Geometria básica

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MATEMÁTICA
Noções de Geometria Básica
Figuras geométricas planas: ângulos, retas, polígonos, circunferências e círculos; Relações 
métricas nos polígonos; Perímetro de polígono e comprimento de circunferência; Área de 
polígono e do círculo; Resolução de problemas envolvendo geometria. 
Josimar Padilha
CONCEITOS PRIMITIVOS
Ponto, reta e plano são noções primitivas dentro da geometria. Os conceitos
geométricos são estabelecidos por meio de definições, porém as noções
primitivas são apresentadas sem definição. Sendo assim, construiremos as
ideias de ponto, reta e plano sem definição, ou seja, exemplificando:
Ponto: uma estrela, um pingo de lápis, um furo de alfinete etc.
Reta: arame esticado, lados de uma janela etc.
Plano: o quadro branco, a superfície de uma bancada etc.
NOTAÇÕES DE PONTO, RETA E PLANO
As representações de objetos geométricos podem ser expressas por letras
usadas em nosso alfabeto:
Pontos C, H, P e L representados por letras maiúsculas latinas;
Retas r, s, x, p, q, u e v representados por letras minúsculas latinas
Planos Alfa, Beta e Gama representados por letras
gregas minúsculas.
Plano Alfa (a) figura I, Plano Beta (b) figura II e Plano
Gama (g) figura III.
Fig. I Fig. II Fig. III
Por um único ponto passam infinitas retas (figura A). Em uma reta, bem como
fora dela, há infinitos pontos, mas dois pontos distintos são suficientes para
determinar única reta (figura C). Em um plano e também fora dele, há infinitos
pontos e retas (figura B).
Fig. A
Fig. B
Fig. C
PONTOS COLINEARES E SEMIRRETAS
Pontos colineares: são pontos que pertencem a uma mesma reta. Na figura (I),
os pontos R, S e T são colineares, pois todos pertencem à mesma reta u. Na
figura (II), os pontos Y, G e Z não são colineares, pois G não pertence à reta w.
Semirretas: um ponto A sobre uma reta r, divide esta reta em duas semirretas.
O ponto A é a origem comum as duas semirretas, denominadas semirretas
opostas.
SEGMENTOS CONSECUTIVOS, COLINEARES, CONGRUENTES E ADJACENTES
Dada uma reta t e dois pontos distintos C e D sobre a reta, o conjunto de todos os pontos
localizados entre C e D, inclusive os próprios C e D, recebe o nome de segmento de reta, neste
caso, denotado por CD.
Classificação dos segmentos de retas: consecutivos, colineares, congruentes e adjacentes.
Segmentos Consecutivos: dois segmentos de reta são consecutivos quando a
extremidade de um deles é também extremidade do outro, isto é, a extremidade
de um coincide com a extremidade do outro.
Segmentos Colineares: dois segmentos de reta são colineares se
estão em uma mesma reta.
Sobre segmentos consecutivos e colineares, podemos ter algumas situações:
Os segmentos AB, BC e CD são consecutivos e colineares.
Os segmentos AB e CD não são consecutivos embora sejam colineares.
Os segmentos de reta EF e FG são consecutivos e não são colineares.
Segmentos Congruentes: são aqueles que têm as mesmas medidas. No
desenho ao lado, AB e CD são congruentes. A congruência entre os segmentos
AB e CD é denotada por AB~CD, onde “~” é o símbolo de congruência.
A
C
B
D
5 cm
5 cm
Segmentos Adjacentes: dois segmentos consecutivos e colineares são
adjacentes se possuem em comum apenas uma extremidade e não têm outros
pontos em comum. MN e NP são adjacentes, tendo somente N em comum. MP
e NP não são adjacentes, pois existem muitos pontos em comum.
M PN
PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO
M é o ponto médio do segmento de reta AB se M divide o segmento AB em dois
segmentos congruentes, ou seja, AM~MB. O ponto médio é o ponto de
equilíbrio de um segmento de reta.
REPRESENTAÇÃO DAS RETAS EM UM PLANO
Retas paralelas: duas retas são paralelas quando pertencem ao mesmo plano
(P) e não possuem qualquer ponto em comum.
A interseção é vazia, ou seja, a ∩ b = { }.
A notação para duas retas a e b, paralelas, é dada por a||b.
Propriedade das retas paralelas: na Geometria Euclidiana, em um plano, por
um ponto localizado fora de uma reta (a) figura abaixo, pode ser traçada
apenas uma reta paralela.
Retas concorrentes: duas retas são concorrentes se possuem um único ponto
em comum r∩ s = p.
A notação para duas retas r e s que são concorrentes é dada por r s.
Retas Perpendiculares: Ângulo reto: um ângulo cuja medida é 90
graus. Todos os ângulos retos são congruentes.
As retas perpendiculares são também retas concorrentes que formam ângulos
de 90 graus. Para indicar que as retas são paralelas é usada a notação a b
Propriedade da reta perpendicular: por um ponto localizado fora da reta dada,
pode ser traçada apenas uma reta perpendicular.
Retas Coincidentes: se as retas são coincidentes (a mesma reta), são paralelas.
Retas transversais e ângulos especiais: reta transversal a outras retas é
uma reta que tem interseção com as outras retas em pontos diferentes.
Na figura acima, a reta t é transversal às retas s e r e estas três retas
formam 8 ângulos, sendo que os ângulos c, d, e e f são ângulos internos e
os ângulos a, b, g e h são ângulos externos. Cada par destes ângulos
recebe nome de acordo com a localização em relação à reta transversal e
às retas s e r.
1 
 
