atividade 3 calculo numerico computacional

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Interpolar uma função f(x) é aproximá-la por outra função g(x), selecionada 
entre uma classe de funções que satisfazem certas propriedades. Normalmente, 
precisamos recorrer a esta ferramenta em 2 situações: a primeira, quando são 
conhecidos apenas alguns valores numéricos da função para um conjunto de pontos, e é 
necessário calcular o valor da função em um ponto não tabelado; a segunda, quando a 
função em estudo tem uma expressão tal que operações como a diferenciação e a 
integração são difíceis (ou impossíveis) de serem realizadas (FERNANDES, 2015, p. 
101). 
FERNANDES, D. B. Cálculo numérico. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2015. 
Considere a tabela a seguir, a qual relaciona o calor específico da água e a temperatura 
e, a partir do exposto acima, utilize a fórmula de Lagrange para determinar o polinômio 
interpolador de maior grau possível que modela o calor específico em função da 
temperatura. Em seguida, calcule o calor específico da água a 27,5 graus célsius. 
 
 
 
Temperatura (graus celsius) 20 25 30 35 
Calor específico 0,99907 0,99852 0,99826 0,99818 
 
 
Resolução do problema: 
Como temos 4 pontos na tabela apresentada acima, teremos um polinômio de 
grau 3. 
 
POLIMONIO DE LAGRANGE DE GRAU 3 
P3 (x) = 𝑦0.
(𝑥 − 𝑥1)
(𝑥0 − 𝑥1)
.
(x − x2)
(𝑥0 − 𝑥2)
.
(𝑥 − 𝑥3)
(𝑥0 − 𝑥3)
+ 𝑦1.
(x − x0)
 (𝑥1 − 𝑥0)
.
(𝑥 − 𝑥2)
(𝑥1 − 𝑥2)
.
(𝑥 − 𝑥3)
(𝑥1 − 𝑥3)
+ 𝑦2.
(x − x0)
 (𝑥2 − 𝑥0)
.
(𝑥 − 𝑥1)
(𝑥2 − 𝑥1)
.
(𝑥 − 𝑥3)
(𝑥2 − 𝑥3)
 + 𝑦3. 
(x − x0)
 (𝑥2 − 𝑥0)
.
(𝑥 − 𝑥1)
(𝑥2 − 𝑥1)
.
(𝑥 − 𝑥2)
(𝑥3 − 𝑥2)
 
 
Substituindo os valores temos: 
 
P3 (x) = 0,99907.
(𝑥 − 25)
(20 − 25)
.
(x − 30)
(20 − 30)
.
(𝑥 − 35)
(20 − 35)
+ 
0,99852.
(x − 20)
 (25 − 20)
.
(𝑥 − 30)
(25 − 30)
.
(𝑥 − 35)
(25 − 35)
+ 
0,99826.
(x − 20)
 (30 − 20)
.
(𝑥 − 25)
(30 − 25)
.
(𝑥 − 35)
(30 − 35)
 + 
0,99818. 
(x − 20)
 (35 − 20)
.
(𝑥 − 25)
(35 − 25)
.
(𝑥 − 30)
(35 − 30)
 
 
Para encontrar o polinômio P(x) que aproxima da função f(x), resolvemos a questão: 
P3 (x) = 0,99907.
(𝑥 − 25)
(−5)
.
(x − 30)
(−10)
.
(𝑥 − 35)
(−15)
+ 
0,99852.
(x − 20)
 (5)
.
(𝑥 − 30)
(−5)
.
(𝑥 − 35)
(−10)
+ 
0,99826.
(x − 20)
 (10)
.
(𝑥 − 25)
(5)
.
(𝑥 − 35)
(−5)
 + 
0,99818. 
(x − 20)
 (15)
.
(𝑥 − 25)
(10)
.
(𝑥 − 30)
(5)
 
 
P3 (x) = 0,99907.
(𝑥 − 25). (x − 30). (𝑥 − 35)
−750
+ 
0,99852.
(𝑥 − 20). (x − 30). (𝑥 − 35)
250
+ 
0,99826.
(𝑥 − 20). (x − 25). (𝑥 − 35)
−250
 + 
0,99818. 
(𝑥 − 20). (x − 25). (𝑥 − 30)
750
 
 
P3 (x) = − 0,001332093333. (x − 25). (x − 30). (x − 35) 
+0,003994080000. (x − 20). (x − 30). (x − 35) 
−0,003993040000. (x − 20). (x − 25). (x − 35) 
+0,001330906667. (x − 20). (x − 25). (x − 30) 
 
P3 (x) = − 0,001332093333. (𝑥2 − 55x + 750) . (x − 35) 
+0,003994080000. (𝑥2 − 50x + 600) . (x − 35) 
−0,003993040000. (𝑥2 − 45x + 500) . (x − 35) 
+0,001330906667. (𝑥2 − 45x + 500) . (x − 30) 
 
P3 (x) = − 0,001332093333. (𝑥3 − 90𝑥2 + 2675x − 26250) 
+0,003994080000. (𝑥
3
− 85𝑥2 + 2350x − 2100) 
−0,003993040000. (𝑥
3
− 80𝑥2 + 2075x − 17500) 
+0,001330906667. (𝑥
3
− 75𝑥2 + 1850x − 1500) 
 
P3 (x) = − 0,001332093333𝑥3 + 0,119888400000𝑥2 − 3,563349666667𝑥 
+34,967450000000 + 0,003994080000𝑥3 − 0,339496800000𝑥2 
+9,386088000000𝑥 − 83,875680000000 − 0,003993040000𝑥3 
+0,319443200000𝑥2 − 8,285558000000𝑥 − 69,878200000000 
+0,001330906667𝑥3 − 0,099818000000𝑥2 + 2,462177333333𝑥 − 19,963600000000 
 
Para ter o valor de calor especifico para a temperatura de 27,5º C substituímos o valor 27,5 na função 
polinomial. 
 
P (27,5) = − 0,000000146667 . 27,53 + 0,00001680000000 . 27,52 − 0,000642333333 . 27,5
+ 1,006370000000 
 
Ao final de todo calculo obtivemos a resposta: 
𝑷(𝟐𝟕, 𝟓) = 𝟎, 𝟗𝟗𝟖𝟑𝟖𝟕𝟑𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