convolucao_3

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Parte I
Propriedades da Convolução
Propriedade (Integral)
Ix∗y(t) = x(t) ∗ Iy(t) = Ix(t) ∗ y(t) = u(t) ∗ x(t) ∗ y(t)
Propriedade (Derivada)
d
dt
(x(t) ∗ y(t)) = ẋ(t) ∗ y(t) = x(t) ∗ ẏ(t)
pois
d
dt
∫ +∞
−∞
x(τ)y(t− τ)dτ = d
dt
∫ +∞
−∞
y(τ)x(t− τ)dτ
=
∫ +∞
−∞
x(τ)ẏ(t− τ)dτ =
∫ +∞
−∞
y(τ)ẋ(t− τ)dτ
Propriedades gerais da convolução
Comutativa
x1(t) ∗ x2(t) = x2(t) ∗ x1(t)
Prova:
x1(t) ∗ x2(t) =
∫ +∞
−∞
x1(τ)x2(t− τ)dτ
=
∫ +∞
−∞
x1(t− ν)x2(ν)dν
=
∫ +∞
−∞
x2(ν)x1(t− ν)dν
= x2(t) ∗ x1(t)
1
Propriedades gerais da convolução
Associativa
x1(t) ∗ (x2(t) ∗ x3(t)) = (x1(t) ∗ x2(t)) ∗ x3(t)
Prova:
x1(t) ∗ (x2(t) ∗ x3(t)) = x1(t) ∗
∫ +∞
−∞
x2(t− τ)x3(τ)dτ
=
∫ +∞
−∞
x1(t− ν)
(∫ +∞
−∞
x2(ν − τ)x3(τ)dτ
)
dν
integrando primeiro em ν e depois em τ , e trocando ν − τ por ξ, tem-se
x1(t) ∗ (x2(t) ∗ x3(t)) =
∫ +∞
−∞
x3(τ)
(∫ +∞
−∞
x2(ξ)x1((t− τ)− ξ)dξ
)
︸ ︷︷ ︸
x1(t)∗x2(t)|t−τ
dτ
= x3(t) ∗ (x1(t) ∗ x2(t))
Propriedades gerais da convolução
Distributiva com relação à soma
x1(t) ∗ (x2(t) + x3(t)) = x1(t) ∗ x2(t) + x1(t) ∗ x3(t)
Prova:
x1(t) ∗ (x2(t) + x3(t)) =
∫ +∞
−∞
x1(τ)(x2(t− τ) + x3(t− τ))dτ
= x1(t) ∗ x2(t) + x1(t) ∗ x3(t)
Convolução com a resposta ao impulso de um sistema LIT
Theorem 1. A sáıda de um sistema linear a invariante no tempo é a con-
volução da resposta ao impulso com a entrada, isto é,
y[n] = G{x[n]} = h[n] ∗ x[n], y(t) = G{x(t)} = h(t) ∗ x(t)
sendo h[n] = G{δ[n]} e h(t) = G{δ(t)} as respostas ao impulso de um sistema
discreto e cont́ınuo, respectivamente.
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Demonstração.
G{x(t)} = G{x(t) ∗ δ(t)} = G
{∫ +∞
−∞
x(τ)δ(t− τ)dτ
}
=
∫ +∞
−∞
x(τ)G {δ(t− τ)} dτ =
∫ +∞
−∞
x(τ)h(t− τ)dτ
= x(t) ∗ h(t)
Resposta ao impulso e causalidade
Propriedade
Sistemas lineares e invariantes no tempo são causais se e somente se a resposta
ao impulso é nula para instantes negativos, ou seja,
h[n] = 0 para n < 0 ou h(t) = 0 para t < 0
pois
y(t) =
∫ 0
−∞
x(t− τ)h(τ)dτ︸ ︷︷ ︸
futuro
+
∫ +∞
0
x(t− τ)h(τ)dτ
Exemplo
O sistema linear e invariante no tempo cuja resposta ao impulso é
h[n] = δ[n+ 1]
é não causal, pois h[−1] = 1. Note que h[n] ∗ x[n] = x[n+ 1].
