aula5 Convolucao

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Tópico: Convolução Referência: Páginas 160 a 184 do Capitulo 2 
e páginas 259 a 274 do Capítulo 3 do livro Sinais e Sistemas Lineares, B. P. Lathi
Professor José Felipe Haffner PUCRS
Observação: Essa apresentação contem figuras extraídas do livro. 1
Disciplina Sinais e Sistemas 
Tópico: Convolução
Referência: Páginas 160 a 184 do Capitulo 2 
e páginas 259 a 274 do Capítulo 3 
do livro Sinais e Sistemas Lineares, B. P. Lathi
Professor José Felipe Haffner PUCRS
Convolução
CONVOLUÇÃO: RESPOSTA DO SISTEMA À 
ENTRADA EXTERNA (ESTADO NULO)
TEMPO CONTINUO: Integral de convolução
TEMPO DISCRETO: Somatório de convolução 
)()()()()( thtxdthxty  



][][][][][ nhnxmnhmxny
m
 


Convolução
CONVOLUÇÃO: RESPOSTA DO SISTEMA À 
ENTRADA EXTERNA (ESTADO NULO)
Quais as informações necessárias para realizar a 
convolução?
1. Conhecimento do sinal de entrada x(t) ou x[n]
2. Conhecimento da reposta impulsiva do 
sistema h(t) ou h[n]
Convolução
CAUSALIDADE E CONVOLUÇÃO
Considerando que o sistema é causal e que o 
sinal de entrada é definido a partir de t = 0, o 
sinal de saída também é definido a partir de t = 0. 
Logo:
)()()()()(
0
thtxdthxty  


][][][][][
0
nhnxmnhmxny
m



Tópico: Convolução Referência: Páginas 160 a 184 do Capitulo 2 
e páginas 259 a 274 do Capítulo 3 do livro Sinais e Sistemas Lineares, B. P. Lathi
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Convolução: Tempo Discreto
PROPRIEDADES DO SOMATORIO DE CONVOLUÇÃO
Comutativa: 
x1[n]* x2[n] = x2[n]* x1[n] 
Distributiva:
x1[n]*( x2[n] + x3[n] ) = x1[n]* x2[n] + x1[n]* x3[n] 
Associativa:
x1[n]*( x2[n] * x3[n] ) = (x1[n]* x2[n] ) *x3[n]
Deslocamento:
se: x1[n]* x2[n] = c[n]
então: x1[n-m]* x2[n-p] = c[n-m-p] 
Convolução: Tempo Discreto 
Convolução com um impulso: 
x[n]* δ[n] = x[n]
Propriedade da largura:
x1[n]* x2[n] = c[n]
Se: x1[n] tem largura w1 e se x2[n] tem largura w2
Então: c[n] tem largura w1 + w2
Convolução: Tempo Discreto 
Observações sobre largura e comprimento de 
sinais discretos:
Comprimento do sinal = numero de amostras
Largura do sinal = numero de amostras -1
O sinal discreto abaixo tem comprimento de 6 e 
largura de 5.
Convolução: Tempo Discreto 
Calculo analítico do somatório de convolução:
Exemplo 3.13: Calcule c[n]=x[n]*g[n]
Sendo x[n]=(0.8)n u[n] e g[n]=(0.3)n u[n]    
 
     ][3.08.02][
0n para
3.0
8.0
3.0][
0n para 3.08.0][
][)3.0(][
11
0
0
nunc
nc
nc
mnumng
nn
n
m
m
n
n
m
mnm
mn




































0
][][][
m
mngmxnc
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Convolução: Tempo Discreto 
Usando Tabela de somatórios de convolução:
Convolução: Tempo Discreto 
Usando procedimento gráfico para realizar a 
convolução de C[n]= x[n] * g[n]
Convolução: Tempo Discreto 
Passo 1: Inverte g[m] com relação ao eixo vertical 
para obter g[-m].
Passo 2: Desloque g[-m] por n unidades para 
obter g[n-m].
Convolução: Tempo Discreto 
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Passo 3: A seguir multiplique x[m] com g[n-m] e 
some todos os produtos para obter c[n] .
Convolução: Tempo Discreto 
Forma gráfica alternativa: Método do 
deslocamento de Fita c[n] = x[n] * g[n]
e g[n]=u[n]
Convolução: Tempo Discreto 


 

amostras outras as para 0
4n2- para 
][
n
nx
Forma gráfica alternativa: Método do 
deslocamento de Fita c[n] = x[n] * g[n]
C[0]= -2x1+ -1x1+0x1= -3
Convolução: Tempo Discreto Convolução: Tempo Discreto 
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Convolução: Tempo Continuo
PROPRIEDADES DA INTEGRAL DE CONVOLUÇÃO
Comutativa: 
x1(t)* x2(t) = x2(t)* x1(t) 
Distributiva:
x1(t)*( x2(t) + x3(t) ) = x1(t)* x2(t) + x1(t)* x3(t) 
Associativa:
x1(t)*( x2(t) * x3(t) ) = (x1(t)* x2(t) ) *x3(t)
Deslocamento:
se: x1(t)* x2(t) = c(t)
então: x1(t-m)* x2(t-p) = c(t-m-p] 
Convolução: Tempo Continuo 
Convolução com um impulso: 
x(t)* δ(t) = x(t)
Propriedade da largura
Convolução: Tempo Continuo 
Calculo analítico da integral de convolução:
Exemplo 2.5: Calcule y(t)=x(t)*h(t)
Sendo x(t)=e-tu(t) e h(t)=e-2tu(t)
 
