Aula 3 - Função de transferência

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Disciplina: Controle e Servomecanismos I
Aula 3: Função de transferência
Apresentação
Nesta aula, abordaremos uma característica muito importante de sistemas lineares invariantes no tempo. A função de
transferência é a maneira mais comum de modelamento matemático de sistemas dinâmicos, sejam elétricos, mecânicos,
térmicos, hidráulicos, entre outros.
Estudaremos que a função de transferência de circuitos elétricos pode ser obtida pela aplicação das leis de Kirchhoff
conjuntamente com os conceitos da transformada de Laplace.
Por �m, compreenderemos que sistemas mecânicos também podem ser modelados pela função de transferência com a
aplicação das leis de Newton e a ajuda da transformada de Laplace.
Bons estudos!
Objetivos
De�nir função de transferência de sistemas lineares e invariantes no tempo;
Calcular a função de transferência de equações íntegro-diferenciais;
Calcular a função de transferência de sistemas dinâmicos.
Função de transferência
A função de transferência é uma representação que relaciona algebricamente a saída de um sistema linear invariante no tempo
com a sua entrada.  
Ao contrário do que ocorre com as equações diferenciais que descrevem os sistemas, a
função de transferência permite tratar separadamente a entrada, o sistema e a saída.
Suponha um sistema linear e invariante no tempo 𝑆 com uma entrada genérica 𝑟(𝑡) e uma saída 𝑦(𝑡), como indicado na Figura 1.
 
 Fig. 1 – Diagrama em blocos do sistema
O operador matemático 𝑇[.] relaciona a entrada com a saída da seguinte forma:
           (3.1)y (t) = T [r (t)]
Para uma entrada sendo um impulso unitário 𝛿(𝑡), é possível arbitrar a resposta do sistema como sendo h(𝑡), tal que:
           (3.2)h (t) = T [δ (t)]
Como o sistema 𝑆 é invariante no tempo, quando uma entrada é deslocada no tempo de 𝜏, a saída também é deslocada de 𝜏:
        (3.3)h (t − τ) = T [δ (t − τ)]
Qualquer função contínua pode ser escrita como a convolução dela mesma com o impulso (CLOSE, 1975):
        (3.4)r (t) = r (t) ∗ δ (t) = r (τ)δ (t − τ)dτ∫ ∞0
Substituindo (3.4) em (3.1):
        (3.5)y (t) = T [ r (τ)δ (t − τ)dτ]∫ ∞0
Se o sistema 𝑆 é linear, é possível reescrever (3.5) como:
        (3.5)y (t) = r (τ)T [δ (t − τ)]dτ∫ ∞0
Usando (3.3), a última equação vale:
        (3.6)y (t) = r (τ)h (t − τ)dτ = r (t) ∗ h (t)∫ ∞0
Aplicando o Teorema da Convolução, que a�rma que a convolução no tempo equivale à multiplicação na frequência:
        (3.7)Y (s) = R (s)H (s)
A função 𝐻(𝑠) na variável complexa 𝑠 é chamada de função de transferência do sistema 𝑆. Esse é o resultado que você deve ter
em mente, a partir de agora.
Em outras palavras, a função de transferência 𝐻(𝑠) de um sistema linear e invariante no tempo 𝑆 é a transformada de Laplace da
resposta do sistema 𝑆 ao impulso unitário.
Outra maneira de de�nir a função de transferência é determinar a razão entre a
transformada de Laplace da saída 𝒀(𝒔) e a transformada de Laplace da entrada 𝑹(𝒔),
conforme descrito em (3.7).
Atenção! Aqui existe uma videoaula, acesso pelo conteúdo online
Vejamos esse conceito na prática:
Considere um sistema 𝑆 linear e invariante no tempo cuja função de transferência é dada por:
        (E3.1)H (s) = 5
s+10
Vamos determinar:
Clique nos botões para ver as informações.
A saída pode ser expressa em função da entrada e da função de transferência como descrito em (3.7):
Como a entrada é um degrau unitário:
Substituindo (E3.3) em (E3.2):
A transformada de Laplace da saída 𝒚(𝒕) quando a entrada 𝒓(𝒕) é um degrau unitário. 
        (E3.2)Y (s) = R (s)H (s)
        (E3.3)R (s) = 1
s
        (E3.4)Y (s) = =1
s
5
s+10
5
s(s+10)
Para obter 𝑦(𝑡), basta aplicar a transformada inversa de Laplace em (E3.4). Utilizando a técnica da expansão em frações
parciais:
 
