APOL II NOTA 80

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Questão 1/10 - Cálculo Diferencial Integral - Campos Vetoriais
Leia a seguinte passagem de texto:
"A área da superfície σ� é dada por:
Aσ=∫∫K||((∂σ∂u(u0,v0)Δu))∧(∂σ∂v(u0,v0)Δv)||dudv��=∫∫�||((∂�∂�(�0,�0)Δ�))∧(∂�∂�(�0,�0)Δ�)||����
e a integral existe e está bem definida pois o integrando é uma função contínua definido em um compacto cuja fronteira tem conteúdo nulo." (livro-base, p. 112)
Considere o tronco de parábola dada por z=x2+y2�=�2+�2 com 0≤z≤90≤�≤9. Marque a alternativa que apresenta o valor correto de Aσ��:
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão
	
	A
	Aσ=(37√37−1)��=(3737−1)
	
	B
	Aσ=37π6√37��=37�637
	
	C
	Aσ=π(37√37−1)��=�(3737−1)
Você assinalou essa alternativa (C)
	
	D
	Aσ=π6(37√37−1)��=�6(3737−1)
De acordo com o livro-base, p. 115, a parametrização dessa parábola é dada por:
σ(u,v)=(u,v,u2+v2)�(�,�)=(�,�,�2+�2) definida em K={(u,v)∈R2/u2+y2≤3}�={(�,�)∈�2/�2+�2≤3}.
Assim,
Aσ=∫2π0∫30√1+4r2rdrdθ=2π∫30r√1+4r2dr=π6(37√37−1)��=∫02�∫031+4�2�����=2�∫03�1+4�2��=�6(3737−1)
	
	E
	Aσ=π6(√37−1)��=�6(37−1)
Questão 2/10 - Cálculo Diferencial Integral - Campos Vetoriais
De acordo com o livro-base:
Dizemos que a superfície σ:A⊂R2→R3�:�⊂�2→�3 é regular no ponto (u0,v0)(�0,�0) se os vetores ∂σ∂u(u0,v0)∧∂σ∂v(u0,v0)≠0∂�∂�(�0,�0)∧∂�∂�(�0,�0)≠0. Equivalentemente, é regular no ponto (u0,v0)(�0,�0)se admite plano tangente no ponto. Dizemos ainda que a superfície σ� é regular se for regular em todos os pontos (u0,v0)∈A(�0,�0)∈� ou, equivalentemente, se admite plano tangente em todos os pontos da superfície.
Considere a superfície σ� no ponto (2,9,10)(2,9,10), onde σ� é a superfície parametrizada por σ(u,v)=(u3+2,u+v2,4v−2)�(�,�)=(�3+2,�+�2,4�−2). Dessa superfície, podemos afirmar:
Nota: 10.0
	
	A
	A superfície é regular e seu plano tangente é dado por (x,y,z)=(2,9,10)+λ1(0,1,0)+λ2(0,6,1).(�,�,�)=(2,9,10)+�1(0,1,0)+�2(0,6,1).
Você assinalou essa alternativa (A)
Você acertou!
Comentário: Sabemos que ∂σ∂u(u,v)=(3u2,1,0)∂�∂�(�,�)=(3�2,1,0) e também ∂σ∂v(u,v)=(0,2v,1)∂�∂�(�,�)=(0,2�,1). Assim, verificamos que a superfície é regular no ponto (2,9,10)(2,9,10). Seu plano tangente é dado por (x,y,z)=(2,9,10)+λ1(0,1,0)+λ2(0,6,1)(�,�,�)=(2,9,10)+�1(0,1,0)+�2(0,6,1) (livro-base, p. 103).
	
	B
	A superfície é regular e seu plano tangente é dado por (x,y,z)=λ1(0,1,0)+λ2(0,6,1).(�,�,�)=�1(0,1,0)+�2(0,6,1).
	
	C
	A superfície é regular e seu plano tangente é dado por (x,y,z)=(2,9,10).(�,�,�)=(2,9,10).
	
	D
	A superfície é regular e seu plano tangente é dado por (x,y,z)=()+λ1(0,1,0)+λ2(0,6,1).(�,�,�)=()+�1(0,1,0)+�2(0,6,1).
	