MATEMÁTICA 
MATERIAL COMPLEMENTAR 
PROF. JOSIMAR PADILHA 
ASSUNTO: GEOMETRIA BÁSICA (PLANA) 
QUESTÕES COMENTADAS 
 
01 - Ano: 2017 Banca: VUNESP Órgão: Prefeitura de Itanhaém 
 
O perímetro de cada uma das figuras a seguir está representado no seu interior e determina o tamanho de cada 
pedaço de arame com o qual cada figura foi construída. A 1ª figura é um triângulo equilátero, a 2ª, um quadrado, 
e a 3ª, um pentágono regular. 
 
 
 
 
 
Construindo um hexágono irregular (6 lados) com dois pedaços de arame de cada uma dessas figuras, o 
perímetro desse hexágono, em cm, será de 
 a) 52. 
 b) 54. 
 c) 56. 
 d) 58. 
 e) 60. 
 
Comentário: 
As figuras são regulares, logo seus lados são todos iguais. Sendo assim, para encontrarmos o valor de cada lado, 
basta dividirmos o perímetro pela quantidade de lados, vejamos: 
Triângulo equilátero 
Perímetro = 28,5. Lado 28,5/3 = 9,5 para cada lado 
2 
 
Quadrado 
Perímetro = 34. Lado 34/4 = 8,5 para cada lado 
Pentágono regular 
Perímetro 40. Lado 40/5 = 8 para cada lado 
 
O hexágono com dois pedaços de arame de cada uma das figuras, temos: 
9,5 x 2 = 19 
8,5 x 2 = 17 
8 x 2 = 16 
Somando os resultados temos 52 
Resposta: letra a. 
02 - Ano: 2017 Banca: VUNESP Órgão: Câmara de Sumaré – SP 
 
Em um terreno retangular ABCD, que tem 15 m de frente para a Avenida Sumaré e uma medida x, em metros, 
da frente até o fundo, a diagonal AC mede 25 m, conforme mostra a figura 
 
 
A área desse terreno é, em m2, igual 
 
 a) 360. 
 b) 345. 
 c) 330. 
 d) 300. 
 e) 285. 
Comentário: 
 
A maioria dos triângulos retângulos são semelhantes a 3,4 e 5, que são os lados do triângulo retângulo, ou 
também a 5, 12 e 13. Sendo assim podemos afirmar que são pitagóricos. Se os triângulos são semelhantes, 
então os seus lados são proporcionais. 
Analisando o triângulo dado na questão, podemos perceber que os lados são proporcionais a 3, 4 e 5. 
3 
 
 
 
 
É notável que temos o 25, que é 5x5, o 15, que é 3x5, logo a outra medida só pode ser 4x5, que vai nos dar 
o número 20. 
Partindo que a Área do Retângulo é Base x Altura, podemos inferir que será 20x15, totalizando 300 m2. 
Resposta: letra d. 
 
QUESTÕES DE APENDIZAGEM 
 
1. Na figura abaixo, A, B, C e D são quadrados. O perímetro de A vale 16 m e o perímetro 
de B vale 24 m. Calcule a área de D. 
 
 
 
2. A figura abaixo ilustra uma sala em forma de “L”, que se pretende ladrilhar com peças 
quadradas de lado 30 cm. Indique o número de peças necessárias para ladrilhar a 
sala. 
 
 
 
3. Na figura abaixo tem-se a representação de um monograma em que a unidade das 
medidas assinaladas é o centímetro. Calcule a área da superfície desse monograma. 
4 
 
 
 
 
4. Determine as dimensões de um retângulo sabendo que ele tem 20 cm de perímetroe sua área é igual a 24 cm². 
 
5. Um retângulo R é tal que seu comprimento é 20% maior que o lado de um quadrado 
Q e sua altura é 20% menor que o lado de Q. Determine a razão entre as áreas de R 
e Q, nessa ordem. 
 
