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Sinais e Sistemas Engenharia de Controle e Automação Universidade Federal de Lavras Prof. Bruno Henrique Groenner Barbosa Notas de Aula 3 – Análise no Domínio do Tempo e o Operador Convolução Sumário • Equações Diferenciais e de Diferença • Análise no Domínio do Tempo Contínuo • Análise no Domínio do Tempo Discreto • O Somatório de Convolução • A Integral de Convolução Sistemas LIT • Neste curso serão estudados os sistemas LIT ▫ Conhecendo-se o sinal de entrada de um sistema e as equações que o regem, é possível obter o sinal de saída. ▫ No tempo contínuo temos as equações diferenciais e no tempo discreto as equações de diferenças Equações Diferenciais • Os sistemas LCIT ▫ Equações diferenciais: Equações de Diferenças • Os sistemas LDIT ▫ Equações de diferenças: Análise no Domínio do Tempo • Resposta temporal: ▫ Resposta total y(t) ou y[n] ▫ Propriedade da decomposição: � y(t) = condições iniciais + resposta natural forçada � y(t) = resposta entrada nula+ resposta estado nulo Análise no Domínio do Tempo Contínuo • Resposta entrada nula: ▫ x(t) = 0 ▫ A combinação linear de y0(t) e suas n derivadas sucessivas é zero para todo t ▫ Para isso y0(t) e suas n derivadas devem ter a mesma forma ▫ Que função possui essa propriedade? Análise no Domínio do Tempo Contínuo • Resposta entrada nula: ▫ Que função possui essa propriedade? � A função exponencial ▫ Presume-se, então, que é a solução da equação. substituir Análise no Domínio do Tempo Contínuo • Resposta entrada nula: ▫ Após substituição: ▫ Sendo Q(λ) chamado de polinômio característico do sistema, ele independe da entrada ▫ λ possui N soluções (assumindo que elas são distintas): Solução não-trivial: Análise no Domínio do Tempo Contínuo • Resposta entrada nula: ▫ Portanto ela possui N soluções: ▫ A solução geral da equação é dada por: Raízes características do sistema Modos Autovalores Análise no Domínio do Tempo Contínuo • Resposta entrada nula: ▫ Casos especiais: � Raízes repetidas � Raízes complexas conjugadas Análise no Domínio do Tempo Contínuo • Exemplo 2.1 (a) – raízes distintas: ▫ Condições iniciais: ▫ Resposta entrada nula: Análise no Domínio do Tempo Contínuo • Exemplo 2.1 (b) – raízes reais repetidas: ▫ Condições iniciais: ▫ Resposta entrada nula: Análise no Domínio do Tempo Contínuo • Exemplo 2.1 (c) – raízes complexas: ▫ Condições iniciais: ▫ Resposta entrada nula: Análise no Domínio do Tempo Contínuo • Exemplo 2.1 (c) – raízes complexas: ▫ Condições iniciais: ▫ Resposta entrada nula: Papel das Condições Auxiliares • Por que precisamos das condições auxiliares para obter a resposta de entrada nula? ▫ A operação diferenciação é não-invertível ▫ Para obter y(t) unicamente de dy(t)/dt precisamos de uma informação extra como y(0) ▫ Da mesma forma, para obter y(t) de d2y(t)/dt2 precisamos de 2 condições, chamadas de condições auxiliares, e assim por diante • Quando a condição auxiliar é dada no tempo t=0, chamamos de condição inicial O Comportamento de Entrada Nula • Assuma que um sistema mecânico esteja em repouso ▫ Aplique momentaneamente um distúrbio, remova o distúrbio (a partir dessa remoção a resposta é a de entrada nula), o sistema não entrará em repouso instantaneamente ▫ O sistema entrará em repouso depois de algum tempo, de acordo com as características do sistema ▫ Esta resposta deverá ser mantida sem qualquer fonte externa ▫ O sistema usa uma combinação linear de seus modos característicos para voltar para a posição de repouso (de acordo com certas