	E
	A superfície não é regular.
Questão 3/10 - Cálculo Diferencial Integral - Campos Vetoriais
Leia a passagem extraída do livro-base, Cálculo Diferencial e Integral - Campos de Vetores, p. 6:
"O divergente de uma função vetorial ou de um vetor, representado por div⃗F(x,y,z)����→(�,�,�) ou ∇⋅⃗F∇⋅�→ é definido por:
∇⋅⃗F=∂Fx∂x(x,y,z)+∂Fy∂y(x,y,z)+∂Fz∂z(x,y,z)∇⋅�→=∂��∂�(�,�,�)+∂��∂�(�,�,�)+∂��∂�(�,�,�)"
Sendo ⃗r=x⃗i+y⃗j+z⃗k�→=��→+��→+��→, marque a alternativa que apresenta o valor correto de ∇⋅⃗r∇⋅�→.
Nota: 10.0
	
	A
	1
	
	B
	2
	
	C
	3
Você assinalou essa alternativa (C)
Você acertou!
Utilizando a equação dada no enunciado, verificamos que:
∇⋅⃗r=3∇⋅�→=3
	
	D
	4
	
	E
	5
Questão 4/10 - Cálculo Diferencial Integral - Campos Vetoriais
Leia a seguinte passagem de texto:
"Seja σ:K⊂R2→R3�:�⊂�2→�3 uma superfície regular de classe C2�2 num aberto A� contendo K,K�,� compacto de interior não-vazio cuja fronteira tem conteúdo nulo, σ� injetora em todo o conjunto K� e σ� orientável. Seja ainda ∂K∂� uma curva C1�1 por partes, fechada e simples, orientada positivamente. Se temos ⃗F=P⃗i+Q⃗j+R⃗k�→=��→+��→+��→ então
∫Γ⃗FdΓ=∫∫σ(rot⃗F)⋅⃗ndS∫Γ�→�Γ=∫∫�(����→)⋅�→��
onde ΓΓ é a imagem de γ� por σ� orientada positivamente em relação ao vetor normal ⃗n(σ(u,v))�→(�(�,�)).
Fonte: Livro-base, p. 140.
Considere o campo dado por ⃗F(x,y,z)=(xz,zex,−y)�→(�,�,�)=(��,���,−�) e σ(u,v)=(−1+u2+v2,u,v)�(�,�)=(−1+�2+�2,�,�) definido sobre K={0≤u2+v2≤1}�={0≤�2+�2≤1}. Marque a alternativa que apresenta o valor correto de ∫∫σrot⃗F⋅⃗ndS∫∫�����→⋅�→��.
Nota: 10.0
	
	A
	2π2�
	
	B
	π�
	
	C
	00
	
	D
	−π−�
	
	E
	−2π−2�
Você assinalou essa alternativa (E)
Você acertou!
De acordo com o livro-base, p. 142,
rot⃗F=(−1,−ex,x,zex)����→=(−1,−��,�,���)
Assim, temos
∂σ∂u(u,v)∧∂σ∂v(u,v)=(1,−2u,−2v)∂�∂�(�,�)∧∂�∂�(�,�)=(1,−2�,−2�)
Ainda,
Γ(t)=(0,cost,sent),t∈[0,2π]Γ′(t)=(0,−sent,cost)Γ(�)=(0,����,����),�∈[0,2�]Γ′(�)=(0,−����,����)
E pelo Teorema de Stokes,
∫∫σrot⃗F⋅⃗ndS=−2π∫∫�����→⋅�→��=−2�
Questão 5/10 - Cálculo Diferencial Integral - Campos Vetoriais
Leia a seguinte passagem extraída do livro-base, Cálculo Diferencial e Integral - Campos de Vetores, p. 6:
"O rotacional de uma função vetorial ou de um vetor, representado por rot⃗F����→ ou ∇×⃗F∇×�→, é definido por: ∇×⃗F=|⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣⃗i⃗j⃗k∂∂x∂∂y∂∂z→Fx→Fy→Fz⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦|=[∂Fz∂y−∂Fy∂z]⃗i+[∂Fx∂z−∂Fz∂x]⃗j+[∂Fy∂x−∂Fx∂y]⃗k∇×�→=|[�→�→�→∂∂�∂∂�∂∂���→��→��→]|=[∂��∂�−∂��∂�]�→+[∂��∂�−∂��∂�]�→+[∂��∂�−∂��∂�]�→"
Para a função F(x,y,z)=(lnx,lnxy,lnxyz)�(�,�,�)=(ln⁡�,ln⁡��,ln⁡���), determine seu rotacional.
Nota: 10.0
	
