APOL I NOTA 70

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Questão 1/10 - Cálculo Diferencial Integral - Campos Vetoriais
Considere a situação:
Definimos a integral de linha do campo escalar f:A⊂Rn→R�:�⊂��→� sobre a curva C�, cuja parametrização γ:I=[a,b]→Rn�:�=[�,�]→�� é C1�1 por:
∫Cfds=∫baf(γ(t))||˙γ(t)||dt∫����=∫���(�(�))||�(�)||˙��.
Com base na situação e os conteúdos do livro-base Introdução ao Cálculo Vetorial e tendo em vista a curva γ(t)=(rcost,rsent),t∈[0,2π]�(�)=(�����,�����),�∈[0,2�] e o campo escalar dado por f(x,y)=x2�(�,�)=�2, assinale a alternativa que apresenta o valor correto de ∫Cfds∫����:
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão
	
	A
	π4�4
Você assinalou essa alternativa (A)
	
	B
	π2�2
	
	C
	π�
Esta é a alternativa correta. Sabemos que:
||˙γ||=r||�˙||=�. Assim:
∫γfds=∫2π0(rcost)2||˙γ||dt=r3∫2π0cos2tdt=π∫����=∫02�(�����)2||�˙||��=�3∫02����2���=�
	
	D
	2π2�
	
	E
	4π4�
Questão 2/10 - Cálculo Diferencial Integral - Campos Vetoriais
Considere a situação:
Definimos uma função f� de n� variáveis definida em um subconjunto não-vazio A⊂Rm�⊂�� por f:A→Rm�:�→�� que associa a cada (x1,x2,...,xn)∈A(�1,�2,...,��)∈� um único vetor f(x1,x2,...,xn)={f1(x1,x2,...,xn)∈Rm;(x1,x2,...,xn))∈A}�(�1,�2,...,��)={�1(�1,�2,...,��)∈��;(�1,�2,...,��))∈�}
Considerando a situação e os conteúdos do livro-base Introdução ao Cálculo Vetorial e tendo em vista que φ(A)=φ(1,θ)=(x,y)�(�)=�(1,�)=(�,�) onde x=rcosθ�=����� e y=rsenθ�=�����, assinale a alternativa que indica o valor correto da imagem de A={(r,θ);r=1}�={(�,�);�=1}:
Nota: 10.0
	
	A
	φ(A)=(x,y);0=x=1;0=y=1;x2+y2=1�(�)=(�,�);0=�=1;0=�=1;�2+�2=1
Você assinalou essa alternativa (A)
Você acertou!
φ(A)=φ(1,0)={(cosθ,senθ);θ∈R}�(�)=�(1,0)={(����,����);�∈�}
Veja que esta é a imagem da circunferência, visto que:
{cosθ,senθ);θ∈R={(x,y);x=cosθ;y=senθ;θ∈R}{����,����);�∈�={(�,�);�=����;�=����;�∈�}
De forma que:
φ(A)=φ(1,0)={(cosθ,senθ);θ∈R}�(�)=�(1,0)={(����,����);�∈�}φ(A)={(x,y);0≤x≤1;0≤y≤1;x2+y2=1}�(�)={(�,�);0≤�≤1;0≤�≤1;�2+�2=1}
	
	B
	φ(A)=(x,y);0=x=1;0=y=1;x+y=1�(�)=(�,�);0=�=1;0=�=1;�+�=1
	
	C
	φ(A)=(x,y);0=x=8;0=y=8;x+y=1�(�)=(�,�);0=�=8;0=�=8;�+�=1
	
	D
	φ(A)=(x,y);0=x=8;0=y=8;x+y=2�(�)=(�,�);0=�=8;0=�=8;�+�=2
	
	E
	φ(A)=(x,y);0=x=9;0=y=3;x+y=7�(�)=(�,�);0=�=9;0=�=3;�+�=7
Questão 3/10 - Cálculo Diferencial Integral - Campos Vetoriais
Considere a situação:
Se definirmos o operador ∇(⋅)=∂⋅∂x1e1+...+∂⋅∂xnen∇(⋅)=∂⋅∂�1�1+...+∂⋅∂���� temos a seguinte igualdade: grad(f)=∇f����(�)=∇�".
Considerando a citação e os conteúdos do livro-base Introdução ao Cálculo Vetorial e tendo em vista a função f:R2→R�:�2→� dada por f(x,y)=x2+y2�(�,�)=�2+�2, assinale a alternativa que apresenta o valor correto de ∇f∇� e ∇f(1,1)∇�(1,1)
Nota: 10.0
	
