matematica 1

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Simbologia:
Números Naturais (N) Ele reúne os números que usamos para contar (incluindo o zero) e é infinito.
Números Inteiros (Z) Reúne todos os elementos dos números naturais (N) e seus opostos. Note que todo número inteiro é também número racional. Assim, Z é um subconjunto de Q.
Números Racionais (Q) estão os inteiros, os naturais, os decimais exatos, e as dízimas periódicas. Exemplos de números racionais:
-60 → número inteiro
2,5 → decimal exato
5,1111111… → dízima periódica
Já os números irracionais são as dízimas não periódicas, logo, não existe nenhum número que seja racional e irracional ao mesmo tempo.
Exemplo de números irracionais:
1,123149… → dízima não periódica
2,769235… → dízima não periódica"
Números Irracionais (I) são todos aqueles números cuja representação decimal é uma dízima não periódica. São números irracionais as raízes não exatas, o π, entre outros. "A principal característica dos irracionais, e que os difere dos números racionais, é que eles não podem ser representados por meio de uma fração."
"Números irracionais são comumente representados por letras gregas, porque não é possível escrever todas as suas casas decimais.
O primeiro deles é o π (lê-se: pi), presente no cálculo de área e perímetro de circunferências. Possui valor igual a 3,1415926535…
Além do π, outro número bastante comum é o ϕ (lê-se: fi). Ele é encontrado em problemas envolvendo a proporção áurea. Possui valor igual a 1,618033…"
Números Reais (R) é a junção dos números que podem ser representados como frações (racionais) com os números que não podem ser representados como frações (irracionais).
Exemplo de números irracionais:
1,123149… → dízima não periódica
2,769235… → dízima não periódica"
"Questão 1 – Analise os números a seguir:
I) 3,1415926535
II) 4,1234510….
III) 2π
IV) 1,123123123…
V) √36
VI) √12
São números irracionais:
A) Somente I, IV e V
B) Somente II, III e VI
C) Somente II, IV e VI
D) Somente I, II, III e VI
E) Somente III, IV, V e VI"
2. Observe os seguintes números:
I. 2,212121...
II. 3,212223...
III. π/5
IV. 3,1416
V. √– 4
Assinale a alternativa que identifica os números irracionais:
a) I e II.
b) I e IV.
c) II e III.
d) II e V.
e) III e V.
3.Dos números irracionais a seguir, qual deles pertence ao intervalo 2 e 3?
A) Π
B) √2
C) √3
D) -3,123124458901...
E) √6
4.Considere a expressão numérica a seguir.
Sobre o resultado da expressão, podemos afirmar que:
A) é um número racional, mas não é inteiro.
B) é um número inteiro, mas não é natural.
C) é um número natural.
D) é um número irracional.
E) é um número real e racional.
Potenciação
O resultado de uma potenciação é obtido pelo produto de fatores iguais e a sua representação é dada por an = a . a . a . a ...
Os elementos da potenciação são: base, expoente e potência
A operação realizada na potenciação é uma multiplicação e é representada da seguinte forma:
an = a . a . a . a …
a = base
n = expoente
a . a . a . a … = produto de n fatores iguais que gera como resultado a potência
Para compreender melhor, acompanhe os exemplos abaixo:
⇒ 23 = 2 . 2 . 2 = 8
2 = base
3 = expoente
2 . 2 . 2 = produto de fatores
8 = potência
Como o expoente é 3, tivemos que repetir a base, que é 2 três vezes, em um produto.
⇒ 54 = 5 . 5 . 5 . 5 = 625
5 = base
4 = expoente
5 . 5 . 5 . 5 = produto de fatores
625 = potência
Como o expoente é 2, tivemos que repetir a base, que é 10 duas vezes, em um produto.
Tipos de potenciação
· Base real e expoente inteiro
Quando o expoente é inteiro, significa que ele pode possuir número negativo ou positivo.
