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Questão 1/10 - Cálculo Diferencial Integral - Campos Vetoriais Leia o texto a seguir: "Se a superfície S� tem uma parametrização ϕ:A⊂R2→R3�:�⊂�2→�3 diferenciável, podemos definir os vetores tangentes a estas curvas no ponto ϕ(u0;v0)�(�0;�0), respectivamente, por: Tu0=∂ϕ∂u=(∂x∂u,∂y∂u,∂z∂u)Tv0=∂ϕ∂v=(∂x∂v,∂y∂v,∂z∂v).��0=∂�∂�=(∂�∂�,∂�∂�,∂�∂�)��0=∂�∂�=(∂�∂�,∂�∂�,∂�∂�). Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: VILCHES, Mauricio A., CORRÊA, Maria Luiza. Cálculo Vetorial. <https://www.ime.uerj.br/~calculo/reposit/calculo3.pdf>. Acesso em 09 dez. 2019. Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Cálculo Diferencial Integral - Campo Vetorial, sobre área de superfícies e uma esfera de centro na origem e raio a em R3�3 e definida por S2={(x,y,z)|x2+y2+z2=a2,a>0},�2={(�,�,�)|�2+�2+�2=�2,�>0}, cuja parametrização é dada por: ϕ(u,v)=(asen(u)cos(v),asen(u)sen(v),acos(u)),(u,v)∈A.�(�,�)=(����(�)���(�),����(�)���(�),����(�)),(�,�)∈�. Assinale a alternativa que representa a área da superfície S.�. Obs.: A área é dada por A(S)=∫∫D||Tu×Tv||dudv.�(�)=∫∫�||��×��||����. Nota: 10.0 A 4πa24��2 Você assinalou essa alternativa (A) Você acertou! A área é dada por A(S)=∫∫D||Tu×Tv||dudv,�(�)=∫∫�||��×��||����, Tu×Tv=asen(u)ϕ(u,v)||Tu×Tv||=a2sen(u)A(S)=a2∫∫Dsen(u)dudv=a2∫2π0∫π0sen(u)dudv=4πa2u.a.��×��=����(�)�(�,�)||��×��||=�2���(�)�(�)=�2∫∫����(�)����=�2∫02�∫0����(�)����=4��2�.�. (livro-base p. 200-205) B 2πa22��2 C 43πa243��2 D 6πa46��4 E 4πa44��4 Questão 2/10 - Cálculo Diferencial Integral - Campos Vetoriais De acordo com o livro-base: Dizemos que a superfície σ:A⊂R2→R3�:�⊂�2→�3 é regular no ponto (u0,v0)(�0,�0) se os vetores ∂σ∂u(u0,v0)∧∂σ∂v(u0,v0)≠0∂�∂�(�0,�0)∧∂�∂�(�0,�0)≠0. Equivalentemente, é regular no ponto (u0,v0)(�0,�0)se admite plano tangente no ponto. Dizemos ainda que a superfície σ� é regular se for regular em todos os pontos (u0,v0)∈A(�0,�0)∈� ou, equivalentemente, se admite plano tangente em todos os pontos da superfície. Considere a superfície σ� no ponto (2,9,10)(2,9,10), onde σ� é a superfície parametrizada por σ(u,v)=(u3+2,u+v2,4v−2)�(�,�)=(�3+2,�+�2,4�−2). Dessa superfície, podemos afirmar: Nota: 10.0 A A superfície é regular e seu plano tangente é dado por (x,y,z)=(2,9,10)+λ1(0,1,0)+λ2(0,6,1).(�,�,�)=(2,9,10)+�1(0,1,0)+�2(0,6,1). Você assinalou essa alternativa (A) Você acertou! Comentário: Sabemos que ∂σ∂u(u,v)=(3u2,1,0)∂�∂�(�,�)=(3�2,1,0) e também ∂σ∂v(u,v)=(0,2v,1)∂�∂�(�,�)=(0,2�,1). Assim, verificamos que a superfície é regular no ponto (2,9,10)(2,9,10). Seu plano tangente é dado por (x,y,z)=(2,9,10)+λ1(0,1,0)+λ2(0,6,1)(�,�,�)=(2,9,10)+�1(0,1,0)+�2(0,6,1) (livro-base, p. 103). B A superfície é regular e seu plano tangente é dado por (x,y,z)=λ1(0,1,0)+λ2(0,6,1).