OS 03_PreCalculoEng

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<p>OS 03 Pré-Cálculo para Engenharia</p><p>Desde a semana passada estamos estudando os números reais. Nestas orientações, além de comentários</p><p>sobre módulo de número real, também teceremos comentários sobre equações.</p><p>1. Módulo ou Valor Absoluto de um número real</p><p>A aula 7 começa falando de módulo. Repare a definição que é dada no livro.</p><p>|"| = $</p><p>",						'(	" > 0</p><p>−",			'(	" < 0</p><p>0,						'(	" = 0</p><p>Um erro comum é o seguinte.</p><p>|" − 3| = $</p><p>" − 3,											'(	" > 0</p><p>−(" − 3),			'(	" < 0</p><p>0	,																'(	" = 0</p><p>Observe e veja se você consegue descobrir o erro!</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>Voltemos à definição. A primeira linha nos diz o seguinte: o modulo de alguma coisa é exatamente</p><p>essa coisa se essa coisa for positiva. No caso do exemplo acima, estamos indicando o módulo de</p><p>“" − 3”, essa é a nossa “coisa”. Assim, a primeira linha deveria estar escrita assim</p><p>|" − 3| = " − 3,				'(	" − 3 > 0</p><p>O que é equivalente a dizer que |" − 3| = " − 3,				'(	" > 3.</p><p>Da mesma forma, as outras linhas também devem ser corrigidas.</p><p>|" − 3| = $</p><p>" − 3,											'(	" > 3</p><p>−(" − 3),			'(	" < 3</p><p>0	,																'(	" = 3</p><p>Não se esqueça das propriedades do módulo.</p><p>∀1 ∈ ℝ,</p><p>|1| ≥ 0</p><p>|1| ≥ 1</p><p>∀1, 5 ∈ ℝ,</p><p>|1 × 5| = |1| × |5|</p><p>∀1, 5 ∈ ℝ, 5 ≠ 0,</p><p>8</p><p>1</p><p>5</p><p>8 =</p><p>|1|</p><p>|5|</p><p>Como você deve ter lido na Aula7, geometricamente, o modulo de um número real está associado à</p><p>distância do ponto que representa esse número na reta até a origem.</p><p>Pense, então, em como podemos ter</p><p>|1| = |5|</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>OS 03 Pré-Cálculo para Engenharia</p><p>2 de 12</p><p>Como |"| representa a distância até a origem, então, dois números têm seus pontos na reta com a</p><p>mesma distância até a origem se forem iguais ou se forem simétricos, isto é, se seus pontos forem</p><p>simétricos em relação a origem. É, por isso, que</p><p>|1| = |5| 	⇔ 	1 = ±5</p><p>Observe o exemplo a seguir.</p><p>|(−7) + 3| = |−7 + 3| = |−4| = −(−4) = 4</p><p>Contudo,</p><p>|−7| + |3| = −(−7) + 3 = 7 + 3 = 10</p><p>Como isso é possível?!?</p><p>Vamos pensar considerando a ideia geométrica de módulo.</p><p>Você viu na aula que a distância entre dois pontos da reta pode ser representada por um módulo.</p><p>?("; A) = |" − A|</p><p>Mas repare que |(−B) + C| não é a distância entre os pontos indicados pelos números −B e C!</p><p>Como (−7) + 3 = 3 + (−7) = 3 − 7, então, agora podemos usar a relação acima: |(−7) + 3| =</p><p>|3 − 7| = ?(3; 7)</p><p>Mas será que toda vez teremos que ajeitar o módulo?!?</p><p>Não!</p><p>A Desigualdade Triangular é uma propriedade que relaciona o módulo da soma com a soma dos</p><p>módulos.