Equacao-ExponencialExercicios-Resolvidos

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PET Matemática - UFMG
Lista de Exerćıcios Resolvidos:
Equação Exponencial
1. Resolver a equação: 2x = 128.
Resolução:
Começamos reescrevendo todos os termos como potências. Nesse
caso, precisamos fatorar somente o 128,
128 = 27,
e substituir na equação, obtendo:
2x = 27.
Feito isso, como as bases são iguais, podemos considerar somente os
expoentes, concluindo que:
x = 7.
2. Encontrar o valor de x na equação(√
2
)3x−1
−
(
3
√
16
)2x−1
= 0.
Resolução:
Observemos que o 16 pode ser reescrito como uma potência de 2,
logo podemos deixar todos os elementos em uma mesma base.
Inicialmente, vamos reformular cada um dos termos separadamente
como potências de 2 da seguinte forma:
(√
2
)3x−1
=
(
2
1
2
)3x−1
= 2
3x−1
2 ,
e
1
(
3
√
16
)2x−1
=
(
3
√
24
)2x−1
=
(
2
4
3
)2x−1
= 2
4
3
·(2x−1) = 2
4(2x−1)
3 = 2
(8x−4)
3 .
Agora, substitúımos na equação inicial, obtendo(√
2
)3x−1
−
(
3
√
16
)2x−1
= 2
3x−1
2 − 2
(8x−4)
3 = 0.
Contudo, isso só ocorre se 2
3x−1
2 = 2
(8x−4)
3 e como as bases são as mes-
mas, a igualdade ocorrerá apenas quando os expoentes forem iguais.
Logo, ficamos com a seguinte equação para resolver:
3x− 1
2
=
8x− 4
3
,
o que pode ser feito da seguinte forma:
3x− 1
2
=
8x− 4
3
3 · (3x− 1) = 2 · (8x− 4)
9x− 3 = 16x− 8
7x = 5.
Portanto, a solução é x =
5
7
.
3. Resolver a equação: 2x−3 + 2x−1 + 2x = 52.
Resolução:
Para melhorar nossa visão da equação, vamos expandir os expo-
entes das potências e explicitar as que contém a incógnita, no caso o
x.
2x−3 = 2x · 2−3 e 2x−1 = 2x · 2−1.
Então a equação fica na forma:
2x · 2−3 + 2x · 2−1 + 2x = 52,
e colocando o termo 2x em evidência:
2x(2−3 + 2−1 + 1) = 52.
Agora resolvemos a expressão dentro do parênteses:
1
23
+
1
2
+ 1 =
1
8
+
1
2
+ 1 =
13
8
,
2
e retornamos o valor para a equação principal:
2x(2−3 + 2−1 + 1) = 2x
(
13
8
)
= 52.
Passamos 13
8
para o outro lado, obtendo
2x = 52 ·
(
8
13
)
= 32,
e finalmente vamos deixar todos os termos na forma de potência.
Temos que 32 pode ser escrito como 25, então:
2x = 32 = 25.
Como as bases são iguais podemos, novamente, considerar somente os
expoentes e assim encontramos que
x = 5.
4. Resolver o sistema de equações:

4x · 2y = 1
4
9x · 272y = 3.
3
Resolução:
Existe mais de um método para resolver sistemas de equações.
Em nossa solução, iremos encontar uma relação entre as incógnitas
separadamente na primeria equação e, também, na segunda. Com es-
sas relações definidas, obtemos outro sistema de equações formado por
equações do primeiro grau.
Primeiramente, analisando a primeira equação:
4x ·2y = 1
4
⇒ 22x ·2y = 2−2 ⇒ 22x+y = 2−2 ⇒ 2x+y = −2.
E, então, a segunda equação:
9x · 272y = 3 ⇒ 32x · 36y = 31 ⇒ 32x+6y = 31 ⇒ 2x+ 6y = 1.
Reduzimos o sistema de equações exponenciais a um sistema linear nas
mesmas incógnitas: 
2x + y = −2
2x + 6y = 1.
Fazendo a primeira equação menos a segunda encontramos que: −5y =
−3, ou seja, y = 3
5
.
Vamos substituir em uma das equações do sistema, por exemplo a pri-
meira, de onde temos que:
2x + y = −2 ⇒ x = −2− y.
Logo, usando o valor que encontramos para y,
2x = −2− 3
5
=
−10− 3
5
=
−13
5
⇒ x = −13
5
· 1
2
= −13
10
.
Portanto,a solução é x = −13
10
e y = 3
5
.
5. Resolver a equação: 9x + 3x+1 = 18.
Resolução:
Primeiro, simplificamos os termos e explicitamos as potências com
a incógnita no expoente:
9x = (32)x = 32x = (3x)2 e 3x+1 = 3 · 3x.
4
Então a equação fica na forma:
(3x)2 + 3 · 3x = 18.
Observe que basta uma mudança de variável para obtermos uma equação
do segundo grau, ou seja, substituindo 3x = y, obtemos a equação
quadrática
y2 + 3y − 18 = 0,
cujas soluções são y = 3 e y = −6.
Voltando à variável inicial:
Para y = 3:
y = 3x = 31 ⇒ x = 1;
Para y = −6:
y = 3x = −6, mas 3x nunca é negativo. Logo, esta última
equação não possui solução.
Assim, a equação dada, admite única solução x = 1.
5