Resposta ao impulso e BIBO estabilidade
Propriedade
Sistemas lineares e invariantes no tempo são BIBO estáveis se e somente
se a resposta ao impulso é absolutamente integrável (somável para sistemas
discretos), isto é,∫ +∞
−∞
|h(τ)|dτ < +∞ ou
+∞∑
k=−∞
|h[k]| < +∞
Prova:
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• Suficiência: se
∑+∞
k=−∞ |h[k]|, então |x[n]| ≤ b implica
|y[n]| ≤
+∞∑
k=−∞
|x[n− k]||h[k]| ≤ b
+∞∑
k=−∞
|h[k]| < +∞
Resposta ao impulso e BIBO estabilidade
• Necessidade: considere a entrada limitada x[n] = sinal(h[−n]), sendo
sinal(ν) =
{
−1, ν < 0
1, ν > 0
A sáıda y[n], para n = 0, é
y[0] =
+∞∑
k=−∞
x[−k]h[k] =
+∞∑
k=−∞
sinal(h[k])h[k] =
+∞∑
k=−∞
|h[k]|
Portanto, para que a sáıda seja limitada, é necessário que a resposta ao
impulso seja absolutamente somável.
Exemplo
O sistema LIT cuja resposta ao impulso é dada por
h(t) = u(t+ 2)
não é BIBO estável, pois a integral do valor absoluto de h(t) diverge.
Resposta ao degrau (sistemas cont́ınuos)
• A resposta do degrau pode ser expressa em termos da resposta ao im-
pulso
yu(t) =
∫ +∞
−∞
h(τ)u(t− τ)dτ
=
∫ t
−∞
h(τ)dτ
• Em outras palavras, para se obter a resposta ao degrau basta integrar
a resposta ao impulso.
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Resposta ao degrau (sistemas discretos)
• A resposta do degrau pode ser expressa em termos da resposta ao im-
pulso
yu[n] =
+∞∑
k=−∞
h[k]u[n− k]
=
n∑
k=−∞
h[k]
• A resposta ao impulso em termos da resposta ao degrau é
h[n] = yu[n]− yu[n− 1]
Resposta em frequência (sistemas cont́ınuos)
Considere x(t) = ejωt, logo a sáıda de um sistema LIT cont́ınuo é
y(t) =
∫ +∞
−∞
h(τ)ejω(t−τ)dτ
= ejωt
∫ +∞
−∞
h(τ)e−jωτdτ
= ejωtH(jω)
• H(jω) é denominada resposta em frequência do sistema linear e inva-
riante no tempo cont́ınuo.
• A resposta em frequência pode, também, ser escrita como
H(jω) = M(ω)ejφ(ω), ω ∈ (−∞,+∞)
sendo M(ω) = |H(jω)| o módulo e φ(ω) = H(jω) a fase da resposta
em frequência.
Resposta em frequência (sistemas discretos)
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Considere x[n] = ejωn, logo a sáıda de um sistema LIT discreto é
y[n] =
+∞∑
k=−∞
h[k]ejω(n−k)
= ejωn
+∞∑
k=−∞
h[k]e−jωk
= ejωnH(ejω)
• H(ejω) é denominada resposta em frequência do sistema linear e inva-
riante no tempo discreto.
• A resposta em frequência pode, também, ser escrita como
H(ejω) = M(ω)ejφ(ω), ω ∈ [−π,+π]
sendo M(ω) = |H(ejω)| o módulo e φ(ω) = H(ejω) a fase da resposta
em frequência.
Resposta em frequência
• Os sinais ejωt (sistemas cont́ınuos) e ejωn (sistemas discretos) são de-
nominados auto-função do sistema.
Definição (Auto-função)
Um sinal de entrada é denominado auto-função de um sistema se a sáıda
correspondente for igual ao sinal de entrada multiplicado por uma constante
(em geral complexa).
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