</p><p>∀1, 5 ∈ ℝ</p><p>|1 + 5| ≤ |1| + |5|</p><p>A definição geométrica explica facilmente as seguintes propriedades que são muito úteis na</p><p>resolução de equações e inequações.</p><p>Consideremos E ∈ ℝ, E > 0.</p><p>• |"| = E ⇔ " = E	ou	" = −E</p><p>" só pode distar E unidades da origem se for E ou – E.</p><p>• |"| < E ⇔ −E < " < E</p><p>" só pode distar menos do que E unidades da origem se estiver entre – E e E.</p><p>• |"| > E ⇔ " < −E	ou	" > E</p><p>" só pode distar mais do que E unidades da origem se for menor do que – E ou maior do que</p><p>E.</p><p>Vejamos outros exemplos envolvendo o módulo e a distância na reta.</p><p>a) Distância de 3 à origem: |3 − 0| = |3| = 3</p><p>OS 03 Pré-Cálculo para Engenharia</p><p>3 de 12</p><p>b) Distância de −6,8 à origem: |−6,8 − 0| = |−6,8| = −(−6,8) = 6,8</p><p>c) Distância de −3 a 2: |−3 − 2| = |−5| = 5 (Represente −3 e 2 na reta e comprove</p><p>que a distância é 5.)</p><p>d) |"| < 5 ⇔ −5 < " < 5</p><p>Esses são os números que estão a uma distância menor do que 5 da origem, são todos</p><p>que estão entre −5 e 5.</p><p>e) |" − 3| = 7		 ⇔ 		" − 3 = 7				ou			" − 3 = −7			 ⇔ 			" = 10			ou			" = −4</p><p>Nesse exemplo, buscamos os números cuja a distância até 3 é exatamente 7: para a</p><p>direita temos o 10 e para a esquerda o −4.</p><p>f) |" + 4| ≤ 5			 ⇔ 		−5 ≤ " + 4 ≤ 5			 ⇔ 		−5 − 4 ≤ " ≤ 5 − 4		 ⇔ 			−9 ≤ " ≤ 1</p><p>Aqui procuramos os números cuja a distância a −4 é menor ou igual a 5: para a</p><p>esquerda temos todos até o −9, inclusive, e para a direita todos até o 1, inclusive.</p><p>g) |" − 2| > 7			 ⇔ 			" − 2 > 7			ou			" − 2 < −7			 ⇔ 			" > 9			ou			x < −5</p><p>Os números que distam mais do que 7 unidades de 2 são aqueles que estão depois do</p><p>9 e antes do −5.</p><p>Recomendamos que para cada um dos exemplos, você faça uma representação na reta da situação.</p><p>Você sabia que √PQ = |P| ?!?</p><p>É comum encontrarmos o seguinte cancelamento √1R = 1. Veja com um exemplo, como está</p><p>incorreto.</p><p>S(−4)R é igual a −4??</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>Não! Pois S(−4)R é um número positivo.</p><p>Por definição, √" é o único número real positivo cujo quadrado é igual a ", ou em símbolos,</p><p>√" = A			 ⇔ 			 AR = "</p><p>Contudo... se temos uma equação quadrática como "R = 25, para resolvê-la, temos que pensar em</p><p>quais são os números que elevados ao quadrado resultam em 25. Sabemos que não é apenas o 5,</p><p>−5 também satisfaz a essa equação. Por isso, escrevemos "R = 25			 ⇔ 			" = ±5. De maneira</p><p>geral, se 5 > 0.</p><p>"R = 5			 ⇔ 			" = ±√5</p><p>Mais alguns exemplos:</p><p>1. Reescreva a expressão |" + 1| + |" − 3| sem usar Valor Absoluto.</p><p>OS 03 Pré-Cálculo para Engenharia</p><p>4 de 12</p><p>2. Agora resolva a equação |" + 1| + |" − 3| = 5.</p><p>3. Estude o sinal da expressão T</p><p>UVRT</p><p>WV|T|</p><p>.