Tema 4 - TEXTO DE APOIO AO ESTUDO

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CURSO CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO 
DISCIPLINA: Sistemas Numéricos Computacionais 
TEMA: Aritmética de Ponto Flutuante e Noções de Erro 
 
 
 
TEXTO PARA APOIO AO ESTUDO 
 
 
Introdução 
 
Antes de começar ... 
 
Os exemplos foram implementados com o uso do Octave: 
https://www.gnu.org/software/octave/download.html 
 
 
O método de Newton-Raphson tem o objetivo de estimar as raízes de uma função. 
O primeiro passo do método é escolher uma aproximação inicial. Em seguida, calcula-se a equação da reta 
tangente (por meio da derivada) da função nesse ponto e a interseção dela com o eixo das abcissas para 
encontrar uma melhor aproximação para a raiz. 
Repetindo-se o processo, cria-se um método iterativo para encontrar a raiz da função. 
 
Interpretação Geométrica do Método de Newton 
 
 
Dado xk, o valor xk+1 pode ser obtido graficamente traçando-se pelo ponto (xk, f(xk)) a tangente à curva y = 
f(x). 
O ponto de intersecção da tangente com o eixo dos x determina xk+1. 
 
 
https://www.gnu.org/software/octave/download.html
O método iterativo é dado por: 
𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 −
𝑓(𝑥𝑛)
𝑓′(𝑥𝑛)
 , 𝑛 ∈ 𝑁 
 
Onde 𝑥𝑛 é uma aproximação inicial dada, n indica a n-ésima iteração do algoritmo e 𝑓
′(𝑥𝑛) é a derivada da 
função 𝑓 no ponto 𝑥𝑛. 
 
Exemplo 
 
 
Determinar, usando o método de Newton, a menor raiz positiva da equação: 
4 cos x − ex = 0, com erro inferior a 10−2. 
Solução: 
O processo mais simples para se obter um valor inicial é o método gráfico. 
Então a equação inicial f(x) = 0 é dividida em outras duas equações mais simples: y1 = 4 cos x e y2 = ex 
 
colocando as duas funções no mesmo gráfico, tem-se: 
 
 
 
Implementação (em MatLab) 
 
 
clc; 
clear all; 
epsilon = 1E-2; 
x = input('Entre com o valor inicial aproximado:'); 
for i=1:100 
 f=4*cos(x)-exp(x); %valor da Função no ponto x 
 g=-4*sin(x)-exp(x); %valor da Derivada no ponto x 
 xK=x-f/g; % Fórmula 
 erro=abs(xK-x); 
 if erro<epsilon %verifica o erro na iteração 
 break 
 end 
 x=xK; 
end 
 
fprintf('A Raiz da função é: %f \n',x); 
fprintf('O total de iterações foi de: %d\n',i); 
 
 
 
Método das Secantes 
 
Uma desvantagem do método de Newton é a necessidade de se obter f’(x), bem como calcular seu valor 
numérico, a cada passo. 
Uma das modificações do método de Newton a fim de eliminar essa desvantagem consiste em substituir a 
derivada f’(xk) pelo quociente das diferenças: 
𝑓′(𝑥𝑘) ≅
𝑓(𝑥𝑘) − 𝑓(𝑥𝑘−1)
𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1
 , 𝑘 ∈ 𝑁 
 
 
O método iterativo é dado por: 
𝑥𝑘+1 = 𝑥𝑘 −
(𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1)𝑓(𝑥𝑘)
𝑓(𝑥𝑘) − 𝑓(𝑥𝑘−1)
 , 𝑘 ∈ 𝑁 
Onde 𝑥𝑘 é uma aproximação inicial dada, k indica a k-ésima iteração do algoritmo e 𝑓(𝑥𝑘) é o valor da função 𝑓 
no ponto 𝑥𝑘. 
 
Exemplo 
 
Determinar, usando o método das Secantes, a menor raiz positiva da equação: 
 √𝑥 − 5𝑒−𝑥 = 0 , 
com erro inferior a 10−2. 
Solução: 
• Aplica-se o processo semelhante ao do método de Newton-Raphson para se obter um valor inicial pelo 
método gráfico. 
• Agora, é necessário iniciar com dois pontos. 
 
• Então a equação inicial f(x) = 0 é dividida em outras duas equações mais simples: y1 = √𝑥 e y2 = 5𝑒−𝑥 
 
 
Implementação (em MatLab) 
 
 
epsilon = 1E-2; 
x1 = input('Entre com o valor inicial aproximado:'); 
x2 = input('Entre com o valor inicial aproximado:'); 
for i=1:100 
 f1=sqrt(x1)-5*exp(-x1); 
 f2=sqrt(x2)-5*exp(-x2); 
 xK=x2-((x2-x1)*f2)/(f2-f1); 
 erro=abs(xK-x2); 
 if erro<epsilon %verifica o erro na iteração 
 break 
 end 
end 
 
fprintf('A Raiz da função é: %f \n',xK); 
fprintf('O total de iterações foi de: %d\n',i); 
 
 
 
PUBLICAÇÕES: 
[1] Franco, Neide Maria Bertoldi:Cálculo Numérico, Pearson.