Equacoes Trigonometricas 123

Prévia do material em texto

1 
Matemática 
Equações e inequações trigonométricas 
Teoria 
 
Equação trigonométrica 
Precisamos ter em mente o ciclo trigonométrico para resolver as equações trigonométricas: 
 
 
 
Definição 
Sejam ( )f x e ( )g x duas funções trigonométricas, resolver uma equação onde ( ) ( )f x g x= significa 
encontrar onde temos um conjunto solução, onde a sentença seja verdadeira. Para isso é necessário analisar 
também o seu domínio. 
Para tanto é necessário que se conheça bem o ciclo trigonométrico. 
 
Vamos analisar por arco: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
Matemática 
Seno 
Se sen = sen 
Temos duas possibilidades para essa igualdade: 
1. Eles serem côngruos (não importa quantas voltas deem no ciclo, os pontos irão sempre coincidir) 
2. Eles têm imagens simétricas em relação ao eixo dos senos, são suplementares α+β=180°, vide figura 1: 
 
 
Figura 1 
Cosseno 
Se cos cos= 
Temos duas possibilidades para essa igualdade: 
1. Eles serem côngruos (não importa quantas voltas deem no ciclo, os pontos irão sempre coincidir) 
2. Eles têm imagens simétricas em relação ao eixo dos cossenos, são replementares 360 + =  , vide 
figura 2: 
 
 
Figura 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
Matemática 
Tangente 
Se tan tan= 
Temos duas possibilidades para essa igualdade: 
1. Elas serem côngruas (não importa quantas voltas deem no ciclo, os pontos irão sempre coincidir) 
2. Elas têm imagens simétricas em relação ao centro do ciclo, são explementares 180 − =  , vide figura 
3. 
 
 
Figura 3 
 
 
 
 
 
 
4 
Matemática 
Exercícios 
 
1. Se p e q são duas soluções da equação 2 ² 3 1 0sen x senx− + = tais que ( ) ( )sen p sen q , então o 
valor da expressão ² cos ²sen p q− é igual a: 
a) 0. 
b) 0,25. 
c) 0,50. 
d) 1. 
 
 
2. Seja x real tal que cos x = tg x. O valor de sen x é: 
a) 
3 1
2
−
 
b) 
1 3
2
−
 
c) 
5 1
2
−
 
d) 
1 5
2
−
 
 
 
3. Quantas soluções a equação ( )cos 2 1 0x− = tem no intervalo [0,5]? (Lembre-se que π = 3,14). 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
Matemática 
4. Sendo 
1
cos
5
senx x+ = , determine os possíveis valores de senx . 
a) 
3 4
 ou 
5 5
 
b) 
3 4
 ou 
5 5
− 
c) 
3 4
 ou 
5 5
− − 
d) 
3 4
 ou 
5 5
− 
e) 
3 5
 ou 
5 4
− 
 
 
5. Resolva em a equação cossec( ) cot ( ) 2 ( )x g x sen x− = . 
a) 
2
/ 2
3
S x x k


 
=  =  + 
 
 
b) 
2
/
3
S x x
 
=  =  
 
 
c)  / 2 2S x x k =  =  + 
d) / 2
6
S x x k


 
=  =  + 
 
 
e) / 2
3
S x x k


 
=  =  + 
 
 
 
 
6. Seja x tal que sen x + cos x = 1. Determine todos os valores possíveis para sen 2x + cos 2x. 
a) 0 
b) 1 
c) -1 
d) 1 e -1 
e) 0 e -1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
Matemática 
7. Resolva a equação sen(x) - sen³(x) = 0. 
a) , kx k=  
b) , k
2
x k

= +  
c) ou , k
2
x k x k

 = = +  
d) ou , k
4
x k x k

 = = +  
e) ou , k
6
x k x k

 = = +  
 
 
8. A quantidade de soluções que a equação trigonométrica 4 4
1
cos
2
sen x x− = admite no intervalo 
 0,3 é 
a) 0 
b) 2 
c) 4 
d) 6 
e) 8 
 
 
9. A soma das soluções da equação trigonométricas cos2 3cos 2x x+ = − , no intervalo  0,2 é 
a) 𝜋 
b) 2𝜋 
c) 3𝜋 
d) 
5𝜋
3
 
e) 
10𝜋
3
 
 
 
10. Sabendo-se que ² 3 ( )cos( ) 2cos ² 0sen x sen x x x− + = e que cos( ) 0x  , temos que os possíveis 
valores para tg(x) são: 
a) 0 e -1 
b) 0 e 1 
c) 1 e 2 
d) -1 e -2 
e) -2 e 0 
 
 
 
 
 
7 
Matemática 
Gabaritos 
 
1. B 
Observe: 
( )
( )
( )
2
2
2
2 2 2 2 2 2 2
2sen 3sen 1 0
3 4 2 1
1
sen 1
3 1
sen 1
2 2 sen
2
1 1
sen cos sen 1 sen sen sen 1 1 1 0,25
2 4
x x
x
x
x
p q p q p q
− + =
 = − −  
 =
=
− − 
=
 =
 