(�,�,�)=�1(0,1,0)+�2(0,6,1). C A superfície é regular e seu plano tangente é dado por (x,y,z)=(2,9,10).(�,�,�)=(2,9,10). D A superfície é regular e seu plano tangente é dado por (x,y,z)=()+λ1(0,1,0)+λ2(0,6,1).(�,�,�)=()+�1(0,1,0)+�2(0,6,1). E A superfície não é regular. Questão 3/10 - Cálculo Diferencial Integral - Campos Vetoriais Leia a seguinte passagem de texto: "Definimos o centro de massa, o ponto (xc,yc,zc)∈R3(��,��,��)∈�3 da superfície σ� como: xc=∫∫σxδdSM,yc=∫∫σyδdSM,zc=∫∫σzδdSM��=∫∫������,��=∫∫������,��=∫∫������" Fonte: Livro-base, p. 129 Considere a chapa delgada dada por σ(u,v)=(3v,u,2v+u)�(�,�)=(3�,�,2�+�) uma chapa fina com (u,v)∈[0,1]×[0,1](�,�)∈[0,1]×[0,1] cuja densidade é dada por σ(x,y,z)=x+y+z�(�,�,�)=�+�+�. Marque a alternativa que apresenta o valor correto do centro de massa da chapa: Nota: 10.0 A (237√22,137√22,257√22)(23722,13722,25722) B (2517√22,2517√22,1314√22)(251722,251722,131422) C (137√22,2342√22,514√22)(13722,234222,51422) D (137√22,2342√22,2514√22)(13722,234222,251422) Você assinalou essa alternativa (D) Você acertou! De acordo com o texto-base, p. 130 ∂σ∂u(u,v)∧∂σ∂v(u,v)=(2,3,−3)∂�∂�(�,�)∧∂�∂�(�,�)=(2,3,−3) Dessa forma, P=(137√22,2342√22,2514√22)�=(13722,234222,251422) representa o centro de massa. E (1317√22,342√22,2514√22)(131722,34222,251422) Questão 4/10 - Cálculo Diferencial Integral - Campos Vetoriais De acordo com o livro-base, p. 129, "Definimos a massa M� de σ� por M=∫∫σδ(x,y,z)dS�=∫∫��(�,�,�)�� e definimos o centro de massa, o ponto (xc,yc,zc)∈R3(��,��,��)∈�3, da superfície σ� por xc=∫∫σxδdSM,yc=∫∫σyδdSM,zc=∫∫σzδdSM��=∫∫������,��=∫∫������,��=∫∫������" Marque a alternativa que apresenta o valor correto da massa do corpo delgado dado por z=x+y2�=�+�2 onde 0≤x≤10≤�≤1 e 0≤y≤20≤�≤2 onde a densidade superficial de massa é dada por σ(x,y,z)=y�(�,�,�)=�. Nota: 10.0 A 133133 B 13√2132 C 13√231323 Você assinalou essa alternativa (C) Você acertou! De acordo com o livro-base, p. 129, σ(u,v)=(u,v,u+v2)�(�,�)=(�,�,�+�2) e ainda, ∂σ∂u(u,v)∧∂σ∂v(u,v)=(−1,−2v,1)∂�∂�(�,�)∧∂�∂�(�,�)=(−1,−2�,1) Assim, M=∫∫σydS=13√23�=∫∫����=1323 D 1313 E √2323 Questão 5/10 - Cálculo Diferencial Integral - Campos Vetoriais De acordo com o livro-base, p. 116, Definimos a integral de superfície de f� sobre σ� por ∫∫σfdS=∫∫σf(x,y,z)dS=∫∫Kf(σ(u,v))||∂σ∂u(u,v)∧∂σ∂v(u,v)||dudv∫∫����=∫∫��(�,�,�)��=∫∫��(�(�,�))||∂�∂�(�,�)∧∂�∂�(�,�)||���� Considere a superfície σ(u,v)=(u,4v,2u),(u,v)∈[1,2]×[2,3]�(�,�)=(�,4�,2�),(�,�)∈[1,2]×[2,3], e marque a alternativa que apresenta o valor correto da integral de superfície ∫σ(xy+z)dS∫�(��+�)��. Nota: 10.0 A 7272 B √55 C 8√585 D 88 E 72√5725 Você assinalou essa alternativa (E) Você acertou! De acordo com o livro-base, p. 