	A
	∇f=2x+y2∇f(1,1)=3∇�=2�+�2∇�(1,1)=3
	
	B
	∇f=(2x,2y)∇f(1,1)=(2,2)∇�=(2�,2�)∇�(1,1)=(2,2)
Você assinalou essa alternativa (B)
Você acertou!
∇f(x,y)=(∂f∂x(x,y),∂f∂y(x,y))=(2x,2y)∇�(�,�)=(∂�∂�(�,�),∂�∂�(�,�))=(2�,2�)
e, portanto:
∇f(1,1)=(2,2)∇�(1,1)=(2,2)
	
	C
	∇f=2x+2y∇f(1,1)=4∇�=2�+2�∇�(1,1)=4
	
	D
	∇f=(2x,y2)∇f(1,1)=(2,1)∇�=(2�,�2)∇�(1,1)=(2,1)
	
	E
	∇f=(2x,0)∇f(1,1)=(2,0)∇�=(2�,0)∇�(1,1)=(2,0)
Questão 4/10 - Cálculo Diferencial Integral - Campos Vetoriais
Considere a situação:
O cálculo das funções potências pode ser sintetizado em uma fórmula mais simples:
φ(x,y,z)=F1(x,y,z)+F2(x,y,z)+F3(x,y,z)+c�(�,�,�)=�1(�,�,�)+�2(�,�,�)+�3(�,�,�)+�
em que cada uma das funções Fi�� é definida da seguinte forma:
F1(x,y,z)=∫PdxF2(x,y,z)=∫(Q−∂F1∂y)dyF3(x,y,z)=∫(R−∂(F1+F2)∂z)dz�1(�,�,�)=∫����2(�,�,�)=∫(�−∂�1∂�)���3(�,�,�)=∫(�−∂(�1+�2)∂�)��
Com base na situação e nos conteúdos do livro-base Introdução ao Cálculo Vetorial e tendo em vista o campo dado por ⃗F(x,y,z)=(2ye2x−yzsenxy)⃗i+(e2x+z−xzsenxy)⃗j+(cosxy+y+1)⃗k�→(�,�,�)=(2��2�−�������)�→+(�2�+�−�������)�→+(�����+�+1)�→, assinale a alternativa que apresenta o valor correto das funções potenciais de campo de ⃗F(x,y,z)�→(�,�,�):
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão
	
	A
	φ(x,y,z)=ye2x+zcosxy+yz+z+c,c∈R�(�,�,�)=��2�+������+��+�+�,�∈�
Esta é a alternativa correta. De acordo com as fórmulas fornecidas no enunciado:
F1(x,y,z)=∫(2ye2x−yzsenxy)dx=ye2x+zcosxyF2(x,y,z)=∫zdy=yzF3(x,y,z)=∫1dz=z�1(�,�,�)=∫(2��2�−�������)��=��2�+�������2(�,�,�)=∫���=���3(�,�,�)=∫1��=�
	
	B
	φ(x,y,z)=ye2x+zcosxy+yz+c,c∈R�(�,�,�)=��2�+������+��+�,�∈�
	
	C
	φ(x,y,z)=ye2x+zcosxy+z+c,c∈R�(�,�,�)=��2�+������+�+�,�∈�
	
	D
	φ(x,y,z)=ye2x+yz+z+c,c∈R�(�,�,�)=��2�+��+�+�,�∈�
	
	E
	φ(x,y,z)=ye2x+c,c∈R�(�,�,�)=��2�+�,�∈�
Você assinalou essa alternativa (E)
Questão 5/10 - Cálculo Diferencial Integral - Campos Vetoriais
Observe a situação:
O divergente de ⃗F�→ é definido por div⃗F=∂F1∂x1+∂F2∂x2+...+∂Fn∂xn����→=∂�1∂�1+∂�2∂�2+...+∂��∂��. Observe que o divergente de um campo é de natureza escalar, isto é, é um número real, diferentemente do que acontece com o rotacional.
Considerando a situação e os conteúdos do livro-base Introdução ao Cálculo Vetorial e tendo em vista a função vetorial ⃗F(x,y,z)=xy⃗i+(z2+x)⃗j+xyz⃗k�→(�,�,�)=���→+(�2+�)�→+����→, assinale a alternativa que apresenta o valor correto de div⃗F����→:
Nota: 10.0
	