− = − − = + − = + − = = 
 
 
 
2. C 
Observe: 
Sabendo que 
sen 
tan
cos
x
x
x
= , com 
2
x k

 + e 2 2cos 1 senx x= − , vem 
2
2
2
cos tan
sen 
cos
cos
cos sen 
sen sen x 1
1 1
sen x 1
2 4
1 5
sen x
2 2
5 1
sen x
2
x x
x
x
x
x x
x
=
=
=
+ =
 
+ − = 
 
+ = 
−
=
 
 
3. C 
Observe: 
- A função tem período π. 
- o primeiro zero é em π /4+1/2 = 1,29 
 
Assim: 
1,29 
1,29+ π /2=2,86 
2,86+ π /2=4,43 
4,43+ π /2=6 
3 soluções. 
 
 
 
 
 
8 
Matemática 
4. B 
Observe: 
( )( )
2 2
2
2
2 2
2
2
1 1
sen cos cos sen 
5 5
sen cos 1
1
sen sen 1
5
1 2
sen sen sen 1 0
25 5
2 24
2sen sen 0
5 25
50sen 10sen 24 0
10 100 4 50 24 10 100 4800
sen 
100 100
10 4900 10 70
sen 
100 1
x x x x
x x
x x
x x x
x x
x x
x
x

+ =  = −

 + =
 
+ − = 
 
+ − + − =
− − =
− − =
 − −  +
= =
 
= =
00
10 70 60 6 3
sen 
100 100 10 5
10 70 80 8 4
sen 
100 100 10 5
x
x
− − − −
= = = =

+ = = = =

 
 
5. A 
Observe 
( )
( )( )
( )
2
2
2
cossec cot 2sen 
1 cos
2sen 
sen sen 
2sen cos 1 0
2 1 cos cos 1 0
2cos cos 1 0
1 1 4 2 1
cos
2 2
1 9 1 3
cos cos
4 4
2
2
1 3 1 3
cos
4 24 2
2 2 , 
3 3
1 3
cos 1 2 Domín
4
x gx x
x
x
x x
x x
x x
x x
x
x x
x k
x
x k k k
x x k


 
 

− =
− =
+ − =
− + − =
− − =
 − −
=
 
=  =

= +− 
= = −  
 = +  − + 

+
= =  =  io ( cossec )
2
/ 2
3
x
S x x k











 
=  =  + 
 
 
 
 
 
 
 
9 
Matemática 
6. D 
Observe: 
( ) ( )
2 2
2 2
sen cos 1
sen cos 2sen cos 1
sen 2 2sen cos 0 sen 0 ou cos 0
sen 0 cos 1 cos 2 1 sen 2 cos 2 1
cos 0 sen 1 cos 2 1 sen 2 cos 2 1
x x
x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
+ =
+ + =
= = → = =
= → = → = → + =
= → = → = − → + = −
 
 
7. C 
Observe: 
( )2 2
2
sin 1 sin 0 sin cos 0
sin 0
cos 0 cos 0 ,
2
x x x x
x x k
x x x k k



− =   =
=  =
=  =  = + 
 
 
8. D 
Sabendo que 
2 2sin cos 1y y+ = , para todo y real, vem 
( ) ( )
4 4
2 2 2 2
2
2
1
sin cos
2
1
sin cos sin cos
2
1
2sin 1
2
3
sin
4
3
sin
2
x x
x x x x
x
x
x
− =
 − + =
 − =
 =
 = 
 
 
Para  0,3x  , a equação 
3
sin
2
x = possui as raízes 
2 7 8
, , e 
3 3 3 3
   
, enquanto que a 
equação 
3
sin
2
x = − possui as raízes 
4 5
 e 
3 3
 
. Desse modo, a resposta é 6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
Matemática 
9. C 
( )
2 2
2 2
2
cos 2 3cos 2
cos sin 3 cos 2 0
cos 1 cos 3 cos 2 0
2cos 3 cos 1 0
x x
x x x
x x x
x x
+ = − 
 − +  + = 
 − − +  + = 
 +  + =
 
 
Temos então uma equação do segundo grau na incógnita cos x. 
Resolvendo esta equação, temos: 
2 cos 13 3 4 2 1
cos 1 2 4
2 2 cos ou 
2 3 3
x x
x
x x x

 
= −  =
−  −  
= =
 = −  = =
 
Logo, a soma de suas duas raízes será dada por: 
2 4
3
3 3
 
 + + = 
 
10. C 
Dividindo toda a equação por cos²x, temos: 
² 3 ( )cos( ) 2cos ²
0 ² 2 0
cos ² cos ² cos ²
sen x sen x x x
tg x tgx
x x x
− + =  − + = . 
Ou seja, caímos em uma equação de segundo grau cujas raízes são 1 e 2.