</p><p>Solução:</p><p>1. Dada a expressão |" + 1| + |" − 3|, sabemos que</p><p>|" + 1| = $</p><p>" + 1,											'(	" > −1</p><p>−(" + 1),			'(	" < −1</p><p>0	,																'(	" = −1</p><p>⇔ 			 |" + 1| = $</p><p>" + 1,											'(	" > −1</p><p>−" − 1,						'(	" < −1</p><p>0	,																'(	" = −1</p><p>|" − 3| = $</p><p>" − 3,											'(	" > 3</p><p>−(" − 3),			'(	" < 3</p><p>0	,																'(	" = 3</p><p>⇔ 				 |" − 3| = $</p><p>" − 3,											'(	" > 3</p><p>−" + 3,						'(	" < 3</p><p>0	,																'(	" = 3</p><p>Veja como organizar um quadro de sinais pode ajudar a determinar a expressão de |" + 1| +</p><p>|" − 3| sem o uso de módulo.</p><p>" < −1 " = −1 −1 < " < 3 " = 3 " > 3</p><p>|" + 1| −" − 1 0 " + 1 4 " + 1</p><p>|" − 3| −" + 3 4 −" + 3 0 " − 3</p><p>|" + 1| + |" − 3| −2" + 2 4 4 4 2" − 2</p><p>Portanto,</p><p>|" + 1| + |" − 3| = $</p><p>−2" + 2,			'(	" < −1</p><p>4,			'(	 − 1 ≤ " ≤ 3</p><p>2" − 2,			'(	" > 3</p><p>2. Para resolver a equação |" + 1| + |" − 3| = 5, primeiramente é interessante observarmos que o</p><p>lado esquerdo da equação é exatamente a expressão do item 1. Assim, utilizaremos o que</p><p>acabamos de fazer para resolver essa equação. Para tanto, temos apenas que perceber se o valor</p><p>encontrado está dentro do intervalo indicado na expressão obtida no item anterior. Veja.</p><p>|" + 1| + |" − 3| = 5			 ⇔ 			 $</p><p>−2" + 2 = 5,			'(	" < −1</p><p>4 = 5,			'(	 − 1 ≤ " ≤ 3</p><p>2" − 2 = 5,			'(	" > 3</p><p>De imediato, percebemos que 4 = 5 é uma afirmação falsa e, por isso, desconsideramos.</p><p>Resolvendo as duas equações resultantes.</p><p>X−2" + 2 = 5,			'(	" < −1</p><p>2" − 2 = 5,			'(	" > 3 			⇔ 			Y</p><p>" = −</p><p>3</p><p>2</p><p>,			'(	" < −1</p><p>" =</p><p>7</p><p>2</p><p>,			'(	" > 3</p><p>Agora, é importante verificar se os resultados encontrados pertencem aos intervalos indicados</p><p>em cada item. A primeira linha nos diz que " < −1, como −Z</p><p>R</p><p>< −1, então, " = − Z</p><p>R</p><p>é uma</p><p>solução da equação. Da mesma maneira, " = [</p><p>R</p><p>também é solução.</p><p>OS 03 Pré-Cálculo para Engenharia</p><p>5 de 12</p><p>Portanto, o conjunto solução da equação |" + 1| + |" − 3| = 5 é " = \− Z</p><p>R</p><p>;	[</p><p>R</p><p>].</p><p>3. Estudar o sinal da expressão T</p><p>UVRT</p><p>WV|T|</p><p>é determinar em qual intervalo ela é positiva, negativa e</p><p>nula.</p><p>Para fazer isso, é mais fácil que a expressão esteja escrita em forma de produto (Lembre-se: a</p><p>divisão pode ser vista como um produto). Vamos, então, fatorar a expressão.</p><p>"Z − 2"</p><p>1 − |"|</p><p>=</p><p>"("R − 2)</p><p>1 − |"|</p><p>=</p><p>"^" + √2_^" − √2_</p><p>1 − |"|</p><p>Agora, organizaremos uma tabela de sinais. Para tanto, precisamos ver quais são os números</p><p>que definirão as colunas, esses números são os que zeram cada uma das parcelas, ou seja,</p><p>0,−√2, √2,±1.