Questão resolvida - 3 1 Resolva a equação diferencial_ df_dx -3cos(x) 5sen(x), f(_3) 4 e f'(_3) 6; onde df_dx f''(x) - Cálculo 2 e 3 - Centro Universitário Jorge Amado

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3.1 Resolva a equação diferencial:
 
 onde : = f'' x
= - 3cos x + 5sen x
d f
dx
2
2
( ) ( )
Se f = 4 e f' = 6
𝜋
3
𝜋
3
d f
dx
2
2
( )
 
 
Resolução:
 
Foi dada a derivada segunda , integrando, temos;
d f
dx
2
2
 
dx = -3cos x + 5sen x dx = - 3sen x + 5 -cos x + c = - 3sen x - 5cos x + c∫d f
dx
2
2
∫( ( ) ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( )
 
= f' x = - 3sen x - 5cos x + c
df
dx
( ) ( ) ( )
 
Como,
f' = 6
𝜋
3
Temos que;
 
f' = - 3sen - 5cos + c = 6
𝜋
3
𝜋
3
𝜋
3
 
 
(1)
Consultando a tabela de ângulos notáveis;
Relação 
trigonométrica/
ângulo
 
 30° =
𝜋
6
 
 45° =
𝜋
4
 
 60° =
𝜋
3
 Seno 
1
2
 
 
2
2
 
 
2
3
 
 cosseno 
2
3
 
 
2
2
 
 
1
2
 
 tangente
3
3
 
1
 
 
3
 
 
Agora, substituindo os valores corespondentes na relação 1 e isolando c;
 
-3 ⋅ - 5 ⋅ + c = 6 - - + c = 6 = 6 -3 - 5 + 2c = 2 ⋅ 6
2
3 1
2
→
3
2
3 5
2
→
-3 - 5 + 2c
2
3
→ 3
 
-3 - 5 + 2c = 12 2c = 12 + 3 + 5 2c = 17 + 33 → 3 → 3 →
 
c =
17 + 3
2
3
Assim, temos;
 
f' x = - 3sen x - 5cos x +( ) ( ) ( )
17 + 3
2
3
 
 
(2)
Agora, para chegarmos na função , integramos a função ;f 2
 
f' x dx = -3sen x - 5cos x + dx = - 3 -cos x - 5sen x + x + k∫ ( ) ∫ ( ) ( ) 17 + 3
2
3
( ( )) ( )
17 + 3
2
3
 
f x = 3cos x - 5sen x + x + k( ) ( ) ( )
17 + 3
2
3
 
Sabemos que;
f = 4
𝜋
3
Substituindo isso em 3, temos que;
 
f = 3cos - 5sen + + k = 4
𝜋
3
𝜋
3
𝜋
3
17 + 3
2
3 𝜋
3
 
Resolvemos, então, a equação acima para ;k
 
3 ⋅ - 5 ⋅ + + k = 4 - + + k = 4
1
2 2
3 17 + 3
2
3 𝜋
3
→
3
2
5
2
3 17 + 3 𝜋
6
3
 
= 4 = 4
3 ⋅ 4 - 3 ⋅ 5 + 17 + 3 𝜋 + 6k
6
3 3
→
12 - 15 + 17 + 3 𝜋 + 6k
6
3 3
 
12 - 15 + 17 + 3 𝜋 + 6k = 6 ⋅ 4 12 - 15 + 17 + 3 𝜋 + 6k = 243 3 → 3 3
 
6k = 24 - 12 + 15 - 17 + 3 𝜋 k =3 3 →
24 - 12 + 15 - 17 + 3 𝜋
6
3 3
 
Substituindo em 3, finalmente, a função , solução da equação diferencial é;f x( )
 
f x = 3cos x - 5sen x + x + ( ) ( ) ( )
17 + 3
2
3 24 - 12 + 15 - 17 + 3 𝜋
6
3 3
 
 
(3)
(Resposta)