117 ∂σ∂u(u,v)∧∂σ∂v(u,v)=(−8,0,4)∂�∂�(�,�)∧∂�∂�(�,�)=(−8,0,4) Dessa forma, ∫∫σfdS=∫21∫32(4uv+2u)⋅4√5dvdu=72√5∫∫����=∫12∫23(4��+2�)⋅45����=725 Questão 6/10 - Cálculo Diferencial Integral - Campos Vetoriais De acordo com o livro-base, Cálculo Diferencial e Integral - Campos de Vetores, sobre integral de linha sobre trajetórias, assinale a alternativa que representa a integral de linha ∫C(2xy2)dS∫�(2��2)��, onde C é a curva dada por x2+y2=1,�2+�2=1, tal que x=cost,y=sent e 0≤t≤π2.�=����,�=���� � 0≤�≤�2. Nota: 10.0 A ∫Cf=2π∫��=2� B ∫Cf=π2∫��=�2 C ∫Cf=23∫��=23 Você assinalou essa alternativa (C) Você acertou! A integral de linha é dada por: γ(t)=(cost,sent)γ′(t)=(−sent,cost)�(�)=(����,����)�′(�)=(−����,����) ∫Cf=∫baf(γ(t))||γ′(t)||dt=∫π/20(2costsen2t)dt=∫π/202costu2du/cost=∫102u2du==2u33|10=23∫��=∫���(�(�))||�′(�)||��=∫0�/2(2�������2�)��=∫0�/22�����2��/����=∫012�2��==2�33|01=23 (livro-base p. 123-125) D ∫Cf=√2∫��=2 E ∫Cf=2√3∫��=23 Questão 7/10 - Cálculo Diferencial Integral - Campos Vetoriais Leia o seguinte extrato de texto: "Definiremos a integral sobre uma superfície tendo em mente ainda a generalização do que fizemos quando definimos integral de linha sobre um campo escalar. Embora geometricamente os objetos são diferentes, teremos que integrais de superfície generalizam a área de maneira análoga que a integral de linha sobre um campo escalar generaliza o conceito de comprimento de uma curva." (livro-base, p. 116) Considere a superfície definida por σ(u,v)=(u,v,u3)�(�,�)=(�,�,�3) para (u,v)(�,�) no primeiro quadrante e tais que u,v≤1�,�≤1. Marque a alternativa que contém o valor correto para ∫∫σzdS∫∫����. Nota: 10.0 A 154(10√10−1)154(1010−1) Você assinalou essa alternativa (A) Você acertou! De acordo com o livro-abase, p. 117 ∂σ∂u(u,v)∧∂σ∂v(u,v)=(−3u2,0,1)∂�∂�(�,�)∧∂�∂�(�,�)=(−3�2,0,1) Dessa forma, ∫∫σzdS=∫10∫10u3√1+9u4dvdu=154(10√10−1)∫∫����=∫01∫01�31+9�4����=154(1010−1) B 5√102751027 C (10√10−1)(1010−1) D 154(√10−1)154(10−1) E (√10−1)(10−1) Questão 8/10 - Cálculo Diferencial Integral - Campos Vetoriais De acordo com o livro-base, Cálculo Diferencial e Integral - Campos de Vetores, seja o campo de vetores definido por F(x,y)=(4x,2y)�(�,�)=(4�,2�) . Considere as seguintes afirmações: I. F� é um campo conservativo. II. O divergente de F� é div(F)(x,y)=2x+y���(�)(�,�)=2�+�.III. A função potencial de F� é f(x,y)=2x2+y2+c.�(�,�)=2�2+�2+�. Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: Nota: 10.0 A F - F - V B V - F - V Você assinalou essa alternativa (B) Você acertou! Item I é verdadeiro, pois se ∂F2∂x≠∂F1∂y∂�2∂�≠∂�1∂�, F não é conservativo. Como ∂F2∂x=0 e∂F1∂y=0∂�2∂�=0 �∂�1∂�=0, F é conservativo. Item II é falso, pois div(F)=∇.F(x,y)=∂F1∂x+∂F2∂y⇒Div(F)=4+2=6.���(�)=∇.