 1 + 3i
z - z + 1 + i z
2
3 2 ( )
é igual a
 
I +)
1
10
8i
10
 
II +)
3
10
11i
10
 
III +)
9
10
7i
10
 
IV - +)
3
10
9i
10
 
 A) Somente a opção I está correta.
 
 B) Somente a opção III está correta.
 
 C) Somente a opção IV está correta.
 
 D) Somente a opção II está correta.
 
Resolução:
 
Primeiro, devemos saber que;
i = - 12
 
 
 
Substituindo o limite e resolvendo;
=lim
z→1-i
z + z - 1 + 3i
z - z + 1 + i z
2
3 2 ( )
1 - i + 1 - i - 1 + 3i
1 - i - 1 - i + 1 + i 1 - i
( )2 ( )
( )3 ( )2 ( )( )
... = indeterminação que podemos aplicar a regra de L'Hospital
0
0
→
 
Sendo assim, derivadando o numerador e denominador da expressão do limite, temos;
 
=lim
z→1-i
z + z - 1 + 3i
z - z + 1 + i z
2
3 2 ( )
lim
z→1-i
2z + 1
3z - 2z + 1 + i2 ( )
 
Substituindo o limite na expressão resultante, fica;
 
= =lim
z→1-i
2z + 1
3z - 2z + 1 + i2 ( )
2 1 - i + 1
3 1 - i - 2 1 - i + 1 + i
( )
( )2 ( ) ( )
2 ⋅ 1 - 2i + 1
3 1 - 2i + i - 2 ⋅ 1 + 2i + 1 + i( )2 ( )2
 
= = =
2 - 2i + 1
3 1 - 2i + i - 2 + 2i + 1 + i2
2 - 2i + 1
3 ⋅ 1 - 3 ⋅ 2i + 3 -1 - 1 + 3i( )
3 - 2i
3 - 6i - 3 - 1 + 3i
= = ⋅ = =
3 - 2i
-1 - 3i ⏫⏪⏪⏪⏪⏪⏪⏪⏪ de conjugado do número
complexo
3 - 2i
-1 - 3i
-1 + 3i
-1 + 3i
3 - 2i -1 + 3i
-1 - 3i -1 + 3i
( )( )
( )( )
-3 + 9i + 2i - 6i
-1 - 3i
2
( )2 ( )2
 
= = = =
-3 + 11i - 6 -1
1 - 3 i
( )
( )2( )2
-3 + 11i + 6
1 - 9 -1( )
3 + 11i
1 + 9
3 + 11i
10
 
= = +lim
z→1-i
z + z - 1 + 3i
z - z + 1 + i z
2
3 2 ( )
lim
z→1-i
2z + 1
3z - 2z + 1 + i2 ( )
3
10
11i
10
 
 
= =
1 - 2i + -i + 1 - i - 1 + 3i
1 - 3 1 i + 3 ⋅ 1 ⋅ i - i - 1 + 2i - i + 1 - i
( )2
( )3 ( )2 2 3 2 2 2
1 - 2i + -i + 1 - i - 1 + 3i
1 - 3i + 3 -1 + i - 1 + 2i + 1 + 1 + 1
( )2
( )
Aplicando a técnica
(Resposta)