condições iniciais) Ressonância • Qualquer sinal constituído pelo modo característico de um sistema é mantido pelo próprio sistema que não oferece obstáculo a tais sinais • Equivalente a solicitar a um alcoólatra que prove um whisky! • Alimentar um sistema com um sinal de entrada da forma do seu modo característico causará o fenômeno de ressonância Análise no Domínio do Tempo Discreto • Resposta entrada nula: ▫ x[n] = 0 ▫ A combinação linear de y0[n] e seus avanços é zero ▫ Para isso y0[n] e seus avanços devem ter a mesma forma Análise no Domínio do Tempo Discreto • Resposta entrada nula: ▫ Para isso y0[n] e seus avanços devem ter a mesma forma ▫ Assim, a equação de diferenças pode ser escrita por Polinômio Característico (independe da entrada): Análise no Domínio do Tempo Discreto • Resposta entrada nula: ▫ A solução da equação de diferenças é portanto: ▫ A resposta temporal y0 [n] é a soma de exponenciais complexas Raízes características do sistema Modos Autovalores Análise no Domínio do Tempo Discreto • Resposta entrada nula: ▫ determinam a resposta a condições iniciais e influenciam na resposta a um sinal de entrada ▫ Os modos característicos definem todo o comportamento do sistema Análise no Domínio do Tempo Discreto • Resposta entrada nula: ▫ Casos Especiais: � Raízes múltiplas � Raízes complexas conjugadas Análise no Domínio do Tempo Discreto • Exemplo 3.10: (Raízes reais distintas) ▫ Equação de diferenças: ▫ Condições iniciais: ▫ Resposta entrada nula: Análise no Domínio do Tempo Discreto • Exemplo 3.10: (Raízes reais múltiplas) ▫ Equação de diferenças: ▫ Condições iniciais: ▫ Resposta entrada nula: Análise no Domínio do Tempo Discreto • Exemplo 3.10: (Raízes complexas conjugadas) ▫ Equação de diferenças: ▫ Condições iniciais: ▫ Resposta entrada nula: Análise no Domínio do Tempo • Resposta à Entrada Externa ▫ O sistema encontra-se em estado nulo (condições inicias nulas) ▫ Para obter e entender a resposta a uma entrada qualquer é necessário conhecer a resposta ao impulso do sistema, h(t) ▫ Qualquer entrada pode ser quebrada em vários pulsos retangulares, cada pulso produz uma resposta do sistema ▫ Como o sistema é LIT, a resposta do sistema a x(t) é a soma de sua resposta para todos os componentes dos pulsos retangulares Análise no Domínio do Tempo • Resposta à Entrada Externa ▫ A resposta do sistema a x(t) é a soma de sua resposta para todos os componentes dos pulsos retangulares (com ∆t aproximando de zero, temos impulsos) h(t): resposta ao impulso Análise no Domínio do Tempo • Resposta à Entrada Externa – Caso discreto ▫ A entrada é um somatório de impulsos ▫ O sistema encontra-se em estado nulo (condições iniciais nulas) ▫ No sistema abaixo como obter y[n]? ? Análise no Domínio do Tempo • Resposta à Entrada Externa – Caso discreto Análise no Domínio do Tempo • Resposta à Entrada Externa – Caso discreto ▫ A entrada é um somatório de impulsos ▫ A saída a uma entrada externa é dada por: Somatório de Convolução! Análise no Domínio do Tempo • Resposta Total– Caso discreto ▫ A saída total do sistema é dada por: Resposta Entrada Nula Resposta Estado nulo Análise no Domínio do Tempo • Resposta à Entrada Externa – Caso Contínuo ▫ Voltando ao caso contínuo... Condições iniciais nulas e largura do pulso tendendo a zero Análise no Domínio do Tempo • Resposta à Entrada Externa – Caso Contínuo Análise no Domínio do Tempo • Resposta à Entrada Externa – Caso Contínuo Análise no Domínio do Tempo • Resposta à Entrada Externa – Caso Contínuo ▫ Assim: � Conhecendo a