	A
	div⃗F(x,y,z)=0����→(�,�,�)=0
	
	B
	div⃗F(x,y,z)=x����→(�,�,�)=�
	
	C
	div⃗F(x,y,z)=y����→(�,�,�)=�
	
	D
	div⃗F(x,y,z)=y+xy����→(�,�,�)=�+��
Você assinalou essa alternativa (D)
Você acertou!
Esta é a alternativa correta. Efetuando o cálculo de acordo com a fórmula disponibilizada no enunciado, temos:
div⃗F=∂F1∂x1+∂F2∂x2+...+∂Fn∂xn����→=∂�1∂�1+∂�2∂�2+...+∂��∂��
Assim:
div⃗F(x,y,z)=∂∂x1(xy)+∂∂y(z2+x)+∂∂z(xyz)����→(�,�,�)=∂∂�1(��)+∂∂�(�2+�)+∂∂�(���)
Ou seja:
div⃗F(x,y,z)=y+xy����→(�,�,�)=�+��
	
	E
	div⃗F(x,y,z)=xy����→(�,�,�)=��
Questão 6/10 - Cálculo Diferencial Integral - Campos Vetoriais
Considere a situação:
Se definirmos o operador ∇(⋅)=∂⋅∂x1e1+...+∂⋅∂xnen∇(⋅)=∂⋅∂�1�1+...+∂⋅∂���� temos a seguinte igualdade: grad(f)=∇f����(�)=∇�".
Considerando a situação e os conteúdos do livro-base Introdução ao Cálculo Vetorial e tendo em vista a função f:R2→R�:�2→� dada por f(x,y)=x2+y2�(�,�)=�2+�2, indique a alternativa que apresenta o valor correto de ∇f∇� e ∇f(1,1)∇�(1,1)
Nota: 10.0
	
	A
	∇f=2x+y2∇f(1,1)=3∇�=2�+�2∇�(1,1)=3
	
	B
	∇f=(2x,2y)∇f(1,1)=(2,2)∇�=(2�,2�)∇�(1,1)=(2,2)
Você assinalou essa alternativa (B)
Você acertou!
Esta é a alternativa correta.
∇f(x,y)=(∂f∂x(x,y),∂f∂y(x,y))=(2x,2y)∇�(�,�)=(∂�∂�(�,�),∂�∂�(�,�))=(2�,2�)
Portanto:
∇f(1,1)=(2,2)∇�(1,1)=(2,2).
	
	C
	∇f=2x+2y∇f(1,1)=4∇�=2�+2�∇�(1,1)=4
	
	D
	∇f=(2x,y2)∇f(1,1)=(2,1)∇�=(2�,�2)∇�(1,1)=(2,1)
	
	E
	∇f(2x,0)∇f(1,1)=(2,0)∇�(2�,0)∇�(1,1)=(2,0)
Questão 7/10 - Cálculo Diferencial Integral - Campos Vetoriais
Considere a situação:
O rotacional de ⃗F�→ é um campo de vetores em A� definido por:
rot⃗F=(∂R∂y−∂Q∂z)⃗i+(∂P∂z−∂R∂x)⃗j+(∂Q∂x−∂P∂y)⃗k����→=(∂�∂�−∂�∂�)�→+(∂�∂�−∂�∂�)�→+(∂�∂�−∂�∂�)�→"
Considerando a situação e os conteúdos livro-base Introdução ao Cálculo Vetorial e tendo em vista o campo ⃗F(x,y,z)=xy⃗i+(z2+x)⃗j+xyz⃗k�→(�,�,�)=���→+(�2+�)�→+����→, marque a alternativa que apresenta o valor correto de rot⃗F����→:
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão
	
	A
	rot⃗F=xz⃗i−yz⃗j+x⃗k����→=���→−���→+��→
	
	B
	rot⃗F=2z⃗i−xz⃗j+(1−x)⃗k����→=2��→−���→+(1−�)�→
Você assinalou essa alternativa (B)
	
	C
	rot⃗F=(xz−2z)⃗i−yz⃗j+(1−x)⃗k����→=(��−2�)�→−���→+(1−�)�→
Esta é a alternativa correta. De acordo com a fórmula apresentada no enunciado da questão: 
rot⃗F=(xz−2z)⃗i−(yz−0)⃗j+(1−x)⃗k=(xz−2z)⃗i−yz⃗j+(1−x)⃗k����→=(��−2�)�→−(��−0)�→+(1−�)�→=(��−2�)�→−���→+(1−�)�→
	