</p><p>Agora, é preciso ordenar esses números: −√2 < −1 < 0 < 1 < √2.</p><p>Com essa ordem feita, já podemos organizar a primeira linha da tabela de sinais.</p><p>Colocamos em cada um das linhas os fatores obtidos na fatoração da expressão.</p><p>E na última linha a expressão.</p><p>Observe na outra página.</p><p>Para cada uma das linhas dos fatores, preenchemos com</p><p>o sinal correspondente ao intervalo</p><p>indicado na 1a linha.</p><p>Por exemplo, no intervalo −√2 < " < −1, o fator x é negativo e o fator ^" + √2_ é positivo.</p><p>Para obter o sinal da expressão, fazemos o produto dos sinais em cada intervalo.</p><p>Assim, no intervalo −1 < " < 0, temos (−) × (+) × (−) × (+) e, portanto, o resultado é</p><p>positivo.</p><p>É preciso fazer isso para cada um dos intervalos indicados nas colunas.</p><p>Repare que para " = −1 e " = 1, o denominador se anula, e, por isso, a expressão não está</p><p>definida.</p><p>OS 03 Pré-Cálculo para Engenharia</p><p>6 de 12</p><p>! < −√2 ! = −√2</p><p>−√2 < !</p><p>< −1</p><p>! = −1 −1 < ! < 0 ! = 0 0 < ! < 1 ! = 1 1 < ! < √2 ! = √2 ! > √2</p><p>! − − − − − * + + + + +</p><p>,! + √2- − * + + + + + + + + +</p><p>,! − √2- − − − − − − − − − * +</p><p>1 − |!| − − − * + + + * − − −</p><p>!/ − 2!</p><p>1 − |!| + * − * + * − * + * −</p><p>Observando a tabela,</p><p>01230</p><p>42|0| > 0, em 5−∞;	−√29 ∪ ]−1; 0[ ∪ 51;	√29</p><p>01230</p><p>42|0| = 0, para ! = −√2, ! = 0 e ! = √2</p><p>01230</p><p>42|0| < 0, em 5−√2;	−19 ∪ ]0; 1[ ∪ 5√2;	+∞9</p><p>01230</p><p>42|0| não está definida para ! = −1 e ! = 1.</p><p>7 de 12</p><p>Esperamos que você tenha entendido como se organiza uma tabela de sinais, bem como,</p><p>como ela pode ajudar a visualizar os intervalos em que a expressão é positiva, negativa ou</p><p>nula.</p><p>Qualquer dúvida, não deixe de entrar em contato com os tutores!</p><p>2. Equações: algumas observações</p><p>Em geral, para resolver uma equação devemos tentar simplificá-la, reduzi-la a uma equação</p><p>mais simples. Para isso efetuamos operações na equação. É preciso, portanto, saber se</p><p>i. as operações efetuadas não modificam o conjunto das soluções da equação inicial</p><p>ii. as operações efetuadas modificam o conjunto das soluções da equação inicial</p><p>Vejamos o que isso quer dizer.</p><p>i. As operações efetuadas não modificam o conjunto das soluções da equação inicial, ou</p><p>seja, se as operações efetuadas nos levam a uma equação simplificada equivalente a</p><p>equação inicial.</p><p>Neste caso, resolvida a equação simplificada, não precisamos testar as soluções na</p><p>equação inicial, pois as operações utilizadas não introduziram soluções “alheias” à</p><p>equação inicial. As duas equações têm, portanto, exatamente as mesmas soluções.</p><p>Exemplos de operações que não modificam o conjunto das soluções da equação</p><p>Somar ou subtrair um número real a ambos os membros da equação.