resposta ao impulso, é possível obter a resposta do sistema (LIT) a qualquer entrada Integral de Convolução! Análise no Domínio do Tempo • Resposta Total– Caso Contínuo ▫ A saída total do sistema LIT é dada por: Resposta Entrada Nula Resposta Estado nuloConvolução • Somatório de Convolução ▫ Considerando o sistema linear e invariante no tempo: ? Convolução • Somatório de Convolução ▫ Considerando o sistema linear e invariante no tempo: Convolução • Somatório de Convolução Convolução • Somatório de Convolução Convolução • Somatório de Convolução inverte Convolução • Somatório de Convolução desloca Convolução • Somatório de Convolução multiplica Convolução • Somatório de Convolução multiplica Convolução • Somatório de Convolução soma Convolução • Somatório de Convolução Convolução • Somatório de Convolução Convolução • Somatório de Convolução Convolução • Somatório de Convolução Convolução • Somatório de Convolução Convolução • Somatório de Convolução Convolução • Somatório de Convolução ▫ Qual gráfico abaixo representa a convolução: ? Convolução • Somatório de Convolução Convolução • Somatório de Convolução Convolução • Somatório de Convolução Convolução • Somatório de Convolução Convolução • Somatório de Convolução: propriedades Convolução • Somatório de Convolução: propriedades Convolução • Entendimento intuitivo da Convolução ▫ Assuma que a resposta ao impulso caia linearmente com o tempo: ▫ Divida a entrada em pulsos, como, por exemplo: Convolução • Entendimento intuitivo da Convolução ▫ A resposta do sistema em t é determinada pela entrada x(τ) ponderada por h(t-τ) no pulso sombreado, mais a contribuição de todos os pulsos anteriores de x(τ). A soma de todos essas entradas é a integral de convolução: ponderação Por isso a reversão temporal... 1 segundo Convolução • Sistemas Interconectados ▫ Conexão paralela: ▫ Em cascata: Convolução • Sistemas Interconectados ▫ Integração: ▫ Diferenciação Convolução • Sistemas Interconectados ▫ Considere que: � x(t) é um impulso e h(t) a resposta ao impulso � Assim, a resposta ao degrau, g(t) é dada por: Convolução • Entendimento gráfico da Integral de Convolução Convolução • Entendimento gráfico da Integral de Convolução � Manter x(τ) e fazer a reversão de g(τ) Convolução • Entendimento gráfico da Integral de Convolução � Deslocar g(τ) no tempo determinado (t1) e integrar (t1>0) – área debaixo do produto, sendo ela o resultado da convolução para o valor de t Convolução • Entendimento gráfico da Integral de Convolução � Deslocar g(τ) no tempo determinado (t2) e integrar (t2<0) Convolução • Entendimento gráfico da Integral de Convolução � Deslocar g(τ) no tempo para todos os valores de t e integrar (para t≤-3 elas não se sobrepõem) Convolução • Entendimento gráfico da Integral de Convolução � Resultado final Convolução • Entendimento gráfico da Integral de Convolução � Exemplo 2.7: Convolução • Entendimento gráfico da Integral de Convolução � Exemplo 2.7: • Integral de Convolução Convolução • Integral de Convolução Usando a tabela: Convolução Convolução • Integral de Convolução ▫ Qual gráfico abaixo representa a convolução: ? Propriedades da Convolução • Integral de Convolução ▫ Qual gráfico abaixo representa a convolução: ? • Integral de Convolução: propriedades Convolução • Integral de Convolução: propriedades Convolução Exercícios • 2.4-2 • 2.4-4 • 2.4-5 • 2.4-7 (tabela) • 2.4-11 d) • 2.4-12 • 2.4-16 • 2.4-18 c) e d) • 2.4-29 • 2.6-6 • 3.6-1, 3,6-2, 3,6-3 • 3.6-7 • 3.8 • 3.10
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