lista05 - pre calculo

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Algumas
entas graficas como Derive,
-e. _Wathead, Mathematiea e 0
azem derivac;ao simb61ica.
~ fazem derivac;ao numeric a
do a derivada usando
ula
f(x + ~x) - {(x - ~x)
= 2~;
1" e urn numero pequeno, por
.0.0,001. Voce pode no tar
=ado no ultimo metodo?
~LIlplo,usando 0 segundo
"" . qual a derivada da func;ao
= xl no ponto x = O?
l~ [j(x) - j(c)] = l~ [(x - c)(j(x; = ~(c))J
[I' ( )J[I' j(x) - j(c)j= 1m x - c 1m
x~c x~c X - C
= (O)[f'(c)]
=0
Como j(x) - j(c) se aproxima de zero, segue que!im j(x) = j(c). Portanto,je con-
" X---7C
tlllua no ponto x = c.
- fcios 1e 2, de urn valor aproximado da inclinac;ao do
defnos pontos (X1'Y1) e (xz,Yz)·
As afirmas;6es abaixo sintetizam a relas;ao entre os conceitos de continuidade e
derivabi!idade.
1. Se uma funs;ao e derivavel no ponto x = c, entao ela tambem e continua neste
ponto. Logo, derivabi!idade implica continuidade.
2. Uma funs;ao pode ser continua num ponto x = c sem que ela seja derivavel neste
ponto. Logo, continuidade nao implica derivabilidade.
'cios 3 e 4, use 0 grafieo da figura abaixo. (Na pagina
lIO"w.mathgraphs.com pode-se imprimir uma versao
do grafieo.)
3. Identifique au esboce na figura cada item abaixo.
(a) f(1) andf(4) (b) f(4) - f(1)
(c) y = f(~ = {(1) (x - 1) + f(1)
4. Preencha os espac;os em branco abaixo usando 0 sfmbolo
« ou » de forma correta.
(a) f(4) - f(l)
4 - 1
(b) f(4) - f(l)
4 - 1
f(4) - f(3)
4-3
Nos Exercicios 5 a 10, determine 0 eoeficiente angular da reta
tangente ao grafieo da func;ao no ponto dado.
5. f(x) = 3 - 2x,
7. g(x) = XZ - 4,
9. f(t) = 3t - t2,
6. g(x) = ~x + 1,
8. g(x) = 5 - x2,
10. h(t) = t2 + 3,
(-2,-2)
(2, 1)
(-2,7)
(-1,5)
(1, -3)
(0,0)
Nos Exercicios 11 a 24, ealcule a derivada da func;ao dada
usando a definic;ao via limite.
11. f(x) = 3
13. f(x) = - 5x
15. h(s) = 3 + ~s
17. f(x) = 2x2 + x-I
19. f(x) = x3 - 12x
1
21. f(x) = x-I
23. f(x) = J.X+l
12. g(x) = -5
14. f(x) = 3x + 2
16. f(x) = 9 - !x
18. f(x) = 1 - x2
20. f(x) = x3 + x2
1
22. f(x) = 2
x
4
24. f(x) = h
~NOS Exercicios 25 a 32, (a) determine a equac;ao da reta tan-
gente ao grafieo da func;ao f no ponto dado, (b) use uma fer-
ramenta gnifiea para desenhar 0 grafieo da func;ao e da sua
reta tangente no ponto dado, (c) use 0 recurso de derivafiio da
ferramenta grafica para confirmar suas respostas.
41. Areta tangente ao grafico da func;;aoy = g(x) no ponto (5, 2)
passa pelo ponto (9, 0). Encontre 0 valor de g(5) e g'(5).
42. Areta tangente ao grafico da func;;ao y = hex) no ponto
(- 1, 4) passa pelo ponto (3, 6). Encontre 0 valor de h( -1) e
h'(-I).
25. f(x) = x2 + 1, (2,5)
26. f(x) = x2 + 2x + 1, (-3,4)
27. f(x) = x3, (2, 8) 28. f(x) = x3 + 1, (1,2)
29. f(x) = h, (1, 1) 30. f(x) =~, (5,2)
4 1
31. f(x) = x + -, (4,5) 32.f(x) = --1' (0,1)
x x +
Nos Exercicios 33 a 36, encontre uma reta tangente ao grafico
da fum;ao f e que seja paraleia it reta dada.
Questoes Conceituais
Nos Exercicios 43 a 46, de urn esbo-.o do grafico de 1'.
Justifique como obteve a sua resposta.