	D
	rot⃗F=yz⃗i−xz⃗j+(1+x)⃗k����→=���→−���→+(1+�)�→
	
	E
	rot⃗F=(xz−2z)⃗i+yz⃗j+(1−x)⃗k����→=(��−2�)�→+���→+(1−�)�→
Questão 8/10 - Cálculo Diferencial Integral - Campos Vetoriais
Leia a situação:
Considere ⃗F(x,y,z)=P(x,y,z)⃗i+Q(x,y,z)⃗j+R(x,y,z)⃗k�→(�,�,�)=�(�,�,�)�→+�(�,�,�)�→+�(�,�,�)�→  um campo no espaço R3�3 e suponha que ⃗F�→ seja conservativo. Se existe a função φ� que é o potencial do campo ⃗F�→, temos que
∂φ∂x=P⇒φ=∫Pdx+ϕ(y,z)+c1∂�∂�=�⇒�=∫���+�(�,�)+�1
onde c1∈R�1∈� é uma constante e ϕ� é uma função que depende apenas das variáveis y� e z� , pois é a parte que é anulada ao derivarφ� na direção de x�
Com base na situação e nos conteúdos do livro-base Introdução ao Cálculo Vetorial e tendo em vista o campo dado por ⃗F(x,y)=y4⃗i+4xy3⃗j�→(�,�)=�4�→+4��3�→, assinale a alternativa que indica o valor correto das funções potências:
Nota: 10.0
	
	A
	φ(x,y)=xy4�(�,�)=��4
	
	B
	φ(x,y)=0�(�,�)=0
	
	C
	φ(x,y)=4xy4+C�(�,�)=4��4+�
	
	D
	φ(x,y)=C�(�,�)=�
	
	E
	φ(x,y)=xy4+C�(�,�)=��4+�
Você assinalou essa alternativa (E)
Você acertou!
Esta é a alternativa correta.
F1(x,y)=∫y4dx=y4∫dx=xy4�1(�,�)=∫�4��=�4∫��=��4
F2(x,y)=∫(4xy3−∂∂y(xy4))dy=0�2(�,�)=∫(4��3−∂∂�(��4))��=0
Logo, as funções potências são dadas por:
φ(x,y)=xy4+c,c∈R�(�,�)=��4+�,�∈�
Questão 9/10 - Cálculo Diferencial Integral - Campos Vetoriais
Considere a situação:
Definimos o comprimento de γ� sobre uma curva C1�1 por:
L(γ)=∫ba||y�(�)=∫��||�, o qual pode ser generalizado no caso de uma uma curva C1�1 definida por partes.
Com base na situação e nos conteúdos do livro-base Introdução ao Cálculo Vetorial e considerando a curva dada por:
γ(t)={(t,−t);t∈[−1,0)(t,3t);t∈[0,1]�(�)={(�,−�);�∈[−1,0)(�,3�);�∈[0,1].
assinale a alternativa que indica o valor correto do comprimento de arco da curva γ(t)�(�):
Nota: 10.0
	
	A
	L(γ)=√2�(�)=2
	
	B
	L(γ)=√10+√2�(�)=10+2
Você assinalou essa alternativa (B)
Você acertou!
Esta é a alternativa correta. De acordo com o enunciado:
L(γ)=L(γ1)+L(γ2)=∫0−1√2dt+∫10√10dt=√10+√2�(�)=�(�1)+�(�2)=∫−102��+∫0110��=10+2
	
	C
	L(γ)=√20�(�)=20
	
	D
	L(γ)=√12�(�)=12
	
	E
	L(γ)=√10�(�)=10
Questão 10/10 - Cálculo Diferencial Integral - Campos Vetoriais
Considere a situação:
Definimos a integral de linha do campo escalar f:A⊂Rn→R�:�⊂��→� sobre a curva C�, cuja parametrização γ:I=[a,b]→Rn�:�=[�,�]→�� é C1�1 por:
∫Cfds=∫baf(γ(t))||˙γ(t)||dt∫����=∫���(�(�))||�(�)||˙��.
 
Com base na situação e nos conteúdos do livro-base Introdução ao Cálculo Vetorial e tendo em vista a hélice de raio r� dada pela curva γ(t)=(rcost,rsent,rt),t∈[0,4π]�(�)=(�����,�����,��),�∈[0,4�] e o campo escalar definido por f(x,y,z)=ex2+y2+z−r2�(�,�,�)=��2+�2+�−�2, assinale a alternativa que apresenta o valor correto de ∫γfds∫����:
Nota: 10.0
	
	A
	e4rπ−1�4��−1
	
	B
	√2e4rπ2�4��
	
	C
	√22
	
	D
	√2(e8rπ−1)2(�8��−1)
	
	E
	√2(e4rπ−1)2(�4��−1)
Você assinalou essa alternativa (E)
Você acertou!
Esta é a alternativa correta.
˙γ(t)=√2r�(�)˙=2�.
E ainda:
∫γfds=∫4π0ert√2rdt=√2(e4rπ−1)∫����=∫04����2���=2(�4��−1).