</p><p>Multiplicar ou dividir ambos os membros da equação por um número real não nulo.</p><p>Elevar a um expoente ímpar positivo ambos os membros da equação.</p><p>Extrair uma raiz de índice ímpar ambos os membros da equação.</p><p>Exemplo 3.1:</p><p>.</p><p>O conjunto solução da equação dada é .</p><p>Exemplo 3.2:</p><p>3427 +=- xx</p><p>Û=-Û++-=-+-Û+=- 3233442743427 xxxxxxx</p><p>3</p><p>55</p><p>3</p><p>13</p><p>3</p><p>15323223 =Û×=×Û=Û+=+- xxxx</p><p>þ</p><p>ý</p><p>ü</p><p>î</p><p>í</p><p>ì</p><p>3</p><p>5</p><p>xxx =+3 2 2</p><p>OS 03 Pré-Cálculo para Engenharia</p><p>8 de 12</p><p>Vamos elevar ambos os membros da equação ao cubo.</p><p>.</p><p>O conjunto solução da equação dada é .</p><p>Exemplo 3.3: .</p><p>Vamos extrair a raiz quinta de ambos os membros da equação.</p><p>.</p><p>O conjunto solução da equação dada é .</p><p>ii. As operações efetuadas modificam o conjunto das soluções da equação inicial, ou seja,</p><p>se as operações efetuadas nos levam a uma equação simplificada não equivalente a</p><p>equação inicial.</p><p>Neste caso, resolvida a equação simplificada, precisamos testar as soluções na equação</p><p>inicial, a fim de descartarmos as soluções "estranhas", pois as operações utilizadas podem</p><p>introduzir soluções "alheias" à equação inicial. Ou seja, toda solução da equação inicial é</p><p>solução da equação simplificada. Significa que usando essas operações não perdemos</p><p>soluções, apenas podemos criar novas.</p><p>Exemplos de operações que modificam o conjunto das soluções da equação</p><p>Elevar a um expoente par positivo ambos os membros da equação.</p><p>Exemplo 3.4:</p><p>Vamos elevar ambos os membros da equação ao quadrado.</p><p>.</p><p>( ) ( ) Û=+Û=+Û=+ 3233</p><p>3 23 2 222 xxxxxxxxx</p><p>Û=-+Û=--Û=-- 0)2()1(0)2(02 223 xxxxxxxxx</p><p>210 =-== xouxoux</p><p>{ }2,0,1-</p><p>( ) ( ) 510 51 +=- xx</p><p>( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Û+=-Û+=-Û+=- 515151 25 55 10510 xxxxxx</p><p>=</p><p>-××--±</p><p>=Û=--Û+=+-</p><p>2</p><p>)4(14)3(3</p><p>043512</p><p>2</p><p>22 xxxxxx</p><p>14</p><p>2</p><p>53</p><p>2</p><p>253</p><p>-==Þ</p><p>±</p><p>=</p><p>±</p><p>= xouxx</p><p>{ }4,1-</p><p>552 -=- xx</p><p>( ) ( ) xxxxxxxx =Þ-=-Þ-=-Þ-=- 2222</p><p>22 555555</p><p>100)1(02 ==Þ=-Þ=- xouxxxxx</p><p>OS 03 Pré-Cálculo para Engenharia</p><p>9 de 12</p><p>Voltando à equação inicial, verificamos que nem , nem , soluções da</p><p>equação simplificada, são soluções da equação inicial.</p><p>O conjunto solução da equação dada é o conjunto vazio.</p><p>Exemplo 3.5:</p><p>Vamos elevar ambos os membros da equação ao quadrado.</p><p>.</p><p>Voltando à equação inicial, verificamos que é solução da equação inicial, mas</p><p>não é solução da equação inicial.</p><p>O conjunto solução da equação dada é .</p><p>Exemplo 3.6:</p><p>Vamos elevar ambos os membros da equação ao quadrado.