�(�,�)=∂�1∂�+∂�2∂�⇒���(�)=4+2=6. Item III é verdadeiro, pois a função potencial é dada f(x,y)=∫F1dx+∫[F2−∂M∂y]dy+c⇒M=∫4xdx=2x2N=∫[2y−0]dy=y2f(x,y)=2x2+y2+c.�(�,�)=∫�1��+∫[�2−∂�∂�]��+�⇒�=∫4���=2�2�=∫[2�−0]��=�2�(�,�)=2�2+�2+�. (livro-base p. 111-1120) f(x,y)=∫F1dx+∫[F2−∂M∂y]dy+c⇒M=∫4xdx=2x2N=∫[2y−0]dy=y2f(x,y)=2x2+y2+c.�(�,�)=∫�1��+∫[�2−∂�∂�]��+�⇒�=∫4���=2�2�=∫[2�−0]��=�2�(�,�)=2�2+�2+�. C V - V - F D V - V - V E F - V - F Questão 9/10 - Cálculo Diferencial Integral - Campos Vetoriais Leia a seguinte passagem de texto: "Seja σ:K⊂R2→R3�:�⊂�2→�3 uma superfície regular de classe C2�2 num aberto A� contendo K,K�,� compacto de interior não-vazio cuja fronteira tem conteúdo nulo, σ� injetora em todo o conjunto K� e σ� orientável. Seja ainda ∂K∂� uma curva C1�1 por partes, fechada e simples, orientada positivamente. Se temos ⃗F=P⃗i+Q⃗j+R⃗k�→=��→+��→+��→ então ∫Γ⃗FdΓ=∫∫σ(rot⃗F)⋅⃗ndS∫Γ�→�Γ=∫∫�(����→)⋅�→�� onde ΓΓ é a imagem de γ� por σ� orientada positivamente em relação ao vetor normal ⃗n(σ(u,v))�→(�(�,�)). Fonte: Livro-base, p. 140. Considere o campo dado por ⃗F(x,y,z)=(xz,zex,−y)�→(�,�,�)=(��,���,−�) e σ(u,v)=(−1+u2+v2,u,v)�(�,�)=(−1+�2+�2,�,�) definido sobre K={0≤u2+v2≤1}�={0≤�2+�2≤1}. Marque a alternativa que apresenta o valor correto de ∫∫σrot⃗F⋅⃗ndS∫∫�����→⋅�→��. Nota: 10.0 A 2π2� B π� C 00 D −π−� E −2π−2� Você assinalou essa alternativa (E) Você acertou! De acordo com o livro-base, p. 142, rot⃗F=(−1,−ex,x,zex)����→=(−1,−��,�,���) Assim, temos ∂σ∂u(u,v)∧∂σ∂v(u,v)=(1,−2u,−2v)∂�∂�(�,�)∧∂�∂�(�,�)=(1,−2�,−2�) Ainda, Γ(t)=(0,cost,sent),t∈[0,2π]Γ′(t)=(0,−sent,cost)Γ(�)=(0,����,����),�∈[0,2�]Γ′(�)=(0,−����,����) E pelo Teorema de Stokes, ∫∫σrot⃗F⋅⃗ndS=−2π∫∫�����→⋅�→��=−2� Questão 10/10 - Cálculo Diferencial Integral - Campos Vetoriais Leia a seguinte passagem de texto: "A área da superfície σ� é dada por: Aσ=∫∫K||((∂σ∂u(u0,v0)Δu))∧(∂σ∂v(u0,v0)Δv)||dudv��=∫∫�||((∂�∂�(�0,�0)Δ�))∧(∂�∂�(�0,�0)Δ�)||���� e a integral existe e está bem definida pois o integrando é uma função contínua definido em um compacto cuja fronteira tem conteúdo nulo." (livro-base, p. 112) Considere o tronco de parábola dada por z=x2+y2�=�2+�2 com 0≤z≤90≤�≤9. Marque a alternativa que apresenta o valor correto de Aσ��: Nota: 0.0Você não pontuou essa questão A Aσ=(37√37−1)��=(3737−1) B Aσ=37π6√37��=37�637 Você assinalou essa alternativa (B) C Aσ=π(37√37−1)��=�(3737−1) D Aσ=π6(37√37−1)��=�6(3737−1) De acordo com o livro-base, p. 115, a parametrização dessa parábola é dada por: σ(u,v)=(u,v,u2+v2)�(�,�)=(�,�,�2+�2) definida em K={(u,v)∈R2/u2+y2≤3}�={(�,�)∈�2/�2+�2≤3}. Assim, Aσ=∫2π0∫30√1+4r2rdrdθ=2π∫30r√1+4r2dr=π6(37√37−1)��=∫02�∫031+4�2�����=2�∫03�1+4�2��=�6(3737−1) E Aσ=π6(√37−1)��=�6(37−1)
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