44. y
x
x -4 -2 2 4
-2
f
-6
46. y
7
6
Funfiio
33. f(x) = x3
34. f(x) = x3 + 2
1
35. f(x) = h
1
36. f(x) = ~
yx - 1
Reta
3x-y+I=0
3x - y - 4 = 0
Nos Exercicios 37 a 40, e dado 0 grafico da fun-.ao f. Escolha
corretamente 0 grafico de 1'.
x x
x -1 12345678
x 47. Fac;;aurn esboc;;o do grafico de urna func;;ao cuja derivada
-3 -2-1 1 2 3 em todo ponto seja negativa.
39. 40.
48. Fac;;aurn esboc;;o do grafico de urna func;;ao cuja derivada
y y em todo ponto seja positiva.
5 Nos Exerdcios 49 a 52 0 limite dado representa f'(c) da
4
3
fun-.ao f no ponto x = c. Determine a fun-.ao f e 0 ponto c.
2
49. Iirn [5 - 3(1 + Lix)] - 2 (- 2 + Lixp + 8
1 50. Iirn Lix~x--.o Lix ~--.o
x x
-1 1 2 3 4 5 -3 -2-1 1 2 3 -x2 + 36 2h- 6
51. lirn
x - 6 52. lirn x-9x--.6 X--.79
(a) y (b) y
5 4 Nos Exercicios 53 a 55, determine a fun-.ao f que tern as ca·
4 3 racteristicas dadas. A seguir, fa-.a urn esbo-.o do grafico da
3 2 f' fun-.ao.
2
1 f' x 53. f(O) = 2; 54. f(O) = 4;f' (0) = 0;
-3 -2-1 1 2 3x
f'(x) = -3, -00 < x < 00 rex) < 0 para x < 0;-I 1 2 3 4 5 -2
rex) > o para x > 0
(c) y (d) y 55. f(O) = 0;/'(0) = O;r(x) > 0 se x oF 0
3
2 f'
56. Assurna que r(c) = 3. Calcule 1'( -c) se (a) f e urna func;;ao
1 impar e se (b) f e urna func;;aopar.
x x
Nos Exercicios 57 e 58, encontre a equa-.ao das duas retas tan-
~
1 2 3
gentes ao grafico da fun-.ao f e que passam pelo ponto dado.
-3 57. f(x) = 4x - x2 58. f(x) = x2
:: 0 que voce pode deduzir sobre 0 gnifico de g sabendo
que g'(1) = -~?
o que voce pode deduzir sobre 0 gnifico de g sabendo
que g'( -4) = ~?
:= 0 valor g(6) - g(4) e positivo ou negativo? Justifique a
sua resposta.
Pode-se obter 0 valor de g(2) a partir do gnifico acima?
Justifique a sua resposta.
- r;rumentariio Gra.fica Use uma ferramenta gnifica para
:es.enhar 0 gnifico das fun,<oes abaixo e das suas retas tan-
nos pontos x = -1, x = 0 e x = 1. Usando os resul-
obtidos como base, determine se os coeficientes angu-
~:: das retas tangentes ao gnifico de uma fun,<ao SaD todos
.,...;tos.
Grdfica, Numerica e Analitica Nos Exercicios 61 e 62,
ferramenta gratica para desenhar 0 gnifieo da func;ao
al0 [-2,2]. A partir do gnifieo obtido, fac;a uma esti-
da inclinac;ao nos pontos indieados e use-a para
:J!E:~d:tler a tabela. A seguir, ealcule a inclinac;ao analitica-
compare seus resultados com os obtidos grafieamente.
======-=2=~
-.1' = ix3 62. j(x) = ~X2
!:.~l":=~1af,'iio Grd.fica Nos Exercicios 63 e 64, use uma ferra-
gnifiea para desenhar os grafieos das func;oes j e g na
janela. A func;ao g e dada por
j(x + 0,01) - j(x)
0,01
Nos Exercicios 65 e 66, ealeulef(2) ef(2,1) e use os resultados
para dar urn valor aproximado de 1'(2).
Argumentariio Grdfica Nos Exercicios 67 e 68, esboee os gra-
fieos de f el' na mesma janela, usando uma ferramenta grafi-
ca. Identifique eada grafieo e desereva a relac;ao existente entre
eles.
1
67. j(x) = .JX x
3
68. j(x) = 4 - 3x
Redariio Nos Exercicios 69 e 70, eonsidere as func;oes f e SAx
onde
SAx(X) = f(2 + ~~ - f(2) (x - 2) + f(2)
rn (a) Desenhe os grafieos de f e SAx na mesma janela usan-
do uma ferramenta grafiea, para l1x = 1, 0, 5 e 0,1.
(b) Desereva 0 grafieo da func;ao S para os varios valores
de l1x dados em (a).