⇒ Expoente positivo: Quando a base for um número real e o expoente for positivo, obteremos a potência efetuando o produto dos fatores. Acompanhe alguns exemplos:
2+2 =2.2=4
0,3+3 =0,3.0,3.0,3=0,027
(½ )+2 = ½ . ½ = ¼
⇒ Expoente negativo: Se o expoente é negativo, devemos fazer o inverso do número, que é trocar numerador com denominador, para o expoente passar a ser positivo. Observe alguns exemplos:
2-2 = 1 = 1. 1 = 1
        2+2     2   2    4
0,3 –3 = (3)-3 = (10)+3 = 10.10.10 = 1000 =37,037
           (10)-3     (3)+3        3 . 3. 3        27
(½ )-2 = (2/1)+2 = 2 . 2 = 4
⇒ Expoente igual a 1
Quando o expoente for igual a um positivo, a potência será o próprio número da base. Veja os exemplos abaixo:
a1 =a
21 =2
41 =4
1001 = 100
⇒ Expoente igual a 0
Se o expoente for 0, a reposta referente à potência sempre será 1. Acompanhe os exemplos:
a0 =1
10000 =1
250 = 1
Propriedades da potenciação
As propriedades da potenciação são utilizadas para simplificar os cálculos. Há, no total, cinco propriedades:
1. Produto de potências de mesma base: conserva a base e soma os expoentes. Exemplos:
an .am =an+m
22 .23 =22+3 =25
45 . 42 = 45 + 2 = 47
2. Divisão de potências de mesma base: conserva a base e subtrai os expoentes. Exemplos:
an :am = an =an-m
             am
56 :52 = 56 =56–2 =54
 52
92 :93 = 92 =92–3 =9-1
             93
3. Potência de potência: devemos multiplicar os expoentes. Exemplos:
(an)m =an.m
(74)2 =74.2 =78
(123)2 = 123 . 2 = 126
4. Potência de um produto: o expoente geral é expoente dos fatores. Exemplos:
(a.b)n =(an .bn)
(4.5)2 =(42 .52)
(12 . 9)3 = (123 . 93)
5. Multiplicação de potências com o mesmo expoente: conserva o expoente e multiplica as bases. Exemplo:
an .bn =(a.b)n
42 .62 =(4.6)2
73 . 43 = (7 .4)3
POTÊNCIA FRACIONÁRIA:
Uma potência com expoente fracionário ou, potência fracionária, é a que possui uma fração como expoente e um número real como base.
A potênciana forma de raiz fica: .
Para transformar uma potência com expoente fracionário em raiz, seguimos os passos:
1. A base da potência se transforma na base do radicando (o número na raiz);
2. O numerador da fração se transforma no expoente do radicando;
3. O denominador se transforma no índice da raiz.
Exemplos de potências fracionárias transformadas em raízes:
Cálculo das potências com expoentes fracionários
Uma vez que a potência tenha sido transformada em raiz, devemos resolvê-la.
Exemplos:
Mais alguns exemplos:
1° Exemplo: 
2° Exemplo: 
3° Exemplo: 
4° Exemplo: 
Exercício de potências com expoente fracionário
1 Resolva as potências com expoente fracionário.
a)
b)
c)
d)
2 Calcule a potência .
3 Resolva
4 Com base nas propriedades da potenciação, qual das sentenças abaixo está correta?
a) (x . y)2 = x2 . y2
b) (x + y)2 = x2 + y2
c) (x - y)2 = x2 – y2
d) (x + y)0 = 0
5 Aplique as propriedades das potências para efetuar a simplificação da expressão a seguir.
(25 . 2-4) : 23
 notação científica é uma forma de escrever números usando potência de 10. É utilizada para reduzir a escrita de números que apresentam muitos algarismos. Números muito pequenos ou muito grandes são frequentemente encontrados nas ciências em geral e escrever em notação científica facilita fazer comparações e cálculos. Um número em notação científica apresenta o seguinte formato:
N . 10n
Sendo,
N um número real igual ou maior que 1 e menor que 10;
n um número inteiro.