	A
	1y⃗i−1x⃗j+1z⃗k1��→−1��→+1��→
Você assinalou essa alternativa (A)
Você acertou!
Pelo uso da equação dada no enunciado, verificamos que:
rot⃗F=1y⃗i−1x⃗j+1z⃗k����→=1��→−1��→+1��→
	
	B
	1y−1x+1z1�−1�+1�
	
	C
	1y⃗i+1x⃗j−1z⃗k1��→+1��→−1��→
	
	D
	1y+1x+1z1�+1�+1�
	
	E
	1y⃗i−1x⃗j−1z⃗k1��→−1��→−1��→
Questão 6/10 - Cálculo Diferencial Integral - Campos Vetoriais
De acordo com o livro-base, p. 129,
"Definimos a massa M� de σ� por
M=∫∫σδ(x,y,z)dS�=∫∫��(�,�,�)��
e definimos o centro de massa, o ponto (xc,yc,zc)∈R3(��,��,��)∈�3, da superfície σ� por
xc=∫∫σxδdSM,yc=∫∫σyδdSM,zc=∫∫σzδdSM��=∫∫������,��=∫∫������,��=∫∫������"
Marque a alternativa que apresenta o valor correto da massa do corpo delgado dado por z=x+y2�=�+�2 onde 0≤x≤10≤�≤1 e 0≤y≤20≤�≤2 onde a densidade superficial de massa é dada por σ(x,y,z)=y�(�,�,�)=�.
Nota: 10.0
	
	A
	133133
	
	B
	13√2132
	
	C
	13√231323
Você assinalou essa alternativa (C)
Você acertou!
De acordo com o livro-base, p. 129,
σ(u,v)=(u,v,u+v2)�(�,�)=(�,�,�+�2)
e ainda,
∂σ∂u(u,v)∧∂σ∂v(u,v)=(−1,−2v,1)∂�∂�(�,�)∧∂�∂�(�,�)=(−1,−2�,1)
Assim,
M=∫∫σydS=13√23�=∫∫����=1323
	
	D
	1313
	
	E
	√2323
Questão 7/10 - Cálculo Diferencial Integral - Campos Vetoriais
De acordo com o livro-base, p. 116,
Definimos a integral de superfície de f� sobre σ� por
∫∫σfdS=∫∫σf(x,y,z)dS=∫∫Kf(σ(u,v))||∂σ∂u(u,v)∧∂σ∂v(u,v)||dudv∫∫����=∫∫��(�,�,�)��=∫∫��(�(�,�))||∂�∂�(�,�)∧∂�∂�(�,�)||����
Considere a superfície σ(u,v)=(u,4v,2u),(u,v)∈[1,2]×[2,3]�(�,�)=(�,4�,2�),(�,�)∈[1,2]×[2,3], e marque a alternativa que apresenta o valor correto da integral de superfície ∫σ(xy+z)dS∫�(��+�)��.
Nota: 10.0
	
	A
	7272
	
	B
	√55
	
	C
	8√585
	
	D
	88
	
	E
	72√5725
Você assinalou essa alternativa (E)
Você acertou!
De acordo com o livro-base, p. 117
∂σ∂u(u,v)∧∂σ∂v(u,v)=(−8,0,4)∂�∂�(�,�)∧∂�∂�(�,�)=(−8,0,4)
Dessa forma,
∫∫σfdS=∫21∫32(4uv+2u)⋅4√5dvdu=72√5∫∫����=∫12∫23(4��+2�)⋅45����=725
Questão 8/10 - Cálculo Diferencial Integral - Campos Vetoriais
Leia o texto a seguir:
"Se a superfície S� tem uma parametrização ϕ:A⊂R2→R3�:�⊂�2→�3 diferenciável, podemos
definir os vetores tangentes a estas curvas no ponto ϕ(u0;v0)�(�0;�0), respectivamente, por:
Tu0=∂ϕ∂u=(∂x∂u,∂y∂u,∂z∂u)Tv0=∂ϕ∂v=(∂x∂v,∂y∂v,∂z∂v).��0=∂�∂�=(∂�∂�,∂�∂�,∂�∂�)��0=∂�∂�=(∂�∂�,∂�∂�,∂�∂�).
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: VILCHES, Mauricio A., CORRÊA, Maria Luiza. Cálculo Vetorial. <https://www.ime.uerj.br/~calculo/reposit/calculo3.pdf>. Acesso em 09 dez. 2019.
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Cálculo Diferencial Integral - Campo Vetorial, sobre área de superfícies e uma esfera de centro na origem e raio a em R3�3 e definida por S2={(x,y,z)|x2+y2+z2=a2,a>0},�2={(�,�,�)|�2+�2+�2=�2,�>0}, cuja parametrização é dada por:
ϕ(u,v)=(asen(u)cos(v),asen(u)sen(v),acos(u)),(u,v)∈A.�(�,�)=(����(�)���(�),����(�)���(�),����(�)),(�,�)∈�.Assinale a alternativa que representa a área da superfície S.�. 
Obs.: A área é dada por A(S)=∫∫D||Tu×Tv||dudv.�(�)=∫∫�||��×��||����.
Nota: 10.0
	