Fazendo o m.m.c e igualando os numeradores:
 
A equação acima é válida para qualquer valor de 𝑠. Logo, é possível escolher determinados valores convenientes para 𝑠, com
o intuito de encontrar os valores das constantes:
 
Reescrevendo (E3.5) com os valores obtidos nas constantes:
 
Aplicando a transformada de inversa de Laplace:
A saída 𝒚(𝒕) 
        (E3.5)Y (s) = = +5
s(s+10)
K1
s
K2
s+10
        (E3.6)(s+ 10) + s = 5K1 K2
        (E3.7) 
      (E3.8)
= 5 ⇒ = 0, 5s = 0 ⇒ 10K1 K1
= 5 ⇒ = −0, 5s = −10 ⇒ −10K2 K2
        (E3.9)Y (s) = 0, 5 − 0, 51
s
1
s+10
        (E3.10)y (t) = 0, 5 − 0, 5e−10t
Atividade
1 - Determine a função de transferência do sistema descrito pela equação íntegro-diferencial a seguir: 
        (E3.11) 
onde 𝑦(𝑡) é a saída e 𝑟(𝑡) é a entrada. Assuma as condições iniciais nulas.
2 + 3y (t) − y (τ)dτ = 3r (t)
dy(t)
dt
∫ t
0
2 - Determine a saída 𝑦(𝑡) do sistema descrito a seguir, quando a entrada do sistema é um degrau unitário:
 
onde 𝑦(𝑡) é a saída temporal do sistema e 𝑟(𝑡) é a entrada. Assuma as condições iniciais nulas.
3 - De�na o que é uma função de transferência.
4 - Para que tipo de sistemas o conceito de função de transferência pode ser aplicado?
5 - Considere um sistema 𝑆 linear e invariante no tempo, cuja função de transferência é dada pela seguinte expressão: 
 
 
 
Encontre o valor da saída do sistema, 𝑦(𝑡), no instante 𝑡=2𝑠 quando a entrada do sistema, 𝑟(𝑡), é um impulso unitário.
H (s) = 10
s+1
6 - Considere um sistema 𝑆 linear e invariante no tempo, cuja função de transferência é dada pela seguinte expressão: 
 
 
 
Encontre o valor da saída do sistema, 𝑦(𝑡), no instante 𝑡=2𝑠 quando a entrada do sistema, 𝑟(𝑡), é um impulso unitário.
H (s) = 10
s+1
7 - Determine a saída 𝑦(𝑡) de um sistema com realimentação negativa unitária que possua função de transferência dada por: 
 
 
 
onde 𝑦(𝑡) é a saída temporal do sistema e 𝑟(𝑡) é um degrau unitário. Assuma as condições iniciais nulas.
G (s) = 10
s+2
8 - Determine a saída 𝑦(𝑡) de um sistema com realimentação negativa unitária que possua função de transferência dada por: 
 
 
 
onde 𝑦(𝑡) é a saída temporal do sistema e 𝑟(𝑡) é um impulso unitário. Assuma as condições iniciais nulas.
G (s) = 1
s+5
Função de transferência de circuitos elétricos
Os circuitos elétricos são classi�cados em: Circuitos RLC e Circuitos com ampli�cadores operacionais.
Vamos conhecê-los!
 