</p><p>.</p><p>Voltando à equação inicial, verificamos que e são soluções da equação</p><p>inicial.</p><p>O conjunto solução da equação dada é .</p><p>Atenção!!!</p><p>Não seja inventivo demais!</p><p>Não invente implicações que não existem quando for simplificar algumas equações.</p><p>Por exemplo, na resolução da equação , é muito comum</p><p>encontrarmos o seguinte erro.</p><p>Mas... o que está errado???</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>Simplificar a variável de ambos os membros da equação!</p><p>Note que ao fazer essa simplificação, estamos deixando de encontrar a solução da</p><p>equação, pois fazer essa simplificação significa multiplicar ambos os membros da</p><p>equação por , e para isso está implícito .</p><p>Como resolver, então?</p><p>0=x 1=x</p><p>152 +=+ xx</p><p>( ) ( ) ( ) Þ+=+Þ+=+Þ+=+ 222</p><p>152152152 xxxxxx</p><p>2241252 22 =-=Þ=Þ++=+ xouxxxxx</p><p>2=x</p><p>2-=x</p><p>{ }2</p><p>107 -= xx</p><p>( ) Þ=+-Þ-=Þ-=Þ-= 0107107107)(107 2222 xxxxxxxx</p><p>520)5()2( ==Þ=-- xouxxx</p><p>2=x 5=x</p><p>{ }5,2</p><p>22 42 xxxx +=-</p><p>xxxxxx +=-Þ+=- 412)4()12(</p><p>x</p><p>0=x</p><p>x</p><p>1 0¹x</p><p>OS 03 Pré-Cálculo para Engenharia</p><p>10 de 12</p><p>Para tanto, é preciso lançar mão do fato de para o produto de dois números reais ser nulo,</p><p>pelo menos um deles deve ser nulo. Em símbolos.</p><p>Sendo números reais quaisquer</p><p>Assim, a resolução correta é</p><p>Exemplo 3.7: !3 − |%| = % + 1</p><p>Nese exemplo, vamos fazer duas coisas.</p><p>i. Determinar para quais valores de % as expressões existem, e, consequentemente, a equação</p><p>pode ser calculada.</p><p>ii. Resolver a equação em ℝ.</p><p>i. Para que !3 − |%| exista, 3 − |%| tem que ser positivo ou nulo.</p><p>3 − |%| ≥ 0			 ⇒ 			 |%| ≤ 3			 ⇒ 		−3 ≤ % ≤ 3</p><p>Por outro lado,</p><p>A expressão % + 1 não pode ser negativa, pois é igual a uma raiz, que é sempre positiva.</p><p>% + 1 ≥ 0			 ⇒ 			% ≥ −1</p><p>Fazendo a interseção.</p><p>Logo, O conjunto {% ∈ ℝ ∕ −1 ≤ % ≤ 3} é o conjunto de valores de % que permitem a</p><p>existência da equação.</p><p>ii. Para resolver a equação, temos que lembrar que a solução deve estar no conjunto obtido</p><p>anteriormente, ou seja, {% ∈ ℝ ∕ −1 ≤ % ≤ 3}.</p><p>Agora temos que trabalhar com o módulo.</p><p>Se .</p><p>Como a equação pode ser calculada para , neste caso, .</p><p>Resolvendo a equação,</p><p>cba ,,</p><p>baoucbaoucbaccbcacbca ==Þ=-=Þ=-×Þ=×-×Þ×=× 0000)(0</p><p>Þ=-Þ=---Þ+=- 0504242 22222 xxxxxxxxxx</p><p>500500)5( ==Þ=-=Þ=- xouxxouxxx</p><p>3− x = x + 1 ⇒ 3− x( )</p><p>2</p><p>= x + 1( )2 ⇒ 3− x = x2 + 2 x +1</p><p>xxx -=< 0</p><p>x ∈ −1, 3[ ] x ∈ −1, 0[ )</p><p>0212)(3123 222 =-+Þ++=--Þ++=- xxxxxxxx</p><p>OS 03 Pré-Cálculo para Engenharia</p><p>11 de 12</p><p>.</p><p>, que não é uma solução possível, pois .</p><p>, que não é uma solução possível, pois .</p><p>Logo, não há solução nesse caso.