	A
	4πa24��2
Você assinalou essa alternativa (A)
Você acertou!
A área é dada por A(S)=∫∫D||Tu×Tv||dudv,�(�)=∫∫�||��×��||����,
Tu×Tv=asen(u)ϕ(u,v)||Tu×Tv||=a2sen(u)A(S)=a2∫∫Dsen(u)dudv=a2∫2π0∫π0sen(u)dudv=4πa2u.a.��×��=����(�)�(�,�)||��×��||=�2���(�)�(�)=�2∫∫����(�)����=�2∫02�∫0����(�)����=4��2�.�.
(livro-base p. 200-205)
	
	B
	2πa22��2
	
	C
	43πa243��2
	
	D
	6πa46��4
	
	E
	4πa44��4
Questão 9/10 - Cálculo Diferencial Integral - Campos Vetoriais
De acordo com o livro-base, Cálculo Diferencial e Integral - Campos de Vetores, sobre integral de linha sobre trajetórias, assinale a alternativa que representa a integral de linha ∫C(2xy2)dS∫�(2��2)��, onde C é a curva dada por x2+y2=1,�2+�2=1, tal que x=cost,y=sent e 0≤t≤π2.�=����,�=���� � 0≤�≤�2.
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão
	
	A
	∫Cf=2π∫��=2�
	
	B
	∫Cf=π2∫��=�2
	
	C
	∫Cf=23∫��=23
A integral de linha é dada por:
γ(t)=(cost,sent)γ′(t)=(−sent,cost)�(�)=(����,����)�′(�)=(−����,����)
∫Cf=∫baf(γ(t))||γ′(t)||dt=∫π/20(2costsen2t)dt=∫π/202costu2du/cost=∫102u2du==2u33|10=23∫��=∫���(�(�))||�′(�)||��=∫0�/2(2�������2�)��=∫0�/22�����2��/����=∫012�2��==2�33|01=23
(livro-base p. 123-125)
	
	D
	∫Cf=√2∫��=2
	
	E
	∫Cf=2√3∫��=23
Você assinalou essa alternativa (E)
Questão 10/10 - Cálculo Diferencial Integral - Campos Vetoriais
Leia o seguinte extrato de texto:
"Definiremos a integral sobre uma superfície tendo em mente ainda a generalização do que fizemos quando definimos integral de linha sobre um campo escalar. Embora geometricamente os objetos são diferentes, teremos que integrais de superfície generalizam a área de maneira análoga que a integral de linha sobre um campo escalar generaliza o conceito de comprimento de uma curva." (livro-base, p. 116)
Considere a superfície definida por σ(u,v)=(u,v,u3)�(�,�)=(�,�,�3) para (u,v)(�,�) no primeiro quadrante e tais que u,v≤1�,�≤1. Marque a alternativa que contém o valor correto para ∫∫σzdS∫∫����.
Nota: 10.0
	
	A
	154(10√10−1)154(1010−1)
Você assinalou essa alternativa (A)
Você acertou!
De acordo com o livro-abase, p. 117
∂σ∂u(u,v)∧∂σ∂v(u,v)=(−3u2,0,1)∂�∂�(�,�)∧∂�∂�(�,�)=(−3�2,0,1)
Dessa forma,
∫∫σzdS=∫10∫10u3√1+9u4dvdu=154(10√10−1)∫∫����=∫01∫01�31+9�4����=154(1010−1)
	
	B
	5√102751027
	
	C
	(10√10−1)(1010−1)
	
	D
	154(√10−1)154(10−1)
	
	E
	(√10−1)(10−1)