Circuitos RLC
Existem três componentes básicos de circuitos elétricos passivos: resistor, capacitor e
indutor.
Veja a seguir uma representação desse circuito:
 Circuito RLC | Fonte: https://wiki.ifsc.edu.br/mediawiki/index.php/Arquivo:CircRLC1-0.gif
Vamos conhecer cada componente básico:
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A relação tensão-corrente no domínio do tempo de um resistor é:
 
onde 𝑣 (𝑡), 𝑖 (𝑡) e 𝑅 são, respectivamente, a tensão, a corrente e a resistência do resistor. 
Aplicando a transformada de Laplace em (3.8):
 
Portanto, a impedância do resistor 𝑍 (𝑠) no domínio da frequência é:
Resistor 
        (E3.8)(t) = R (t)vR iR
𝑅 𝑅
        (E3.9)(s) = R (s)VR IR
𝑅
      (E3.10)(s) = = RZR
(s)VR
(s)IR
A relação tensão-corrente no domínio do tempo de um capacitor é:
 
onde 𝑣 (𝑡), 𝑖 (𝑡) e 𝐶 são, respectivamente, a tensão, a corrente e a capacitância do capacitor. 
Aplicando a transformada de Laplace em (3.11):
 
Portanto, a impedância do capacitor 𝑍 (𝑠) no domínio da frequência, considerando nulas as condições iniciais é:
Capacitor 
        (E3.11)(t) = CiC
d (t)vC
dt
𝐶 𝐶
        (E3.12)(s) = C [s (s) − ( )]IC VC vC 0
−
𝐶
      (E3.13)(s) = =ZC
(s)VC
(s)IC
1
sC
A relação tensão-corrente no domínio do tempo de um indutor é:
 
onde 𝑣 (𝑡), 𝑖 (𝑡) e 𝐿 são, respectivamente, a tensão, a corrente e a indutância do indutor. 
Aplicando a transformada de Laplace em (3.14):
 
Portanto, a impedância do indutor 𝑍 (𝑠) no domínio da frequência, considerando nulas as condições iniciais é:
Indutor 
        (E3.14)(t) = LvL
d (t)iL
dt
𝐿 𝐿
        (E3.15)(s) = L [s (s) − ( )]VL IL iL 0
−
𝐿
      (E3.16)(s) = = sLZL
(s)VL
(s)IL
Vejamos esseconceito na prática:
Vamos determinar a função de transferência do circuito RC a seguir, considerando as condições iniciais nulas.
Solução: 
Substituindo o circuito no domínio do tempo por seu equivalente no domínio da frequência:
É fácil perceber que o circuito é um divisor de tensão, tal que:
        (E3.20)= =
(s)Vo
(s)Vi
1
sC
R+ 1
sC
1
sRC+1
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Circuitos com ampli�cadores operacionais
O ampli�cador operacional é um componente que possui três terminais principais: os
terminais de entrada e o terminal de saída.
A �gura 2 ilustra esse circuito:
 Fig. 2 – Amplificador operacional
Observe que:

1
O terminal de entrada indicado com o sinal - é chamado de
terminal de entrada negativo ou terminal de entrada inversor.