6. Em cada caso, determine a área do paralelogramo representado, considerando que 
as medidas indicadas são dadas em centímetros. 
 
a) 
 
b) 
 
 
7. Um triângulo equilátero tem 5 cm de lado. Se cada lado desse triângulo for acrescido 
de 1 cm, de quanto aumentará sua área? 
 
8. Determine a área de cada um dos trapézios seguintes, nos quais o metro é a unidade 
das medidas indicadas. 
 
5 
 
a) b) c) 
 
 d) e) 
 
9. As bases de um trapézio isósceles medem 4 cm e 12 cm. Se o semiperímetro desse 
trapézio é igual a 13 cm, determine sua área. 
 
10. Uma das bases de um trapézio excede a outra em 4 cm. Determine as medidas 
dessas bases sabendo que a área do trapézio é igual a 40 cm² e a altura mede 5 cm. 
 
11. Em cada caso, determine a área do círculo: 
a) cuja medida do raio é 4 cm. 
b) cuja medida do diâmetro é 6 cm. 
c) que tem 40π dm de perímetro. 
d) cujo diâmetro mede
12
 cm. 
 
 
12. Uma pizza de formato circular foi dividida em oito pedaços exatamente iguais e cada 
um é vendido à razão de R$ 0,05 por centímetro quadrado de sua superfície. 
 
 
 
 Se o diâmetro dessa pizza é igual a 28 cm, qual o valor a ser desembolsado na compra 
de dois pedaços? (use 

22
7

) 
 
13. Um lago circular de 20 m de diâmetro é circundado por um passeio, a partir das 
5
6
6 
 
margens do lago, de 2 m de largura. Qual é a área do passeio? (use π = 3,14) 
 
 
 
GABARITO 1: 
1. 256 m² 
2. 192 
3. 9 m² 
4. 4 cm e 6 cm 
5. 0,96 
6. 60 cm² – b) 24 cm2 
7. 1 3/4 
8. 40/18/810/180/30 
9. 24 cm² 
10. b = 6 B = 10 
11. a)16 b) 9  c) 400 d) 
36

 
12. R$ 7,70 
13. 136,4 m² 
 
CONCURSOS PÚBLICOS 
 
Ano: 2018 Banca: VUNESP Órgão: IPSM Prova: Analista de Gestão Municipal - 
Contabilidade 
01 - A área de uma praça, em um terreno retangular, é 1500 m2. Sabe-se que, nessa 
praça, será construído um jardim, em formato retangular, cujo comprimento é 2/3 do 
comprimento do terreno e cuja largura é 3/5 da largura do terreno. Sem contar com o 
jardim, sobrará do terreno da praça, para outras finalidades, o equivalente a 
 a) 20% 
 b) 30% 
 c) 40% 
 d) 60% 
https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/vunesp-2018-ipsm-analista-de-gestao-municipal-contabilidade
https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/vunesp-2018-ipsm-analista-de-gestao-municipal-contabilidade
7 
 
 e) 70% 
 
Ano: 2018 Banca: VUNESP Órgão: IPSM Prova: Assistente de Gestão Municipal 
02 - Um grande galpão foi construído em parte de um terreno retangular, cuja frente 
mede um terço da medida lateral. Esse galpão foi construído sobre uma base de 
concreto, também retangular, com exatamente 7500 metros quadrados, em que o 
maior lado é 60 metros menor que o maior lado do terreno, e o menor lado é 20 metros 
menor que o menor lado do terreno. Dessa forma, o perímetro desse terreno, em 
metros, é 
 a) 540. 
 b) 550. 
 c) 560. 
 d) 570. 
 e) 580. 
 
Ano: 2018 Banca: VUNESP Órgão: IPSM Prova: Assistente de Gestão Municipal 
03 - O formato interno de um vidro de perfume é de um prisma triangular reto, cuja 
base é um triângulo retângulo com o maior e o menor lados medindo 2,5 e 1,5 
centímetros, respectivamente. Se esse vidro tem capacidade máxima para 15 mililitros 
de perfume, então é verdade que sua altura interna mede, em centímetros, 
 a) 10. 
 b) 9,5. 
 c) 9. 
 d) 8,5. 
 e) 8. 
 