  )(y(t)
0 tpara 1e)(
 ee)(
0 tpara e)(
)(e) x(e )()(
2
22-
0
2-
0
)(2-
-)(2
tuee
eeety
dty
dety
utueth
tt
tttt
t
t
t
t
t

















 
t
dthxty
0
)()()( 
Convolução: Tempo Continuo 
Gráfico de x(t), h(t) e y(t)
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Convolução: Tempo Continuo 
Usando Tabela de Integrais de convolução:
  )()(
)2(1
*)( 2
2
2 tueetu
ee
eety tt
tt
tt 

 



Convolução: Tempo Continuo 
Usando procedimento gráfico para realizar a 
convolução de C(t)= x(t) * g(t)
Convolução: Tempo Continuo 
Passo 1: Mantenha a função x(τ) fixa e visualize 
a função g(τ) como um objeto rigido e o rotacione 
com relação ao eixo vertical para obter g(τ).
Passo 2: Desloque g(-τ) pelo tempo t > 0 para 
obter g(t-τ).
Convolução: Tempo Continuo
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Desloque g(-τ) pelo tempo t < 0 para obter g(t-τ).
Convolução: Tempo Continuo
Desloque g(-τ) pelo tempo t < 0 para obter g(t-τ).
Convolução: Tempo Continuo
Convolução: Tempo Continuo 
Passo 3: A área debaixo do produto de x(τ) com 
g(t0- τ) é c(t0), o valor da convolução para t = t0
Convolução: Tempo Continuo 
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Convolução: Tempo Continuo 
Exemplo 2.7: x(t)=e-tu(t) e h(t)=e-2tu(t)
Calcule y(t)=x(t)*h(t)
Convolução: Usando a função impulse 
do Matlab
 num=1; 
 den=[1 1]; % definição do sistema
 t=0:0.01:5; % vetor de tempo
 h=impulse(num,den,t); % resposta temporal impulsiva
 x=[ones(1,101) zeros(1,400)]; %sinal de entrada
 tam=length(t);
 xv=zeros(101,tam);
 for k=1:101
 xv(k,k)=1;
 end %montagem do sinal de entrada 
 y=zeros(tam,101);
 for k=1:101
y(:,k)=lsim(num,den,xv(k,:),t); %respostas impulsivas para cada impulso do sinal de entrada 
 end
 for k=1:tam
 yt(k)=sum(y(k,:));
 end %soma de todos os sinais de saída 
 figure(2)
 plot(t,x,t,h,t,yt)
 axis([0 5 0 1.5]);
Convolução: Usando a função conv 
do Matlab
 ti=-2;
 tf=10;
 ta=2*ti:a:2*tf;
 txi=0;
 txf=1;
 x=[zeros(1,abs(ti-txi)*(1/a)+1) ones(1,(txf-txi)*(1/a)) zeros(1,(tf-txf)*(1/a))];
 xa=[ zeros(1,200) x zeros(1,1000)];
 thi=0;
 thf=9.99;
 h=[zeros(1,abs(ti-thi)*(1/a)+1) exp(-1*(thi:a:thf))];
 ha=[zeros(1,200) h zeros(1,1000)];
 y=a*conv(x,h);
 plot(ta,xa,ta,ha,ta,y)
 axis([0 5 0 1.5]);
Convolução: Gráfico gerado pelos scripts
do Matlab
Tópico: Convolução Referência: Páginas 160 a 184 do Capitulo 2 
e páginas 259 a 274 do Capítulo 3 do livro Sinais e Sistemas Lineares, B. P. Lathi
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Observação: Essa apresentação contem figuras extraídas do livro. 9
Sinais e Sistemas: Roteiro de estudo
Energia e potencia de sinais: Exercícios realizados em aula
Componentes par e impar de sinais: Exercício realizado em aula
Classificação de sinais e sistemas:
Operações com sinais contínuos e discretos
Exponencial complexa continua e discreta: Exercício realizado em aula
Modelagem de sistemas discretos: Exercício realizado em aula
Representação interna e externa de sistemas contínuos e discretos:
Exercícios realizados em aula
Resposta temporal a condições iniciais: Exercícios realizado em aula
Resposta temporal a um sinal de entrada: Exercícios realizado em aula
Resposta temporal completa de um sistema
Calculo analítico e por tabela de sinais contínuos e discretos:
Exercícios realizados em aula 
Convolução gráfica de sinais contínuos e discretos:
Exercícios realizados em aula
Convolução: Exercícios: Livro Lathi
2.4-4 a 10: Calculo da convolução
3.8-1 a 5,15 e16:Idem para sistemas discretos
2.4-11, 2.4-13 a 19: Convolução gráfica 
3.8-18 a 22: Idem para sistemas discretos 
Veja também os exercícios resolvidos: 
2,7,2,8 e 2.9
Convolução: Exercícios: Livro HSU
2.4 a 2.7: Convolução
2.28 a 230: Idem para sistemas discretos