2
O terminal de entrada indicado com o sinal + é chamado de
terminal de entrada positivo ou terminal de entrada não
inversor.
Nesta disciplina, estudaremos apenas o caso de ampli�cadores operacionais ideais. Neste caso, o ampli�cador operacional
possui impedância de entrada in�nita e ganho de tensão in�nito. Isso se traduz em duas equações das correntes e das tensões
nos terminais de entrada:
        (3.17) 
        (3.18)
= = 0i− i+
=v− v+
Ou seja, para um ampli�cador operacional ideal, as correntes que entram nos terminais de entrada são nulas e as tensões dos
terminais de entrada são iguais.
Vejamos uma aplicação desse conceito:
Vamos determinar a função de transferência do circuito a seguir.
Solução: 
Substituindo o circuito no domínio do tempo por seu equivalente no domínio da frequência:
A impedância 𝑍 (𝑠) é a associação em paralelo de 𝑅 com 𝐶 e 𝑍 (𝑠) é o resistor 𝑅 :1 1 2 2
        (E3.21) 
        (E3.22)
(s) =Z1
R1
s C+1R1
(s) =Z2 R2
Aplicando a lei de Kirchhoff dos nós no nó A do circuito da �gura acima:
        (E3.23)(s) = (s) + (s)I1 I2 I3
Aplicando a lei de Ohm em 𝑍 (𝑠) e 𝑍 (𝑠) e utilizando a equação acima:1 2
        (E3.24)= + (s)
(s)− (s)Vi VA
(s)Z1
(s)− (s)VA Vo
(s)Z2
I3
Como o ampli�cador é ideal, a corrente 𝐼 (𝑠)=0 e a tensão no terminal negativo é idêntica à tensão no terminal positivo, ou seja,
𝑉 (𝑠)=0. Substituindo esses valores na última equação:
3
𝐴
        (E3.25)= −
(s)Vo
(s)Vi
(s)Z2
(s)Z1
Substituindo os valores de (E3.21) e (E3.22) em (E3.25):
        (E3.26)= − (s C + 1)
(s)Vo
(s)Vi
R2
R1
R1
Atividade
9 - Liste quais são os três componentes básicos dos circuitos elétricos e os três componentes básicos dos sistemas mecânicos.
10 - Determine a função de transferência do circuito RLC a seguir, considerando as condições iniciais nulas.
11 - Determine a função de transferência do circuito a seguir, quando: 𝑍 (𝑠) é o paralelo de um resistor 𝑅 =2Ω e de um capacitor
𝐶 =2F e 𝑍 (𝑠) é a série de um resistor 𝑅 =1Ω e de um capacitor 𝐶 =1F:
1 1
1 2 2 2
Função de transferência de sistemas mecânicos
Os sistemas mecânicos se assemelham aos circuitos elétricos e também possuem três componentes básicos:
1
A mola
2
O amortecedor
3
A massa
As equações que relacionam o deslocamento 𝑥(𝑡), a velocidade 𝑣(𝑡) e a aceleração 𝑎(𝑡) com a força 𝑓(𝑡) nesses componentes
são:
        (3.19) 
        (3.20) 
        (3.21)
f (t) = Kx (t)
f (t) = B = Bv (t)
dx(t)
dt
f (t) = M = Ma (t)
x(t)d2
dt2
onde 𝐾 é a constante da mola, 𝐵 é o coe�ciente de atrito viscoso e 𝑀 é a massa.
Analogamente às leis de Kirchhoff para os circuitos elétricos, nos sistemas mecânicos as leis de Newton serão utilizadas.
Vejamos uma aplicação desse conceito:
Vamos determinar a função de transferência do sistema a seguir, considerando nulas as condições iniciais e que 𝑥(𝑡) é a saída do
sistema e 𝑓(𝑡) a entrada.
Solução: 
A �gura a seguir ilustra o diagrama de corpo livre do sistema:
Aplicando a 2ª lei de Newton no diagrama acima:
        (E3.27)M + B + Kx (t) = f (t)
x(t)d2
dt2
dx(t)
dt
Aplicando a transformada de Laplace na equação acima:
        (E3.28)M X (s) + BsX (s) + KX (s) = F (s)s2
A função de transferência vale:
        (E3.29)=
X(s)
F(s)
1
M +Bs+Ks2
Atenção! Aqui existe uma videoaula, acesso pelo conteúdo online
Atividade
12 - Determine a função de transferência do sistema descrito pela equação diferencial de segunda ordem a seguir, considerando
nulas as condições iniciais. 
 
2 + 5y (t) = 4
y(t)d2
dt2
dr(t)
dt
13 - Determine a função de transferência do sistema descrito pela equação íntegro-diferencial a seguir: 
 
 
 
onde 𝑦(𝑡) é a saída e 𝑟(𝑡) é a entrada. Assuma as condições iniciais nulas.
3 + 2y (t) − y (τ)dτ = 3r (t)
dy(t)
dt
∫ t0
14 - Determine quais são as propriedades principais de um ampli�cador operacional ideal.
15 - Para encontrar as equações diferenciais que disciplinam os circuitos elétricos, as leis de Kirchhoff são aplicadas. No caso de
sistemas mecânicos, quais são as leis que devem ser aplicadas?
Referências
CLOSE, Charles M. Circuitos Lineares. 2.ed. São Paulo: LTC, 1975.
Próxima aula
Respostas temporais a entradas de teste de sistemas de 1ª ordem;
Respostas temporais a entradas de teste de sistemas de 2ª ordem;
Principais parâmetros de sistemas de 1ª e 2ª ordens.
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Assista ao vídeo “Função de Transferência em Malha Fechada e em Malha Aberta <https://www.youtube.com/watch?
v=bF3Qsf2Ng8E> ”.
https://www.youtube.com/watch?v=bF3Qsf2Ng8E