 
 
Ano: 2017 Banca: IADES Órgão: Correios Prova: Técnico em Segurança do Trabalho 
Júnior 
04 – 
✓ A arquitetura e o espaço que vai acomodar a sala de jantar, assim como a 
utilização do espaço pela família, são fatores que devem ser considerados no momento 
de escolha da mesa. 
https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/vunesp-2018-ipsm-assistente-de-gestao-municipal
https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/vunesp-2018-ipsm-assistente-de-gestao-municipal
https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/iades-2017-correios-tecnico-em-seguranca-do-trabalho-junior
https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/iades-2017-correios-tecnico-em-seguranca-do-trabalho-junior
8 
 
✓ A mesa redonda oferece mais intimidade e mais proximidade visual e facilita a 
inserção de “lugares extras”, quando necessário. 
✓ 0,90 m de diâmetro comporta 4 pessoas e, a cada 20 cm de diâmetro, 
acrescentam-se duas pessoas. 
Disponível em: <http://www.exatas.ufpr.br/portal/degraf_arabella/wp 
content/uploads/sites/28/2016/03/Sala-1.pdf>. Acesso em: 14 nov. 2017, com 
adaptações. 
 
As informações apresentadas fazem parte de sugestões ergonômicas para uma sala de 
jantar, especialmente para a mesa circular. 
Com base nesses dados, quantas pessoas podem sentar-se em volta de uma mesa com 
1,50 m de diâmetro? 
 a) 8 
 b) 12 
 c) 14 
 d) 6 
 e) 10 
 
Ano: 2017 Banca: VUNESP Órgão: Prefeitura de Marília – SP Prova: Auxiliar de Escrita 
05 - Um ponto E pertence a um lado do retângulo ABCD, dividindo-o em um triângulo 
ABE e um trapézio BCDE, conforme mostra a figura. 
 
 
O perímetro desse retângulo é 22 cm e o lado BC é 3 cm maior do que o lado CD. Se a 
área do trapézio é 20 cm2 maior do que a área do triângulo, a medida, em cm, do 
segmento AE é 
 
 a) 1. 
https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/vunesp-2017-prefeitura-de-marilia-sp-auxiliar-de-escrita
9 
 
 b) 2. 
 c) 3. 
 d) 4. 
 e) 5. 
 
Ano: 2017 Banca: FGV Órgão: Prefeitura de Salvador – BA Prova: Auxiliar de 
Desenvolvimento Infantil 
06 - Uma varanda retangular de 6,0m por 1,8m terá sua superfície coberta com 
cerâmica. O metro quadrado (m2) dessa cerâmica custa R$ 60,00. 
O valor aproximado em reais para o custo dessa cerâmica é de 
 
 a) 618. 
 b) 632. 
 c) 650. 
 d) 675. 
 e) 700. 
Ano: 2017 Banca: FGV Órgão: Prefeitura de Salvador – BA Prova: Auxiliar de 
Desenvolvimento Infantil 
07 - As telas das televisões são medidas em polegadas. Quando dizemos que uma 
televisão tem 20 polegadas, isto significa que a diagonal da tela mede 20 polegadas, ou 
seja, aproximadamente 50 cm. 
 
Se a diagonal da tela de uma televisão mede 80 cm, podemos concluir que o aparelho 
tem 
 
https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/fgv-2017-prefeitura-de-salvador-ba-auxiliar-de-desenvolvimento-infantil
https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/fgv-2017-prefeitura-de-salvador-ba-auxiliar-de-desenvolvimento-infantil
https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/fgv-2017-prefeitura-de-salvador-ba-auxiliar-de-desenvolvimento-infantil
https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/fgv-2017-prefeitura-de-salvador-ba-auxiliar-de-desenvolvimento-infantil
10 
 
 a) 26 polegadas. 
 b) 28 polegadas. 
 c) 30 polegadas. 
 d) 32 polegadas. 
 e) 34 polegadas. 
 
Ano: 2017 Banca: FGV Órgão: IBGE Prova: Recenseador 
08 - A figura abaixo mostra um retângulo de 5 por 2. 
 
Juntando três retângulos iguais a esse, foi formada a figura abaixo. 
 
A medida do contorno dessa figura é igual a: 
 a) 30; 
 b) 31; 
 c) 32; 
 d) 34; 
 e) 42. 
 
 
Ano: 2017 Banca: VUNESP Órgão: TJ-SP Prova: Escrevente Técnico Judiciário 
09 - A figura seguinte, cujas dimensões estão indicadas em metros, mostra as regiões R1 
e R2 , ambas com formato de triângulos retângulos, situadas em uma praça e destinadas 
a atividades de recreação infantil para faixas etárias distintas. 
 
https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/fgv-2017-ibge-recenseador
https://www.qconcursos.com/questoes-de-concursos/provas/vunesp-2017-tj-sp-escrevente-tecnico-judiciario
11 
 
Se a área de R1 é 54 m², então o perímetro de R2 é, em metros, igual a 
 a) 54. 
 b) 48. 
 c) 36. 
 d) 40. 
 e) 42. 
 
GABARITO 2: 
1. D 
2. C 
3. A 
4. E 
5. B 
6. C 
7. D 
8.D 
9. B