1
70. j(x) = x + -
x
Nos Exercicios 71 a 80, use a formulac;ao alternativa de deriva-
da para eneontrar a derivada no ponto x = c, easo esta exista.
71. j(x) = x2 - 1, C = 2
72. g(x) = x(x - 1), C = 1
73. j(x) = x3 + 2x2 + 1, C = -2
74. j(x) = x3 + 2x, C = 1
75. g(x) =~, C = 0
76. j(x) = l/x, C = 3
77. j(x) = (x - 6)2/3, C = 6
78. g(x) = (x + 3)1/3, C = -3
79. h(x) = Ix + 51, C = -5
80. j(x) = Ix - 41. C = 4
Nos Exercicios 81 a 86, desereva os valores de x nos quais a
func;ao f e derivaveI.
181. j(x) =--
x + 1
\
2 ,
I-I
I
I
,-2
I
-4 -2 +
-4+
Nos Exercicios 91 a 94, encontre a derivada lateral it esquerda
e a derivada lateral it direita no ponto x = 1, caso estas exis-
ta~n';~Lnopontox = 1?
91. f(x) =lx - 11
92. f(x) = v"T - x2
93. f(x) = {(x - 1)3, x:S;
(x - 1)2, x >
94 f(x) = {x, x :s; Mostre que f e continua em x = 0 mas nao e derivavel n
. x2, x > I ponto.
N E ,. 95 96 d . f - d d 'd . , I Mostre que g e derivavel em x = 0 e calcule g'(O).os xerClCIOS e , etermme se a un.;ao a a e envave
no ponto x = 2. ff 104. Redafiio Fa9a urn esb090 dos graficos das fun9--
{
2 + 1 x:s; 2 f(x) = x2 + I e g(x) = Ixl + 1 na mesma janela, us
95. f(x) = x , uma ferramenta grafica. Usando os recuros de "zoom-
4x - 3, x > 2 "trace" analise os graficos em torno do ponto (0, 1). Ese
( ) _ {~x + 1, x < 2 urn paragrafo curto descrevendo 0 significado geometrico96. f x - r;> d . b'I'd d-v 2x, x 2': 2 enva 11 a e em urn ponto.
x2
84. f(x) = x2 _ 4
{
x2 - 4,
86. f(x) = 4 _ x2,
x:S;O
x>O
~Analise Grafica Nos Exercicios 87 a 90, utilize uma ferra·
menta gnifica para achar os valores de x nos quais a fun.;ao f
seja derivavel.
87. f(x) = Ix + 31
2x
88. f(x) = x-I
89. f(x) = x2/5
90. f(x) = I;:= ~~ + 3x, x:s;
x>
97. Argumentafiio Grafica Uma reta com coeficienteangular
m passa pel0 ponto (0, 4) e sua equa9ao e y = mx + 4.
(a) Determine a distiincia d entre a reta dada e 0 ponto (3, 1)
como fun9ao de m.
Ad (b) Usando uma ferramenta grafica desenhe 0 grafico da
fun9ao d. Tomando 0 grafico como base, a fun9ao d e
derivavel para todos os valores de m? Caso nao seja
encontre os pontos em que ela nao e derivavel.
98. Conjectura Considere as fun90es f(x) = x2 e g(x) = x3.
(a) Fa9a urn esb090 do grafico de f e de f' na mesma figura.
(b) Fa9a urn esb090 do grafico de g e de g' na mesma figura
(c) Encontre uma rela9ao entre f e g e suas derivadas. U
esta rela9ao para formular uma conjectura sobre h'(x)
hex) onde hex) = x", com n urn inteiro e n 2': 2.
(d) Se f(x) = x4 encontre f'(x). Compare 0 resultado com
sua conjectura. Isto prova a sua conjectura? Justifique
sua resposta.
Verdadeiroou Falso? Nos Exercicios 99 a 102, verifique se Ie
afirma.;oes sao verdadeiras ou falsas. No caso em que a af'ir·
ma.;ao seja falsa, justifique a sua resposta ou de urn exempl
mostrando que e falsa.
99. 0 coeficiente angular da reta tangente ao grafico da fun '
derivavel f no ponto (2,f(2)) e dado por f(2 + ~~ - f(2) .
100. Uma fun9ao que e contInua num ponto tambem e deriv,h
neste ponto.
101. Se uma fun9ao possui derivadas laterais a esquerda e ad'
ta num determinado ponto, entao esta fun9ao e deriva\
neste ponto.
102. Se uma fun9ao e derivavel num ponto dado, entao ela tar::-
bem e contInua neste ponto.
103 S d f() {
xsenl, x =1= 0 () {x2sen-L.enox= x egx= x
0, x = 0 0,