</p><p>Se .</p><p>Como a equação pode ser calculada para , neste caso, .</p><p>.</p><p>Resolvendo a equação,</p><p>, não é uma solução possível, pois e, portanto,</p><p>.</p><p>é um número real positivo, então, é preciso verificar se</p><p>Verificando:</p><p>.</p><p>Como , então, pelas equivalências, a desigualdade é verdadeira.</p><p>Logo, é uma possível solução da equação.</p><p>Como elevamos ao quadrado, é preciso testar na equação original.</p><p>Substituindo o valor no lado esquerdo da equação original.</p><p>Substituindo o valor no lado direito da equação.</p><p>2</p><p>31</p><p>2</p><p>91</p><p>2</p><p>811</p><p>2</p><p>)2(1411 2 ±-</p><p>=</p><p>±-</p><p>=</p><p>+±-</p><p>=</p><p>-××-±-</p><p>=x</p><p>2</p><p>2</p><p>31</p><p>-=</p><p>--</p><p>=x −2 ∉ −1, 0[ )</p><p>1</p><p>2</p><p>31</p><p>=</p><p>+-</p><p>=x 1∉ −1, 0[ )</p><p>xxx =³ 0</p><p>[ ]3,3-Îx [ ]3,0Îx</p><p>023123123 222 =-+Þ++=-Þ++=- xxxxxxxx</p><p>2</p><p>173</p><p>2</p><p>893</p><p>2</p><p>)2(1433 2 ±-</p><p>=</p><p>+±-</p><p>=</p><p>-××-±-</p><p>=x</p><p>2</p><p>173 --</p><p>=x 0</p><p>2</p><p>173</p><p><</p><p>--</p><p>[ ]3,0</p><p>2</p><p>173</p><p>Ï</p><p>--</p><p>2</p><p>173 +-</p><p>=x</p><p>3</p><p>2</p><p>173</p><p>£</p><p>+-</p><p>811791761733</p><p>2</p><p>173</p><p>£Û£Û£+-Û£</p><p>+-</p><p>8117 £ 3</p><p>2</p><p>173</p><p>£</p><p>+-</p><p>2</p><p>173 +-</p><p>=x</p><p>2</p><p>173 +-</p><p>=x</p><p>2</p><p>173 +-</p><p>=x</p><p>2</p><p>179</p><p>2</p><p>1736</p><p>2</p><p>173</p><p>3</p><p>2</p><p>173</p><p>3</p><p>-</p><p>=</p><p>-+</p><p>=</p><p>+-</p><p>-=</p><p>+-</p><p>-</p><p>2</p><p>173 +-</p><p>=x</p><p>OS 03 Pré-Cálculo para Engenharia</p><p>12 de 12</p><p>Agora é só verificar que esses valores são iguais. Note que ambos são valores positivos.</p><p>.</p><p>Como a última igualdade é verdadeira, então, pelas equivalências, a igualdade</p><p>também é verdadeira.</p><p>Logo, é solução da equação .</p><p>Assim, o conjunto solução da equação é .</p><p>É interessante que você refaça os exemplos, tentando entender cada um dos passos.</p><p>Terminamos, assim, as observações sobre a Aula 7.</p><p>No EP 03, você encontra exercícios para fixar um pouco mais o que estudamos esta semana.</p><p>Bons estudos!</p><p>2</p><p>171</p><p>2</p><p>2173</p><p>1</p><p>2</p><p>173 +-</p><p>=</p><p>++-</p><p>=+</p><p>+-</p><p>Û</p><p>+-</p><p>=</p><p>-</p><p>Û</p><p>+-</p><p>=</p><p>- 22 )</p><p>2</p><p>171</p><p>()</p><p>2</p><p>179</p><p>(</p><p>2</p><p>171</p><p>2</p><p>179</p><p>Û</p><p>-</p><p>=</p><p>-</p><p>Û</p><p>+-</p><p>=</p><p>-</p><p>4</p><p>17218</p><p>2</p><p>179</p><p>4</p><p>171721</p><p>2</p><p>179</p><p>2</p><p>179</p><p>2</p><p>179 -</p><p>=</p><p>-</p><p>2</p><p>171</p><p>2</p><p>179 +-</p><p>=</p><p>-</p><p>2</p><p>173 +-</p><p>=x 13 +=- xx</p><p>13 +=- xx</p><p>ïþ</p><p>ï</p><p>ý</p><p>ü</p><p>ïî</p><p>ï</p><p>í</p><p>ì +-</p><p>2</p><p>173</p>