Exemplos
a) 6 590 000 000 000 000 = 6,59 . 10 15
b) 0, 000000000016 = 1,6 . 10 – 11
Multiplicação
A multiplicação de números na forma de notação científica é feita multiplicando os números, repetindo a base 10 e somando os expoentes.
Exemplos
a) 1,4 . 10 3 x 3,1 . 10 2 = (1,4 x 3,1) . 10 (3 + 2) = 4,34 . 10 5
b) 2,5 . 10 - 8 x 2,3 . 10 6 = (2,5 x 2,3) . 10 ( - 8 + 6) = 5,75 . 10 - 2
Divisão
Para dividir números na forma de notação científica devemos dividir os números, repetir a base 10 e subtrair os expoentes.
Exemplos
a) 9,42 . 10 5 : 1,2 . 10 2 = (9,42 : 1,2) . 10 (5 - 2) = 7,85 . 10 3
b) 8,64 . 10 - 3 : 3,2 . 10 6 = (8,64 : 3,2) . 10 ( - 3 - 6) = 2,7 . 10 - 9
Exercício 1
(ENEM - 2015) As exportações de soja no Brasil totalizaram 4,129 milhões em toneladas no mês de julho de 2012 e registraram um aumento em relação ao mês de julho de 2011, embora tenha havido uma baixa em relação ao mês de maio de 2012
A quantidade, em quilogramas, de soja exportada pelo Brasil no mês de julho de 2012 foi de:
a) 4,129 . 103
b) 4,129 . 106
c) 4,129 . 109
d) 4,129 . 1012
e) 4,129 . 1015
2. Passe os números a seguirpara notação cientifica:
3.Encontre a solução da expressão numérica [42 + ( 5 – 3)2] : ( 9 – 7)2= 
4. Resolva:
Porcentagem:
Exemplo: como calculamos o aumento de 50% no preço de uma camisa de R$ 150,00.
Existem duas formas de calcular o aumento, na primeira delas nós calcularemos quanto é 50% de 150 e depois iremos adicionar esse resultado ao preço, ficando assim:
0,5 * 150 = 75 -> adicionando ao valor total teríamos 150 + 75 = 225.
Logo, o preço da camisa aumentou em 75 reais, somando um total de R$ 225.
No segundo método, é mais rápido, onde já acresceremos a porcentagem no total.
Como já foi dito antes, o total (100%) pode ser representado como 1, logo:
1+0,5 = 1,5 * 150 = 225.
E se quiséssemos reduzir (ou dar um desconto) no preço da camisa? Imagine que daremos um desconto de 30% no preço inicial da camisa. Nesse caso, faremos uma subtração do total, onde:
1 – 0,3 = 0,7 * 150 = 105 -> ou seja, com a redução, a camisa passaria a valer R$ 105.
Por fim, também temos a porcentagem sucessiva, onde existem descontos ou aumentos sucessivos sobre um total. Nesse tipo de questão, nós multiplicaremos as porcentagens sucessivas e depois faremos um produto ao valor total obtendo o resultado que queremos.
Exemplo: Tal loja deu aumentos no preço da TV que era originalmente R$ 800, sendo eles de 10% e 30%, calcule o total após os aumentos sucessivos.
Primeiro, multiplicaremos os fatores: 1,1 * 1,3 = 1,43
Depois, multiplicaremos no preço total = 1,43 * 800 = R$ 1.144
1. Em virtude da elevação da taxa de inflação semanal, um comerciante atentou-se para a importância de aumentar os preços das mercadorias em 8%, visando à contenção de prejuízos. Na semana seguinte, em decorrência de outro crescente no índice inflacionário, se viu obrigado a aumentar novamente o preço das mercadorias na faixa de 12%. Determine o preço de uma mercadoria que antes do primeiro aumento custava R$ 55,00.
2. Uma loja determinou a venda de todo o estoque de eletrodomésticos, com descontos que atingiram o percentual de 25%. Uma pessoa, ao comprar uma televisão no pagamento à vista, foi premiada com um desconto de 12% sobre a dedução promocional. Se o aparelho sem os descontos era anunciado por R$ 1.200,00, qual o valor final com os descontos recebidos?